Matematika Teknik: paket kilat

Lembar rumus, langkah-langkah metode utama untuk setiap topik, dan 20 soal latihan, dengan pembahasan lengkap di bagian belakang.

Soal baru Kembali ke mata kuliah

Di jendela cetak, pilih “Simpan sebagai PDF” untuk menyimpan salinan di perangkat Anda.

1Rumus dan metode

Limit

Substitusi langsung: coba x = a dulu; 0/0 berarti sederhanakan
Faktorkan dan coret: xⁿ − aⁿ = (x − a)(xⁿ⁻¹ + a·xⁿ⁻² + … + aⁿ⁻¹)
Sekawan: (√x − √a)(√x + √a) = x − a
Limit di tak hingga: bagi dengan pangkat tertinggi x; derajat yang sama menghasilkan rasio koefisien utama
Limit khusus: lim_x→∞ (1 + a/x)^bx = e^ab
Aturan L'Hôpital: lim f/g = lim f′/g′ (0/0 or ∞/∞)

Turunan

Aturan pangkat: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹
Aturan perkalian: (uv)′ = u′v + uv′
Aturan hasil bagi: (u/v)′ = (u′v − uv′)/v²
Aturan rantai: f(g(x))′ = f′(g(x))·g′(x)
Turunan umum: (eˣ)′ = eˣ, (ln x)′ = 1/x, (sin x)′ = cos x, (cos x)′ = −sin x

Metode

Kenali strukturnya: jumlah, hasil kali, hasil bagi, atau komposisi.
Terapkan aturan pangkat pada setiap pangkat x.
Gunakan aturan hasil kali, hasil bagi, atau rantai bila diperlukan.
Sederhanakan, dan hitung nilainya di titik tersebut jika diminta.

Integral

Aturan pangkat: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) + C
Integral tentu: ∫_a^b f dx = F(b) − F(a)
Integral umum: ∫eˣ dx = eˣ, ∫1/x dx = ln|x|, ∫sin x dx = −cos x
Luas daerah antara kurva: ∫_a^b (f − g) dx

Metode

Tulis ulang integran sebagai jumlah suku-suku sederhana bila memungkinkan.
Terapkan aturan pangkat: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1), dan integral standar untuk e^x, 1/x, sin, dan cos.
Gunakan substitusi saat Anda melihat suatu fungsi bersama turunannya.
Untuk integral tentu, hitung F(b) − F(a).

Bilangan kompleks

Bentuk kartesius: z = a + jb, j² = −1, z̄ = a − jb
Modulus dan argumen: |z| = √(a² + b²), tan θ = b/a (check the quadrant)
Bentuk kutub dan eksponensial: z = r∠θ = r(cos θ + j sin θ) = r·e^jθ
Pembagian: z₁/z₂ = z₁z̄₂/|z₂|²
Hasil kali dan hasil bagi: r₁∠θ₁ · r₂∠θ₂ = r₁r₂∠(θ₁ + θ₂), r₁∠θ₁ / r₂∠θ₂ = (r₁/r₂)∠(θ₁ − θ₂)
De Moivre: (r∠θ)ⁿ = rⁿ∠nθ
Akar ke-n: z_k = R^1/n∠((φ + 360°·k)/n), k = 0 … n − 1
Kuadratik dengan p² < 4q: z = −p/2 ± j√(q − p²/4)

Metode

Tentukan bentuk yang cocok untuk operasinya: kartesius a + jb untuk menjumlahkan dan mengurangkan, kutub r∠θ untuk mengalikan, membagi, pangkat, dan akar.
Kalikan dengan j² = −1; bagi dengan mengalikan pembilang dan penyebut dengan konjugat penyebut.
Ubah dengan r = √(a² + b²) dan θ dari sketsa titik (periksa kuadran), dan kembali dengan a = r cos θ, b = r sin θ.
Untuk pangkat pakai De Moivre, (r∠θ)ⁿ = rⁿ∠nθ; untuk zⁿ = R∠φ daftarkan semua n akar R^1/n∠((φ + 360°k)/n).

