Matematika Teknik: paket kilat

Lembar rumus, langkah-langkah metode utama untuk setiap topik, dan 20 soal latihan, dengan pembahasan lengkap di bagian belakang.

Soal baru Kembali ke mata kuliah

Di jendela cetak, pilih “Simpan sebagai PDF” untuk menyimpan salinan di perangkat Anda.

1Rumus dan metode

Limit

Substitusi langsung: coba x = a dulu; 0/0 berarti sederhanakan
Faktorkan dan coret: xⁿ − aⁿ = (x − a)(xⁿ⁻¹ + a·xⁿ⁻² + … + aⁿ⁻¹)
Sekawan: (√x − √a)(√x + √a) = x − a
Limit di tak hingga: bagi dengan pangkat tertinggi x; derajat yang sama menghasilkan rasio koefisien utama
Limit khusus: lim_x→∞ (1 + a/x)^bx = e^ab
Aturan L'Hôpital: lim f/g = lim f′/g′ (0/0 or ∞/∞)

Turunan

Aturan pangkat: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹
Aturan perkalian: (uv)′ = u′v + uv′
Aturan hasil bagi: (u/v)′ = (u′v − uv′)/v²
Aturan rantai: f(g(x))′ = f′(g(x))·g′(x)
Turunan umum: (eˣ)′ = eˣ, (ln x)′ = 1/x, (sin x)′ = cos x, (cos x)′ = −sin x

Metode

Kenali strukturnya: jumlah, hasil kali, hasil bagi, atau komposisi.
Terapkan aturan pangkat pada setiap pangkat x.
Gunakan aturan hasil kali, hasil bagi, atau rantai bila diperlukan.
Sederhanakan, dan hitung nilainya di titik tersebut jika diminta.

Integral

Aturan pangkat: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) + C
Integral tentu: ∫_a^b f dx = F(b) − F(a)
Integral umum: ∫eˣ dx = eˣ, ∫1/x dx = ln|x|, ∫sin x dx = −cos x
Luas daerah antara kurva: ∫_a^b (f − g) dx

Metode

Tulis ulang integran sebagai jumlah suku-suku sederhana bila memungkinkan.
Terapkan aturan pangkat: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1), dan integral standar untuk e^x, 1/x, sin, dan cos.
Gunakan substitusi saat Anda melihat suatu fungsi bersama turunannya.
Untuk integral tentu, hitung F(b) − F(a).

Bilangan kompleks

Bentuk kartesius: z = a + jb, j² = −1, z̄ = a − jb
Modulus dan argumen: |z| = √(a² + b²), tan θ = b/a (check the quadrant)
Bentuk kutub dan eksponensial: z = r∠θ = r(cos θ + j sin θ) = r·e^jθ
Pembagian: z₁/z₂ = z₁z̄₂/|z₂|²
Hasil kali dan hasil bagi: r₁∠θ₁ · r₂∠θ₂ = r₁r₂∠(θ₁ + θ₂), r₁∠θ₁ / r₂∠θ₂ = (r₁/r₂)∠(θ₁ − θ₂)
De Moivre: (r∠θ)ⁿ = rⁿ∠nθ
Akar ke-n: z_k = R^1/n∠((φ + 360°·k)/n), k = 0 … n − 1
Kuadratik dengan p² < 4q: z = −p/2 ± j√(q − p²/4)

Metode

Tentukan bentuk yang cocok untuk operasinya: kartesius a + jb untuk menjumlahkan dan mengurangkan, kutub r∠θ untuk mengalikan, membagi, pangkat, dan akar.
Kalikan dengan j² = −1; bagi dengan mengalikan pembilang dan penyebut dengan konjugat penyebut.
Ubah dengan r = √(a² + b²) dan θ dari sketsa titik (periksa kuadran), dan kembali dengan a = r cos θ, b = r sin θ.
Untuk pangkat pakai De Moivre, (r∠θ)ⁿ = rⁿ∠nθ; untuk zⁿ = R∠φ daftarkan semua n akar R^1/n∠((φ + 360°k)/n).

