Matematika Teknik: paket kilat

Lembar rumus, langkah-langkah metode utama untuk setiap topik, dan 20 soal latihan, dengan pembahasan lengkap di bagian belakang.

Soal baru Kembali ke mata kuliah

Di jendela cetak, pilih “Simpan sebagai PDF” untuk menyimpan salinan di perangkat Anda.

1Rumus dan metode

Limit

Substitusi langsung: coba x = a dulu; 0/0 berarti sederhanakan
Faktorkan dan coret: xⁿ − aⁿ = (x − a)(xⁿ⁻¹ + a·xⁿ⁻² + … + aⁿ⁻¹)
Sekawan: (√x − √a)(√x + √a) = x − a
Limit di tak hingga: bagi dengan pangkat tertinggi x; derajat yang sama menghasilkan rasio koefisien utama
Limit khusus: lim_x→∞ (1 + a/x)^bx = e^ab
Aturan L'Hôpital: lim f/g = lim f′/g′ (0/0 or ∞/∞)

Turunan

Aturan pangkat: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹
Aturan perkalian: (uv)′ = u′v + uv′
Aturan hasil bagi: (u/v)′ = (u′v − uv′)/v²
Aturan rantai: f(g(x))′ = f′(g(x))·g′(x)
Turunan umum: (eˣ)′ = eˣ, (ln x)′ = 1/x, (sin x)′ = cos x, (cos x)′ = −sin x

Metode

Kenali strukturnya: jumlah, hasil kali, hasil bagi, atau komposisi.
Terapkan aturan pangkat pada setiap pangkat x.
Gunakan aturan hasil kali, hasil bagi, atau rantai bila diperlukan.
Sederhanakan, dan hitung nilainya di titik tersebut jika diminta.

Integral

Aturan pangkat: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) + C
Integral tentu: ∫_a^b f dx = F(b) − F(a)
Integral umum: ∫eˣ dx = eˣ, ∫1/x dx = ln|x|, ∫sin x dx = −cos x
Luas daerah antara kurva: ∫_a^b (f − g) dx

Metode

Tulis ulang integran sebagai jumlah suku-suku sederhana bila memungkinkan.
Terapkan aturan pangkat: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1), dan integral standar untuk e^x, 1/x, sin, dan cos.
Gunakan substitusi saat Anda melihat suatu fungsi bersama turunannya.
Untuk integral tentu, hitung F(b) − F(a).

Bilangan kompleks

Bentuk kartesius: z = a + jb, j² = −1, z̄ = a − jb
Modulus dan argumen: |z| = √(a² + b²), tan θ = b/a (check the quadrant)
Bentuk kutub dan eksponensial: z = r∠θ = r(cos θ + j sin θ) = r·e^jθ
Pembagian: z₁/z₂ = z₁z̄₂/|z₂|²
Hasil kali dan hasil bagi: r₁∠θ₁ · r₂∠θ₂ = r₁r₂∠(θ₁ + θ₂), r₁∠θ₁ / r₂∠θ₂ = (r₁/r₂)∠(θ₁ − θ₂)
De Moivre: (r∠θ)ⁿ = rⁿ∠nθ
Akar ke-n: z_k = R^1/n∠((φ + 360°·k)/n), k = 0 … n − 1
Kuadratik dengan p² < 4q: z = −p/2 ± j√(q − p²/4)

Metode

Tentukan bentuk yang cocok untuk operasinya: kartesius a + jb untuk menjumlahkan dan mengurangkan, kutub r∠θ untuk mengalikan, membagi, pangkat, dan akar.
Kalikan dengan j² = −1; bagi dengan mengalikan pembilang dan penyebut dengan konjugat penyebut.
Ubah dengan r = √(a² + b²) dan θ dari sketsa titik (periksa kuadran), dan kembali dengan a = r cos θ, b = r sin θ.
Untuk pangkat pakai De Moivre, (r∠θ)ⁿ = rⁿ∠nθ; untuk zⁿ = R∠φ daftarkan semua n akar R^1/n∠((φ + 360°k)/n).

