Matematika Teknik: paket kilat

Lembar rumus, langkah-langkah metode utama untuk setiap topik, dan 20 soal latihan, dengan pembahasan lengkap di bagian belakang.

Soal baru Kembali ke mata kuliah

Di jendela cetak, pilih “Simpan sebagai PDF” untuk menyimpan salinan di perangkat Anda.

1Rumus dan metode

Limit

Substitusi langsung: coba x = a dulu; 0/0 berarti sederhanakan
Faktorkan dan coret: xⁿ − aⁿ = (x − a)(xⁿ⁻¹ + a·xⁿ⁻² + … + aⁿ⁻¹)
Sekawan: (√x − √a)(√x + √a) = x − a
Limit di tak hingga: bagi dengan pangkat tertinggi x; derajat yang sama menghasilkan rasio koefisien utama
Limit khusus: lim_x→∞ (1 + a/x)^bx = e^ab
Aturan L'Hôpital: lim f/g = lim f′/g′ (0/0 or ∞/∞)

Turunan

Aturan pangkat: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹
Aturan perkalian: (uv)′ = u′v + uv′
Aturan hasil bagi: (u/v)′ = (u′v − uv′)/v²
Aturan rantai: f(g(x))′ = f′(g(x))·g′(x)
Turunan umum: (eˣ)′ = eˣ, (ln x)′ = 1/x, (sin x)′ = cos x, (cos x)′ = −sin x

Metode

Kenali strukturnya: jumlah, hasil kali, hasil bagi, atau komposisi.
Terapkan aturan pangkat pada setiap pangkat x.
Gunakan aturan hasil kali, hasil bagi, atau rantai bila diperlukan.
Sederhanakan, dan hitung nilainya di titik tersebut jika diminta.

Integral

Aturan pangkat: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) + C
Integral tentu: ∫_a^b f dx = F(b) − F(a)
Integral umum: ∫eˣ dx = eˣ, ∫1/x dx = ln|x|, ∫sin x dx = −cos x
Luas daerah antara kurva: ∫_a^b (f − g) dx

Metode

Tulis ulang integran sebagai jumlah suku-suku sederhana bila memungkinkan.
Terapkan aturan pangkat: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1), dan integral standar untuk e^x, 1/x, sin, dan cos.
Gunakan substitusi saat Anda melihat suatu fungsi bersama turunannya.
Untuk integral tentu, hitung F(b) − F(a).

Bilangan kompleks

Bentuk kartesius: z = a + jb, j² = −1, z̄ = a − jb
Modulus dan argumen: |z| = √(a² + b²), tan θ = b/a (check the quadrant)
Bentuk kutub dan eksponensial: z = r∠θ = r(cos θ + j sin θ) = r·e^jθ
Pembagian: z₁/z₂ = z₁z̄₂/|z₂|²
Hasil kali dan hasil bagi: r₁∠θ₁ · r₂∠θ₂ = r₁r₂∠(θ₁ + θ₂), r₁∠θ₁ / r₂∠θ₂ = (r₁/r₂)∠(θ₁ − θ₂)
De Moivre: (r∠θ)ⁿ = rⁿ∠nθ
Akar ke-n: z_k = R^1/n∠((φ + 360°·k)/n), k = 0 … n − 1
Kuadratik dengan p² < 4q: z = −p/2 ± j√(q − p²/4)

Metode

Tentukan bentuk yang cocok untuk operasinya: kartesius a + jb untuk menjumlahkan dan mengurangkan, kutub r∠θ untuk mengalikan, membagi, pangkat, dan akar.
Kalikan dengan j² = −1; bagi dengan mengalikan pembilang dan penyebut dengan konjugat penyebut.
Ubah dengan r = √(a² + b²) dan θ dari sketsa titik (periksa kuadran), dan kembali dengan a = r cos θ, b = r sin θ.
Untuk pangkat pakai De Moivre, (r∠θ)ⁿ = rⁿ∠nθ; untuk zⁿ = R∠φ daftarkan semua n akar R^1/n∠((φ + 360°k)/n).