Persamaan diferensial

Pertumbuhan/peluruhan eksponensial: dy/dt = ky → y = y₀e^kt
Waktu paruh: k = ln 2 / t_½
Hukum pendinginan Newton: T(t) = T_a + (T₀ − T_a)e^−kt
Faktor integrasi: y′ + p(x)y = q(x): μ = e^{∫p dx}, (μy)′ = μq
Tangki pencampuran: dm/dt = r·c − (r/V)·m

Matriks & determinan

determinan 2×2: det = ad − bc
Invers 2×2: A⁻¹ = (1/det)·[d −b; −c a]
Produk: (AB)_ij = Σ_k A_ikB_kj
Nilai eigen: det(A − λI) = 0
Aturan Cramer: x_i = det(A_i)/det(A)

Vektor: hasil kali titik & silang

Besar: |a| = √(a_x² + a_y² + a_z²)
Vektor satuan: û = a/|a|
Komponen dari sebuah sudut: F_x = F·cos θ, F_y = F·sin θ
Hasil kali titik: a·b = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z = |a||b|cos θ
Proyeksi skalar a pada b: a·b/|b|
Usaha: W = F·d
Hasil kali silang: a × b = (a_yb_z − a_zb_y, a_zb_x − a_xb_z, a_xb_y − a_yb_x)
Luas: jajar genjang |a × b|, segitiga ½|a × b|
Momen terhadap O: M_O = r × F, r = A − O
Volume paralelepipedum: V = |a·(b × c)|

Metode

Tulis setiap vektor dalam komponen; untuk gaya yang diberikan dengan besar dan sudut, gunakan F·cos θ dan F·sin θ.
Untuk panjang dan arah gunakan besar √(x² + y² + z²) dan vektor satuan a/|a|.
Gunakan hasil kali titik untuk sudut, proyeksi, ketegaklurusan, dan usaha: a·b = |a||b|cos θ.
Gunakan hasil kali silang untuk vektor tegak lurus, luas, dan momen: tulis ketiga komponen dengan teliti, jaga urutan a × b.

Peluang

Komplemen: P(not A) = 1 − P(A)
Aturan penjumlahan: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Kejadian saling bebas: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Peluang bersyarat: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Binomial: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Statistika deskriptif

Rata-rata: x̄ = Σx/n
Simpangan baku sampel: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Median: nilai tengah data yang telah diurutkan
Skor z: z = (x − μ)/σ
Distribusi normal: 68% dalam ±1σ, 95% dalam ±2σ

Distribusi normal

Skor z: z = (x − μ)/σ
Di bawah x: P(X < x) = Φ(z)
Di atas x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Di antara: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Persentil: x = μ + z·σ

Metode

Ubah nilainya menjadi skor z: z = (x − μ)/σ.
Cari Φ(z), luas di sebelah kiri z.
Untuk luas di sebelah kanan gunakan 1 − Φ(z); untuk suatu selang kurangkan kedua luas kiri.
Untuk persentil, kerjakan mundur: cari z untuk luasnya, lalu x = μ + z·σ.

2Soal latihan

1.LimitSedang

Cari limit L = lim_x→∞ (4x² + 5x − 1)/(x² + 6x + 6).

f(x) = (4x² + 5x − 1)/(x² + 6x + 6)x → ∞

L =

2.LimitSulit

Cari limit L = lim_x→0 ln(1 + x)/sin(3x), dengan x dalam radian.

f(x) = ln(1 + x)/sin(3x)x → 0

L =

3.TurunanSedang

Misalkan f(x) = x²·e^−0,5x. Tentukan f′(1,5).

f(x) = x²·e^−0,5xx = 1,5

f′(1.5) =

4.TurunanSulit

Misalkan f(x) = x³ − 10,5x² + 30x + 6. Tentukan koordinat x x dari maksimum lokal.

f(x) = x³ − 10,5x² + 30x + 6

x =

5.IntegralSedang

Hitung I = ∫₀¹ 2x·(x² + 1)² dx.

f(x) = 2x·(x² + 1)²[0, 1]

I =

6.IntegralSulit

Tentukan luas A daerah yang dibatasi oleh y = 0,5x² dan y = 3x.

y = 0,5x²y = 3x

A =

7.Bilangan kompleksSedang

Bilangan z = 1,5·e^j0,6 memiliki sudut dalam radian. Carilah bagian realnya a.

r = 1,5θ = 0,6 rad

a =

8.Bilangan kompleksSulit

Salah satu akar z³ + 7z² + 19z + 13 = 0 adalah z₁ = −3 + j2. Koefisiennya real. Carilah akar real r.

z₁ = −3 + j2

r =

9.Persamaan diferensialSedang

Selesaikan y″ + 4y′ + 3y = 0 dengan y(0) = 3 dan y′(0) = 2. Cari y(1,5).

y″ + 4y′ + 3y = 0y(0) = 3y′(0) = 2

y(1.5) =

10.Persamaan diferensialSulit

Selesaikan masalah nilai awal y′ + 3y/x = x untuk x > 0, dengan y(1) = −3. Cari y(2).

y′ + 3y/x = xy(1) = −3

y(2) =

11.Matriks & determinanSedang

Tentukan determinan det A dari matriks 3×3 A yang ditunjukkan.