Persamaan diferensial

Pertumbuhan/peluruhan eksponensial: dy/dt = ky → y = y₀e^kt
Waktu paruh: k = ln 2 / t_½
Hukum pendinginan Newton: T(t) = T_a + (T₀ − T_a)e^−kt
Faktor integrasi: y′ + p(x)y = q(x): μ = e^{∫p dx}, (μy)′ = μq
Tangki pencampuran: dm/dt = r·c − (r/V)·m

Matriks & determinan

determinan 2×2: det = ad − bc
Invers 2×2: A⁻¹ = (1/det)·[d −b; −c a]
Produk: (AB)_ij = Σ_k A_ikB_kj
Nilai eigen: det(A − λI) = 0
Aturan Cramer: x_i = det(A_i)/det(A)

Vektor: hasil kali titik & silang

Besar: |a| = √(a_x² + a_y² + a_z²)
Vektor satuan: û = a/|a|
Komponen dari sebuah sudut: F_x = F·cos θ, F_y = F·sin θ
Hasil kali titik: a·b = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z = |a||b|cos θ
Proyeksi skalar a pada b: a·b/|b|
Usaha: W = F·d
Hasil kali silang: a × b = (a_yb_z − a_zb_y, a_zb_x − a_xb_z, a_xb_y − a_yb_x)
Luas: jajar genjang |a × b|, segitiga ½|a × b|
Momen terhadap O: M_O = r × F, r = A − O
Volume paralelepipedum: V = |a·(b × c)|

Metode

Tulis setiap vektor dalam komponen; untuk gaya yang diberikan dengan besar dan sudut, gunakan F·cos θ dan F·sin θ.
Untuk panjang dan arah gunakan besar √(x² + y² + z²) dan vektor satuan a/|a|.
Gunakan hasil kali titik untuk sudut, proyeksi, ketegaklurusan, dan usaha: a·b = |a||b|cos θ.
Gunakan hasil kali silang untuk vektor tegak lurus, luas, dan momen: tulis ketiga komponen dengan teliti, jaga urutan a × b.

Peluang

Komplemen: P(not A) = 1 − P(A)
Aturan penjumlahan: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Kejadian saling bebas: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Peluang bersyarat: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Binomial: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Statistika deskriptif

Rata-rata: x̄ = Σx/n
Simpangan baku sampel: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Median: nilai tengah data yang telah diurutkan
Skor z: z = (x − μ)/σ
Distribusi normal: 68% dalam ±1σ, 95% dalam ±2σ

Distribusi normal

Skor z: z = (x − μ)/σ
Di bawah x: P(X < x) = Φ(z)
Di atas x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Di antara: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Persentil: x = μ + z·σ

Metode

Ubah nilainya menjadi skor z: z = (x − μ)/σ.
Cari Φ(z), luas di sebelah kiri z.
Untuk luas di sebelah kanan gunakan 1 − Φ(z); untuk suatu selang kurangkan kedua luas kiri.
Untuk persentil, kerjakan mundur: cari z untuk luasnya, lalu x = μ + z·σ.

2Soal latihan

1.LimitSedang

Cari limit L = lim_x→∞ (2x² + 6x − 5)/(3x² + 5x + 4).

f(x) = (2x² + 6x − 5)/(3x² + 5x + 4)x → ∞

L =

2.LimitSulit

Cari limit L = lim_x→0 ln(1 + 3x)/sin(x), dengan x dalam radian.

f(x) = ln(1 + 3x)/sin(x)x → 0

L =

3.TurunanSedang

Misalkan f(x) = (4x − 1)⁵. Tentukan f′(2).

f(x) = (4x − 1)⁵x = 2

f′(2) =

4.TurunanSulit

Misalkan f(x) = x³ + 4,5x² + 6x + 2. Tentukan koordinat x x dari minimum lokal.

f(x) = x³ + 4,5x² + 6x + 2

x =

5.IntegralSedang

Hitung I = ∫₁⁴ 3/x dx.

f(x) = 3/x[1, 4]

I =

6.IntegralSulit

Hitung I = ∫₀¹ x²·eˣ dx.