Persamaan diferensial

Pertumbuhan/peluruhan eksponensial: dy/dt = ky → y = y₀e^kt
Waktu paruh: k = ln 2 / t_½
Hukum pendinginan Newton: T(t) = T_a + (T₀ − T_a)e^−kt
Faktor integrasi: y′ + p(x)y = q(x): μ = e^{∫p dx}, (μy)′ = μq
Tangki pencampuran: dm/dt = r·c − (r/V)·m

Matriks & determinan

determinan 2×2: det = ad − bc
Invers 2×2: A⁻¹ = (1/det)·[d −b; −c a]
Produk: (AB)_ij = Σ_k A_ikB_kj
Nilai eigen: det(A − λI) = 0
Aturan Cramer: x_i = det(A_i)/det(A)

Vektor: hasil kali titik & silang

Besar: |a| = √(a_x² + a_y² + a_z²)
Vektor satuan: û = a/|a|
Komponen dari sebuah sudut: F_x = F·cos θ, F_y = F·sin θ
Hasil kali titik: a·b = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z = |a||b|cos θ
Proyeksi skalar a pada b: a·b/|b|
Usaha: W = F·d
Hasil kali silang: a × b = (a_yb_z − a_zb_y, a_zb_x − a_xb_z, a_xb_y − a_yb_x)
Luas: jajar genjang |a × b|, segitiga ½|a × b|
Momen terhadap O: M_O = r × F, r = A − O
Volume paralelepipedum: V = |a·(b × c)|

Metode

Tulis setiap vektor dalam komponen; untuk gaya yang diberikan dengan besar dan sudut, gunakan F·cos θ dan F·sin θ.
Untuk panjang dan arah gunakan besar √(x² + y² + z²) dan vektor satuan a/|a|.
Gunakan hasil kali titik untuk sudut, proyeksi, ketegaklurusan, dan usaha: a·b = |a||b|cos θ.
Gunakan hasil kali silang untuk vektor tegak lurus, luas, dan momen: tulis ketiga komponen dengan teliti, jaga urutan a × b.

Peluang

Komplemen: P(not A) = 1 − P(A)
Aturan penjumlahan: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Kejadian saling bebas: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Peluang bersyarat: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Binomial: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Statistika deskriptif

Rata-rata: x̄ = Σx/n
Simpangan baku sampel: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Median: nilai tengah data yang telah diurutkan
Skor z: z = (x − μ)/σ
Distribusi normal: 68% dalam ±1σ, 95% dalam ±2σ

Distribusi normal

Skor z: z = (x − μ)/σ
Di bawah x: P(X < x) = Φ(z)
Di atas x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Di antara: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Persentil: x = μ + z·σ

Metode

Ubah nilainya menjadi skor z: z = (x − μ)/σ.
Cari Φ(z), luas di sebelah kiri z.
Untuk luas di sebelah kanan gunakan 1 − Φ(z); untuk suatu selang kurangkan kedua luas kiri.
Untuk persentil, kerjakan mundur: cari z untuk luasnya, lalu x = μ + z·σ.

2Soal latihan

1.LimitSedang

Cari limit L = lim_x→∞ (−x³ + 2x − 4)/(5x³ + 6x + 7).

f(x) = (−x³ + 2x − 4)/(5x³ + 6x + 7)x → ∞

L =

2.LimitSulit

Cari limit L = lim_x→0 (1 − cos 3x)/(4x²), dengan x dalam radian.

f(x) = (1 − cos 3x)/(4x²)x → 0

L =

3.TurunanSedang

Misalkan f(x) = x²·e^−x. Tentukan f′(0,5).

f(x) = x²·e^−xx = 0,5

f′(0.5) =

4.TurunanSulit

Garis singgung f(x) = −x² − 5x − 6 di x = 1 memotong sumbu y di y = b. Tentukan b.

f(x) = −x² − 5x − 6x = 1

b =

5.IntegralSedang

Hitung I = ∫₁^1,5 x·ln x dx.

∫₁^1,5 x ln x dx

I =

6.IntegralSulit

Hitung I = ∫₀³ x²·eˣ dx.

