Matematika Teknik: paket kilat

Lembar rumus, langkah-langkah metode utama untuk setiap topik, dan 20 soal latihan, dengan pembahasan lengkap di bagian belakang.

Soal baru Kembali ke mata kuliah

Di jendela cetak, pilih “Simpan sebagai PDF” untuk menyimpan salinan di perangkat Anda.

1Rumus dan metode

Limit

Substitusi langsung: coba x = a dulu; 0/0 berarti sederhanakan
Faktorkan dan coret: xⁿ − aⁿ = (x − a)(xⁿ⁻¹ + a·xⁿ⁻² + … + aⁿ⁻¹)
Sekawan: (√x − √a)(√x + √a) = x − a
Limit di tak hingga: bagi dengan pangkat tertinggi x; derajat yang sama menghasilkan rasio koefisien utama
Limit khusus: lim_x→∞ (1 + a/x)^bx = e^ab
Aturan L'Hôpital: lim f/g = lim f′/g′ (0/0 or ∞/∞)

Turunan

Aturan pangkat: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹
Aturan perkalian: (uv)′ = u′v + uv′
Aturan hasil bagi: (u/v)′ = (u′v − uv′)/v²
Aturan rantai: f(g(x))′ = f′(g(x))·g′(x)
Turunan umum: (eˣ)′ = eˣ, (ln x)′ = 1/x, (sin x)′ = cos x, (cos x)′ = −sin x

Metode

Kenali strukturnya: jumlah, hasil kali, hasil bagi, atau komposisi.
Terapkan aturan pangkat pada setiap pangkat x.
Gunakan aturan hasil kali, hasil bagi, atau rantai bila diperlukan.
Sederhanakan, dan hitung nilainya di titik tersebut jika diminta.

Integral

Aturan pangkat: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) + C
Integral tentu: ∫_a^b f dx = F(b) − F(a)
Integral umum: ∫eˣ dx = eˣ, ∫1/x dx = ln|x|, ∫sin x dx = −cos x
Luas daerah antara kurva: ∫_a^b (f − g) dx

Metode

Tulis ulang integran sebagai jumlah suku-suku sederhana bila memungkinkan.
Terapkan aturan pangkat: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1), dan integral standar untuk e^x, 1/x, sin, dan cos.
Gunakan substitusi saat Anda melihat suatu fungsi bersama turunannya.
Untuk integral tentu, hitung F(b) − F(a).

Bilangan kompleks

Bentuk kartesius: z = a + jb, j² = −1, z̄ = a − jb
Modulus dan argumen: |z| = √(a² + b²), tan θ = b/a (check the quadrant)
Bentuk kutub dan eksponensial: z = r∠θ = r(cos θ + j sin θ) = r·e^jθ
Pembagian: z₁/z₂ = z₁z̄₂/|z₂|²
Hasil kali dan hasil bagi: r₁∠θ₁ · r₂∠θ₂ = r₁r₂∠(θ₁ + θ₂), r₁∠θ₁ / r₂∠θ₂ = (r₁/r₂)∠(θ₁ − θ₂)
De Moivre: (r∠θ)ⁿ = rⁿ∠nθ
Akar ke-n: z_k = R^1/n∠((φ + 360°·k)/n), k = 0 … n − 1
Kuadratik dengan p² < 4q: z = −p/2 ± j√(q − p²/4)

Metode

Tentukan bentuk yang cocok untuk operasinya: kartesius a + jb untuk menjumlahkan dan mengurangkan, kutub r∠θ untuk mengalikan, membagi, pangkat, dan akar.
Kalikan dengan j² = −1; bagi dengan mengalikan pembilang dan penyebut dengan konjugat penyebut.
Ubah dengan r = √(a² + b²) dan θ dari sketsa titik (periksa kuadran), dan kembali dengan a = r cos θ, b = r sin θ.
Untuk pangkat pakai De Moivre, (r∠θ)ⁿ = rⁿ∠nθ; untuk zⁿ = R∠φ daftarkan semua n akar R^1/n∠((φ + 360°k)/n).