∫₀¹ x²eˣ dx

I =

7.Bilangan kompleksSedang

Carilah argumen θ dari z = −4 − j9 dalam derajat, sebagai nilai pokok di antara −180° dan 180°.

z = −4 − j9

θ = °

8.Bilangan kompleksSulit

Tepat satu dari titik A–D adalah akar z⁴ = 16∠−90°. Klik titik itu.

w = 16∠−90°n = 4

1A (1∠−22,5°)
2B (2∠−90°)
3C (2∠−22,5°)
4D (2∠22,5°)

9.Persamaan diferensialSedang

Selesaikan y″ + 2y′ + y = 0 dengan y(0) = 3 dan y′(0) = -1. Cari y(1).

y″ + 2y′ + y = 0y(0) = 3y′(0) = -1

y(1) =

10.Persamaan diferensialSulit

Selesaikan y′ + y = 6e^−3t dengan y(0) = 0. Cari y(1,5).

y′ + y = 6e^−3ty(0) = 0

y(1.5) =

11.Matriks & determinanSedang

Tentukan determinan det A dari matriks 3×3 A yang ditunjukkan.

A = [0 5 5; −2 1 −4; 3 4 0]

det A =

12.Matriks & determinanSulit

Selesaikan sistem −2x − 6y = 4 dan 6x − y = −10. Tentukan x.

−2x − 6y = 46x − y = −10

x =

13.Vektor: hasil kali titik & silangSedang

Tentukan proyeksi skalar comp_b a dari a = (−2, 0, −7) pada b = (−5, 1, −1), yaitu komponen a searah b.

a = (−2, 0, −7)b = (−5, 1, −1)

comp_b a =

14.Vektor: hasil kali titik & silangSulit

Untuk a = (−3, 4, 0) dan b = (−2, −6, 1), tentukan komponen x (a × b)_x dari hasil kali silang a × b.

a = (−3, 4, 0)b = (−2, −6, 1)

(a × b)_x =

15.PeluangSedang

Sebuah kantong berisi 7 bola merah dan 6 biru. Anda mengambil dua bola tanpa mengembalikan yang pertama. Berapa peluang P keduanya merah?

7 / 6

P =

16.PeluangSulit

Sebuah tes memiliki 8 soal pilihan ganda. Seorang mahasiswi yang menebak menjawab benar setiap soal dengan peluang 0,25, secara saling bebas. Berapa peluang P tepat 2 jawaban benar?

n = 8p = 0,25k = 2

P =

17.Statistika deskriptifSedang

Tentukan simpangan baku sampel s dari data: 43, 35, 51, 41, 59, 26.

n = 6

s =

18.Statistika deskriptifSulit

Suatu besaran berdistribusi normal dengan rata-rata 170 dan simpangan baku 5. Berapa proporsi P nilai di bawah 164?

μ = 170σ = 5x = 164

P =

19.Distribusi normalSedang

Seret z sehingga luas berarsir di antara −z dan z di bawah kurva normal baku adalah 0,5346. Cari z sampai dua desimal.

A = 0,5346

z =

20.Distribusi normalSulit

nilai ujian berdistribusi normal dengan rata-rata 65 poin dan simpangan baku 10 poin. Seret batas sehingga 40% terbawah yang diarsir berada di sebelah kirinya. Cari batas x.

μ = 65 poinσ = 10 poin40%

x = poin

3Larutan

1.Limit

Jawaban: L = 0,6667

Limit: coba dulu substitusi langsung. Jika hasilnya 0/0, sederhanakan dulu: faktorkan dan coret faktor yang sama, atau kalikan dengan bentuk sekawan. Untuk x → ∞, bagi pembilang dan penyebut dengan pangkat tertinggi x. Aturan L'Hôpital: jika f/g memberikan 0/0 atau ∞/∞, maka lim f/g = lim f′/g′, dengan menurunkan pembilang dan penyebut secara terpisah (bukan dengan aturan hasil bagi).

Bagi dengan pangkat tertinggi

(2 + 6/x + (−5)/x²)/(3 + 5/x + 4/x²)

Biarkan x → ∞

L = 2/3 = 0,6667

Jawaban

L = 0,6667

Untuk derajat yang sama, limitnya adalah rasio koefisien utama.