Persamaan diferensial

Pertumbuhan/peluruhan eksponensial: dy/dt = ky → y = y₀e^kt
Waktu paruh: k = ln 2 / t_½
Hukum pendinginan Newton: T(t) = T_a + (T₀ − T_a)e^−kt
Faktor integrasi: y′ + p(x)y = q(x): μ = e^{∫p dx}, (μy)′ = μq
Tangki pencampuran: dm/dt = r·c − (r/V)·m

Matriks & determinan

determinan 2×2: det = ad − bc
Invers 2×2: A⁻¹ = (1/det)·[d −b; −c a]
Produk: (AB)_ij = Σ_k A_ikB_kj
Nilai eigen: det(A − λI) = 0
Aturan Cramer: x_i = det(A_i)/det(A)

Vektor: hasil kali titik & silang

Besar: |a| = √(a_x² + a_y² + a_z²)
Vektor satuan: û = a/|a|
Komponen dari sebuah sudut: F_x = F·cos θ, F_y = F·sin θ
Hasil kali titik: a·b = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z = |a||b|cos θ
Proyeksi skalar a pada b: a·b/|b|
Usaha: W = F·d
Hasil kali silang: a × b = (a_yb_z − a_zb_y, a_zb_x − a_xb_z, a_xb_y − a_yb_x)
Luas: jajar genjang |a × b|, segitiga ½|a × b|
Momen terhadap O: M_O = r × F, r = A − O
Volume paralelepipedum: V = |a·(b × c)|

Metode

Tulis setiap vektor dalam komponen; untuk gaya yang diberikan dengan besar dan sudut, gunakan F·cos θ dan F·sin θ.
Untuk panjang dan arah gunakan besar √(x² + y² + z²) dan vektor satuan a/|a|.
Gunakan hasil kali titik untuk sudut, proyeksi, ketegaklurusan, dan usaha: a·b = |a||b|cos θ.
Gunakan hasil kali silang untuk vektor tegak lurus, luas, dan momen: tulis ketiga komponen dengan teliti, jaga urutan a × b.

Peluang

Komplemen: P(not A) = 1 − P(A)
Aturan penjumlahan: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Kejadian saling bebas: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Peluang bersyarat: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Binomial: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Statistika deskriptif

Rata-rata: x̄ = Σx/n
Simpangan baku sampel: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Median: nilai tengah data yang telah diurutkan
Skor z: z = (x − μ)/σ
Distribusi normal: 68% dalam ±1σ, 95% dalam ±2σ

Distribusi normal

Skor z: z = (x − μ)/σ
Di bawah x: P(X < x) = Φ(z)
Di atas x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Di antara: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Persentil: x = μ + z·σ

Metode

Ubah nilainya menjadi skor z: z = (x − μ)/σ.
Cari Φ(z), luas di sebelah kiri z.
Untuk luas di sebelah kanan gunakan 1 − Φ(z); untuk suatu selang kurangkan kedua luas kiri.
Untuk persentil, kerjakan mundur: cari z untuk luasnya, lalu x = μ + z·σ.

2Soal latihan

1.LimitSedang

Cari limit L = lim_x→∞ (√(4x² − 6x) − 2x).

f(x) = √(4x² − 6x) − 2xx → ∞

L =

2.LimitSulit

Cari limit L = lim_x→0 (e^x − 1 − x)/x².

f(x) = (e^x − 1 − x)/x²x → 0

L =

3.TurunanSedang

Misalkan f(x) = (−2x + 1)⁵. Tentukan f′(0).

f(x) = (−2x + 1)⁵x = 0

f′(0) =

4.TurunanSulit

Garis singgung f(x) = x² + 4 di x = 3 memotong sumbu y di y = b. Tentukan b.

f(x) = x² + 4x = 3

b =

5.IntegralSedang

Hitung I = ∫₀² e^2x dx.

f(x) = e^2x[0, 2]

I =

6.IntegralSulit

Tentukan luas A daerah antara parabola y = 1 − x² dan sumbu x.

y = 1 − x²

A =

7.Bilangan kompleksSedang

Diberikan z₁ = 5∠−60° dan z₂ = 2∠−95°, carilah bagian real dari w = z₁/z₂.

