Matematika Teknik: paket kilat

Lembar rumus, langkah-langkah metode utama untuk setiap topik, dan 20 soal latihan, dengan pembahasan lengkap di bagian belakang.

Soal baru Kembali ke mata kuliah

Di jendela cetak, pilih “Simpan sebagai PDF” untuk menyimpan salinan di perangkat Anda.

1Rumus dan metode

Limit

Substitusi langsung: coba x = a dulu; 0/0 berarti sederhanakan
Faktorkan dan coret: xⁿ − aⁿ = (x − a)(xⁿ⁻¹ + a·xⁿ⁻² + … + aⁿ⁻¹)
Sekawan: (√x − √a)(√x + √a) = x − a
Limit di tak hingga: bagi dengan pangkat tertinggi x; derajat yang sama menghasilkan rasio koefisien utama
Limit khusus: lim_x→∞ (1 + a/x)^bx = e^ab
Aturan L'Hôpital: lim f/g = lim f′/g′ (0/0 or ∞/∞)

Turunan

Aturan pangkat: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹
Aturan perkalian: (uv)′ = u′v + uv′
Aturan hasil bagi: (u/v)′ = (u′v − uv′)/v²
Aturan rantai: f(g(x))′ = f′(g(x))·g′(x)
Turunan umum: (eˣ)′ = eˣ, (ln x)′ = 1/x, (sin x)′ = cos x, (cos x)′ = −sin x

Metode

Kenali strukturnya: jumlah, hasil kali, hasil bagi, atau komposisi.
Terapkan aturan pangkat pada setiap pangkat x.
Gunakan aturan hasil kali, hasil bagi, atau rantai bila diperlukan.
Sederhanakan, dan hitung nilainya di titik tersebut jika diminta.

Integral

Aturan pangkat: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) + C
Integral tentu: ∫_a^b f dx = F(b) − F(a)
Integral umum: ∫eˣ dx = eˣ, ∫1/x dx = ln|x|, ∫sin x dx = −cos x
Luas daerah antara kurva: ∫_a^b (f − g) dx

Metode

Tulis ulang integran sebagai jumlah suku-suku sederhana bila memungkinkan.
Terapkan aturan pangkat: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1), dan integral standar untuk e^x, 1/x, sin, dan cos.
Gunakan substitusi saat Anda melihat suatu fungsi bersama turunannya.
Untuk integral tentu, hitung F(b) − F(a).

Bilangan kompleks

Bentuk kartesius: z = a + jb, j² = −1, z̄ = a − jb
Modulus dan argumen: |z| = √(a² + b²), tan θ = b/a (check the quadrant)
Bentuk kutub dan eksponensial: z = r∠θ = r(cos θ + j sin θ) = r·e^jθ
Pembagian: z₁/z₂ = z₁z̄₂/|z₂|²
Hasil kali dan hasil bagi: r₁∠θ₁ · r₂∠θ₂ = r₁r₂∠(θ₁ + θ₂), r₁∠θ₁ / r₂∠θ₂ = (r₁/r₂)∠(θ₁ − θ₂)
De Moivre: (r∠θ)ⁿ = rⁿ∠nθ
Akar ke-n: z_k = R^1/n∠((φ + 360°·k)/n), k = 0 … n − 1
Kuadratik dengan p² < 4q: z = −p/2 ± j√(q − p²/4)

Metode

Tentukan bentuk yang cocok untuk operasinya: kartesius a + jb untuk menjumlahkan dan mengurangkan, kutub r∠θ untuk mengalikan, membagi, pangkat, dan akar.
Kalikan dengan j² = −1; bagi dengan mengalikan pembilang dan penyebut dengan konjugat penyebut.
Ubah dengan r = √(a² + b²) dan θ dari sketsa titik (periksa kuadran), dan kembali dengan a = r cos θ, b = r sin θ.
Untuk pangkat pakai De Moivre, (r∠θ)ⁿ = rⁿ∠nθ; untuk zⁿ = R∠φ daftarkan semua n akar R^1/n∠((φ + 360°k)/n).

