Matematika Teknik: paket kilat

Lembar rumus, langkah-langkah metode utama untuk setiap topik, dan 20 soal latihan, dengan pembahasan lengkap di bagian belakang.

Soal baru Kembali ke mata kuliah

Di jendela cetak, pilih “Simpan sebagai PDF” untuk menyimpan salinan di perangkat Anda.

1Rumus dan metode

Limit

Substitusi langsung: coba x = a dulu; 0/0 berarti sederhanakan
Faktorkan dan coret: xⁿ − aⁿ = (x − a)(xⁿ⁻¹ + a·xⁿ⁻² + … + aⁿ⁻¹)
Sekawan: (√x − √a)(√x + √a) = x − a
Limit di tak hingga: bagi dengan pangkat tertinggi x; derajat yang sama menghasilkan rasio koefisien utama
Limit khusus: lim_x→∞ (1 + a/x)^bx = e^ab
Aturan L'Hôpital: lim f/g = lim f′/g′ (0/0 or ∞/∞)

Turunan

Aturan pangkat: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹
Aturan perkalian: (uv)′ = u′v + uv′
Aturan hasil bagi: (u/v)′ = (u′v − uv′)/v²
Aturan rantai: f(g(x))′ = f′(g(x))·g′(x)
Turunan umum: (eˣ)′ = eˣ, (ln x)′ = 1/x, (sin x)′ = cos x, (cos x)′ = −sin x

Metode

Kenali strukturnya: jumlah, hasil kali, hasil bagi, atau komposisi.
Terapkan aturan pangkat pada setiap pangkat x.
Gunakan aturan hasil kali, hasil bagi, atau rantai bila diperlukan.
Sederhanakan, dan hitung nilainya di titik tersebut jika diminta.

Integral

Aturan pangkat: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) + C
Integral tentu: ∫_a^b f dx = F(b) − F(a)
Integral umum: ∫eˣ dx = eˣ, ∫1/x dx = ln|x|, ∫sin x dx = −cos x
Luas daerah antara kurva: ∫_a^b (f − g) dx

Metode

Tulis ulang integran sebagai jumlah suku-suku sederhana bila memungkinkan.
Terapkan aturan pangkat: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1), dan integral standar untuk e^x, 1/x, sin, dan cos.
Gunakan substitusi saat Anda melihat suatu fungsi bersama turunannya.
Untuk integral tentu, hitung F(b) − F(a).

Bilangan kompleks

Bentuk kartesius: z = a + jb, j² = −1, z̄ = a − jb
Modulus dan argumen: |z| = √(a² + b²), tan θ = b/a (check the quadrant)
Bentuk kutub dan eksponensial: z = r∠θ = r(cos θ + j sin θ) = r·e^jθ
Pembagian: z₁/z₂ = z₁z̄₂/|z₂|²
Hasil kali dan hasil bagi: r₁∠θ₁ · r₂∠θ₂ = r₁r₂∠(θ₁ + θ₂), r₁∠θ₁ / r₂∠θ₂ = (r₁/r₂)∠(θ₁ − θ₂)
De Moivre: (r∠θ)ⁿ = rⁿ∠nθ
Akar ke-n: z_k = R^1/n∠((φ + 360°·k)/n), k = 0 … n − 1
Kuadratik dengan p² < 4q: z = −p/2 ± j√(q − p²/4)

Metode

Tentukan bentuk yang cocok untuk operasinya: kartesius a + jb untuk menjumlahkan dan mengurangkan, kutub r∠θ untuk mengalikan, membagi, pangkat, dan akar.
Kalikan dengan j² = −1; bagi dengan mengalikan pembilang dan penyebut dengan konjugat penyebut.
Ubah dengan r = √(a² + b²) dan θ dari sketsa titik (periksa kuadran), dan kembali dengan a = r cos θ, b = r sin θ.
Untuk pangkat pakai De Moivre, (r∠θ)ⁿ = rⁿ∠nθ; untuk zⁿ = R∠φ daftarkan semua n akar R^1/n∠((φ + 360°k)/n).