z₁ = 5∠−60°z₂ = 2∠−95°

Re(w) =

8.Bilangan kompleksSulit

Tepat satu dari titik A–D adalah akar z⁶ = 64∠60°. Klik titik itu.

w = 64∠60°n = 6

1A (1∠70°)
2B (2∠−70°)
3C (2∠100°)
4D (2∠70°)

9.Persamaan diferensialSedang

Sebuah komponen baja tempa bersuhu 380 °C dibiarkan mendingin di bengkel bersuhu 23 °C. Setelah 51 menit suhunya 100 °C. Benda tersebut mengikuti hukum pendinginan Newton, dT/dt = −k·(T − Tₐ). Berapa lama setelah awal, t, yang diperlukan untuk mencapai 268 °C?

T₀ = 380 °CT_a = 23 °CT(51) = 100 °CT = 268 °C

t = min

10.Persamaan diferensialSulit

Sebuah tangki berisi 400 L air murni. Air garam dengan 0,2 kg garam per liter mengalir masuk dengan laju 2 L/menit, dan larutan yang tercampur rata mengalir keluar dengan laju yang sama. Berapa banyak garam m di dalam tangki setelah 40 menit?

V = 400 Lm₀ = 0 kgc = 0,2 kg/Lr = 2 L/min

m = kg

11.Matriks & determinanSedang

Misalkan C = AB untuk matriks yang ditunjukkan. Tentukan entri c₂₁ (baris 2, kolom 1).

A = [−6 −5; −6 6]B = [−3 4; −2 −3]

c₂₁ =

12.Matriks & determinanSulit

Selesaikan sistem −2x + 3y = 12 dan −5x − 2y = 8. Tentukan x.

−2x + 3y = 12−5x − 2y = 8

x =

13.Vektor: hasil kali titik & silangSedang

Tentukan sudut θ antara vektor a = (−1, −5, 1) dan b = (3, −1, 2), dalam derajat.

a = (−1, −5, 1)b = (3, −1, 2)

θ = °

14.Vektor: hasil kali titik & silangSulit

Sebuah gaya F = (−40, 60, 10) N bekerja di titik A(0, 2, 2). Koordinat dalam meter. Tentukan komponen z M_z dari momen gaya terhadap titik asal O(0, 0, 0).

F = (−40, 60, 10) NA(0, 2, 2) mO(0, 0, 0) m

M_z = N·m

15.PeluangSedang

Dengan berapa cara N sebuah panitia berisi 3 orang dapat dipilih dari kelompok 6 orang? Urutan tidak penting.

n = 6k = 3

N =

16.PeluangSulit

6 komponen diuji, dan masing-masing gagal secara saling bebas dengan peluang 0,2. Berapa peluang P paling banyak satu yang gagal?

n = 6p = 0,2

P =

17.Statistika deskriptifSedang

Tentukan simpangan baku sampel s dari data: 36, 16, 29, 10, 56.

n = 5

s =

18.Statistika deskriptifSulit

Suatu besaran berdistribusi normal dengan rata-rata 170 dan simpangan baku 10. Berapa proporsi P nilai di atas 180?

μ = 170σ = 10x = 180

P =

19.Distribusi normalSedang

X normal dengan rata-rata 12 min dan simpangan baku 1,5 min; Y saling bebas dan normal dengan rata-rata 20 min dan simpangan baku 2 min. Cari peluang P bahwa X + Y lebih dari 30 min. Bulatkan z ke dua desimal.