Persamaan diferensial

Pertumbuhan/peluruhan eksponensial: dy/dt = ky → y = y₀e^kt
Waktu paruh: k = ln 2 / t_½
Hukum pendinginan Newton: T(t) = T_a + (T₀ − T_a)e^−kt
Faktor integrasi: y′ + p(x)y = q(x): μ = e^{∫p dx}, (μy)′ = μq
Tangki pencampuran: dm/dt = r·c − (r/V)·m

Matriks & determinan

determinan 2×2: det = ad − bc
Invers 2×2: A⁻¹ = (1/det)·[d −b; −c a]
Produk: (AB)_ij = Σ_k A_ikB_kj
Nilai eigen: det(A − λI) = 0
Aturan Cramer: x_i = det(A_i)/det(A)

Vektor: hasil kali titik & silang

Besar: |a| = √(a_x² + a_y² + a_z²)
Vektor satuan: û = a/|a|
Komponen dari sebuah sudut: F_x = F·cos θ, F_y = F·sin θ
Hasil kali titik: a·b = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z = |a||b|cos θ
Proyeksi skalar a pada b: a·b/|b|
Usaha: W = F·d
Hasil kali silang: a × b = (a_yb_z − a_zb_y, a_zb_x − a_xb_z, a_xb_y − a_yb_x)
Luas: jajar genjang |a × b|, segitiga ½|a × b|
Momen terhadap O: M_O = r × F, r = A − O
Volume paralelepipedum: V = |a·(b × c)|

Metode

Tulis setiap vektor dalam komponen; untuk gaya yang diberikan dengan besar dan sudut, gunakan F·cos θ dan F·sin θ.
Untuk panjang dan arah gunakan besar √(x² + y² + z²) dan vektor satuan a/|a|.
Gunakan hasil kali titik untuk sudut, proyeksi, ketegaklurusan, dan usaha: a·b = |a||b|cos θ.
Gunakan hasil kali silang untuk vektor tegak lurus, luas, dan momen: tulis ketiga komponen dengan teliti, jaga urutan a × b.

Peluang

Komplemen: P(not A) = 1 − P(A)
Aturan penjumlahan: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Kejadian saling bebas: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Peluang bersyarat: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Binomial: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Statistika deskriptif

Rata-rata: x̄ = Σx/n
Simpangan baku sampel: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Median: nilai tengah data yang telah diurutkan
Skor z: z = (x − μ)/σ
Distribusi normal: 68% dalam ±1σ, 95% dalam ±2σ

Distribusi normal

Skor z: z = (x − μ)/σ
Di bawah x: P(X < x) = Φ(z)
Di atas x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Di antara: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Persentil: x = μ + z·σ

Metode

Ubah nilainya menjadi skor z: z = (x − μ)/σ.
Cari Φ(z), luas di sebelah kiri z.
Untuk luas di sebelah kanan gunakan 1 − Φ(z); untuk suatu selang kurangkan kedua luas kiri.
Untuk persentil, kerjakan mundur: cari z untuk luasnya, lalu x = μ + z·σ.

2Soal latihan

1.LimitSedang

Cari limit L = lim_x→∞ (1 + 3/x)^x. Berikan nilai desimal.

f(x) = (1 + 3/x)^xx → ∞

L =

2.LimitSulit

Cari limit L = lim_x→0 (1 − cos 3x)/(x²), dengan x dalam radian.

f(x) = (1 − cos 3x)/(x²)x → 0

L =

3.TurunanSedang

Misalkan f(x) = x²·e^2x. Tentukan f′(1).

f(x) = x²·e^2xx = 1

f′(1) =

4.TurunanSulit

Garis singgung f(x) = 2x² − 1 di x = −2 memotong sumbu y di y = b. Tentukan b.

f(x) = 2x² − 1x = −2

b =

5.IntegralSedang

Hitung I = ∫₁⁵ x·ln x dx.

∫₁⁵ x ln x dx

I =

6.IntegralSulit

Hitung I = ∫₀² x²·eˣ dx.

