Matematika Teknik: paket kilat

Lembar rumus, langkah-langkah metode utama untuk setiap topik, dan 20 soal latihan, dengan pembahasan lengkap di bagian belakang.

Soal baru Kembali ke mata kuliah

Di jendela cetak, pilih “Simpan sebagai PDF” untuk menyimpan salinan di perangkat Anda.

1Rumus dan metode

Limit

Substitusi langsung: coba x = a dulu; 0/0 berarti sederhanakan
Faktorkan dan coret: xⁿ − aⁿ = (x − a)(xⁿ⁻¹ + a·xⁿ⁻² + … + aⁿ⁻¹)
Sekawan: (√x − √a)(√x + √a) = x − a
Limit di tak hingga: bagi dengan pangkat tertinggi x; derajat yang sama menghasilkan rasio koefisien utama
Limit khusus: lim_x→∞ (1 + a/x)^bx = e^ab
Aturan L'Hôpital: lim f/g = lim f′/g′ (0/0 or ∞/∞)

Turunan

Aturan pangkat: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹
Aturan perkalian: (uv)′ = u′v + uv′
Aturan hasil bagi: (u/v)′ = (u′v − uv′)/v²
Aturan rantai: f(g(x))′ = f′(g(x))·g′(x)
Turunan umum: (eˣ)′ = eˣ, (ln x)′ = 1/x, (sin x)′ = cos x, (cos x)′ = −sin x

Metode

Kenali strukturnya: jumlah, hasil kali, hasil bagi, atau komposisi.
Terapkan aturan pangkat pada setiap pangkat x.
Gunakan aturan hasil kali, hasil bagi, atau rantai bila diperlukan.
Sederhanakan, dan hitung nilainya di titik tersebut jika diminta.

Integral

Aturan pangkat: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) + C
Integral tentu: ∫_a^b f dx = F(b) − F(a)
Integral umum: ∫eˣ dx = eˣ, ∫1/x dx = ln|x|, ∫sin x dx = −cos x
Luas daerah antara kurva: ∫_a^b (f − g) dx

Metode

Tulis ulang integran sebagai jumlah suku-suku sederhana bila memungkinkan.
Terapkan aturan pangkat: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1), dan integral standar untuk e^x, 1/x, sin, dan cos.
Gunakan substitusi saat Anda melihat suatu fungsi bersama turunannya.
Untuk integral tentu, hitung F(b) − F(a).

Bilangan kompleks

Bentuk kartesius: z = a + jb, j² = −1, z̄ = a − jb
Modulus dan argumen: |z| = √(a² + b²), tan θ = b/a (check the quadrant)
Bentuk kutub dan eksponensial: z = r∠θ = r(cos θ + j sin θ) = r·e^jθ
Pembagian: z₁/z₂ = z₁z̄₂/|z₂|²
Hasil kali dan hasil bagi: r₁∠θ₁ · r₂∠θ₂ = r₁r₂∠(θ₁ + θ₂), r₁∠θ₁ / r₂∠θ₂ = (r₁/r₂)∠(θ₁ − θ₂)
De Moivre: (r∠θ)ⁿ = rⁿ∠nθ
Akar ke-n: z_k = R^1/n∠((φ + 360°·k)/n), k = 0 … n − 1
Kuadratik dengan p² < 4q: z = −p/2 ± j√(q − p²/4)

Metode

Tentukan bentuk yang cocok untuk operasinya: kartesius a + jb untuk menjumlahkan dan mengurangkan, kutub r∠θ untuk mengalikan, membagi, pangkat, dan akar.
Kalikan dengan j² = −1; bagi dengan mengalikan pembilang dan penyebut dengan konjugat penyebut.
Ubah dengan r = √(a² + b²) dan θ dari sketsa titik (periksa kuadran), dan kembali dengan a = r cos θ, b = r sin θ.
Untuk pangkat pakai De Moivre, (r∠θ)ⁿ = rⁿ∠nθ; untuk zⁿ = R∠φ daftarkan semua n akar R^1/n∠((φ + 360°k)/n).