Persamaan diferensial

Pertumbuhan/peluruhan eksponensial: dy/dt = ky → y = y₀e^kt
Waktu paruh: k = ln 2 / t_½
Hukum pendinginan Newton: T(t) = T_a + (T₀ − T_a)e^−kt
Faktor integrasi: y′ + p(x)y = q(x): μ = e^{∫p dx}, (μy)′ = μq
Tangki pencampuran: dm/dt = r·c − (r/V)·m

Matriks & determinan

determinan 2×2: det = ad − bc
Invers 2×2: A⁻¹ = (1/det)·[d −b; −c a]
Produk: (AB)_ij = Σ_k A_ikB_kj
Nilai eigen: det(A − λI) = 0
Aturan Cramer: x_i = det(A_i)/det(A)

Vektor: hasil kali titik & silang

Besar: |a| = √(a_x² + a_y² + a_z²)
Vektor satuan: û = a/|a|
Komponen dari sebuah sudut: F_x = F·cos θ, F_y = F·sin θ
Hasil kali titik: a·b = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z = |a||b|cos θ
Proyeksi skalar a pada b: a·b/|b|
Usaha: W = F·d
Hasil kali silang: a × b = (a_yb_z − a_zb_y, a_zb_x − a_xb_z, a_xb_y − a_yb_x)
Luas: jajar genjang |a × b|, segitiga ½|a × b|
Momen terhadap O: M_O = r × F, r = A − O
Volume paralelepipedum: V = |a·(b × c)|

Metode

Tulis setiap vektor dalam komponen; untuk gaya yang diberikan dengan besar dan sudut, gunakan F·cos θ dan F·sin θ.
Untuk panjang dan arah gunakan besar √(x² + y² + z²) dan vektor satuan a/|a|.
Gunakan hasil kali titik untuk sudut, proyeksi, ketegaklurusan, dan usaha: a·b = |a||b|cos θ.
Gunakan hasil kali silang untuk vektor tegak lurus, luas, dan momen: tulis ketiga komponen dengan teliti, jaga urutan a × b.

Peluang

Komplemen: P(not A) = 1 − P(A)
Aturan penjumlahan: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Kejadian saling bebas: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Peluang bersyarat: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Binomial: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Statistika deskriptif

Rata-rata: x̄ = Σx/n
Simpangan baku sampel: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Median: nilai tengah data yang telah diurutkan
Skor z: z = (x − μ)/σ
Distribusi normal: 68% dalam ±1σ, 95% dalam ±2σ

Distribusi normal

Skor z: z = (x − μ)/σ
Di bawah x: P(X < x) = Φ(z)
Di atas x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Di antara: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Persentil: x = μ + z·σ

Metode

Ubah nilainya menjadi skor z: z = (x − μ)/σ.
Cari Φ(z), luas di sebelah kiri z.
Untuk luas di sebelah kanan gunakan 1 − Φ(z); untuk suatu selang kurangkan kedua luas kiri.
Untuk persentil, kerjakan mundur: cari z untuk luasnya, lalu x = μ + z·σ.

2Soal latihan

1.LimitSedang

Cari limit L = lim_x→∞ (1 − 1/x)^2x. Berikan nilai desimal.

f(x) = (1 − 1/x)^2xx → ∞

L =

2.LimitSulit

Cari limit L = lim_x→0 (1 − cos 3x)/(x²), dengan x dalam radian.

f(x) = (1 − cos 3x)/(x²)x → 0

L =

3.TurunanSedang

Misalkan f(x) = x·sin(3x), dengan x dalam radian. Tentukan f′(2).

f(x) = x·sin(3x)x = 2 rad

f′(2) =

4.TurunanSulit

Garis singgung f(x) = x² − 3x − 6 di x = 3 memotong sumbu y di y = b. Tentukan b.

f(x) = x² − 3x − 6x = 3

b =

5.IntegralSedang

Hitung I = ∫₂¹⁰ 4/x dx.

f(x) = 4/x[2, 10]

I =

6.IntegralSulit

Hitung I = ∫₀¹ x²·eˣ dx.