∫₀² x²eˣ dx

I =

7.Bilangan kompleksSedang

Tuliskan z = 5∠25° dalam bentuk kartesius a + jb dan berikan bagian imajiner b.

r = 5θ = 25°

b =

8.Bilangan kompleksSulit

Salah satu akar z³ + 6z² + z − 34 = 0 adalah z₁ = −4 + j. Koefisiennya real. Carilah akar real r.

z₁ = −4 + j

r =

9.Persamaan diferensialSedang

Selesaikan y″ + 4y′ + 4y = 0 dengan y(0) = 2 dan y′(0) = -1. Cari y(1).

y″ + 4y′ + 4y = 0y(0) = 2y′(0) = -1

y(1) =

10.Persamaan diferensialSulit

Selesaikan y″ + y′ + 4,25y = 0 dengan y(0) = 1 dan y′(0) = 0 (dilepas dari keadaan diam). Cari y(1,5); sudut dalam radian.

y″ + y′ + 4,25y = 0y(0) = 1y′(0) = 0

y(1.5) =

11.Matriks & determinanSedang

Misalkan C = AB untuk matriks yang ditunjukkan. Tentukan entri c₁₁ (baris 1, kolom 1).

A = [1 2; −5 4]B = [−3 4; −5 −3]

c₁₁ =

12.Matriks & determinanSulit

Selesaikan sistem −x + 5y = 5 dan 5x + 6y = −9. Tentukan x.

−x + 5y = 55x + 6y = −9

x =

13.Vektor: hasil kali titik & silangSedang

Tentukan proyeksi skalar comp_b a dari a = (3, −4, 5) pada b = (−3, 1, 2), yaitu komponen a searah b.

a = (3, −4, 5)b = (−3, 1, 2)

comp_b a =

14.Vektor: hasil kali titik & silangSulit

Tentukan volume V paralelepipedum yang rusuk-rusuknya dari satu titik sudut adalah a = (3, 5, 0), b = (3, 5, −2), dan c = (−4, 1, 4).

a = (3, 5, 0)b = (3, 5, −2)c = (−4, 1, 4)

V =

15.PeluangSedang

Untuk distribusi yang ditunjukkan, cari variansi Var(X) dari X.

x: 1, 2, 3, 4, 5p(x): 0,05, 0,15, 0,2, 0,25, 0,35

Var(X) =

16.PeluangSulit

Sebuah permainan berbiaya €10 untuk dimainkan. Anda memenangkan €20 dengan peluang 0,15 dan €100 dengan peluang 0,02; selain itu Anda tidak memperoleh apa-apa. Taruhan tidak dikembalikan. Cari keuntungan bersih yang diharapkan E(G) per permainan.

taruhan = €10€20: p = 0,15€100: p = 0,02

E(G) = €

17.Statistika deskriptifSedang

Tentukan simpangan baku sampel s dari data: 10, 22, 48, 12, 17, 53, 44.

n = 7

s =

18.Statistika deskriptifSulit

Suatu besaran berdistribusi normal dengan rata-rata 60 dan simpangan baku 8. Berapa proporsi P nilai di atas 63,2?

μ = 60σ = 8x = 63,2

P =

19.Distribusi normalSedang

X normal dengan rata-rata 60 s dan simpangan baku 5 s; Y saling bebas dan normal dengan rata-rata 45 s dan simpangan baku 4 s. Cari peluang P bahwa X + Y lebih dari 95,4 s. Bulatkan z ke dua desimal.

μ_X = 60, σ_X = 5μ_Y = 45, σ_Y = 4X + Y > 95,4 s

P =

20.Distribusi normalSulit

nilai ujian berdistribusi normal dengan rata-rata 65 poin dan simpangan baku 10 poin. Seret batas sehingga 60% teratas yang diarsir berada di sebelah kanannya. Cari batas x.

μ = 65 poinσ = 10 poin60%

x = poin

3Larutan

1.Limit

Jawaban: L = 20,09

Limit: coba dulu substitusi langsung. Jika hasilnya 0/0, sederhanakan dulu: faktorkan dan coret faktor yang sama, atau kalikan dengan bentuk sekawan. Untuk x → ∞, bagi pembilang dan penyebut dengan pangkat tertinggi x. Aturan L'Hôpital: jika f/g memberikan 0/0 atau ∞/∞, maka lim f/g = lim f′/g′, dengan menurunkan pembilang dan penyebut secara terpisah (bukan dengan aturan hasil bagi).