Persamaan diferensial

Pertumbuhan/peluruhan eksponensial: dy/dt = ky → y = y₀e^kt
Waktu paruh: k = ln 2 / t_½
Hukum pendinginan Newton: T(t) = T_a + (T₀ − T_a)e^−kt
Faktor integrasi: y′ + p(x)y = q(x): μ = e^{∫p dx}, (μy)′ = μq
Tangki pencampuran: dm/dt = r·c − (r/V)·m

Matriks & determinan

determinan 2×2: det = ad − bc
Invers 2×2: A⁻¹ = (1/det)·[d −b; −c a]
Produk: (AB)_ij = Σ_k A_ikB_kj
Nilai eigen: det(A − λI) = 0
Aturan Cramer: x_i = det(A_i)/det(A)

Vektor: hasil kali titik & silang

Besar: |a| = √(a_x² + a_y² + a_z²)
Vektor satuan: û = a/|a|
Komponen dari sebuah sudut: F_x = F·cos θ, F_y = F·sin θ
Hasil kali titik: a·b = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z = |a||b|cos θ
Proyeksi skalar a pada b: a·b/|b|
Usaha: W = F·d
Hasil kali silang: a × b = (a_yb_z − a_zb_y, a_zb_x − a_xb_z, a_xb_y − a_yb_x)
Luas: jajar genjang |a × b|, segitiga ½|a × b|
Momen terhadap O: M_O = r × F, r = A − O
Volume paralelepipedum: V = |a·(b × c)|

Metode

Tulis setiap vektor dalam komponen; untuk gaya yang diberikan dengan besar dan sudut, gunakan F·cos θ dan F·sin θ.
Untuk panjang dan arah gunakan besar √(x² + y² + z²) dan vektor satuan a/|a|.
Gunakan hasil kali titik untuk sudut, proyeksi, ketegaklurusan, dan usaha: a·b = |a||b|cos θ.
Gunakan hasil kali silang untuk vektor tegak lurus, luas, dan momen: tulis ketiga komponen dengan teliti, jaga urutan a × b.

Peluang

Komplemen: P(not A) = 1 − P(A)
Aturan penjumlahan: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Kejadian saling bebas: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Peluang bersyarat: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Binomial: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Statistika deskriptif

Rata-rata: x̄ = Σx/n
Simpangan baku sampel: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Median: nilai tengah data yang telah diurutkan
Skor z: z = (x − μ)/σ
Distribusi normal: 68% dalam ±1σ, 95% dalam ±2σ

Distribusi normal

Skor z: z = (x − μ)/σ
Di bawah x: P(X < x) = Φ(z)
Di atas x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Di antara: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Persentil: x = μ + z·σ

Metode

Ubah nilainya menjadi skor z: z = (x − μ)/σ.
Cari Φ(z), luas di sebelah kiri z.
Untuk luas di sebelah kanan gunakan 1 − Φ(z); untuk suatu selang kurangkan kedua luas kiri.
Untuk persentil, kerjakan mundur: cari z untuk luasnya, lalu x = μ + z·σ.

2Soal latihan

1.LimitSedang

Cari limit L = lim_x→∞ (4x² + 1)/(3x² + 6x + 9).

f(x) = (4x² + 1)/(3x² + 6x + 9)x → ∞

L =

2.LimitSulit

Cari limit L = lim_x→0 (e^x − 1 − x)/x².

f(x) = (e^x − 1 − x)/x²x → 0

L =

3.TurunanSedang

Misalkan f(x) = x·sin(3x), dengan x dalam radian. Tentukan f′(1,5).

f(x) = x·sin(3x)x = 1,5 rad

f′(1.5) =

4.TurunanSulit

Misalkan f(x) = x³ + 6x² + 9x − 2. Tentukan koordinat x x dari maksimum lokal.

f(x) = x³ + 6x² + 9x − 2

x =

5.IntegralSedang

Hitung I = ∫₀² 2x·(x² + 1)² dx.