∫₀¹ x²eˣ dx

I =

7.Bilangan kompleksSedang

Carilah argumen θ dari z = −6 + j9 dalam derajat, sebagai nilai pokok di antara −180° dan 180°.

z = −6 + j9

θ = °

8.Bilangan kompleksSulit

Akar-akar zⁿ = w dengan n = 4 dan w = 16∠−60° adalah z_k = R^1/n∠((φ + 360°·k)/n), k = 0, 1, 2, 3. Carilah bagian imajiner dari z₃.

w = 16∠−60°n = 4k = 3

Im(z₃) =

9.Persamaan diferensialSedang

Sekaleng minuman soda bersuhu 3 °C dikeluarkan dari lemari es ke ruangan bersuhu 26 °C. Benda tersebut mengikuti hukum pendinginan Newton, dT/dt = −k·(T − Tₐ). Dengan k = 0,03 min⁻¹, cari suhunya T setelah 22 menit.

T₀ = 3 °CT_a = 26 °Ck = 0,03 min⁻¹t = 22 min

T = °C

10.Persamaan diferensialSulit

Selesaikan y′ + 3y = 7e^−t dengan y(0) = 3. Cari y(1).

y′ + 3y = 7e^−ty(0) = 3

y(1) =

11.Matriks & determinanSedang

Tentukan determinan det A dari matriks 3×3 A yang ditunjukkan.

A = [−3 0 1; 1 5 −1; −2 4 1]

det A =

12.Matriks & determinanSulit

Tentukan nilai eigen yang lebih besar λ dari matriks A yang ditunjukkan.

A = [4 6; −5 −7]

λ =

13.Vektor: hasil kali titik & silangSedang

Tentukan nilai k agar vektor a = (−4, 5, 4) dan b = (2, 4, k) saling tegak lurus.

a = (−4, 5, 4)b = (2, 4, k)

k =

14.Vektor: hasil kali titik & silangSulit

Tentukan luas A segitiga dengan titik sudut A(4, 3, 1), B(4, 1, 3), dan C(4, −2, −1). Koordinat dalam meter.

A(4, 3, 1)B(4, 1, 3)C(4, −2, −1)

A = m²

15.PeluangSedang

Untuk distribusi yang ditunjukkan, cari variansi Var(X) dari X.

x: 0, 1, 2p(x): 0,35, 0,3, 0,35

Var(X) =

16.PeluangSulit

X memiliki distribusi yang ditunjukkan, dan Y = 5X − 3. Cari simpangan baku σ_Y dari Y.

x: 0, 2, 4, 6p(x): 0,1, 0,35, 0,3, 0,25Y = 5X − 3

σ_Y =

17.Statistika deskriptifSedang

Tentukan simpangan baku sampel s dari data: 57, 60, 31, 34, 28, 51, 43.

n = 7

s =

18.Statistika deskriptifSulit

Nilai ujian berdistribusi normal dengan rata-rata 60 dan simpangan baku 15. Tentukan skor z z untuk nilai 82,5.

μ = 60σ = 15x = 82,5

z =

19.Distribusi normalSedang

Data waktu pengiriman berdistribusi normal dengan rata-rata 32 min dan simpangan baku 6 min. Berapa proporsi yang berada di antara 32,3 dan 33,2 min? Nyatakan P dalam bentuk desimal.

μ = 32σ = 6x₁ = 32,3x₂ = 33,2

P =

20.Distribusi normalSulit

nilai ujian berdistribusi normal dengan rata-rata 65 poin dan simpangan baku 10 poin. Seret batas sehingga 85% terbawah yang diarsir berada di sebelah kirinya. Cari batas x.

μ = 65 poinσ = 10 poin85%

x = poin

3Larutan

1.Limit

Jawaban: L = 0,1353

Limit: coba dulu substitusi langsung. Jika hasilnya 0/0, sederhanakan dulu: faktorkan dan coret faktor yang sama, atau kalikan dengan bentuk sekawan. Untuk x → ∞, bagi pembilang dan penyebut dengan pangkat tertinggi x. Aturan L'Hôpital: jika f/g memberikan 0/0 atau ∞/∞, maka lim f/g = lim f′/g′, dengan menurunkan pembilang dan penyebut secara terpisah (bukan dengan aturan hasil bagi).