μ_X = 12, σ_X = 1,5μ_Y = 20, σ_Y = 2X + Y > 30 min

P =

20.Distribusi normalSulit

Diameter lubang D normal dengan rata-rata 25,05 mm dan simpangan baku 0,02 mm. Diameter poros d saling bebas dan normal dengan rata-rata 25 mm dan simpangan baku 0,015 mm. Sebuah poros yang dipilih acak pas bila D − d > 0. Cari peluang P bahwa poros itu pas. Bulatkan z ke dua desimal.

lubang: μ = 25,05 mm, σ = 0,02 mmporos: μ = 25 mm, σ = 0,015 mm

P =

3Larutan

1.Limit

Jawaban: L = −1,5

Limit: coba dulu substitusi langsung. Jika hasilnya 0/0, sederhanakan dulu: faktorkan dan coret faktor yang sama, atau kalikan dengan bentuk sekawan. Untuk x → ∞, bagi pembilang dan penyebut dengan pangkat tertinggi x. Aturan L'Hôpital: jika f/g memberikan 0/0 atau ∞/∞, maka lim f/g = lim f′/g′, dengan menurunkan pembilang dan penyebut secara terpisah (bukan dengan aturan hasil bagi).

Kalikan dengan bentuk sekawan

f(x) = −6x/(√(4x² − 6x) + 2x)

Bagi dengan x

f(x) = −6/(√(4 + (−6)/x) + 2)

Biarkan x → ∞

L = −6/(2 + 2) = −1,5

Jawaban

L = −1,5

2.Limit

Jawaban: L = 0,5

Penerapan pertama

(1·e^x − 1)/(2x) → 0/0

Penerapan kedua

1·e^x/2

Substitusikan x = 0

L = 1·1/2 = 0,5

Jawaban

L = 0,5

3.Turunan

Jawaban: f′(0) = −10

Diferensial: turunan f′(x) adalah kemiringan grafik di x. Aturan pangkat: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹. Aturan perkalian: (uv)′ = u′v + uv′. Aturan rantai: (f(g(x)))′ = f′(g(x))·g′(x). Di mana f′(x) = 0, grafik memiliki garis singgung mendatar: maksimum, minimum, atau titik pelana.

Aturan rantai

f′(x) = 5·(−2x + 1)⁴·(−2)

Substitusikan

f′(0) = 5·1⁴·(−2) = −10

Jawaban

f′(0) = −10

4.Turunan

Jawaban: b = −5

Titik dan kemiringan

f(3) = 13

f′(x) = 2x → f′(3) = 6

Garis singgung di x = 0

b = f(x₀) − f′(x₀)·x₀ = 13 − 6·3 = −5

Jawaban

b = −5

5.Integral

Jawaban: I = 26,8

Integral tentu: ∫ₐᵇ f(x) dx adalah luas bertanda antara grafik dan sumbu x dari a ke b. Cari antiturunan F (dengan F′ = f) dan hitung F(b) − F(a). Aturan pangkat: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1). Luas antara dua kurva adalah ∫(atas − bawah) dx.

Antiturunan

F(x) = e^2x/2

Substitusikan batasnya

I = (e⁴ − 1)/2 = (54,6 − 1)/2 = 26,8

Jawaban

I = 26,8

6.Integral

Jawaban: A = 1,333

Pembuat nol

1 − x² = 0 → x = ±1

Integralkan

A = [1x − x³/3]₋₁¹ = 0,6667 − (−0,6667) = 1,333

Jawaban

A = 1,333

7.Bilangan kompleks

Jawaban: Re(w) = 2,048

Bentuk kutub: z = r∠θ = r(cos θ + j sin θ) = r·e^jθ, dengan r = |z| dan θ = arg z. Kembali ke bentuk kartesius: a = r cos θ, b = r sin θ. Argumen memerlukan kuadran: θ = atan(b/a) hanya jika a > 0; untuk a < 0 tambahkan atau kurangkan 180°. Dalam bentuk kutub perkalian mudah: kalikan modulus dan jumlahkan argumen; untuk pembagian bagi modulus dan kurangkan argumen.

Modulus dan argumen w

|w| = 5 / 2 = 2,5

θ = −60° − (−95)° = 35°

Bentuk kartesius

Re(w) = 2,5·cos(35°) = 2,048

Im(w) = 2,5·sin(35°) = 1,434

Re(w) = 2,048

Jawaban

Re(w) = 2,048

8.Bilangan kompleks

Jawaban: D (2∠70°)

De Moivre dan akar: (r∠θ)ⁿ = rⁿ∠nθ. Persamaan zⁿ = R∠φ memiliki tepat n akar, semuanya bermodulus R^1/n, pada argumen (φ + 360°·k)/n untuk k = 0, 1, …, n − 1: akar-akar itu tersebar merata pada sebuah lingkaran, berjarak 360°/n. Persamaan kuadrat z² + pz + q = 0 dengan p² < 4q memiliki akar kompleks z = −p/2 ± j√(q − p²/4); polinom berkoefisien real selalu memiliki akar kompleks dalam pasangan konjugat a ± jb.