∫₀³ x²eˣ dx

I =

7.Bilangan kompleksSedang

Bilangan z = 4·e^j2,8 memiliki sudut dalam radian. Carilah bagian realnya a.

r = 4θ = 2,8 rad

a =

8.Bilangan kompleksSulit

Salah satu akar z³ − 7z² + 20z − 24 = 0 adalah z₁ = 2 + j2. Koefisiennya real. Carilah akar real r.

z₁ = 2 + j2

r =

9.Persamaan diferensialSedang

Sebuah komponen baja tempa bersuhu 360 °C dibiarkan mendingin di bengkel bersuhu 29 °C. Setelah 12 menit suhunya 211 °C. Benda tersebut mengikuti hukum pendinginan Newton, dT/dt = −k·(T − Tₐ). Cari konstanta k dalam min⁻¹.

T₀ = 360 °CT_a = 29 °CT(12) = 211 °C

k = min⁻¹

10.Persamaan diferensialSulit

Sebuah tangki berisi 400 L air murni. Air garam dengan 0,25 kg garam per liter mengalir masuk dengan laju 10 L/menit, dan larutan yang tercampur rata mengalir keluar dengan laju yang sama. Berapa banyak garam m di dalam tangki setelah 80 menit?

V = 400 Lm₀ = 0 kgc = 0,25 kg/Lr = 10 L/min

m = kg

11.Matriks & determinanSedang

Misalkan C = AB untuk matriks yang ditunjukkan. Tentukan entri c₂₁ (baris 2, kolom 1).

A = [1 6; 2 6]B = [−4 −3; −2 −3]

c₂₁ =

12.Matriks & determinanSulit

Selesaikan sistem 2x + 4y = −8 dan 6x − y = −5. Tentukan x.

2x + 4y = −86x − y = −5

x =

13.Vektor: hasil kali titik & silangSedang

Tentukan sudut θ antara vektor a = (2, −3, 0) dan b = (−5, 2, 4), dalam derajat.

a = (2, −3, 0)b = (−5, 2, 4)

θ = °

14.Vektor: hasil kali titik & silangSulit

Vektor satuan n̂ tegak lurus terhadap a = (−1, −4, 2) dan b = (5, 1, −2) serta memiliki komponen z positif. Tentukan komponen x n̂_x.

a = (−1, −4, 2)b = (5, 1, −2)n̂_z > 0

n̂_x =

15.PeluangSedang

Untuk distribusi yang ditunjukkan, cari variansi Var(X) dari X.

x: 1, 2, 3, 4p(x): 0,35, 0,25, 0,3, 0,1

Var(X) =

16.PeluangSulit

X memiliki distribusi yang ditunjukkan, dan Y = 2X + 4. Cari simpangan baku σ_Y dari Y.

x: 0, 2, 4, 6p(x): 0,2, 0,35, 0,15, 0,3Y = 2X + 4

σ_Y =

17.Statistika deskriptifSedang

Tentukan simpangan baku sampel s dari data: 46, 38, 35, 53, 41.

n = 5

s =

18.Statistika deskriptifSulit

Nilai ujian berdistribusi normal dengan rata-rata 60 dan simpangan baku 20. Tentukan skor z z untuk nilai 72.

μ = 60σ = 20x = 72

z =

19.Distribusi normalSedang

Massa penumpang dengan bagasi saling bebas dan normal dengan rata-rata 85 kg dan simpangan baku 12 kg. Cari peluang P bahwa massa total 5 di antaranya melebihi 478,7 kg. Bulatkan z ke dua desimal.

μ = 85 kgσ = 12 kgn = 5> 478,7 kg

P =

20.Distribusi normalSulit

Data berat kantong berdistribusi normal dengan rata-rata 250 g dan simpangan baku 5 g. Tentukan nilai x yang di bawahnya terdapat 80% data (persentil ke-80).

μ = 250σ = 5P = 80%

x = g

3Larutan

1.Limit

Jawaban: L = −0,2

Limit: coba dulu substitusi langsung. Jika hasilnya 0/0, sederhanakan dulu: faktorkan dan coret faktor yang sama, atau kalikan dengan bentuk sekawan. Untuk x → ∞, bagi pembilang dan penyebut dengan pangkat tertinggi x. Aturan L'Hôpital: jika f/g memberikan 0/0 atau ∞/∞, maka lim f/g = lim f′/g′, dengan menurunkan pembilang dan penyebut secara terpisah (bukan dengan aturan hasil bagi).

Bagi dengan pangkat tertinggi

(−1 + 2/x² + (−4)/x³)/(5 + 6/x² + 7/x³)

Biarkan x → ∞

L = −1/5 = −0,2

Jawaban

L = −0,2

Untuk derajat yang sama, limitnya adalah rasio koefisien utama.