A = [−4 −1 −4; −1 −5 −1; 0 0 2]

det A =

12.Matriks & determinanSulit

Selesaikan sistem 6x + y = −8 dan x + y = 7. Tentukan x.

6x + y = −8x + y = 7

x =

13.Vektor: hasil kali titik & silangSedang

Tentukan proyeksi skalar comp_b a dari a = (3, −2, −5) pada b = (−5, 0, −2), yaitu komponen a searah b.

a = (3, −2, −5)b = (−5, 0, −2)

comp_b a =

14.Vektor: hasil kali titik & silangSulit

Vektor satuan n̂ tegak lurus terhadap a = (3, 5, −1) dan b = (−4, 0, −4) serta memiliki komponen z positif. Tentukan komponen y n̂_y.

a = (3, 5, −1)b = (−4, 0, −4)n̂_z > 0

n̂_y =

15.PeluangSedang

Untuk distribusi yang ditunjukkan, cari variansi Var(X) dari X.

x: 0, 1, 2, 3, 4p(x): 0,35, 0,15, 0,1, 0,05, 0,35

Var(X) =

16.PeluangSulit

Sebuah permainan berbiaya €2 untuk dimainkan. Anda memenangkan €10 dengan peluang 0,1 dan €20 dengan peluang 0,01; selain itu Anda tidak memperoleh apa-apa. Taruhan tidak dikembalikan. Cari keuntungan bersih yang diharapkan E(G) per permainan.

taruhan = €2€10: p = 0,1€20: p = 0,01

E(G) = €

17.Statistika deskriptifSedang

Tentukan simpangan baku sampel s dari data: 15, 10, 36, 40, 53, 32, 30.

n = 7

s =

18.Statistika deskriptifSulit

Nilai ujian berdistribusi normal dengan rata-rata 100 dan simpangan baku 8. Tentukan skor z z untuk nilai 108.

μ = 100σ = 8x = 108

z =

19.Distribusi normalSedang

Data skor IQ berdistribusi normal dengan rata-rata 100 poin dan simpangan baku 15 poin. Berapa proporsi yang berada di antara 76,75 dan 127,75 poin? Nyatakan P dalam bentuk desimal.

μ = 100σ = 15x₁ = 76,75x₂ = 127,75

P =

20.Distribusi normalSulit

Data tinggi badan pria dewasa berdistribusi normal dengan rata-rata 178 cm dan simpangan baku 7 cm. Tentukan nilai x yang di bawahnya terdapat 95% data (persentil ke-95).

μ = 178σ = 7P = 95%

x = cm

3Larutan

1.Limit

Jawaban: L = 4

Limit: coba dulu substitusi langsung. Jika hasilnya 0/0, sederhanakan dulu: faktorkan dan coret faktor yang sama, atau kalikan dengan bentuk sekawan. Untuk x → ∞, bagi pembilang dan penyebut dengan pangkat tertinggi x. Aturan L'Hôpital: jika f/g memberikan 0/0 atau ∞/∞, maka lim f/g = lim f′/g′, dengan menurunkan pembilang dan penyebut secara terpisah (bukan dengan aturan hasil bagi).

Bagi dengan pangkat tertinggi

(4 + 5/x + (−1)/x²)/(1 + 6/x + 6/x²)

Biarkan x → ∞

L = 4/1 = 4

Jawaban

L = 4

Untuk derajat yang sama, limitnya adalah rasio koefisien utama.

2.Limit

Jawaban: L = 0,3333

Aturan L'Hôpital

L = lim_x→0 [1/(1 + x)]/[3·cos 3x]

Substitusikan x = 0

L = 1/3 = 0,3333

Jawaban

L = 0,3333

3.Turunan

Jawaban: f′(1.5) = 0,8857

Diferensial: turunan f′(x) adalah kemiringan grafik di x. Aturan pangkat: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹. Aturan perkalian: (uv)′ = u′v + uv′. Aturan rantai: (f(g(x)))′ = f′(g(x))·g′(x). Di mana f′(x) = 0, grafik memiliki garis singgung mendatar: maksimum, minimum, atau titik pelana.