Ambil logaritmanya

ln L = lim_x→∞ x·ln(1 + 3/x)

Hitung nilainya

ln(1 + u)/u → 1 saat u → 0, sehingga x·ln(1 + a/x) → a.

ln L = 1·3 = 3

Batalkan logaritmanya

L = e³ = 20,09

Jawaban

L = 20,09

2.Limit

Jawaban: L = 4,5

Penerapan pertama

3·sin 3x/(2x) → 0/0

Penerapan kedua

9·cos 3x/2

Substitusikan x = 0

L = 9/2 = 4,5

Jawaban

L = 4,5

3.Turunan

Jawaban: f′(1) = 29,56

Diferensial: turunan f′(x) adalah kemiringan grafik di x. Aturan pangkat: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹. Aturan perkalian: (uv)′ = u′v + uv′. Aturan rantai: (f(g(x)))′ = f′(g(x))·g′(x). Di mana f′(x) = 0, grafik memiliki garis singgung mendatar: maksimum, minimum, atau titik pelana.

Aturan perkalian

f′(x) = u′v + uv′ = e^2x·(2x + 2·x²)

Substitusikan

f′(1) = 7,389·(2 + 2) = 29,56

Jawaban

f′(1) = 29,56

4.Turunan

Jawaban: b = −9

Titik dan kemiringan

f(−2) = 7

f′(x) = 4x → f′(−2) = −8

Garis singgung di x = 0

b = f(x₀) − f′(x₀)·x₀ = 7 − (−8)·(−2) = −9

Jawaban

b = −9

5.Integral

Jawaban: I = 14,12

Integrasi parsial: ∫u·dv = u·v − ∫v·du, dari aturan perkalian. Pilih u sebagai faktor yang menjadi lebih sederhana saat diturunkan (pangkat x, atau ln x), dan dv sebagai faktor yang dapat Anda integralkan (eˣ, sin x, cos x, atau x bila u = ln x). Untuk integral tentu, hitung u·v pada kedua batas: ∫ₐᵇ u dv = [u·v]ₐᵇ − ∫ₐᵇ v du. Faktor x² memerlukan dua putaran.

Pilih u dan dv

u = ln x, du = dx/x; dv = x dx, v = x²/2

Antiturunan

∫x ln x dx = (x²/2)ln x − ∫(x/2) dx = (x²/2)ln x − x²/4

Limit

(12,5·ln 5 − 6,25) − (0 − 0,25) = 14,12

Jawaban

I = 14,12

6.Integral

Jawaban: I = 12,78

Putaran pertama

∫x²eˣ dx = x²eˣ − ∫2x eˣ dx

Putaran kedua

∫2x eˣ dx = 2x eˣ − 2eˣ

∫x²eˣ dx = eˣ(x² − 2x + 2)

Limit

7,389·(2) − 1·2 = 12,78

Jawaban

I = 12,78

7.Bilangan kompleks

Jawaban: b = 2,113

Bentuk kutub: z = r∠θ = r(cos θ + j sin θ) = r·e^jθ, dengan r = |z| dan θ = arg z. Kembali ke bentuk kartesius: a = r cos θ, b = r sin θ. Argumen memerlukan kuadran: θ = atan(b/a) hanya jika a > 0; untuk a < 0 tambahkan atau kurangkan 180°. Dalam bentuk kutub perkalian mudah: kalikan modulus dan jumlahkan argumen; untuk pembagian bagi modulus dan kurangkan argumen.

Komponen

a = 5·cos(25°) = 4,532

b = 5·sin(25°) = 2,113

Bentuk kartesius

z = 4,532 + j2,113

b = 2,113

Jawaban

b = 2,113

8.Bilangan kompleks

Jawaban: r = 2

De Moivre dan akar: (r∠θ)ⁿ = rⁿ∠nθ. Persamaan zⁿ = R∠φ memiliki tepat n akar, semuanya bermodulus R^1/n, pada argumen (φ + 360°·k)/n untuk k = 0, 1, …, n − 1: akar-akar itu tersebar merata pada sebuah lingkaran, berjarak 360°/n. Persamaan kuadrat z² + pz + q = 0 dengan p² < 4q memiliki akar kompleks z = −p/2 ± j√(q − p²/4); polinom berkoefisien real selalu memiliki akar kompleks dalam pasangan konjugat a ± jb.

Pasangan konjugat

z₂ = −4 − j

(z − z₁)(z − z₂) = z² − 2·(−4)·z + ((−4)² + 1²) = z² + 8z + 17

Faktorkan kuadratiknya

z³ + 6z² + z − 34 = (z² + 8z + 17)(z − 2)

Akar real

r = 2

Jawaban

r = 2

Periksa dengan jumlah akar: z₁ + z₂ + r = −8 + 2 = −6 = −(6).