Ambil logaritmanya

ln L = lim_x→∞ 2·x·ln(1 − 1/x)

Hitung nilainya

ln(1 + u)/u → 1 saat u → 0, sehingga x·ln(1 + a/x) → a.

ln L = 2·(−1) = −2

Batalkan logaritmanya

L = e⁻² = 0,1353

Jawaban

L = 0,1353

2.Limit

Jawaban: L = 4,5

Penerapan pertama

3·sin 3x/(2x) → 0/0

Penerapan kedua

9·cos 3x/2

Substitusikan x = 0

L = 9/2 = 4,5

Jawaban

L = 4,5

3.Turunan

Jawaban: f′(2) = 5,482

Diferensial: turunan f′(x) adalah kemiringan grafik di x. Aturan pangkat: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹. Aturan perkalian: (uv)′ = u′v + uv′. Aturan rantai: (f(g(x)))′ = f′(g(x))·g′(x). Di mana f′(x) = 0, grafik memiliki garis singgung mendatar: maksimum, minimum, atau titik pelana.

Aturan perkalian dan rantai

f′(x) = sin(3x) + 3x·cos(3x)

Substitusikan

f′(2) = −0,2794 + 6·0,9602 = 5,482

Jawaban

f′(2) = 5,482

4.Turunan

Jawaban: b = −15

Titik dan kemiringan

f(3) = −6

f′(x) = 2x − 3 → f′(3) = 3

Garis singgung di x = 0

b = f(x₀) − f′(x₀)·x₀ = −6 − 3·3 = −15

Jawaban

b = −15

5.Integral

Jawaban: I = 6,438

Integral tentu: ∫ₐᵇ f(x) dx adalah luas bertanda antara grafik dan sumbu x dari a ke b. Cari antiturunan F (dengan F′ = f) dan hitung F(b) − F(a). Aturan pangkat: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1). Luas antara dua kurva adalah ∫(atas − bawah) dx.

Antiturunan

F(x) = 4·ln x

Substitusikan batasnya

I = 4·(ln 10 − ln 2) = 4·ln 5 = 6,438

Jawaban

I = 6,438

6.Integral

Jawaban: I = 0,7183

Integrasi parsial: ∫u·dv = u·v − ∫v·du, dari aturan perkalian. Pilih u sebagai faktor yang menjadi lebih sederhana saat diturunkan (pangkat x, atau ln x), dan dv sebagai faktor yang dapat Anda integralkan (eˣ, sin x, cos x, atau x bila u = ln x). Untuk integral tentu, hitung u·v pada kedua batas: ∫ₐᵇ u dv = [u·v]ₐᵇ − ∫ₐᵇ v du. Faktor x² memerlukan dua putaran.

Putaran pertama

∫x²eˣ dx = x²eˣ − ∫2x eˣ dx

Putaran kedua

∫2x eˣ dx = 2x eˣ − 2eˣ

∫x²eˣ dx = eˣ(x² − 2x + 2)

Limit

2,718·(1) − 1·2 = 0,7183

Jawaban

I = 0,7183

7.Bilangan kompleks

Jawaban: θ = 123,7 °

Bentuk kutub: z = r∠θ = r(cos θ + j sin θ) = r·e^jθ, dengan r = |z| dan θ = arg z. Kembali ke bentuk kartesius: a = r cos θ, b = r sin θ. Argumen memerlukan kuadran: θ = atan(b/a) hanya jika a > 0; untuk a < 0 tambahkan atau kurangkan 180°. Dalam bentuk kutub perkalian mudah: kalikan modulus dan jumlahkan argumen; untuk pembagian bagi modulus dan kurangkan argumen.

Kuadran

a = −6, b = 9 → II

Sudut acuan

α = atan(9/6) = 56,31°

Argumen

θ = 180° − α = 123,7°

Jawaban

θ = 123,7°

Dalam bentuk kutub z = 10,82∠123,7°.

8.Bilangan kompleks

Jawaban: Im(z₃) = −1,932

De Moivre dan akar: (r∠θ)ⁿ = rⁿ∠nθ. Persamaan zⁿ = R∠φ memiliki tepat n akar, semuanya bermodulus R^1/n, pada argumen (φ + 360°·k)/n untuk k = 0, 1, …, n − 1: akar-akar itu tersebar merata pada sebuah lingkaran, berjarak 360°/n. Persamaan kuadrat z² + pz + q = 0 dengan p² < 4q memiliki akar kompleks z = −p/2 ± j√(q − p²/4); polinom berkoefisien real selalu memiliki akar kompleks dalam pasangan konjugat a ± jb.

