Matematika Teknik: paket kilat

Lembar rumus, langkah-langkah metode utama untuk setiap topik, dan 20 soal latihan, dengan pembahasan lengkap di bagian belakang.

Soal baru Kembali ke mata kuliah

Di jendela cetak, pilih “Simpan sebagai PDF” untuk menyimpan salinan di perangkat Anda.

1Rumus dan metode

Limit

Substitusi langsung: coba x = a dulu; 0/0 berarti sederhanakan
Faktorkan dan coret: xⁿ − aⁿ = (x − a)(xⁿ⁻¹ + a·xⁿ⁻² + … + aⁿ⁻¹)
Sekawan: (√x − √a)(√x + √a) = x − a
Limit di tak hingga: bagi dengan pangkat tertinggi x; derajat yang sama menghasilkan rasio koefisien utama
Limit khusus: lim_x→∞ (1 + a/x)^bx = e^ab
Aturan L'Hôpital: lim f/g = lim f′/g′ (0/0 or ∞/∞)

Turunan

Aturan pangkat: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹
Aturan perkalian: (uv)′ = u′v + uv′
Aturan hasil bagi: (u/v)′ = (u′v − uv′)/v²
Aturan rantai: f(g(x))′ = f′(g(x))·g′(x)
Turunan umum: (eˣ)′ = eˣ, (ln x)′ = 1/x, (sin x)′ = cos x, (cos x)′ = −sin x

Metode

Kenali strukturnya: jumlah, hasil kali, hasil bagi, atau komposisi.
Terapkan aturan pangkat pada setiap pangkat x.
Gunakan aturan hasil kali, hasil bagi, atau rantai bila diperlukan.
Sederhanakan, dan hitung nilainya di titik tersebut jika diminta.

Integral

Aturan pangkat: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) + C
Integral tentu: ∫_a^b f dx = F(b) − F(a)
Integral umum: ∫eˣ dx = eˣ, ∫1/x dx = ln|x|, ∫sin x dx = −cos x
Luas daerah antara kurva: ∫_a^b (f − g) dx

Metode

Tulis ulang integran sebagai jumlah suku-suku sederhana bila memungkinkan.
Terapkan aturan pangkat: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1), dan integral standar untuk e^x, 1/x, sin, dan cos.
Gunakan substitusi saat Anda melihat suatu fungsi bersama turunannya.
Untuk integral tentu, hitung F(b) − F(a).

Bilangan kompleks

Bentuk kartesius: z = a + jb, j² = −1, z̄ = a − jb
Modulus dan argumen: |z| = √(a² + b²), tan θ = b/a (check the quadrant)
Bentuk kutub dan eksponensial: z = r∠θ = r(cos θ + j sin θ) = r·e^jθ
Pembagian: z₁/z₂ = z₁z̄₂/|z₂|²
Hasil kali dan hasil bagi: r₁∠θ₁ · r₂∠θ₂ = r₁r₂∠(θ₁ + θ₂), r₁∠θ₁ / r₂∠θ₂ = (r₁/r₂)∠(θ₁ − θ₂)
De Moivre: (r∠θ)ⁿ = rⁿ∠nθ
Akar ke-n: z_k = R^1/n∠((φ + 360°·k)/n), k = 0 … n − 1
Kuadratik dengan p² < 4q: z = −p/2 ± j√(q − p²/4)

Metode

Tentukan bentuk yang cocok untuk operasinya: kartesius a + jb untuk menjumlahkan dan mengurangkan, kutub r∠θ untuk mengalikan, membagi, pangkat, dan akar.
Kalikan dengan j² = −1; bagi dengan mengalikan pembilang dan penyebut dengan konjugat penyebut.
Ubah dengan r = √(a² + b²) dan θ dari sketsa titik (periksa kuadran), dan kembali dengan a = r cos θ, b = r sin θ.
Untuk pangkat pakai De Moivre, (r∠θ)ⁿ = rⁿ∠nθ; untuk zⁿ = R∠φ daftarkan semua n akar R^1/n∠((φ + 360°k)/n).