f(x) = 2x·(x² + 1)²[0, 2]

I =

6.IntegralSulit

Tentukan luas A daerah antara parabola y = 4 − x² dan sumbu x.

y = 4 − x²

A =

7.Bilangan kompleksSedang

Diberikan z₁ = 2,5∠−60° dan z₂ = 0,5∠65°, carilah bagian imajiner dari w = z₁·z₂.

z₁ = 2,5∠−60°z₂ = 0,5∠65°

Im(w) =

8.Bilangan kompleksSulit

Tepat satu dari titik A–D adalah akar z⁶ = 729∠60°. Klik titik itu.

w = 729∠60°n = 6

1A (3∠130°)
2B (3∠60°)
3C (3∠160°)
4D (5,4∠160°)

9.Persamaan diferensialSedang

Sebuah komponen baja tempa bersuhu 460 °C dibiarkan mendingin di bengkel bersuhu 29 °C. Setelah 36 menit suhunya 330 °C. Benda tersebut mengikuti hukum pendinginan Newton, dT/dt = −k·(T − Tₐ). Cari konstanta k dalam min⁻¹.

T₀ = 460 °CT_a = 29 °CT(36) = 330 °C

k = min⁻¹

10.Persamaan diferensialSulit

Selesaikan masalah nilai awal y′ + y/x = 5x² untuk x > 0, dengan y(1) = 0. Cari y(2).

y′ + y/x = 5x²y(1) = 0

y(2) =

11.Matriks & determinanSedang

Misalkan C = AB untuk matriks yang ditunjukkan. Tentukan entri c₁₂ (baris 1, kolom 2).

A = [0 −6; −1 −5]B = [−2 −6; 5 −4]

c₁₂ =

12.Matriks & determinanSulit

Tentukan nilai eigen yang lebih besar λ dari matriks A yang ditunjukkan.

A = [−2 4; −8 10]

λ =

13.Vektor: hasil kali titik & silangSedang

Tentukan proyeksi skalar comp_b a dari a = (6, 2, 7) pada b = (5, 2, −3), yaitu komponen a searah b.

a = (6, 2, 7)b = (5, 2, −3)

comp_b a =

14.Vektor: hasil kali titik & silangSulit

Vektor satuan n̂ tegak lurus terhadap a = (3, 4, 3) dan b = (3, −1, 1) serta memiliki komponen z positif. Tentukan komponen y n̂_y.

a = (3, 4, 3)b = (3, −1, 1)n̂_z > 0

n̂_y =

15.PeluangSedang

Untuk distribusi yang ditunjukkan, cari variansi Var(X) dari X.

x: 10, 20, 30, 40p(x): 0,3, 0,15, 0,3, 0,25

Var(X) =

16.PeluangSulit

X memiliki distribusi yang ditunjukkan, dan Y = −2X + 5. Cari simpangan baku σ_Y dari Y.

x: 0, 1, 2, 3, 4p(x): 0,35, 0,05, 0,2, 0,35, 0,05Y = −2X + 5

σ_Y =

17.Statistika deskriptifSedang

Tentukan simpangan baku sampel s dari data: 24, 16, 26, 18, 12.

n = 5

s =

18.Statistika deskriptifSulit

Nilai ujian berdistribusi normal dengan rata-rata 70 dan simpangan baku 8. Tentukan skor z z untuk nilai 62.

μ = 70σ = 8x = 62

z =

19.Distribusi normalSedang

Seret z sehingga luas berarsir di antara −z dan z di bawah kurva normal baku adalah 0,9371. Cari z sampai dua desimal.

A = 0,9371

z =

20.Distribusi normalSulit

skor IQ berdistribusi normal dengan rata-rata 100 poin dan simpangan baku 15 poin. Seret batas sehingga 40% terbawah yang diarsir berada di sebelah kirinya. Cari batas x.

