Lembar rumus, langkah-langkah metode utama untuk setiap topik, dan 20 soal latihan, dengan pembahasan lengkap di bagian belakang.
Cari limit L = limx→∞ (√(9x2 + 2x) − 3x).
Cari limit L = limx→0 (e−0,5x − 1 + 0,5x)/x².
Misalkan f(x) = (−2x − 3)4. Tentukan f′(2).
Misalkan f(x) = x3 + 4,5x2 − 6. Tentukan koordinat x x dari maksimum lokal.
Daerah di bawah y = x dari x = 0 sampai x = 4 diputar mengelilingi sumbu x. Cari volume V benda padat itu (sebuah kerucut).
Tentukan luas A daerah antara parabola y = 1 − x² dan sumbu x.
Carilah argumen θ dari z = 4 − j9 dalam derajat, sebagai nilai pokok di antara −180° dan 180°.
Akar-akar zⁿ = w dengan n = 5 dan w = 243∠0° adalah zk = R1/n∠((φ + 360°·k)/n), k = 0, 1, …, 4. Carilah bagian real dari z₃.
Secangkir kopi bersuhu 92 °C dibiarkan di ruangan bersuhu 19 °C. Setelah 17 menit suhunya 30 °C. Benda tersebut mengikuti hukum pendinginan Newton, dT/dt = −k·(T − Tₐ). Berapa lama setelah awal, t, yang diperlukan untuk mencapai 25 °C?
Selesaikan y′ + y = 9e−0,5t dengan y(0) = 5. Cari y(1).
Tentukan determinan det A dari matriks 3×3 A yang ditunjukkan.
Tentukan nilai eigen yang lebih besar λ dari matriks A yang ditunjukkan.
Gaya konstan F = (10, −15, −30) N bekerja pada sebuah benda yang bergerak lurus dari titik A(−5, −3, 5) ke titik B(−2, −4, −1). Koordinat dalam meter. Tentukan usaha W yang dilakukan gaya itu.
Vektor satuan n̂ tegak lurus terhadap a = (4, −3, 1) dan b = (3, 2, −3) serta memiliki komponen z positif. Tentukan komponen x n̂x.
Sebuah dadu adil dilempar 2 kali. Berapa peluang P mendapatkan setidaknya satu angka enam?
Sebuah permainan berbiaya €2 untuk dimainkan. Anda memenangkan €4 dengan peluang 0,2 dan €20 dengan peluang 0,01; selain itu Anda tidak memperoleh apa-apa. Taruhan tidak dikembalikan. Cari keuntungan bersih yang diharapkan E(G) per permainan.
Tentukan simpangan baku sampel s dari data: 51, 60, 24, 58, 34, 32.
Suatu besaran berdistribusi normal dengan rata-rata 100 dan simpangan baku 5. Berapa proporsi P nilai di bawah 95?
Massa penumpang dengan bagasi saling bebas dan normal dengan rata-rata 85 kg dan simpangan baku 12 kg. Cari peluang P bahwa massa total 8 di antaranya melebihi 713,9 kg. Bulatkan z ke dua desimal.
Waktu putaran pelari A, X, dan waktu putaran pelari B, Y saling bebas dan normal: X memiliki rata-rata 52 s dan simpangan baku 4 s, Y memiliki rata-rata 48 s dan simpangan baku 3 s. Cari peluang P bahwa X lebih besar dari Y. Bulatkan z ke dua desimal.
Jawaban: L = 0,3333
Limit: coba dulu substitusi langsung. Jika hasilnya 0/0, sederhanakan dulu: faktorkan dan coret faktor yang sama, atau kalikan dengan bentuk sekawan. Untuk x → ∞, bagi pembilang dan penyebut dengan pangkat tertinggi x. Aturan L'Hôpital: jika f/g memberikan 0/0 atau ∞/∞, maka lim f/g = lim f′/g′, dengan menurunkan pembilang dan penyebut secara terpisah (bukan dengan aturan hasil bagi).
Jawaban: L = 0,125
Limit: coba dulu substitusi langsung. Jika hasilnya 0/0, sederhanakan dulu: faktorkan dan coret faktor yang sama, atau kalikan dengan bentuk sekawan. Untuk x → ∞, bagi pembilang dan penyebut dengan pangkat tertinggi x. Aturan L'Hôpital: jika f/g memberikan 0/0 atau ∞/∞, maka lim f/g = lim f′/g′, dengan menurunkan pembilang dan penyebut secara terpisah (bukan dengan aturan hasil bagi).