Persamaan diferensial

Pertumbuhan/peluruhan eksponensial: dy/dt = ky → y = y₀e^kt
Waktu paruh: k = ln 2 / t_½
Hukum pendinginan Newton: T(t) = T_a + (T₀ − T_a)e^−kt
Faktor integrasi: y′ + p(x)y = q(x): μ = e^{∫p dx}, (μy)′ = μq
Tangki pencampuran: dm/dt = r·c − (r/V)·m

Matriks & determinan

determinan 2×2: det = ad − bc
Invers 2×2: A⁻¹ = (1/det)·[d −b; −c a]
Produk: (AB)_ij = Σ_k A_ikB_kj
Nilai eigen: det(A − λI) = 0
Aturan Cramer: x_i = det(A_i)/det(A)

Vektor: hasil kali titik & silang

Besar: |a| = √(a_x² + a_y² + a_z²)
Vektor satuan: û = a/|a|
Komponen dari sebuah sudut: F_x = F·cos θ, F_y = F·sin θ
Hasil kali titik: a·b = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z = |a||b|cos θ
Proyeksi skalar a pada b: a·b/|b|
Usaha: W = F·d
Hasil kali silang: a × b = (a_yb_z − a_zb_y, a_zb_x − a_xb_z, a_xb_y − a_yb_x)
Luas: jajar genjang |a × b|, segitiga ½|a × b|
Momen terhadap O: M_O = r × F, r = A − O
Volume paralelepipedum: V = |a·(b × c)|

Metode

Tulis setiap vektor dalam komponen; untuk gaya yang diberikan dengan besar dan sudut, gunakan F·cos θ dan F·sin θ.
Untuk panjang dan arah gunakan besar √(x² + y² + z²) dan vektor satuan a/|a|.
Gunakan hasil kali titik untuk sudut, proyeksi, ketegaklurusan, dan usaha: a·b = |a||b|cos θ.
Gunakan hasil kali silang untuk vektor tegak lurus, luas, dan momen: tulis ketiga komponen dengan teliti, jaga urutan a × b.

Peluang

Komplemen: P(not A) = 1 − P(A)
Aturan penjumlahan: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Kejadian saling bebas: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Peluang bersyarat: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Binomial: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Statistika deskriptif

Rata-rata: x̄ = Σx/n
Simpangan baku sampel: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Median: nilai tengah data yang telah diurutkan
Skor z: z = (x − μ)/σ
Distribusi normal: 68% dalam ±1σ, 95% dalam ±2σ

Distribusi normal

Skor z: z = (x − μ)/σ
Di bawah x: P(X < x) = Φ(z)
Di atas x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Di antara: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Persentil: x = μ + z·σ

Metode

Ubah nilainya menjadi skor z: z = (x − μ)/σ.
Cari Φ(z), luas di sebelah kiri z.
Untuk luas di sebelah kanan gunakan 1 − Φ(z); untuk suatu selang kurangkan kedua luas kiri.
Untuk persentil, kerjakan mundur: cari z untuk luasnya, lalu x = μ + z·σ.

2Soal latihan

1.LimitSedang

Cari limit L = lim_x→∞ (√(x² + 3x) − x).

f(x) = √(x² + 3x) − xx → ∞

L =

2.LimitSulit

Cari limit L = lim_x→0 (e^1,5x − 1 − 1,5x)/x².

f(x) = (e^1,5x − 1 − 1,5x)/x²x → 0

L =

3.TurunanSedang

Misalkan f(x) = x·sin(x), dengan x dalam radian. Tentukan f′(1).

f(x) = x·sin(x)x = 1 rad

f′(1) =

4.TurunanSulit

Misalkan f(x) = x³ − 7,5x² + 12x. Tentukan koordinat x x dari maksimum lokal.

f(x) = x³ − 7,5x² + 12x

x =

5.IntegralSedang

Hitung I = ∫₀² 2x·(x² + 1)³ dx.

f(x) = 2x·(x² + 1)³[0, 2]

I =

6.IntegralSulit

Tentukan luas A daerah antara parabola y = 1 − x² dan sumbu x.