Persamaan diferensial

Pertumbuhan/peluruhan eksponensial: dy/dt = ky → y = y₀e^kt
Waktu paruh: k = ln 2 / t_½
Hukum pendinginan Newton: T(t) = T_a + (T₀ − T_a)e^−kt
Faktor integrasi: y′ + p(x)y = q(x): μ = e^{∫p dx}, (μy)′ = μq
Tangki pencampuran: dm/dt = r·c − (r/V)·m

Matriks & determinan

determinan 2×2: det = ad − bc
Invers 2×2: A⁻¹ = (1/det)·[d −b; −c a]
Produk: (AB)_ij = Σ_k A_ikB_kj
Nilai eigen: det(A − λI) = 0
Aturan Cramer: x_i = det(A_i)/det(A)

Vektor: hasil kali titik & silang

Besar: |a| = √(a_x² + a_y² + a_z²)
Vektor satuan: û = a/|a|
Komponen dari sebuah sudut: F_x = F·cos θ, F_y = F·sin θ
Hasil kali titik: a·b = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z = |a||b|cos θ
Proyeksi skalar a pada b: a·b/|b|
Usaha: W = F·d
Hasil kali silang: a × b = (a_yb_z − a_zb_y, a_zb_x − a_xb_z, a_xb_y − a_yb_x)
Luas: jajar genjang |a × b|, segitiga ½|a × b|
Momen terhadap O: M_O = r × F, r = A − O
Volume paralelepipedum: V = |a·(b × c)|

Metode

Tulis setiap vektor dalam komponen; untuk gaya yang diberikan dengan besar dan sudut, gunakan F·cos θ dan F·sin θ.
Untuk panjang dan arah gunakan besar √(x² + y² + z²) dan vektor satuan a/|a|.
Gunakan hasil kali titik untuk sudut, proyeksi, ketegaklurusan, dan usaha: a·b = |a||b|cos θ.
Gunakan hasil kali silang untuk vektor tegak lurus, luas, dan momen: tulis ketiga komponen dengan teliti, jaga urutan a × b.

Peluang

Komplemen: P(not A) = 1 − P(A)
Aturan penjumlahan: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Kejadian saling bebas: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Peluang bersyarat: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Binomial: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Statistika deskriptif

Rata-rata: x̄ = Σx/n
Simpangan baku sampel: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Median: nilai tengah data yang telah diurutkan
Skor z: z = (x − μ)/σ
Distribusi normal: 68% dalam ±1σ, 95% dalam ±2σ

Distribusi normal

Skor z: z = (x − μ)/σ
Di bawah x: P(X < x) = Φ(z)
Di atas x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Di antara: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Persentil: x = μ + z·σ

Metode

Ubah nilainya menjadi skor z: z = (x − μ)/σ.
Cari Φ(z), luas di sebelah kiri z.
Untuk luas di sebelah kanan gunakan 1 − Φ(z); untuk suatu selang kurangkan kedua luas kiri.
Untuk persentil, kerjakan mundur: cari z untuk luasnya, lalu x = μ + z·σ.

2Soal latihan

1.LimitSedang

Cari limit L = lim_x→∞ (−5x³ + 2x + 8)/(5x³ + 5x + 4).

f(x) = (−5x³ + 2x + 8)/(5x³ + 5x + 4)x → ∞

L =

2.LimitSulit

Cari limit L = lim_x→0 (1 − cos 2x)/(3x²), dengan x dalam radian.

f(x) = (1 − cos 2x)/(3x²)x → 0

L =

3.TurunanSedang

Misalkan f(x) = x²·e^−0,5x. Tentukan f′(1,5).

f(x) = x²·e^−0,5xx = 1,5

f′(1.5) =

4.TurunanSulit

Misalkan f(x) = x³ − 12x² + 45x. Tentukan koordinat x x dari minimum lokal.

f(x) = x³ − 12x² + 45x

x =

5.IntegralSedang

Hitung I = ∫₀³ e^−x dx.

f(x) = e^−x[0, 3]

I =

6.IntegralSulit

Tentukan luas A daerah antara parabola y = 9 − x² dan sumbu x.

y = 9 − x²

A =

7.Bilangan kompleksSedang

Tuliskan z = 2,5∠110° dalam bentuk kartesius a + jb dan berikan bagian real a.

r = 2,5θ = 110°

a =

8.Bilangan kompleksSulit

Akar-akar zⁿ = w dengan n = 5 dan w = 32∠−60° adalah z_k = R^1/n∠((φ + 360°·k)/n), k = 0, 1, …, 4. Carilah argumen z₃ dalam derajat, di antara −180° dan 180°.

w = 32∠−60°n = 5k = 3

θ₃ = °

9.Persamaan diferensialSedang

Sekaleng minuman soda bersuhu 6 °C dikeluarkan dari lemari es ke ruangan bersuhu 25 °C. Setelah 11 menit suhunya 17 °C. Benda tersebut mengikuti hukum pendinginan Newton, dT/dt = −k·(T − Tₐ). Cari konstanta k dalam min⁻¹.