Modulus dan argumen akar-akar

|z| = 2

θ = 10°, 70°, 130°, −170°, −110°, −50°

Titiknya

D = 2∠70°

Jawaban

D (2∠70°)

9.Persamaan diferensial

Jawaban: t = 12,52 min

Persamaan diferensial orde satu: dy/dt = k·y memiliki penyelesaian y = y₀·e^kt (pertumbuhan untuk k > 0, peluruhan untuk k < 0); waktu paruh T memberikan k = ln 2/T. Hukum pendinginan Newton, dT/dt = −k·(T − Tₐ), memberikan T(t) = Tₐ + (T₀ − Tₐ)·e^−kt. Persamaan linear y′ + p(x)·y = q(x) diselesaikan dengan faktor integrasi μ = e^{∫p dx}: (μy)′ = μq, sehingga μy = ∫μq dx + C.

Konstanta pendinginan

k = ln(357/77)/51 = 0,03008 min⁻¹

Waktu untuk mencapai target

t = ln(357/245)/0,03008 = 12,52 min

Jawaban

t = 12,52 min

10.Persamaan diferensial

Jawaban: m = 14,5 kg

Susun persamaannya

dm/dt = 2·0,2 − (2/400)·m = 0,4 − 0,005·m

Selesaikan

Faktor integrasinya e^rt/V; penyelesaiannya mendekati kesetimbangan c·V.

m(t) = 80 + (−80)·e^−t/200

Substitusikan t

m(40) = 80 + (−80)·0,8187 = 14,5 kg

Jawaban

m = 14,5 kg

11.Matriks & determinan

Jawaban: c₂₁ = 6

Matriks: determinan matriks 2×2 adalah ad − bc. Untuk 3×3, ekspansikan sepanjang satu baris: setiap entri dikali determinan matriks 2×2 yang tersisa setelah baris dan kolomnya dihapus, dengan tanda bergantian + − +. Nilai eigen λ memenuhi det(A − λI) = 0; untuk 2×2 itu adalah λ² − (trace)·λ + det = 0.

Baris kali kolom

c₂₁ = (−6)·(−3) + 6·(−2) = 6

Jawaban

c₂₁ = 6

12.Matriks & determinan

Jawaban: x = −2,526

Determinan matriks koefisien

det A = (−2)·(−2) − 3·(−5) = 19

Ganti kolom x

det Aₓ = 12·(−2) − 3·8 = −48

x = −48/19 = −2,526

Jawaban

x = −2,526

y = 2,316

13.Vektor: hasil kali titik & silang

Jawaban: θ = 78,13 °

Perkalian titik: a·b = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z = |a|·|b|·cos θ, sebuah skalar. Perkalian ini memberi sudut antara dua vektor, cos θ = a·b/(|a|·|b|), dan bernilai nol jika keduanya tegak lurus. Proyeksi skalar a pada b adalah a·b/|b|, dan gaya konstan F yang bergerak sejauh perpindahan d melakukan usaha W = F·d.

Hasil kali titik

a·b = (−1)·3 + (−5)·(−1) + 1·2 = 4

Besar vektor

|a| = √((−1)² + (−5)² + 1²) = 5,196

|b| = √(3² + (−1)² + 2²) = 3,742

Sudut

cos θ = 4/(5,196·3,742) = 0,2057

θ = arccos(0,2057) = 78,13°

Jawaban

θ = 78,13°

14.Vektor: hasil kali titik & silang

Jawaban: M_z = 80 N·m

Perkalian silang: a × b = (a_yb_z − a_zb_y, a_zb_x − a_xb_z, a_xb_y − a_yb_x) tegak lurus terhadap kedua vektor, dan |a × b| = |a|·|b|·sin θ adalah luas jajar genjang yang direntang keduanya (segitiganya setengah dari itu). Urutan berpengaruh: b × a = −(a × b). Momen gaya F yang bekerja di titik A terhadap titik O adalah M_O = r × F, dengan r = A − O.