2.Limit

Jawaban: L = 3

Aturan L'Hôpital

L = lim_x→0 [3/(1 + 3x)]/[cos x]

Substitusikan x = 0

L = 3/1 = 3

Jawaban

L = 3

3.Turunan

Jawaban: f′(2) = 48020

Diferensial: turunan f′(x) adalah kemiringan grafik di x. Aturan pangkat: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹. Aturan perkalian: (uv)′ = u′v + uv′. Aturan rantai: (f(g(x)))′ = f′(g(x))·g′(x). Di mana f′(x) = 0, grafik memiliki garis singgung mendatar: maksimum, minimum, atau titik pelana.

Aturan rantai

f′(x) = 5·(4x − 1)⁴·4

Substitusikan

f′(2) = 5·7⁴·4 = 48020

Jawaban

f′(2) = 48020

4.Turunan

Jawaban: x = −1

Turunan

f′(x) = 3x² + 9x + 6 = 3·(x² + 3x + 2)

Selesaikan f′(x) = 0

x = −2 atau x = −1

Mana yang mana

f″(x) = 6x + 9: negatif di maksimum, positif di minimum.

f″(−2) = −3, f″(−1) = 3

x = −1

Jawaban

x = −1

5.Integral

Jawaban: I = 4,159

Integral tentu: ∫ₐᵇ f(x) dx adalah luas bertanda antara grafik dan sumbu x dari a ke b. Cari antiturunan F (dengan F′ = f) dan hitung F(b) − F(a). Aturan pangkat: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1). Luas antara dua kurva adalah ∫(atas − bawah) dx.

Antiturunan

F(x) = 3·ln x

Substitusikan batasnya

I = 3·(ln 4 − ln 1) = 3·ln 4 = 4,159

Jawaban

I = 4,159

6.Integral

Jawaban: I = 0,7183

Integrasi parsial: ∫u·dv = u·v − ∫v·du, dari aturan perkalian. Pilih u sebagai faktor yang menjadi lebih sederhana saat diturunkan (pangkat x, atau ln x), dan dv sebagai faktor yang dapat Anda integralkan (eˣ, sin x, cos x, atau x bila u = ln x). Untuk integral tentu, hitung u·v pada kedua batas: ∫ₐᵇ u dv = [u·v]ₐᵇ − ∫ₐᵇ v du. Faktor x² memerlukan dua putaran.

Putaran pertama

∫x²eˣ dx = x²eˣ − ∫2x eˣ dx

Putaran kedua

∫2x eˣ dx = 2x eˣ − 2eˣ

∫x²eˣ dx = eˣ(x² − 2x + 2)

Limit

2,718·(1) − 1·2 = 0,7183

Jawaban

I = 0,7183

7.Bilangan kompleks

Jawaban: θ = −114 °

Bentuk kutub: z = r∠θ = r(cos θ + j sin θ) = r·e^jθ, dengan r = |z| dan θ = arg z. Kembali ke bentuk kartesius: a = r cos θ, b = r sin θ. Argumen memerlukan kuadran: θ = atan(b/a) hanya jika a > 0; untuk a < 0 tambahkan atau kurangkan 180°. Dalam bentuk kutub perkalian mudah: kalikan modulus dan jumlahkan argumen; untuk pembagian bagi modulus dan kurangkan argumen.

Kuadran

a = −4, b = −9 → III

Sudut acuan

α = atan(9/4) = 66,04°

Argumen

θ = −(180° − α) = −114°

Jawaban

θ = −114°

Dalam bentuk kutub z = 9,849∠−114°.

8.Bilangan kompleks

Jawaban: C (2∠−22,5°)

De Moivre dan akar: (r∠θ)ⁿ = rⁿ∠nθ. Persamaan zⁿ = R∠φ memiliki tepat n akar, semuanya bermodulus R^1/n, pada argumen (φ + 360°·k)/n untuk k = 0, 1, …, n − 1: akar-akar itu tersebar merata pada sebuah lingkaran, berjarak 360°/n. Persamaan kuadrat z² + pz + q = 0 dengan p² < 4q memiliki akar kompleks z = −p/2 ± j√(q − p²/4); polinom berkoefisien real selalu memiliki akar kompleks dalam pasangan konjugat a ± jb.