2.Limit

Jawaban: L = 1,125

Penerapan pertama

3·sin 3x/(8x) → 0/0

Penerapan kedua

9·cos 3x/8

Substitusikan x = 0

L = 9/8 = 1,125

Jawaban

L = 1,125

3.Turunan

Jawaban: f′(0.5) = 0,4549

Diferensial: turunan f′(x) adalah kemiringan grafik di x. Aturan pangkat: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹. Aturan perkalian: (uv)′ = u′v + uv′. Aturan rantai: (f(g(x)))′ = f′(g(x))·g′(x). Di mana f′(x) = 0, grafik memiliki garis singgung mendatar: maksimum, minimum, atau titik pelana.

Aturan perkalian

f′(x) = u′v + uv′ = e^−x·(2x + (−1)·x²)

Substitusikan

f′(0,5) = 0,6065·(1 + (−0,25)) = 0,4549

Jawaban

f′(0,5) = 0,4549

4.Turunan

Jawaban: b = −5

Titik dan kemiringan

f(1) = −12

f′(x) = −2x − 5 → f′(1) = −7

Garis singgung di x = 0

b = f(x₀) − f′(x₀)·x₀ = −12 − (−7)·1 = −5

Jawaban

b = −5

5.Integral

Jawaban: I = 0,1436

Integrasi parsial: ∫u·dv = u·v − ∫v·du, dari aturan perkalian. Pilih u sebagai faktor yang menjadi lebih sederhana saat diturunkan (pangkat x, atau ln x), dan dv sebagai faktor yang dapat Anda integralkan (eˣ, sin x, cos x, atau x bila u = ln x). Untuk integral tentu, hitung u·v pada kedua batas: ∫ₐᵇ u dv = [u·v]ₐᵇ − ∫ₐᵇ v du. Faktor x² memerlukan dua putaran.

Pilih u dan dv

u = ln x, du = dx/x; dv = x dx, v = x²/2

Antiturunan

∫x ln x dx = (x²/2)ln x − ∫(x/2) dx = (x²/2)ln x − x²/4

Limit

(1,125·ln 1,5 − 0,5625) − (0 − 0,25) = 0,1436

Jawaban

I = 0,1436

6.Integral

Jawaban: I = 98,43

Putaran pertama

∫x²eˣ dx = x²eˣ − ∫2x eˣ dx

Putaran kedua

∫2x eˣ dx = 2x eˣ − 2eˣ

∫x²eˣ dx = eˣ(x² − 2x + 2)

Limit

20,09·(5) − 1·2 = 98,43

Jawaban

I = 98,43

7.Bilangan kompleks

Jawaban: a = −3,769

Bentuk kutub: z = r∠θ = r(cos θ + j sin θ) = r·e^jθ, dengan r = |z| dan θ = arg z. Kembali ke bentuk kartesius: a = r cos θ, b = r sin θ. Argumen memerlukan kuadran: θ = atan(b/a) hanya jika a > 0; untuk a < 0 tambahkan atau kurangkan 180°. Dalam bentuk kutub perkalian mudah: kalikan modulus dan jumlahkan argumen; untuk pembagian bagi modulus dan kurangkan argumen.

Rumus Euler

z = 4·(cos 2,8 + j sin 2,8)

Komponen (radian)

a = 4·cos 2,8 = −3,769

b = 4·sin 2,8 = 1,34

a = −3,769

Jawaban

a = −3,769

8.Bilangan kompleks

Jawaban: r = 3

De Moivre dan akar: (r∠θ)ⁿ = rⁿ∠nθ. Persamaan zⁿ = R∠φ memiliki tepat n akar, semuanya bermodulus R^1/n, pada argumen (φ + 360°·k)/n untuk k = 0, 1, …, n − 1: akar-akar itu tersebar merata pada sebuah lingkaran, berjarak 360°/n. Persamaan kuadrat z² + pz + q = 0 dengan p² < 4q memiliki akar kompleks z = −p/2 ± j√(q − p²/4); polinom berkoefisien real selalu memiliki akar kompleks dalam pasangan konjugat a ± jb.