y = 1 − x²

A =

7.Bilangan kompleksSedang

Tuliskan z = 3∠−75° dalam bentuk kartesius a + jb dan berikan bagian imajiner b.

r = 3θ = −75°

b =

8.Bilangan kompleksSulit

Akar-akar zⁿ = w dengan n = 2 dan w = 36∠180° adalah z_k = R^1/n∠((φ + 360°·k)/n), k = 0, 1. Carilah bagian imajiner dari z₁.

w = 36∠180°n = 2k = 1

Im(z₁) =

9.Persamaan diferensialSedang

Selesaikan y″ + 6y′ + 8y = 0 dengan y(0) = 4 dan y′(0) = 2. Cari y(1,5).

y″ + 6y′ + 8y = 0y(0) = 4y′(0) = 2

y(1.5) =

10.Persamaan diferensialSulit

Sebuah sistem memenuhi y″ + y′ + 25,25y = 126,3 untuk t ≥ 0, dimulai dari keadaan diam: y(0) = 0, y′(0) = 0. Cari nilai puncak y_max dari respons langkahnya.

y″ + y′ + 25,25y = 126,3y(0) = 0y′(0) = 0

y_max =

11.Matriks & determinanSedang

Tentukan determinan det A dari matriks 3×3 A yang ditunjukkan.

A = [−5 −4 5; −5 −4 2; −2 5 −4]

det A =

12.Matriks & determinanSulit

Selesaikan sistem 6x + 4y = −7 dan 6x + 2y = 3. Tentukan x.

6x + 4y = −76x + 2y = 3

x =

13.Vektor: hasil kali titik & silangSedang

Tentukan nilai k agar vektor a = (5, −5, −4) dan b = (5, k, 0) saling tegak lurus.

a = (5, −5, −4)b = (5, k, 0)

k =

14.Vektor: hasil kali titik & silangSulit

Vektor satuan n̂ tegak lurus terhadap a = (−3, 2, −2) dan b = (2, −1, 3) serta memiliki komponen z positif. Tentukan komponen y n̂_y.

a = (−3, 2, −2)b = (2, −1, 3)n̂_z > 0

n̂_y =

15.PeluangSedang

Untuk distribusi yang ditunjukkan, cari simpangan baku σ dari X.

x: 0, 1, 2, 3p(x): 0,15, 0,25, 0,25, 0,35

σ =

16.PeluangSulit

Sebuah permainan berbiaya €2 untuk dimainkan. Anda memenangkan €4 dengan peluang 0,15 dan €20 dengan peluang 0,02; selain itu Anda tidak memperoleh apa-apa. Taruhan tidak dikembalikan. Cari keuntungan bersih yang diharapkan E(G) per permainan.

taruhan = €2€4: p = 0,15€20: p = 0,02

E(G) = €

17.Statistika deskriptifSedang

Tentukan simpangan baku sampel s dari data: 14, 57, 38, 46, 41.

n = 5

s =

18.Statistika deskriptifSulit

Suatu besaran berdistribusi normal dengan rata-rata 70 dan simpangan baku 5. Berapa proporsi P nilai di bawah 60?

μ = 70σ = 5x = 60

P =

19.Distribusi normalSedang

Seret z sehingga luas berarsir di bawah kurva normal baku, di sebelah kanan z, adalah 0,9868. Cari z sampai dua desimal.

A = 0,9868

z =

20.Distribusi normalSulit

nilai ujian berdistribusi normal dengan rata-rata 65 poin dan simpangan baku 10 poin. Seret batas sehingga 70% terbawah yang diarsir berada di sebelah kirinya. Cari batas x.

μ = 65 poinσ = 10 poin70%

x = poin

3Larutan

1.Limit

Jawaban: L = 1,5

Limit: coba dulu substitusi langsung. Jika hasilnya 0/0, sederhanakan dulu: faktorkan dan coret faktor yang sama, atau kalikan dengan bentuk sekawan. Untuk x → ∞, bagi pembilang dan penyebut dengan pangkat tertinggi x. Aturan L'Hôpital: jika f/g memberikan 0/0 atau ∞/∞, maka lim f/g = lim f′/g′, dengan menurunkan pembilang dan penyebut secara terpisah (bukan dengan aturan hasil bagi).