Jawaban: f′(2) = 2744
Diferensial: turunan f′(x) adalah kemiringan grafik di x. Aturan pangkat: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹. Aturan perkalian: (uv)′ = u′v + uv′. Aturan rantai: (f(g(x)))′ = f′(g(x))·g′(x). Di mana f′(x) = 0, grafik memiliki garis singgung mendatar: maksimum, minimum, atau titik pelana.
Jawaban: x = −3
Diferensial: turunan f′(x) adalah kemiringan grafik di x. Aturan pangkat: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹. Aturan perkalian: (uv)′ = u′v + uv′. Aturan rantai: (f(g(x)))′ = f′(g(x))·g′(x). Di mana f′(x) = 0, grafik memiliki garis singgung mendatar: maksimum, minimum, atau titik pelana.
f″(x) = 6x + 9: negatif di maksimum, positif di minimum.
Jawaban: V = 67,02
Volume benda putar: memutar daerah di bawah y = f(x) dari x = a sampai x = b mengelilingi sumbu x menghasilkan benda padat yang penampangnya di x berupa cakram berjari-jari f(x). Menjumlahkan cakram-cakram itu memberi V = π∫ₐᵇ f(x)² dx. Bila daerah terletak di antara kurva luar R(x) dan kurva dalam r(x), setiap irisan berupa cincin (washer): V = π∫ₐᵇ (R(x)² − r(x)²) dx. Kuadratkan jari-jari sebelum Anda menguranginya.
Periksa: kerucut berjari-jari 4 dan tinggi 4 memiliki (1/3)πr²h = 67,02.
Jawaban: A = 1,333
Integral tentu: ∫ₐᵇ f(x) dx adalah luas bertanda antara grafik dan sumbu x dari a ke b. Cari antiturunan F (dengan F′ = f) dan hitung F(b) − F(a). Aturan pangkat: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1). Luas antara dua kurva adalah ∫(atas − bawah) dx.
Jawaban: θ = −66,04 °
Bentuk kutub: z = r∠θ = r(cos θ + j sin θ) = r·ejθ, dengan r = |z| dan θ = arg z. Kembali ke bentuk kartesius: a = r cos θ, b = r sin θ. Argumen memerlukan kuadran: θ = atan(b/a) hanya jika a > 0; untuk a < 0 tambahkan atau kurangkan 180°. Dalam bentuk kutub perkalian mudah: kalikan modulus dan jumlahkan argumen; untuk pembagian bagi modulus dan kurangkan argumen.
Dalam bentuk kutub z = 9,849∠−66,04°.
Jawaban: Re(z₃) = −2,427
De Moivre dan akar: (r∠θ)ⁿ = rⁿ∠nθ. Persamaan zⁿ = R∠φ memiliki tepat n akar, semuanya bermodulus R1/n, pada argumen (φ + 360°·k)/n untuk k = 0, 1, …, n − 1: akar-akar itu tersebar merata pada sebuah lingkaran, berjarak 360°/n. Persamaan kuadrat z² + pz + q = 0 dengan p² < 4q memiliki akar kompleks z = −p/2 ± j√(q − p²/4); polinom berkoefisien real selalu memiliki akar kompleks dalam pasangan konjugat a ± jb.
5 akar itu terletak pada lingkaran berjari-jari 3, dengan jarak sudut 72°.
Jawaban: t = 22,44 min
Persamaan diferensial orde satu: dy/dt = k·y memiliki penyelesaian y = y₀·ekt (pertumbuhan untuk k > 0, peluruhan untuk k < 0); waktu paruh T memberikan k = ln 2/T. Hukum pendinginan Newton, dT/dt = −k·(T − Tₐ), memberikan T(t) = Tₐ + (T₀ − Tₐ)·e−kt. Persamaan linear y′ + p(x)·y = q(x) diselesaikan dengan faktor integrasi μ = e∫p dx: (μy)′ = μq, sehingga μy = ∫μq dx + C.
Jawaban: y(1) = 6,135
Persamaan diferensial orde satu: dy/dt = k·y memiliki penyelesaian y = y₀·ekt (pertumbuhan untuk k > 0, peluruhan untuk k < 0); waktu paruh T memberikan k = ln 2/T. Hukum pendinginan Newton, dT/dt = −k·(T − Tₐ), memberikan T(t) = Tₐ + (T₀ − Tₐ)·e−kt. Persamaan linear y′ + p(x)·y = q(x) diselesaikan dengan faktor integrasi μ = e∫p dx: (μy)′ = μq, sehingga μy = ∫μq dx + C.
Jawaban: det A = −38
Matriks: determinan matriks 2×2 adalah ad − bc. Untuk 3×3, ekspansikan sepanjang satu baris: setiap entri dikali determinan matriks 2×2 yang tersisa setelah baris dan kolomnya dihapus, dengan tanda bergantian + − +. Nilai eigen λ memenuhi det(A − λI) = 0; untuk 2×2 itu adalah λ² − (trace)·λ + det = 0.