Pasangan konjugat

z₂ = 2 − j2

(z − z₁)(z − z₂) = z² − 2·2·z + (2² + 2²) = z² − 4z + 8

Faktorkan kuadratiknya

z³ − 7z² + 20z − 24 = (z² − 4z + 8)(z − 3)

Akar real

r = 3

Jawaban

r = 3

Periksa dengan jumlah akar: z₁ + z₂ + r = 4 + 3 = 7 = −(−7).

9.Persamaan diferensial

Jawaban: k = 0,04984 min⁻¹

Persamaan diferensial orde satu: dy/dt = k·y memiliki penyelesaian y = y₀·e^kt (pertumbuhan untuk k > 0, peluruhan untuk k < 0); waktu paruh T memberikan k = ln 2/T. Hukum pendinginan Newton, dT/dt = −k·(T − Tₐ), memberikan T(t) = Tₐ + (T₀ − Tₐ)·e^−kt. Persamaan linear y′ + p(x)·y = q(x) diselesaikan dengan faktor integrasi μ = e^{∫p dx}: (μy)′ = μq, sehingga μy = ∫μq dx + C.

Rasio selisih suhu

e^−12k = 182/331

Selesaikan untuk k

k = ln(331/182)/12 = 0,04984 min⁻¹

Jawaban

k = 0,04984 min⁻¹

10.Persamaan diferensial

Jawaban: m = 86,47 kg

Susun persamaannya

dm/dt = 10·0,25 − (10/400)·m = 2,5 − 0,025·m

Selesaikan

Faktor integrasinya e^rt/V; penyelesaiannya mendekati kesetimbangan c·V.

m(t) = 100 + (−100)·e^−t/40

Substitusikan t

m(80) = 100 + (−100)·0,1353 = 86,47 kg

Jawaban

m = 86,47 kg

11.Matriks & determinan

Jawaban: c₂₁ = −20

Matriks: determinan matriks 2×2 adalah ad − bc. Untuk 3×3, ekspansikan sepanjang satu baris: setiap entri dikali determinan matriks 2×2 yang tersisa setelah baris dan kolomnya dihapus, dengan tanda bergantian + − +. Nilai eigen λ memenuhi det(A − λI) = 0; untuk 2×2 itu adalah λ² − (trace)·λ + det = 0.

Baris kali kolom

c₂₁ = 2·(−4) + 6·(−2) = −20

Jawaban

c₂₁ = −20

12.Matriks & determinan

Jawaban: x = −1,077

Determinan matriks koefisien

det A = 2·(−1) − 4·6 = −26

Ganti kolom x

det Aₓ = (−8)·(−1) − 4·(−5) = 28

x = 28/(−26) = −1,077

Jawaban

x = −1,077

y = −1,462

13.Vektor: hasil kali titik & silang

Jawaban: θ = 131,4 °

Perkalian titik: a·b = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z = |a|·|b|·cos θ, sebuah skalar. Perkalian ini memberi sudut antara dua vektor, cos θ = a·b/(|a|·|b|), dan bernilai nol jika keduanya tegak lurus. Proyeksi skalar a pada b adalah a·b/|b|, dan gaya konstan F yang bergerak sejauh perpindahan d melakukan usaha W = F·d.

Hasil kali titik

a·b = 2·(−5) + (−3)·2 + 0·4 = −16

Besar vektor

|a| = √(2² + (−3)² + 0²) = 3,606

|b| = √((−5)² + 2² + 4²) = 6,708

Sudut

cos θ = −16/(3,606·6,708) = −0,6615

θ = arccos(−0,6615) = 131,4°

Jawaban

θ = 131,4°

14.Vektor: hasil kali titik & silang

Jawaban: n̂_x = 0,2794

Perkalian silang: a × b = (a_yb_z − a_zb_y, a_zb_x − a_xb_z, a_xb_y − a_yb_x) tegak lurus terhadap kedua vektor, dan |a × b| = |a|·|b|·sin θ adalah luas jajar genjang yang direntang keduanya (segitiganya setengah dari itu). Urutan berpengaruh: b × a = −(a × b). Momen gaya F yang bekerja di titik A terhadap titik O adalah M_O = r × F, dengan r = A − O.