T₀ = 6 °CT_a = 25 °CT(11) = 17 °C

k = min⁻¹

10.Persamaan diferensialSulit

Selesaikan y′ + y = 7e^−3t dengan y(0) = 2. Cari y(1,5).

y′ + y = 7e^−3ty(0) = 2

y(1.5) =

11.Matriks & determinanSedang

Misalkan C = AB untuk matriks yang ditunjukkan. Tentukan entri c₂₁ (baris 2, kolom 1).

A = [4 3; −3 −2]B = [5 3; 1 −2]

c₂₁ =

12.Matriks & determinanSulit

Selesaikan sistem −6x − 6y = 10 dan −2x + 3y = −6. Tentukan x.

−6x − 6y = 10−2x + 3y = −6

x =

13.Vektor: hasil kali titik & silangSedang

Tentukan sudut θ antara vektor a = (0, 3, −6) dan b = (−5, 3, −1), dalam derajat.

a = (0, 3, −6)b = (−5, 3, −1)

θ = °

14.Vektor: hasil kali titik & silangSulit

Vektor satuan n̂ tegak lurus terhadap a = (5, −3, −1) dan b = (−5, 2, 4) serta memiliki komponen z positif. Tentukan komponen y n̂_y.

a = (5, −3, −1)b = (−5, 2, 4)n̂_z > 0

n̂_y =

15.PeluangSedang

Untuk distribusi yang ditunjukkan, cari simpangan baku σ dari X.

x: 0, 1, 2p(x): 0,3, 0,35, 0,35

σ =

16.PeluangSulit

Sebuah permainan berbiaya €10 untuk dimainkan. Anda memenangkan €30 dengan peluang 0,2 dan €500 dengan peluang 0,05; selain itu Anda tidak memperoleh apa-apa. Taruhan tidak dikembalikan. Cari keuntungan bersih yang diharapkan E(G) per permainan.

taruhan = €10€30: p = 0,2€500: p = 0,05

E(G) = €

17.Statistika deskriptifSedang

Tentukan simpangan baku sampel s dari data: 46, 14, 35, 31, 39, 56, 55.

n = 7

s =

18.Statistika deskriptifSulit

Nilai ujian berdistribusi normal dengan rata-rata 50 dan simpangan baku 20. Tentukan skor z z untuk nilai 75.

μ = 50σ = 20x = 75

z =

19.Distribusi normalSedang

Data tinggi badan pria dewasa berdistribusi normal dengan rata-rata 178 cm dan simpangan baku 7 cm. Berapa proporsi yang berada di antara 172,4 dan 183,95 cm? Nyatakan P dalam bentuk desimal.

μ = 178σ = 7x₁ = 172,4x₂ = 183,95

P =

20.Distribusi normalSulit

Tinggi badan X pria dan Y wanita dalam suatu kelompok saling bebas dan normal: X memiliki rata-rata 180 cm dan simpangan baku 10 cm, Y memiliki rata-rata 170 cm dan simpangan baku 12 cm. Cari peluang P bahwa X lebih besar dari Y. Bulatkan z ke dua desimal.

μ_X = 180 cm, σ_X = 10 cmμ_Y = 170 cm, σ_Y = 12 cm

P =

3Larutan

1.Limit

Jawaban: L = −1

Limit: coba dulu substitusi langsung. Jika hasilnya 0/0, sederhanakan dulu: faktorkan dan coret faktor yang sama, atau kalikan dengan bentuk sekawan. Untuk x → ∞, bagi pembilang dan penyebut dengan pangkat tertinggi x. Aturan L'Hôpital: jika f/g memberikan 0/0 atau ∞/∞, maka lim f/g = lim f′/g′, dengan menurunkan pembilang dan penyebut secara terpisah (bukan dengan aturan hasil bagi).