Kalikan dengan bentuk sekawan

f(x) = 3x/(√(x² + 3x) + x)

Bagi dengan x

f(x) = 3/(√(1 + 3/x) + 1)

Biarkan x → ∞

L = 3/(1 + 1) = 1,5

Jawaban

L = 1,5

2.Limit

Jawaban: L = 1,125

Penerapan pertama

(1,5·e^1,5x − 1,5)/(2x) → 0/0

Penerapan kedua

2,25·e^1,5x/2

Substitusikan x = 0

L = 2,25·1/2 = 1,125

Jawaban

L = 1,125

3.Turunan

Jawaban: f′(1) = 1,382

Diferensial: turunan f′(x) adalah kemiringan grafik di x. Aturan pangkat: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹. Aturan perkalian: (uv)′ = u′v + uv′. Aturan rantai: (f(g(x)))′ = f′(g(x))·g′(x). Di mana f′(x) = 0, grafik memiliki garis singgung mendatar: maksimum, minimum, atau titik pelana.

Aturan perkalian dan rantai

f′(x) = sin(x) + x·cos(x)

Substitusikan

f′(1) = 0,8415 + 1·0,5403 = 1,382

Jawaban

f′(1) = 1,382

4.Turunan

Jawaban: x = 1

Turunan

f′(x) = 3x² − 15x + 12 = 3·(x² − 5x + 4)

Selesaikan f′(x) = 0

x = 1 atau x = 4

Mana yang mana

f″(x) = 6x − 15: negatif di maksimum, positif di minimum.

f″(1) = −9, f″(4) = 9

x = 1

Jawaban

x = 1

5.Integral

Jawaban: I = 156

Integral tentu: ∫ₐᵇ f(x) dx adalah luas bertanda antara grafik dan sumbu x dari a ke b. Cari antiturunan F (dengan F′ = f) dan hitung F(b) − F(a). Aturan pangkat: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1). Luas antara dua kurva adalah ∫(atas − bawah) dx.

Substitusi

u = x² + 1, du = 2x dx

I = ∫₁⁵ u³ du

Integralkan dan substitusikan batas

I = [u⁴/4]₁⁵ = (625 − 1)/4 = 156

Jawaban

I = 156

6.Integral

Jawaban: A = 1,333

Pembuat nol

1 − x² = 0 → x = ±1

Integralkan

A = [1x − x³/3]₋₁¹ = 0,6667 − (−0,6667) = 1,333

Jawaban

A = 1,333

7.Bilangan kompleks

Jawaban: b = −2,898

Bentuk kutub: z = r∠θ = r(cos θ + j sin θ) = r·e^jθ, dengan r = |z| dan θ = arg z. Kembali ke bentuk kartesius: a = r cos θ, b = r sin θ. Argumen memerlukan kuadran: θ = atan(b/a) hanya jika a > 0; untuk a < 0 tambahkan atau kurangkan 180°. Dalam bentuk kutub perkalian mudah: kalikan modulus dan jumlahkan argumen; untuk pembagian bagi modulus dan kurangkan argumen.

Komponen

a = 3·cos(−75°) = 0,7765

b = 3·sin(−75°) = −2,898

Bentuk kartesius

z = 0,7765 − j2,898

b = −2,898

Jawaban

b = −2,898

8.Bilangan kompleks

Jawaban: Im(z₁) = −6

De Moivre dan akar: (r∠θ)ⁿ = rⁿ∠nθ. Persamaan zⁿ = R∠φ memiliki tepat n akar, semuanya bermodulus R^1/n, pada argumen (φ + 360°·k)/n untuk k = 0, 1, …, n − 1: akar-akar itu tersebar merata pada sebuah lingkaran, berjarak 360°/n. Persamaan kuadrat z² + pz + q = 0 dengan p² < 4q memiliki akar kompleks z = −p/2 ± j√(q − p²/4); polinom berkoefisien real selalu memiliki akar kompleks dalam pasangan konjugat a ± jb.