Jawaban: λ = 5
Matriks: determinan matriks 2×2 adalah ad − bc. Untuk 3×3, ekspansikan sepanjang satu baris: setiap entri dikali determinan matriks 2×2 yang tersisa setelah baris dan kolomnya dihapus, dengan tanda bergantian + − +. Nilai eigen λ memenuhi det(A − λI) = 0; untuk 2×2 itu adalah λ² − (trace)·λ + det = 0.
Jawaban: W = 225 J
Perkalian titik: a·b = axbx + ayby + azbz = |a|·|b|·cos θ, sebuah skalar. Perkalian ini memberi sudut antara dua vektor, cos θ = a·b/(|a|·|b|), dan bernilai nol jika keduanya tegak lurus. Proyeksi skalar a pada b adalah a·b/|b|, dan gaya konstan F yang bergerak sejauh perpindahan d melakukan usaha W = F·d.
Jawaban: n̂x = 0,295
Perkalian silang: a × b = (aybz − azby, azbx − axbz, axby − aybx) tegak lurus terhadap kedua vektor, dan |a × b| = |a|·|b|·sin θ adalah luas jajar genjang yang direntang keduanya (segitiganya setengah dari itu). Urutan berpengaruh: b × a = −(a × b). Momen gaya F yang bekerja di titik A terhadap titik O adalah MO = r × F, dengan r = A − O.
Komponen z dari a × b sudah positif.
Jawaban: P = 0,3056
Peluang: dengan hasil yang sama mungkin, P(A) = yang diinginkan/total. Untuk kejadian saling bebas, kalikan: P(A dan B) = P(A)·P(B). Komplemen sering membantu: P(setidaknya satu) = 1 − P(tidak ada). Binomial: dalam n percobaan saling bebas dengan peluang sukses p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.
Jawaban: E(G) = −1 €
Variabel acak diskrit: distribusi peluang mendaftar setiap nilai x yang dapat diambil variabel beserta peluangnya p(x); peluang bernilai antara 0 dan 1 dan jumlahnya 1. Nilai harapan (rata-rata) adalah E(X) = Σx·p(x), rata-rata jangka panjang. Variansi adalah Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², dan simpangan baku σ = √Var(X). Untuk perubahan linear Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) dan σY = |a|·σX; menambah konstanta tidak mengubah sebaran.
Nilai negatif berarti rata-rata Anda kehilangan uang.
Jawaban: s = 15,11
Statistika deskriptif: rata-rata adalah jumlah dibagi n; median adalah nilai tengah data yang terurut (rata-rata dua nilai tengah jika n genap). Simpangan baku sampel s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Skor z z = (x − μ)/σ menyatakan berapa simpangan baku suatu nilai dari rata-rata.
Jawaban: P = 0,1587
Statistika deskriptif: rata-rata adalah jumlah dibagi n; median adalah nilai tengah data yang terurut (rata-rata dua nilai tengah jika n genap). Simpangan baku sampel s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Skor z z = (x − μ)/σ menyatakan berapa simpangan baku suatu nilai dari rata-rata.
Jawaban: P = 0,1587
Jumlah dan selisih variabel normal: jika X dan Y saling bebas dan normal, maka X + Y dan X − Y juga normal. Rata-rata dijumlahkan atau dikurangkan: E(X ± Y) = μX ± μY. Variansi selalu dijumlahkan, juga untuk selisih: Var(X ± Y) = σX² + σY², sehingga σ = √(σX² + σY²). Simpangan baku tidak pernah dijumlahkan secara langsung. Total n butir yang saling bebas dan berdistribusi sama memiliki rata-rata n·μ dan simpangan baku σ·√n. Lalu standarkan seperti biasa: z = (x − rata-rata)/σ dan baca Φ(z).
Jawaban: P = 0,7881
Jumlah dan selisih variabel normal: jika X dan Y saling bebas dan normal, maka X + Y dan X − Y juga normal. Rata-rata dijumlahkan atau dikurangkan: E(X ± Y) = μX ± μY. Variansi selalu dijumlahkan, juga untuk selisih: Var(X ± Y) = σX² + σY², sehingga σ = √(σX² + σY²). Simpangan baku tidak pernah dijumlahkan secara langsung. Total n butir yang saling bebas dan berdistribusi sama memiliki rata-rata n·μ dan simpangan baku σ·√n. Lalu standarkan seperti biasa: z = (x − rata-rata)/σ dan baca Φ(z).
ExamProblems · examproblems.com/courses/engineering-mathematics