Hasil kali silang

(a × b)_x = a_yb_z − a_zb_y = (−4)·(−2) − 2·1 = 6

(a × b)_y = a_zb_x − a_xb_z = 2·5 − (−1)·(−2) = 8

(a × b)_z = a_xb_y − a_yb_x = (−1)·1 − (−4)·5 = 19

Normalkan

Komponen z dari a × b sudah positif.

|a × b| = √(6² + 8² + 19²) = 21,47

n̂ = (6, 8, 19)/21,47 = (0,2794, 0,3726, 0,8849)

n̂_x = 0,2794

Jawaban

n̂_x = 0,2794

15.Peluang

Jawaban: Var(X) = 1,028

Variabel acak diskrit: distribusi peluang mendaftar setiap nilai x yang dapat diambil variabel beserta peluangnya p(x); peluang bernilai antara 0 dan 1 dan jumlahnya 1. Nilai harapan (rata-rata) adalah E(X) = Σx·p(x), rata-rata jangka panjang. Variansi adalah Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², dan simpangan baku σ = √Var(X). Untuk perubahan linear Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) dan σ_Y = |a|·σ_X; menambah konstanta tidak mengubah sebaran.

Rata-rata

μ = 1·0,35 + 2·0,25 + 3·0,3 + 4·0,1 = 2,15

Rata-rata kuadrat

E(X²) = 1·0,35 + 4·0,25 + 9·0,3 + 16·0,1 = 5,65

Variansi

Var(X) = 5,65 − 2,15² = 1,028

Jawaban

Var(X) = 1,028

16.Peluang

Jawaban: σ_Y = 4,468

Sebaran X

μ = 3,1, Var(X) = 4,99, σ_X = 2,234

Perubahan linear

σ_Y = |2|·2,234 = 4,468

Jawaban

σ_Y = 4,468

Rata-ratanya memang bergeser: E(Y) = 2·3,1 + 4 = 10,2.

17.Statistika deskriptif

Jawaban: s = 7,092

Statistika deskriptif: rata-rata adalah jumlah dibagi n; median adalah nilai tengah data yang terurut (rata-rata dua nilai tengah jika n genap). Simpangan baku sampel s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Skor z z = (x − μ)/σ menyatakan berapa simpangan baku suatu nilai dari rata-rata.

Rata-rata

x̄ = 213/5 = 42,6

Kuadrat simpangan

Σ(x − x̄)² = 3,4² + (−4,6)² + (−7,6)² + 10,4² + (−1,6)² = 201,2

Simpangan baku

s = √(201,2/4) = 7,092

Jawaban

s = 7,092

18.Statistika deskriptif

Jawaban: z = 0,6

Standarkan

z = (72 − 60)/20 = 0,6

Jawaban

z = 0,6

19.Distribusi normal

Jawaban: P = 0,02275

Jumlah dan selisih variabel normal: jika X dan Y saling bebas dan normal, maka X + Y dan X − Y juga normal. Rata-rata dijumlahkan atau dikurangkan: E(X ± Y) = μ_X ± μ_Y. Variansi selalu dijumlahkan, juga untuk selisih: Var(X ± Y) = σ_X² + σ_Y², sehingga σ = √(σ_X² + σ_Y²). Simpangan baku tidak pernah dijumlahkan secara langsung. Total n butir yang saling bebas dan berdistribusi sama memiliki rata-rata n·μ dan simpangan baku σ·√n. Lalu standarkan seperti biasa: z = (x − rata-rata)/σ dan baca Φ(z).

Distribusi total

μ_T = 425 kg, σ_T = 12·√5 = 26,83 kg

Standarkan

z = (478,7 − 425)/26,83 = 2

Peluang

P = 1 − Φ(2) = 0,02275

Jawaban

P = 0,02275

20.Distribusi normal

Jawaban: x = 254,2 g

Distribusi normal: ubah nilai x menjadi skor z, z = (x − μ)/σ, yang menghitung berapa simpangan baku dari rata-rata. Tabel z (atau Φ(z)) memberikan luas di sebelah kiri z, yaitu P(X < x). Luas di sebelah kanan adalah 1 − Φ(z), dan luas di antara dua nilai adalah selisih kedua luasnya.

z untuk persentil

Φ(z) = 0,8 → z = 0,8416

Kembali ke x

x = 250 + 0,8416·5 = 254,21 g

Jawaban

x = 254,21 g

ExamProblems · examproblems.com/courses/engineering-mathematics