Bagi dengan pangkat tertinggi

(−5 + 2/x² + 8/x³)/(5 + 5/x² + 4/x³)

Biarkan x → ∞

L = −5/5 = −1

Jawaban

L = −1

Untuk derajat yang sama, limitnya adalah rasio koefisien utama.

2.Limit

Jawaban: L = 0,6667

Penerapan pertama

2·sin 2x/(6x) → 0/0

Penerapan kedua

4·cos 2x/6

Substitusikan x = 0

L = 4/6 = 0,6667

Jawaban

L = 0,6667

3.Turunan

Jawaban: f′(1.5) = 0,8857

Diferensial: turunan f′(x) adalah kemiringan grafik di x. Aturan pangkat: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹. Aturan perkalian: (uv)′ = u′v + uv′. Aturan rantai: (f(g(x)))′ = f′(g(x))·g′(x). Di mana f′(x) = 0, grafik memiliki garis singgung mendatar: maksimum, minimum, atau titik pelana.

Aturan perkalian

f′(x) = u′v + uv′ = e^−0,5x·(2x + (−0,5)·x²)

Substitusikan

f′(1,5) = 0,4724·(3 + (−1,125)) = 0,8857

Jawaban

f′(1,5) = 0,8857

4.Turunan

Jawaban: x = 5

Turunan

f′(x) = 3x² − 24x + 45 = 3·(x² − 8x + 15)

Selesaikan f′(x) = 0

x = 3 atau x = 5

Mana yang mana

f″(x) = 6x − 24: negatif di maksimum, positif di minimum.

f″(3) = −6, f″(5) = 6

x = 5

Jawaban

x = 5

5.Integral

Jawaban: I = 0,9502

Integral tentu: ∫ₐᵇ f(x) dx adalah luas bertanda antara grafik dan sumbu x dari a ke b. Cari antiturunan F (dengan F′ = f) dan hitung F(b) − F(a). Aturan pangkat: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1). Luas antara dua kurva adalah ∫(atas − bawah) dx.

Antiturunan

F(x) = e^−x/(−1)

Substitusikan batasnya

I = (e⁻³ − 1)/(−1) = (0,04979 − 1)/(−1) = 0,9502

Jawaban

I = 0,9502

6.Integral

Jawaban: A = 36

Pembuat nol

9 − x² = 0 → x = ±3

Integralkan

A = [9x − x³/3]₋₃³ = 18 − (−18) = 36

Jawaban

A = 36

7.Bilangan kompleks

Jawaban: a = −0,8551

Bentuk kutub: z = r∠θ = r(cos θ + j sin θ) = r·e^jθ, dengan r = |z| dan θ = arg z. Kembali ke bentuk kartesius: a = r cos θ, b = r sin θ. Argumen memerlukan kuadran: θ = atan(b/a) hanya jika a > 0; untuk a < 0 tambahkan atau kurangkan 180°. Dalam bentuk kutub perkalian mudah: kalikan modulus dan jumlahkan argumen; untuk pembagian bagi modulus dan kurangkan argumen.

Komponen

a = 2,5·cos(110°) = −0,8551

b = 2,5·sin(110°) = 2,349

Bentuk kartesius

z = −0,8551 + j2,349

a = −0,8551

Jawaban

a = −0,8551

8.Bilangan kompleks

Jawaban: θ₃ = −156 °

De Moivre dan akar: (r∠θ)ⁿ = rⁿ∠nθ. Persamaan zⁿ = R∠φ memiliki tepat n akar, semuanya bermodulus R^1/n, pada argumen (φ + 360°·k)/n untuk k = 0, 1, …, n − 1: akar-akar itu tersebar merata pada sebuah lingkaran, berjarak 360°/n. Persamaan kuadrat z² + pz + q = 0 dengan p² < 4q memiliki akar kompleks z = −p/2 ± j√(q − p²/4); polinom berkoefisien real selalu memiliki akar kompleks dalam pasangan konjugat a ± jb.

Modulus akar-akar

32^1/5 = 2

Argumen akar

θ₃ = (−60° + 360°·3)/5 = 204° → −156°

Argumen

θ₃ = −156°

Jawaban

θ₃ = −156°

5 akar itu terletak pada lingkaran berjari-jari 2, dengan jarak sudut 72°.