μ = 100 poinσ = 15 poin40%

x = poin

3Larutan

1.Limit

Jawaban: L = 1,333

Limit: coba dulu substitusi langsung. Jika hasilnya 0/0, sederhanakan dulu: faktorkan dan coret faktor yang sama, atau kalikan dengan bentuk sekawan. Untuk x → ∞, bagi pembilang dan penyebut dengan pangkat tertinggi x. Aturan L'Hôpital: jika f/g memberikan 0/0 atau ∞/∞, maka lim f/g = lim f′/g′, dengan menurunkan pembilang dan penyebut secara terpisah (bukan dengan aturan hasil bagi).

Bagi dengan pangkat tertinggi

(4 + 1/x²)/(3 + 6/x + 9/x²)

Biarkan x → ∞

L = 4/3 = 1,333

Jawaban

L = 1,333

Untuk derajat yang sama, limitnya adalah rasio koefisien utama.

2.Limit

Jawaban: L = 0,5

Penerapan pertama

(1·e^x − 1)/(2x) → 0/0

Penerapan kedua

1·e^x/2

Substitusikan x = 0

L = 1·1/2 = 0,5

Jawaban

L = 0,5

3.Turunan

Jawaban: f′(1.5) = −1,926

Diferensial: turunan f′(x) adalah kemiringan grafik di x. Aturan pangkat: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹. Aturan perkalian: (uv)′ = u′v + uv′. Aturan rantai: (f(g(x)))′ = f′(g(x))·g′(x). Di mana f′(x) = 0, grafik memiliki garis singgung mendatar: maksimum, minimum, atau titik pelana.

Aturan perkalian dan rantai

f′(x) = sin(3x) + 3x·cos(3x)

Substitusikan

f′(1,5) = −0,9775 + 4,5·(−0,2108) = −1,926

Jawaban

f′(1,5) = −1,926

4.Turunan

Jawaban: x = −3

Turunan

f′(x) = 3x² + 12x + 9 = 3·(x² + 4x + 3)

Selesaikan f′(x) = 0

x = −3 atau x = −1

Mana yang mana

f″(x) = 6x + 12: negatif di maksimum, positif di minimum.

f″(−3) = −6, f″(−1) = 6

x = −3

Jawaban

x = −3

5.Integral

Jawaban: I = 41,33

Integral tentu: ∫ₐᵇ f(x) dx adalah luas bertanda antara grafik dan sumbu x dari a ke b. Cari antiturunan F (dengan F′ = f) dan hitung F(b) − F(a). Aturan pangkat: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1). Luas antara dua kurva adalah ∫(atas − bawah) dx.

Substitusi

u = x² + 1, du = 2x dx

I = ∫₁⁵ u² du

Integralkan dan substitusikan batas

I = [u³/3]₁⁵ = (125 − 1)/3 = 41,33

Jawaban

I = 41,33

6.Integral

Jawaban: A = 10,67

Pembuat nol

4 − x² = 0 → x = ±2

Integralkan

A = [4x − x³/3]₋₂² = 5,333 − (−5,333) = 10,67

Jawaban

A = 10,67

7.Bilangan kompleks

Jawaban: Im(w) = 0,1089

Bentuk kutub: z = r∠θ = r(cos θ + j sin θ) = r·e^jθ, dengan r = |z| dan θ = arg z. Kembali ke bentuk kartesius: a = r cos θ, b = r sin θ. Argumen memerlukan kuadran: θ = atan(b/a) hanya jika a > 0; untuk a < 0 tambahkan atau kurangkan 180°. Dalam bentuk kutub perkalian mudah: kalikan modulus dan jumlahkan argumen; untuk pembagian bagi modulus dan kurangkan argumen.