Modulus akar-akar

36^1/2 = 6

Argumen akar

θ₁ = (180° + 360°·1)/2 = 270° → −90°

Bentuk kartesius

z₁ = 6·(cos −90° + j sin −90°) = −j6

Im(z₁) = −6

Jawaban

Im(z₁) = −6

2 akar itu terletak pada lingkaran berjari-jari 6, dengan jarak sudut 180°.

9.Persamaan diferensial

Jawaban: y(1.5) = 0,4357

Persamaan linear orde dua: untuk y″ + b·y′ + c·y = 0 coba y = e^rt: ini memberi persamaan karakteristik r² + b·r + c = 0. Dua akar real r₁ ≠ r₂ memberi y = A·e^r₁t + B·e^r₂t (redaman lebih); akar ganda r memberi y = (A + Bt)·e^rt (redaman kritis); akar kompleks −α ± jω memberi y = e^−αt(A cos ωt + B sin ωt) (redaman kurang, berosilasi). Nilai awal y(0) dan y′(0) menentukan A dan B. Ditulis sebagai y″ + 2ζω_ny′ + ω_n²y = 0, ω_n adalah frekuensi alami dan ζ rasio redaman: ζ < 1 berosilasi. Dengan masukan konstan, y″ + by′ + cy = c·K, penyelesaiannya adalah nilai tunak K ditambah respons bebas.

Akar karakteristik

(r + 2)(r + 4) = 0 → r = −2, −4

Konstanta dari nilai awal

A + B = 4, −2A − 4B = 2

A = 9, B = −5

Hitung nilainya

y(1,5) = 9·e⁻³ + (−5)·e⁻⁶ = 0,4357

Jawaban

y(1,5) = 0,4357

10.Persamaan diferensial

Jawaban: y_max = 8,652

Nilai tunak dan akar-akar

y_ss = 5, r = −0,5 ± 5j

Konstanta dari nilai awal

y(0) = 5 + A = 0 → A = −5

y′(0) = −0,5A + 5B = 0 → B = −0,5

Puncak

t = π/5 = 0,6283

y_max = 5·(1 + e^−0,5·π/5) = 8,652

Jawaban

y_max = 8,652

11.Matriks & determinan

Jawaban: det A = −99

Matriks: determinan matriks 2×2 adalah ad − bc. Untuk 3×3, ekspansikan sepanjang satu baris: setiap entri dikali determinan matriks 2×2 yang tersisa setelah baris dan kolomnya dihapus, dengan tanda bergantian + − +. Nilai eigen λ memenuhi det(A − λI) = 0; untuk 2×2 itu adalah λ² − (trace)·λ + det = 0.

Minor 2×2 baris pertama

M₁₁ = 6, M₁₂ = 24, M₁₃ = −33

Ekspansi kofaktor

det A = (−5)·6 − (−4)·24 + 5·(−33) = −99

Jawaban

det A = −99

12.Matriks & determinan

Jawaban: x = 2,167

Determinan matriks koefisien

det A = 6·2 − 4·6 = −12

Ganti kolom x

det Aₓ = (−7)·2 − 4·3 = −26

x = −26/(−12) = 2,167

Jawaban

x = 2,167

y = −5

13.Vektor: hasil kali titik & silang

Jawaban: k = 5

Dot product: a·b = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z = |a|·|b|·cos θ, a scalar. It gives the angle between two vectors, cos θ = a·b/(|a|·|b|), and it is zero when they are perpendicular. The scalar projection of a onto b is a·b/|b|, and a constant force F moving through a displacement d does work W = F·d.

Hasil kali titik sama dengan nol

a·b = 5·5 + (−5)·k + (−4)·0 = 0

25 + (−5)·k = 0

Selesaikan untuk k

k = −25/(−5) = 5

Jawaban

k = 5

14.Vektor: hasil kali titik & silang

Jawaban: n̂_y = −0,7715

Cross product: a × b = (a_yb_z − a_zb_y, a_zb_x − a_xb_z, a_xb_y − a_yb_x) is perpendicular to both vectors, and |a × b| = |a|·|b|·sin θ is the area of the parallelogram they span (the triangle has half of it). Order matters: b × a = −(a × b). The moment of a force F applied at point A about point O is M_O = r × F, with r = A − O.