Aturan perkalian

f′(x) = u′v + uv′ = e^−0,5x·(2x + (−0,5)·x²)

Substitusikan

f′(1,5) = 0,4724·(3 + (−1,125)) = 0,8857

Jawaban

f′(1,5) = 0,8857

4.Turunan

Jawaban: x = 2

Turunan

f′(x) = 3x² − 21x + 30 = 3·(x² − 7x + 10)

Selesaikan f′(x) = 0

x = 2 atau x = 5

Mana yang mana

f″(x) = 6x − 21: negatif di maksimum, positif di minimum.

f″(2) = −9, f″(5) = 9

x = 2

Jawaban

x = 2

5.Integral

Jawaban: I = 2,333

Integral tentu: ∫ₐᵇ f(x) dx adalah luas bertanda antara grafik dan sumbu x dari a ke b. Cari antiturunan F (dengan F′ = f) dan hitung F(b) − F(a). Aturan pangkat: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1). Luas antara dua kurva adalah ∫(atas − bawah) dx.

Substitusi

u = x² + 1, du = 2x dx

I = ∫₁² u² du

Integralkan dan substitusikan batas

I = [u³/3]₁² = (8 − 1)/3 = 2,333

Jawaban

I = 2,333

6.Integral

Jawaban: A = 18

Titik potong

0,5x² = 3x → x = 0, x = 6

Integralkan atas dikurangi bawah

A = [1,5x² − 0,1667x³]₀⁶ = 18

Jawaban

A = 18

7.Bilangan kompleks

Jawaban: a = 1,238

Bentuk kutub: z = r∠θ = r(cos θ + j sin θ) = r·e^jθ, dengan r = |z| dan θ = arg z. Kembali ke bentuk kartesius: a = r cos θ, b = r sin θ. Argumen memerlukan kuadran: θ = atan(b/a) hanya jika a > 0; untuk a < 0 tambahkan atau kurangkan 180°. Dalam bentuk kutub perkalian mudah: kalikan modulus dan jumlahkan argumen; untuk pembagian bagi modulus dan kurangkan argumen.

Rumus Euler

z = 1,5·(cos 0,6 + j sin 0,6)

Komponen (radian)

a = 1,5·cos 0,6 = 1,238

b = 1,5·sin 0,6 = 0,847

a = 1,238

Jawaban

a = 1,238

8.Bilangan kompleks

Jawaban: r = −1

De Moivre dan akar: (r∠θ)ⁿ = rⁿ∠nθ. Persamaan zⁿ = R∠φ memiliki tepat n akar, semuanya bermodulus R^1/n, pada argumen (φ + 360°·k)/n untuk k = 0, 1, …, n − 1: akar-akar itu tersebar merata pada sebuah lingkaran, berjarak 360°/n. Persamaan kuadrat z² + pz + q = 0 dengan p² < 4q memiliki akar kompleks z = −p/2 ± j√(q − p²/4); polinom berkoefisien real selalu memiliki akar kompleks dalam pasangan konjugat a ± jb.

Pasangan konjugat

z₂ = −3 − j2

(z − z₁)(z − z₂) = z² − 2·(−3)·z + ((−3)² + 2²) = z² + 6z + 13

Faktorkan kuadratiknya

z³ + 7z² + 19z + 13 = (z² + 6z + 13)(z + 1)

Akar real

r = −1

Jawaban

r = −1

Periksa dengan jumlah akar: z₁ + z₂ + r = −6 + (−1) = −7 = −(7).

9.Persamaan diferensial

Jawaban: y(1.5) = 1,199

Persamaan linear orde dua: untuk y″ + b·y′ + c·y = 0 coba y = e^rt: ini memberi persamaan karakteristik r² + b·r + c = 0. Dua akar real r₁ ≠ r₂ memberi y = A·e^r₁t + B·e^r₂t (redaman lebih); akar ganda r memberi y = (A + Bt)·e^rt (redaman kritis); akar kompleks −α ± jω memberi y = e^−αt(A cos ωt + B sin ωt) (redaman kurang, berosilasi). Nilai awal y(0) dan y′(0) menentukan A dan B. Ditulis sebagai y″ + 2ζω_ny′ + ω_n²y = 0, ω_n adalah frekuensi alami dan ζ rasio redaman: ζ < 1 berosilasi. Dengan masukan konstan, y″ + by′ + cy = c·K, penyelesaiannya adalah nilai tunak K ditambah respons bebas.