9.Persamaan diferensial

Jawaban: y(1) = 0,6767

Persamaan linear orde dua: untuk y″ + b·y′ + c·y = 0 coba y = e^rt: ini memberi persamaan karakteristik r² + b·r + c = 0. Dua akar real r₁ ≠ r₂ memberi y = A·e^r₁t + B·e^r₂t (redaman lebih); akar ganda r memberi y = (A + Bt)·e^rt (redaman kritis); akar kompleks −α ± jω memberi y = e^−αt(A cos ωt + B sin ωt) (redaman kurang, berosilasi). Nilai awal y(0) dan y′(0) menentukan A dan B. Ditulis sebagai y″ + 2ζω_ny′ + ω_n²y = 0, ω_n adalah frekuensi alami dan ζ rasio redaman: ζ < 1 berosilasi. Dengan masukan konstan, y″ + by′ + cy = c·K, penyelesaiannya adalah nilai tunak K ditambah respons bebas.

Akar ganda

(r + 2)² = 0 → r = −2

Konstanta

A = y(0) = 2

y′(0) = B − 2A → B = -1 + 4 = 3

Hitung nilainya

y(1) = (2 + 3·1)·e⁻² = 0,6767

Jawaban

y(1) = 0,6767

10.Persamaan diferensial

Jawaban: y(1.5) = −0,451

Akar kompleks

r = −0,5 ± 2j

Konstanta

A = 1, B = 0,5·1/2 = 0,25

Hitung nilainya

y(1,5) = e^−0,75(1·cos 3 + 0,25·sin 3) = −0,451

Jawaban

y(1,5) = −0,451

11.Matriks & determinan

Jawaban: c₁₁ = −13

Matriks: determinan matriks 2×2 adalah ad − bc. Untuk 3×3, ekspansikan sepanjang satu baris: setiap entri dikali determinan matriks 2×2 yang tersisa setelah baris dan kolomnya dihapus, dengan tanda bergantian + − +. Nilai eigen λ memenuhi det(A − λI) = 0; untuk 2×2 itu adalah λ² − (trace)·λ + det = 0.

Baris kali kolom

c₁₁ = 1·(−3) + 2·(−5) = −13

Jawaban

c₁₁ = −13

12.Matriks & determinan

Jawaban: x = −2,419

Determinan matriks koefisien

det A = (−1)·6 − 5·5 = −31

Ganti kolom x

det Aₓ = 5·6 − 5·(−9) = 75

x = 75/(−31) = −2,419

Jawaban

x = −2,419

y = 0,5161

13.Vektor: hasil kali titik & silang

Jawaban: comp_b a = −0,8018

Dot product: a·b = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z = |a|·|b|·cos θ, a scalar. It gives the angle between two vectors, cos θ = a·b/(|a|·|b|), and it is zero when they are perpendicular. The scalar projection of a onto b is a·b/|b|, and a constant force F moving through a displacement d does work W = F·d.

Hasil kali titik

a·b = 3·(−3) + (−4)·1 + 5·2 = −3

Panjang b

|b| = √((−3)² + 1² + 2²) = 3,742

Proyeksi skalar

comp_b a = a·b/|b| = −3/3,742 = −0,8018

Jawaban

comp_b a = −0,8018

Negatif: a memiliki komponen yang berlawanan arah dengan b.

14.Vektor: hasil kali titik & silang

Jawaban: V = 46

Cross product: a × b = (a_yb_z − a_zb_y, a_zb_x − a_xb_z, a_xb_y − a_yb_x) is perpendicular to both vectors, and |a × b| = |a|·|b|·sin θ is the area of the parallelogram they span (the triangle has half of it). Order matters: b × a = −(a × b). The moment of a force F applied at point A about point O is M_O = r × F, with r = A − O.