Modulus dan argumen akar-akar

|z| = 2

θ = −22,5°, 67,5°, 157,5°, −112,5°

Titiknya

C = 2∠−22,5°

Jawaban

C (2∠−22,5°)

9.Persamaan diferensial

Jawaban: y(1) = 1,839

Persamaan linear orde dua: untuk y″ + b·y′ + c·y = 0 coba y = e^rt: ini memberi persamaan karakteristik r² + b·r + c = 0. Dua akar real r₁ ≠ r₂ memberi y = A·e^r₁t + B·e^r₂t (redaman lebih); akar ganda r memberi y = (A + Bt)·e^rt (redaman kritis); akar kompleks −α ± jω memberi y = e^−αt(A cos ωt + B sin ωt) (redaman kurang, berosilasi). Nilai awal y(0) dan y′(0) menentukan A dan B. Ditulis sebagai y″ + 2ζω_ny′ + ω_n²y = 0, ω_n adalah frekuensi alami dan ζ rasio redaman: ζ < 1 berosilasi. Dengan masukan konstan, y″ + by′ + cy = c·K, penyelesaiannya adalah nilai tunak K ditambah respons bebas.

Akar ganda

(r + 1)² = 0 → r = −1

Konstanta

A = y(0) = 3

y′(0) = B − 1A → B = -1 + 3 = 2

Hitung nilainya

y(1) = (3 + 2·1)·e⁻¹ = 1,839

Jawaban

y(1) = 1,839

10.Persamaan diferensial

Jawaban: y(1.5) = 0,6361

Persamaan diferensial orde satu: dy/dt = k·y memiliki penyelesaian y = y₀·e^kt (pertumbuhan untuk k > 0, peluruhan untuk k < 0); waktu paruh T memberikan k = ln 2/T. Hukum pendinginan Newton, dT/dt = −k·(T − Tₐ), memberikan T(t) = Tₐ + (T₀ − Tₐ)·e^−kt. Persamaan linear y′ + p(x)·y = q(x) diselesaikan dengan faktor integrasi μ = e^{∫p dx}: (μy)′ = μq, sehingga μy = ∫μq dx + C.

Faktor integrasi

μ = e^t

(e^ty)′ = 6e^−2t

Penyelesaian umum

y = 6/(−2)·e^−3t + C·e^−t = −3·e^−3t + C·e^−t

Kondisi awal

0 = −3 + C → C = 3

Hitung nilainya

y(1,5) = −3·0,01111 + 3·0,2231 = 0,6361

Jawaban

y(1,5) = 0,6361

11.Matriks & determinan

Jawaban: det A = −115

Matriks: determinan matriks 2×2 adalah ad − bc. Untuk 3×3, ekspansikan sepanjang satu baris: setiap entri dikali determinan matriks 2×2 yang tersisa setelah baris dan kolomnya dihapus, dengan tanda bergantian + − +. Nilai eigen λ memenuhi det(A − λI) = 0; untuk 2×2 itu adalah λ² − (trace)·λ + det = 0.

Minor 2×2 baris pertama

M₁₁ = 16, M₁₂ = 12, M₁₃ = −11

Ekspansi kofaktor

det A = 0·16 − 5·12 + 5·(−11) = −115

Jawaban

det A = −115

12.Matriks & determinan

Jawaban: x = −1,684

Determinan matriks koefisien

det A = (−2)·(−1) − (−6)·6 = 38

Ganti kolom x

det Aₓ = 4·(−1) − (−6)·(−10) = −64

x = −64/38 = −1,684

Jawaban

x = −1,684

y = −0,1053

13.Vektor: hasil kali titik & silang

Jawaban: comp_b a = 3,272

Dot product: a·b = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z = |a|·|b|·cos θ, a scalar. It gives the angle between two vectors, cos θ = a·b/(|a|·|b|), and it is zero when they are perpendicular. The scalar projection of a onto b is a·b/|b|, and a constant force F moving through a displacement d does work W = F·d.