9.Persamaan diferensial

Jawaban: k = 0,07864 min⁻¹

Persamaan diferensial orde satu: dy/dt = k·y memiliki penyelesaian y = y₀·e^kt (pertumbuhan untuk k > 0, peluruhan untuk k < 0); waktu paruh T memberikan k = ln 2/T. Hukum pendinginan Newton, dT/dt = −k·(T − Tₐ), memberikan T(t) = Tₐ + (T₀ − Tₐ)·e^−kt. Persamaan linear y′ + p(x)·y = q(x) diselesaikan dengan faktor integrasi μ = e^{∫p dx}: (μy)′ = μq, sehingga μy = ∫μq dx + C.

Rasio selisih suhu

e^−11k = -8/-19

Selesaikan untuk k

k = ln(-19/-8)/11 = 0,07864 min⁻¹

Jawaban

k = 0,07864 min⁻¹

10.Persamaan diferensial

Jawaban: y(1.5) = 1,188

Faktor integrasi

μ = e^t

(e^ty)′ = 7e^−2t

Penyelesaian umum

y = 7/(−2)·e^−3t + C·e^−t = −3,5·e^−3t + C·e^−t

Kondisi awal

2 = −3,5 + C → C = 5,5

Hitung nilainya

y(1,5) = −3,5·0,01111 + 5,5·0,2231 = 1,188

Jawaban

y(1,5) = 1,188

11.Matriks & determinan

Jawaban: c₂₁ = −17

Matriks: determinan matriks 2×2 adalah ad − bc. Untuk 3×3, ekspansikan sepanjang satu baris: setiap entri dikali determinan matriks 2×2 yang tersisa setelah baris dan kolomnya dihapus, dengan tanda bergantian + − +. Nilai eigen λ memenuhi det(A − λI) = 0; untuk 2×2 itu adalah λ² − (trace)·λ + det = 0.

Baris kali kolom

c₂₁ = (−3)·5 + (−2)·1 = −17

Jawaban

c₂₁ = −17

12.Matriks & determinan

Jawaban: x = 0,2

Determinan matriks koefisien

det A = (−6)·3 − (−6)·(−2) = −30

Ganti kolom x

det Aₓ = 10·3 − (−6)·(−6) = −6

x = −6/(−30) = 0,2

Jawaban

x = 0,2

y = −1,867

13.Vektor: hasil kali titik & silang

Jawaban: θ = 67,79 °

Perkalian titik: a·b = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z = |a|·|b|·cos θ, sebuah skalar. Perkalian ini memberi sudut antara dua vektor, cos θ = a·b/(|a|·|b|), dan bernilai nol jika keduanya tegak lurus. Proyeksi skalar a pada b adalah a·b/|b|, dan gaya konstan F yang bergerak sejauh perpindahan d melakukan usaha W = F·d.

Hasil kali titik

a·b = 0·(−5) + 3·3 + (−6)·(−1) = 15

Besar vektor

|a| = √(0² + 3² + (−6)²) = 6,708

|b| = √((−5)² + 3² + (−1)²) = 5,916

Sudut

cos θ = 15/(6,708·5,916) = 0,378

θ = arccos(0,378) = 67,79°

Jawaban

θ = 67,79°

14.Vektor: hasil kali titik & silang

Jawaban: n̂_y = 0,8018

Perkalian silang: a × b = (a_yb_z − a_zb_y, a_zb_x − a_xb_z, a_xb_y − a_yb_x) tegak lurus terhadap kedua vektor, dan |a × b| = |a|·|b|·sin θ adalah luas jajar genjang yang direntang keduanya (segitiganya setengah dari itu). Urutan berpengaruh: b × a = −(a × b). Momen gaya F yang bekerja di titik A terhadap titik O adalah M_O = r × F, dengan r = A − O.