Modulus dan argumen w

|w| = 2,5 · 0,5 = 1,25

θ = −60° + 65° = 5°

Bentuk kartesius

Re(w) = 1,25·cos(5°) = 1,245

Im(w) = 1,25·sin(5°) = 0,1089

Im(w) = 0,1089

Jawaban

Im(w) = 0,1089

8.Bilangan kompleks

Jawaban: A (3∠130°)

De Moivre dan akar: (r∠θ)ⁿ = rⁿ∠nθ. Persamaan zⁿ = R∠φ memiliki tepat n akar, semuanya bermodulus R^1/n, pada argumen (φ + 360°·k)/n untuk k = 0, 1, …, n − 1: akar-akar itu tersebar merata pada sebuah lingkaran, berjarak 360°/n. Persamaan kuadrat z² + pz + q = 0 dengan p² < 4q memiliki akar kompleks z = −p/2 ± j√(q − p²/4); polinom berkoefisien real selalu memiliki akar kompleks dalam pasangan konjugat a ± jb.

Modulus dan argumen akar-akar

|z| = 3

θ = 10°, 70°, 130°, −170°, −110°, −50°

Titiknya

A = 3∠130°

Jawaban

A (3∠130°)

9.Persamaan diferensial

Jawaban: k = 0,009972 min⁻¹

Persamaan diferensial orde satu: dy/dt = k·y memiliki penyelesaian y = y₀·e^kt (pertumbuhan untuk k > 0, peluruhan untuk k < 0); waktu paruh T memberikan k = ln 2/T. Hukum pendinginan Newton, dT/dt = −k·(T − Tₐ), memberikan T(t) = Tₐ + (T₀ − Tₐ)·e^−kt. Persamaan linear y′ + p(x)·y = q(x) diselesaikan dengan faktor integrasi μ = e^{∫p dx}: (μy)′ = μq, sehingga μy = ∫μq dx + C.

Rasio selisih suhu

e^−36k = 301/431

Selesaikan untuk k

k = ln(431/301)/36 = 0,009972 min⁻¹

Jawaban

k = 0,009972 min⁻¹

10.Persamaan diferensial

Jawaban: y(2) = 9,375

Faktor integrasi

μ = e^{∫1/x dx} = x¹

Integralkan

(x¹y)′ = 5x³ → x¹y = 5x⁴/4 + C

Kondisi awal

0 = 5/4 + C → C = −1,25

Hitung nilainya

y(2) = (5·2⁴/4 + (−1,25))/2¹ = 9,375

Jawaban

y(2) = 9,375

11.Matriks & determinan

Jawaban: c₁₂ = 24

Matriks: determinan matriks 2×2 adalah ad − bc. Untuk 3×3, ekspansikan sepanjang satu baris: setiap entri dikali determinan matriks 2×2 yang tersisa setelah baris dan kolomnya dihapus, dengan tanda bergantian + − +. Nilai eigen λ memenuhi det(A − λI) = 0; untuk 2×2 itu adalah λ² − (trace)·λ + det = 0.

Baris kali kolom

c₁₂ = 0·(−6) + (−6)·(−4) = 24

Jawaban

c₁₂ = 24

12.Matriks & determinan

Jawaban: λ = 6

Persamaan karakteristik

λ² − (8)λ + (12) = 0

Selesaikan

λ = (8 ± √(16))/2 → λ = 2, 6

λ = 6

Jawaban

λ = 6

13.Vektor: hasil kali titik & silang

Jawaban: comp_b a = 2,109

Dot product: a·b = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z = |a|·|b|·cos θ, a scalar. It gives the angle between two vectors, cos θ = a·b/(|a|·|b|), and it is zero when they are perpendicular. The scalar projection of a onto b is a·b/|b|, and a constant force F moving through a displacement d does work W = F·d.

Hasil kali titik

a·b = 6·5 + 2·2 + 7·(−3) = 13

Panjang b

|b| = √(5² + 2² + (−3)²) = 6,164

Proyeksi skalar

comp_b a = a·b/|b| = 13/6,164 = 2,109

Jawaban

comp_b a = 2,109

14.Vektor: hasil kali titik & silang

Jawaban: n̂_y = −0,3408

Cross product: a × b = (a_yb_z − a_zb_y, a_zb_x − a_xb_z, a_xb_y − a_yb_x) is perpendicular to both vectors, and |a × b| = |a|·|b|·sin θ is the area of the parallelogram they span (the triangle has half of it). Order matters: b × a = −(a × b). The moment of a force F applied at point A about point O is M_O = r × F, with r = A − O.