Hasil kali titik

a·b = (−2)·(−5) + 0·1 + (−7)·(−1) = 17

Panjang b

|b| = √((−5)² + 1² + (−1)²) = 5,196

Proyeksi skalar

comp_b a = a·b/|b| = 17/5,196 = 3,272

Jawaban

comp_b a = 3,272

14.Vektor: hasil kali titik & silang

Jawaban: (a × b)_x = 4

Cross product: a × b = (a_yb_z − a_zb_y, a_zb_x − a_xb_z, a_xb_y − a_yb_x) is perpendicular to both vectors, and |a × b| = |a|·|b|·sin θ is the area of the parallelogram they span (the triangle has half of it). Order matters: b × a = −(a × b). The moment of a force F applied at point A about point O is M_O = r × F, with r = A − O.

Hasil kali silang, komponen demi komponen

(a × b)_x = a_yb_z − a_zb_y = 4·1 − 0·(−6) = 4

(a × b)_y = a_zb_x − a_xb_z = 0·(−2) − (−3)·1 = 3

(a × b)_z = a_xb_y − a_yb_x = (−3)·(−6) − 4·(−2) = 26

Komponen yang diminta

(a × b)_x = 4

Jawaban

(a × b)_x = 4

Periksa: a × b tegak lurus terhadap kedua vektor, jadi hasil kali titiknya dengan a dan dengan b adalah nol.

15.Peluang

Jawaban: P = 0,2692

Peluang: dengan hasil yang sama mungkin, P(A) = yang diinginkan/total. Untuk kejadian saling bebas, kalikan: P(A dan B) = P(A)·P(B). Komplemen sering membantu: P(setidaknya satu) = 1 − P(tidak ada). Binomial: dalam n percobaan saling bebas dengan peluang sukses p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Pengambilan pertama dan kedua

P = 7/13 · 6/12 = 42/156 = 0,2692

Jawaban

P = 0,2692

16.Peluang

Jawaban: P = 0,3115

Rumus binomial

P(X = 2) = 28·0,25²·0,75⁶ = 28·0,0625·0,178 = 0,3115

Jawaban

P = 0,3115

17.Statistika deskriptif

Jawaban: s = 11,62

Statistika deskriptif: rata-rata adalah jumlah dibagi n; median adalah nilai tengah data yang terurut (rata-rata dua nilai tengah jika n genap). Simpangan baku sampel s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Skor z z = (x − μ)/σ menyatakan berapa simpangan baku suatu nilai dari rata-rata.

Rata-rata

x̄ = 255/6 = 42,5

Kuadrat simpangan

Σ(x − x̄)² = 0,5² + (−7,5)² + 8,5² + (−1,5)² + 16,5² + (−16,5)² = 675,5

Simpangan baku

s = √(675,5/5) = 11,62

Jawaban

s = 11,62

18.Statistika deskriptif

Jawaban: P = 0,1151

Standarkan

z = −1,2

Tabel normal baku

Φ(−1,2) = 0,1151

P = 0,1151

Jawaban

P = 0,1151

19.Distribusi normal

Jawaban: z = 0,73

Dari luas kembali ke z: Φ(z) adalah luas di sebelah kiri z. Untuk luas ekor kiri A, cari z dengan Φ(z) = A dalam tabel. Luas ekor kanan A berarti Φ(z) = 1 − A. Luas tengah A di antara −z dan z menyisakan (1 − A)/2 pada setiap ekor, sehingga Φ(z) = (1 + A)/2. Untuk nilai x, pakai x = μ + zσ.

Luas di sebelah kiri z

Φ(z) = (1 + 0,5346)/2 = 0,7673

Baca tabel z secara terbalik

Cari 0,7673 di dalam tabel dan baca z.

z = 0,73

Jawaban

z = 0,73

20.Distribusi normal

Jawaban: x = 62,5 poin

Luas di sebelah kiri

Φ(z) = 0,4

z dari tabel

z ≈ −0,25

Kembali ke satuan semula

x = 65 − 0,25·10 = 62,5 poin

Jawaban

x = 62,5 poin

ExamProblems · examproblems.com/courses/engineering-mathematics