Hasil kali silang

(a × b)_x = a_yb_z − a_zb_y = (−3)·4 − (−1)·2 = −10

(a × b)_y = a_zb_x − a_xb_z = (−1)·(−5) − 5·4 = −15

(a × b)_z = a_xb_y − a_yb_x = 5·2 − (−3)·(−5) = −5

Normalkan

Komponen z dari a × b negatif, jadi gunakan −(a × b).

|a × b| = √((−10)² + (−15)² + (−5)²) = 18,71

n̂ = −(−10, −15, −5)/18,71 = (0,5345, 0,8018, 0,2673)

n̂_y = 0,8018

Jawaban

n̂_y = 0,8018

15.Peluang

Jawaban: σ = 0,8047

Variabel acak diskrit: distribusi peluang mendaftar setiap nilai x yang dapat diambil variabel beserta peluangnya p(x); peluang bernilai antara 0 dan 1 dan jumlahnya 1. Nilai harapan (rata-rata) adalah E(X) = Σx·p(x), rata-rata jangka panjang. Variansi adalah Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², dan simpangan baku σ = √Var(X). Untuk perubahan linear Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) dan σ_Y = |a|·σ_X; menambah konstanta tidak mengubah sebaran.

Rata-rata

μ = 0·0,3 + 1·0,35 + 2·0,35 = 1,05

Rata-rata kuadrat

E(X²) = 0·0,3 + 1·0,35 + 4·0,35 = 1,75

Variansi

Var(X) = 1,75 − 1,05² = 0,6475

σ = √0,6475 = 0,8047

Jawaban

σ = 0,8047

16.Peluang

Jawaban: E(G) = 21 €

Hasil bersih

G: 20 (p = 0,2), 490 (p = 0,05), −10 (p = 0,75)

Nilai harapan

E(G) = 20·0,2 + 490·0,05 − 10·0,75 = 21 €

Jawaban

E(G) = 21 €

Nilai positif berarti rata-rata Anda memperoleh uang.

17.Statistika deskriptif

Jawaban: s = 14,71

Statistika deskriptif: rata-rata adalah jumlah dibagi n; median adalah nilai tengah data yang terurut (rata-rata dua nilai tengah jika n genap). Simpangan baku sampel s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Skor z z = (x − μ)/σ menyatakan berapa simpangan baku suatu nilai dari rata-rata.

Rata-rata

x̄ = 276/7 = 39,43

Kuadrat simpangan

Σ(x − x̄)² = 6,571² + (−25,43)² + (−4,429)² + (−8,429)² + (−0,4286)² + 16,57² + 15,57² = 1298

Simpangan baku

s = √(1298/6) = 14,71

Jawaban

s = 14,71

18.Statistika deskriptif

Jawaban: z = 1,25

Standarkan

z = (75 − 50)/20 = 1,25

Jawaban

z = 1,25

19.Distribusi normal

Jawaban: P = 0,5905

Distribusi normal: ubah nilai x menjadi skor z, z = (x − μ)/σ, yang menghitung berapa simpangan baku dari rata-rata. Tabel z (atau Φ(z)) memberikan luas di sebelah kiri z, yaitu P(X < x). Luas di sebelah kanan adalah 1 − Φ(z), dan luas di antara dua nilai adalah selisih kedua luasnya.

Skor z

z₁ = (172,4 − 178)/7 = −0,8

z₂ = (183,95 − 178)/7 = 0,85

Luas di antara

P = Φ(0,85) − Φ(−0,8) = 0,8023 − 0,2119 = 0,5905

Jawaban

P = 0,5905

20.Distribusi normal

Jawaban: P = 0,7389

Jumlah dan selisih variabel normal: jika X dan Y saling bebas dan normal, maka X + Y dan X − Y juga normal. Rata-rata dijumlahkan atau dikurangkan: E(X ± Y) = μ_X ± μ_Y. Variansi selalu dijumlahkan, juga untuk selisih: Var(X ± Y) = σ_X² + σ_Y², sehingga σ = √(σ_X² + σ_Y²). Simpangan baku tidak pernah dijumlahkan secara langsung. Total n butir yang saling bebas dan berdistribusi sama memiliki rata-rata n·μ dan simpangan baku σ·√n. Lalu standarkan seperti biasa: z = (x − rata-rata)/σ dan baca Φ(z).

Distribusi selisih

μ = 180 − 170 = 10 cm, σ = 15,62 cm

Standarkan

z = (0 − 10)/15,62 = −0,64

Peluang

P = 1 − Φ(−0,64) = 0,7389

Jawaban

P = 0,7389

ExamProblems · examproblems.com/courses/engineering-mathematics