Modulus akar-akar

16^1/4 = 2

Argumen akar

θ₃ = (−60° + 360°·3)/4 = 255° → −105°

Bentuk kartesius

z₃ = 2·(cos −105° + j sin −105°) = −0,5176 − j1,932

Im(z₃) = −1,932

Jawaban

Im(z₃) = −1,932

4 akar itu terletak pada lingkaran berjari-jari 2, dengan jarak sudut 90°.

9.Persamaan diferensial

Jawaban: T = 14,11 °C

Persamaan diferensial orde satu: dy/dt = k·y memiliki penyelesaian y = y₀·e^kt (pertumbuhan untuk k > 0, peluruhan untuk k < 0); waktu paruh T memberikan k = ln 2/T. Hukum pendinginan Newton, dT/dt = −k·(T − Tₐ), memberikan T(t) = Tₐ + (T₀ − Tₐ)·e^−kt. Persamaan linear y′ + p(x)·y = q(x) diselesaikan dengan faktor integrasi μ = e^{∫p dx}: (μy)′ = μq, sehingga μy = ∫μq dx + C.

Penyelesaian hukum pendinginan

T(t) = 26 + (−23)·e^−0,03t

Substitusikan t

T(22) = 26 + (−23)·0,5169 = 14,11 °C

Jawaban

T = 14,11 °C

10.Persamaan diferensial

Jawaban: y(1) = 1,263

Faktor integrasi

μ = e^3t

(e^3ty)′ = 7e^2t

Penyelesaian umum

y = 7/2·e^−t + C·e^−3t = 3,5·e^−t + C·e^−3t

Kondisi awal

3 = 3,5 + C → C = −0,5

Hitung nilainya

y(1) = 3,5·0,3679 + (−0,5)·0,04979 = 1,263

Jawaban

y(1) = 1,263

11.Matriks & determinan

Jawaban: det A = −13

Matriks: determinan matriks 2×2 adalah ad − bc. Untuk 3×3, ekspansikan sepanjang satu baris: setiap entri dikali determinan matriks 2×2 yang tersisa setelah baris dan kolomnya dihapus, dengan tanda bergantian + − +. Nilai eigen λ memenuhi det(A − λI) = 0; untuk 2×2 itu adalah λ² − (trace)·λ + det = 0.

Minor 2×2 baris pertama

M₁₁ = 9, M₁₂ = −1, M₁₃ = 14

Ekspansi kofaktor

det A = (−3)·9 − 0·(−1) + 1·14 = −13

Jawaban

det A = −13

12.Matriks & determinan

Jawaban: λ = −1

Persamaan karakteristik

λ² − (−3)λ + (2) = 0

Selesaikan

λ = (−3 ± √(1))/2 → λ = −2, −1

λ = −1

Jawaban

λ = −1

13.Vektor: hasil kali titik & silang

Jawaban: k = −3

Dot product: a·b = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z = |a|·|b|·cos θ, a scalar. It gives the angle between two vectors, cos θ = a·b/(|a|·|b|), and it is zero when they are perpendicular. The scalar projection of a onto b is a·b/|b|, and a constant force F moving through a displacement d does work W = F·d.

Hasil kali titik sama dengan nol

a·b = (−4)·2 + 5·4 + 4·k = 0

12 + 4·k = 0

Selesaikan untuk k

k = −12/4 = −3

Jawaban

k = −3

14.Vektor: hasil kali titik & silang

Jawaban: A = 7 m²

Cross product: a × b = (a_yb_z − a_zb_y, a_zb_x − a_xb_z, a_xb_y − a_yb_x) is perpendicular to both vectors, and |a × b| = |a|·|b|·sin θ is the area of the parallelogram they span (the triangle has half of it). Order matters: b × a = −(a × b). The moment of a force F applied at point A about point O is M_O = r × F, with r = A − O.