Hasil kali silang b × c

(b × c)_x = b_yc_z − b_zc_y = 5·4 − (−2)·1 = 22

(b × c)_y = b_zc_x − b_xc_z = (−2)·(−4) − 3·4 = −4

(b × c)_z = b_xc_y − b_yc_x = 3·1 − 5·(−4) = 23

Hasil kali titik dengan a

a·(b × c) = 3·22 + 5·(−4) + 0·23 = 46

V = |46| = 46

Jawaban

V = 46

15.Peluang

Jawaban: Var(X) = 1,51

Variabel acak diskrit: distribusi peluang mendaftar setiap nilai x yang dapat diambil variabel beserta peluangnya p(x); peluang bernilai antara 0 dan 1 dan jumlahnya 1. Nilai harapan (rata-rata) adalah E(X) = Σx·p(x), rata-rata jangka panjang. Variansi adalah Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², dan simpangan baku σ = √Var(X). Untuk perubahan linear Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) dan σ_Y = |a|·σ_X; menambah konstanta tidak mengubah sebaran.

Rata-rata

μ = 1·0,05 + 2·0,15 + 3·0,2 + 4·0,25 + 5·0,35 = 3,7

Rata-rata kuadrat

E(X²) = 1·0,05 + 4·0,15 + 9·0,2 + 16·0,25 + 25·0,35 = 15,2

Variansi

Var(X) = 15,2 − 3,7² = 1,51

Jawaban

Var(X) = 1,51

16.Peluang

Jawaban: E(G) = −5 €

Hasil bersih

G: 10 (p = 0,15), 90 (p = 0,02), −10 (p = 0,83)

Nilai harapan

E(G) = 10·0,15 + 90·0,02 − 10·0,83 = −5 €

Jawaban

E(G) = −5 €

Nilai negatif berarti rata-rata Anda kehilangan uang.

17.Statistika deskriptif

Jawaban: s = 18,27

Statistika deskriptif: rata-rata adalah jumlah dibagi n; median adalah nilai tengah data yang terurut (rata-rata dua nilai tengah jika n genap). Simpangan baku sampel s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Skor z z = (x − μ)/σ menyatakan berapa simpangan baku suatu nilai dari rata-rata.

Rata-rata

x̄ = 206/7 = 29,43

Kuadrat simpangan

Σ(x − x̄)² = (−19,43)² + (−7,429)² + 18,57² + (−17,43)² + (−12,43)² + 23,57² + 14,57² = 2004

Simpangan baku

s = √(2004/6) = 18,27

Jawaban

s = 18,27

18.Statistika deskriptif

Jawaban: P = 0,3446

Standarkan

z = 0,4

Tabel normal baku

Φ(0,4) = 0,6554

P = 1 − 0,6554 = 0,3446

Jawaban

P = 0,3446

19.Distribusi normal

Jawaban: P = 0,9332

Jumlah dan selisih variabel normal: jika X dan Y saling bebas dan normal, maka X + Y dan X − Y juga normal. Rata-rata dijumlahkan atau dikurangkan: E(X ± Y) = μ_X ± μ_Y. Variansi selalu dijumlahkan, juga untuk selisih: Var(X ± Y) = σ_X² + σ_Y², sehingga σ = √(σ_X² + σ_Y²). Simpangan baku tidak pernah dijumlahkan secara langsung. Total n butir yang saling bebas dan berdistribusi sama memiliki rata-rata n·μ dan simpangan baku σ·√n. Lalu standarkan seperti biasa: z = (x − rata-rata)/σ dan baca Φ(z).

Distribusi jumlah

μ = 105 s, σ = √(5² + 4²) = 6,403 s

Standarkan

z = (95,4 − 105)/6,403 = −1,5

Ekor atas

P = 1 − Φ(−1,5) = 1 − 0,06681 = 0,9332

Jawaban

P = 0,9332

20.Distribusi normal

Jawaban: x = 62,5 poin

Dari luas kembali ke z: Φ(z) adalah luas di sebelah kiri z. Untuk luas ekor kiri A, cari z dengan Φ(z) = A dalam tabel. Luas ekor kanan A berarti Φ(z) = 1 − A. Luas tengah A di antara −z dan z menyisakan (1 − A)/2 pada setiap ekor, sehingga Φ(z) = (1 + A)/2. Untuk nilai x, pakai x = μ + zσ.

Luas di sebelah kiri

Φ(z) = 0,4

z dari tabel

z ≈ −0,25

Kembali ke satuan semula

x = 65 − 0,25·10 = 62,5 poin

Jawaban

x = 62,5 poin

ExamProblems · examproblems.com/courses/engineering-mathematics