Hasil kali silang

(a × b)_x = a_yb_z − a_zb_y = 4·1 − 3·(−1) = 7

(a × b)_y = a_zb_x − a_xb_z = 3·3 − 3·1 = 6

(a × b)_z = a_xb_y − a_yb_x = 3·(−1) − 4·3 = −15

Normalkan

Komponen z dari a × b negatif, jadi gunakan −(a × b).

|a × b| = √(7² + 6² + (−15)²) = 17,61

n̂ = −(7, 6, −15)/17,61 = (−0,3976, −0,3408, 0,8519)

n̂_y = −0,3408

Jawaban

n̂_y = −0,3408

15.Peluang

Jawaban: Var(X) = 135

Variabel acak diskrit: distribusi peluang mendaftar setiap nilai x yang dapat diambil variabel beserta peluangnya p(x); peluang bernilai antara 0 dan 1 dan jumlahnya 1. Nilai harapan (rata-rata) adalah E(X) = Σx·p(x), rata-rata jangka panjang. Variansi adalah Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², dan simpangan baku σ = √Var(X). Untuk perubahan linear Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) dan σ_Y = |a|·σ_X; menambah konstanta tidak mengubah sebaran.

Rata-rata

μ = 10·0,3 + 20·0,15 + 30·0,3 + 40·0,25 = 25

Rata-rata kuadrat

E(X²) = 100·0,3 + 400·0,15 + 900·0,3 + 1600·0,25 = 760

Variansi

Var(X) = 760 − 25² = 135

Jawaban

Var(X) = 135

16.Peluang

Jawaban: σ_Y = 2,764

Sebaran X

μ = 1,7, Var(X) = 1,91, σ_X = 1,382

Perubahan linear

σ_Y = |−2|·1,382 = 2,764

Jawaban

σ_Y = 2,764

Rata-ratanya memang bergeser: E(Y) = −2·1,7 + 5 = 1,6.

17.Statistika deskriptif

Jawaban: s = 5,762

Statistika deskriptif: rata-rata adalah jumlah dibagi n; median adalah nilai tengah data yang terurut (rata-rata dua nilai tengah jika n genap). Simpangan baku sampel s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Skor z z = (x − μ)/σ menyatakan berapa simpangan baku suatu nilai dari rata-rata.

Rata-rata

x̄ = 96/5 = 19,2

Kuadrat simpangan

Σ(x − x̄)² = 4,8² + (−3,2)² + 6,8² + (−1,2)² + (−7,2)² = 132,8

Simpangan baku

s = √(132,8/4) = 5,762

Jawaban

s = 5,762

18.Statistika deskriptif

Jawaban: z = −1

Standarkan

z = (62 − 70)/8 = −1

Jawaban

z = −1

19.Distribusi normal

Jawaban: z = 1,86

Dari luas kembali ke z: Φ(z) adalah luas di sebelah kiri z. Untuk luas ekor kiri A, cari z dengan Φ(z) = A dalam tabel. Luas ekor kanan A berarti Φ(z) = 1 − A. Luas tengah A di antara −z dan z menyisakan (1 − A)/2 pada setiap ekor, sehingga Φ(z) = (1 + A)/2. Untuk nilai x, pakai x = μ + zσ.

Luas di sebelah kiri z

Φ(z) = (1 + 0,9371)/2 = 0,9686

Baca tabel z secara terbalik

Cari 0,9686 di dalam tabel dan baca z.

z = 1,86

Jawaban

z = 1,86

20.Distribusi normal

Jawaban: x = 96,3 poin

Luas di sebelah kiri

Φ(z) = 0,4

z dari tabel

z ≈ −0,25

Kembali ke satuan semula

x = 100 − 0,25·15 = 96,3 poin

Jawaban

x = 96,3 poin

ExamProblems · examproblems.com/courses/engineering-mathematics