Vektor sisi

AB = B − A = (0, −2, 2)

AC = C − A = (0, −5, −2)

Hasil kali silang

(AB × AC)_x = AB_yAC_z − AB_zAC_y = (−2)·(−2) − 2·(−5) = 14

(AB × AC)_y = AB_zAC_x − AB_xAC_z = 2·0 − 0·(−2) = 0

(AB × AC)_z = AB_xAC_y − AB_yAC_x = 0·(−5) − (−2)·0 = 0

|AB × AC| = √(14² + 0² + 0²) = 14

Luas segitiga

A = ½·14 = 7 m²

Jawaban

A = 7 m²

15.Peluang

Jawaban: Var(X) = 0,7

Variabel acak diskrit: distribusi peluang mendaftar setiap nilai x yang dapat diambil variabel beserta peluangnya p(x); peluang bernilai antara 0 dan 1 dan jumlahnya 1. Nilai harapan (rata-rata) adalah E(X) = Σx·p(x), rata-rata jangka panjang. Variansi adalah Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², dan simpangan baku σ = √Var(X). Untuk perubahan linear Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) dan σ_Y = |a|·σ_X; menambah konstanta tidak mengubah sebaran.

Rata-rata

μ = 0·0,35 + 1·0,3 + 2·0,35 = 1

Rata-rata kuadrat

E(X²) = 0·0,35 + 1·0,3 + 4·0,35 = 1,7

Variansi

Var(X) = 1,7 − 1² = 0,7

Jawaban

Var(X) = 0,7

16.Peluang

Jawaban: σ_Y = 9,539

Sebaran X

μ = 3,4, Var(X) = 3,64, σ_X = 1,908

Perubahan linear

σ_Y = |5|·1,908 = 9,539

Jawaban

σ_Y = 9,539

Rata-ratanya memang bergeser: E(Y) = 5·3,4 − 3 = 14.

17.Statistika deskriptif

Jawaban: s = 12,9

Statistika deskriptif: rata-rata adalah jumlah dibagi n; median adalah nilai tengah data yang terurut (rata-rata dua nilai tengah jika n genap). Simpangan baku sampel s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Skor z z = (x − μ)/σ menyatakan berapa simpangan baku suatu nilai dari rata-rata.

Rata-rata

x̄ = 304/7 = 43,43

Kuadrat simpangan

Σ(x − x̄)² = 13,57² + 16,57² + (−12,43)² + (−9,429)² + (−15,43)² + 7,571² + (−0,4286)² = 997,7

Simpangan baku

s = √(997,7/6) = 12,9

Jawaban

s = 12,9

18.Statistika deskriptif

Jawaban: z = 1,5

Standarkan

z = (82,5 − 60)/15 = 1,5

Jawaban

z = 1,5

19.Distribusi normal

Jawaban: P = 0,05932

Distribusi normal: ubah nilai x menjadi skor z, z = (x − μ)/σ, yang menghitung berapa simpangan baku dari rata-rata. Tabel z (atau Φ(z)) memberikan luas di sebelah kiri z, yaitu P(X < x). Luas di sebelah kanan adalah 1 − Φ(z), dan luas di antara dua nilai adalah selisih kedua luasnya.

Skor z

z₁ = (32,3 − 32)/6 = 0,05

z₂ = (33,2 − 32)/6 = 0,2

Luas di antara

P = Φ(0,2) − Φ(0,05) = 0,5793 − 0,5199 = 0,05932

Jawaban

P = 0,05932

20.Distribusi normal

Jawaban: x = 75,4 poin

Dari luas kembali ke z: Φ(z) adalah luas di sebelah kiri z. Untuk luas ekor kiri A, cari z dengan Φ(z) = A dalam tabel. Luas ekor kanan A berarti Φ(z) = 1 − A. Luas tengah A di antara −z dan z menyisakan (1 − A)/2 pada setiap ekor, sehingga Φ(z) = (1 + A)/2. Untuk nilai x, pakai x = μ + zσ.

Luas di sebelah kiri

Φ(z) = 0,85

z dari tabel

z ≈ 1,04

Kembali ke satuan semula

x = 65 + 1,04·10 = 75,4 poin

Jawaban

x = 75,4 poin

ExamProblems · examproblems.com/courses/engineering-mathematics