Vektor posisi dari O ke A

r = A − O = (0, 2, 2) − (0, 0, 0) = (0, 2, 2) m

Momen M = r × F

(r × F)_x = r_yF_z − r_zF_y = 2·10 − 2·60 = −100 N·m

(r × F)_y = r_zF_x − r_xF_z = 2·(−40) − 0·10 = −80 N·m

(r × F)_z = r_xF_y − r_yF_x = 0·60 − 2·(−40) = 80 N·m

Komponen yang diminta

M_z = 80 N·m

Jawaban

M_z = 80 N·m

15.Peluang

Jawaban: N = 20

Peluang: dengan hasil yang sama mungkin, P(A) = yang diinginkan/total. Untuk kejadian saling bebas, kalikan: P(A dan B) = P(A)·P(B). Komplemen sering membantu: P(setidaknya satu) = 1 − P(tidak ada). Binomial: dalam n percobaan saling bebas dengan peluang sukses p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Kombinasi

C(6, 3) = (6·5·4)/(3·2·1) = 20

Jawaban

N = 20

16.Peluang

Jawaban: P = 0,6554

Nol dan satu kegagalan

P(X = 0) = 0,8⁶ = 0,2621

P(X = 1) = 6·0,2·0,8⁵ = 0,3932

Jumlahkan

P = 0,2621 + 0,3932 = 0,6554

Jawaban

P = 0,6554

17.Statistika deskriptif

Jawaban: s = 18,08

Statistika deskriptif: rata-rata adalah jumlah dibagi n; median adalah nilai tengah data yang terurut (rata-rata dua nilai tengah jika n genap). Simpangan baku sampel s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Skor z z = (x − μ)/σ menyatakan berapa simpangan baku suatu nilai dari rata-rata.

Rata-rata

x̄ = 147/5 = 29,4

Kuadrat simpangan

Σ(x − x̄)² = 6,6² + (−13,4)² + (−0,4)² + (−19,4)² + 26,6² = 1307

Simpangan baku

s = √(1307/4) = 18,08

Jawaban

s = 18,08

18.Statistika deskriptif

Jawaban: P = 0,1587

Standarkan

z = 1

Tabel normal baku

Φ(1) = 0,8413

P = 1 − 0,8413 = 0,1587

Jawaban

P = 0,1587

19.Distribusi normal

Jawaban: P = 0,7881

Jumlah dan selisih variabel normal: jika X dan Y saling bebas dan normal, maka X + Y dan X − Y juga normal. Rata-rata dijumlahkan atau dikurangkan: E(X ± Y) = μ_X ± μ_Y. Variansi selalu dijumlahkan, juga untuk selisih: Var(X ± Y) = σ_X² + σ_Y², sehingga σ = √(σ_X² + σ_Y²). Simpangan baku tidak pernah dijumlahkan secara langsung. Total n butir yang saling bebas dan berdistribusi sama memiliki rata-rata n·μ dan simpangan baku σ·√n. Lalu standarkan seperti biasa: z = (x − rata-rata)/σ dan baca Φ(z).

Distribusi jumlah

μ = 32 min, σ = √(1,5² + 2²) = 2,5 min

Standarkan

z = (30 − 32)/2,5 = −0,8

Ekor atas

P = 1 − Φ(−0,8) = 1 − 0,2119 = 0,7881

Jawaban

P = 0,7881

20.Distribusi normal

Jawaban: P = 0,9772

Distribusi selisih

μ = 25,05 − 25 = 0,05 mm, σ = 0,025 mm

Standarkan

z = (0 − 0,05)/0,025 = −2

Peluang

P = 1 − Φ(−2) = 0,9772

Jawaban

P = 0,9772

ExamProblems · examproblems.com/courses/engineering-mathematics