Hasil kali silang

(a × b)_x = a_yb_z − a_zb_y = 2·3 − (−2)·(−1) = 4

(a × b)_y = a_zb_x − a_xb_z = (−2)·2 − (−3)·3 = 5

(a × b)_z = a_xb_y − a_yb_x = (−3)·(−1) − 2·2 = −1

Normalkan

Komponen z dari a × b negatif, jadi gunakan −(a × b).

|a × b| = √(4² + 5² + (−1)²) = 6,481

n̂ = −(4, 5, −1)/6,481 = (−0,6172, −0,7715, 0,1543)

n̂_y = −0,7715

Jawaban

n̂_y = −0,7715

15.Peluang

Jawaban: σ = 1,077

Variabel acak diskrit: distribusi peluang mendaftar setiap nilai x yang dapat diambil variabel beserta peluangnya p(x); peluang bernilai antara 0 dan 1 dan jumlahnya 1. Nilai harapan (rata-rata) adalah E(X) = Σx·p(x), rata-rata jangka panjang. Variansi adalah Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², dan simpangan baku σ = √Var(X). Untuk perubahan linear Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) dan σ_Y = |a|·σ_X; menambah konstanta tidak mengubah sebaran.

Rata-rata

μ = 0·0,15 + 1·0,25 + 2·0,25 + 3·0,35 = 1,8

Rata-rata kuadrat

E(X²) = 0·0,15 + 1·0,25 + 4·0,25 + 9·0,35 = 4,4

Variansi

Var(X) = 4,4 − 1,8² = 1,16

σ = √1,16 = 1,077

Jawaban

σ = 1,077

16.Peluang

Jawaban: E(G) = −1 €

Hasil bersih

G: 2 (p = 0,15), 18 (p = 0,02), −2 (p = 0,83)

Nilai harapan

E(G) = 2·0,15 + 18·0,02 − 2·0,83 = −1 €

Jawaban

E(G) = −1 €

Nilai negatif berarti rata-rata Anda kehilangan uang.

17.Statistika deskriptif

Jawaban: s = 15,83

Statistika deskriptif: rata-rata adalah jumlah dibagi n; median adalah nilai tengah data yang terurut (rata-rata dua nilai tengah jika n genap). Simpangan baku sampel s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Skor z z = (x − μ)/σ menyatakan berapa simpangan baku suatu nilai dari rata-rata.

Rata-rata

x̄ = 196/5 = 39,2

Kuadrat simpangan

Σ(x − x̄)² = (−25,2)² + 17,8² + (−1,2)² + 6,8² + 1,8² = 1003

Simpangan baku

s = √(1003/4) = 15,83

Jawaban

s = 15,83

18.Statistika deskriptif

Jawaban: P = 0,02275

Standarkan

z = −2

Tabel normal baku

Φ(−2) = 0,02275

P = 0,02275

Jawaban

P = 0,02275

19.Distribusi normal

Jawaban: z = −2,22

Dari luas kembali ke z: Φ(z) adalah luas di sebelah kiri z. Untuk luas ekor kiri A, cari z dengan Φ(z) = A dalam tabel. Luas ekor kanan A berarti Φ(z) = 1 − A. Luas tengah A di antara −z dan z menyisakan (1 − A)/2 pada setiap ekor, sehingga Φ(z) = (1 + A)/2. Untuk nilai x, pakai x = μ + zσ.

Luas di sebelah kiri z

Φ(z) = 1 − 0,9868 = 0,0132

Baca tabel z secara terbalik

Cari 0,0132 di dalam tabel dan baca z.

z = −2,22

Jawaban

z = −2,22

20.Distribusi normal

Jawaban: x = 70,2 poin

Luas di sebelah kiri

Φ(z) = 0,7

z dari tabel

z ≈ 0,52

Kembali ke satuan semula

x = 65 + 0,52·10 = 70,2 poin

Jawaban

x = 70,2 poin

ExamProblems · examproblems.com/courses/engineering-mathematics