Akar karakteristik

(r + 1)(r + 3) = 0 → r = −1, −3

Konstanta dari nilai awal

A + B = 3, −1A − 3B = 2

A = 5,5, B = −2,5

Hitung nilainya

y(1,5) = 5,5·e^−1,5 + (−2,5)·e^−4,5 = 1,199

Jawaban

y(1,5) = 1,199

10.Persamaan diferensial

Jawaban: y(2) = 0,4

Persamaan diferensial orde satu: dy/dt = k·y memiliki penyelesaian y = y₀·e^kt (pertumbuhan untuk k > 0, peluruhan untuk k < 0); waktu paruh T memberikan k = ln 2/T. Hukum pendinginan Newton, dT/dt = −k·(T − Tₐ), memberikan T(t) = Tₐ + (T₀ − Tₐ)·e^−kt. Persamaan linear y′ + p(x)·y = q(x) diselesaikan dengan faktor integrasi μ = e^{∫p dx}: (μy)′ = μq, sehingga μy = ∫μq dx + C.

Faktor integrasi

μ = e^{∫3/x dx} = x³

Integralkan

(x³y)′ = x⁴ → x³y = 1x⁵/5 + C

Kondisi awal

−3 = 1/5 + C → C = −3,2

Hitung nilainya

y(2) = (1·2⁵/5 + (−3,2))/2³ = 0,4

Jawaban

y(2) = 0,4

11.Matriks & determinan

Jawaban: det A = 38

Matriks: determinan matriks 2×2 adalah ad − bc. Untuk 3×3, ekspansikan sepanjang satu baris: setiap entri dikali determinan matriks 2×2 yang tersisa setelah baris dan kolomnya dihapus, dengan tanda bergantian + − +. Nilai eigen λ memenuhi det(A − λI) = 0; untuk 2×2 itu adalah λ² − (trace)·λ + det = 0.

Minor 2×2 baris pertama

M₁₁ = −10, M₁₂ = −2, M₁₃ = 0

Ekspansi kofaktor

det A = (−4)·(−10) − (−1)·(−2) + (−4)·0 = 38

Jawaban

det A = 38

12.Matriks & determinan

Jawaban: x = −3

Determinan matriks koefisien

det A = 6·1 − 1·1 = 5

Ganti kolom x

det Aₓ = (−8)·1 − 1·7 = −15

x = −15/5 = −3

Jawaban

x = −3

y = 10

13.Vektor: hasil kali titik & silang

Jawaban: comp_b a = −0,9285

Perkalian titik: a·b = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z = |a|·|b|·cos θ, sebuah skalar. Perkalian ini memberi sudut antara dua vektor, cos θ = a·b/(|a|·|b|), dan bernilai nol jika keduanya tegak lurus. Proyeksi skalar a pada b adalah a·b/|b|, dan gaya konstan F yang bergerak sejauh perpindahan d melakukan usaha W = F·d.

Hasil kali titik

a·b = 3·(−5) + (−2)·0 + (−5)·(−2) = −5

Panjang b

|b| = √((−5)² + 0² + (−2)²) = 5,385

Proyeksi skalar

comp_b a = a·b/|b| = −5/5,385 = −0,9285

Jawaban

comp_b a = −0,9285

Negatif: a memiliki komponen yang berlawanan arah dengan b.

14.Vektor: hasil kali titik & silang

Jawaban: n̂_y = 0,4924

Perkalian silang: a × b = (a_yb_z − a_zb_y, a_zb_x − a_xb_z, a_xb_y − a_yb_x) tegak lurus terhadap kedua vektor, dan |a × b| = |a|·|b|·sin θ adalah luas jajar genjang yang direntang keduanya (segitiganya setengah dari itu). Urutan berpengaruh: b × a = −(a × b). Momen gaya F yang bekerja di titik A terhadap titik O adalah M_O = r × F, dengan r = A − O.

Hasil kali silang

(a × b)_x = a_yb_z − a_zb_y = 5·(−4) − (−1)·0 = −20

(a × b)_y = a_zb_x − a_xb_z = (−1)·(−4) − 3·(−4) = 16

(a × b)_z = a_xb_y − a_yb_x = 3·0 − 5·(−4) = 20

Normalkan

Komponen z dari a × b sudah positif.

|a × b| = √((−20)² + 16² + 20²) = 32,5

n̂ = (−20, 16, 20)/32,5 = (−0,6155, 0,4924, 0,6155)

n̂_y = 0,4924

Jawaban

n̂_y = 0,4924

15.Peluang

Jawaban: Var(X) = 2,99

Variabel acak diskrit: distribusi peluang mendaftar setiap nilai x yang dapat diambil variabel beserta peluangnya p(x); peluang bernilai antara 0 dan 1 dan jumlahnya 1. Nilai harapan (rata-rata) adalah E(X) = Σx·p(x), rata-rata jangka panjang. Variansi adalah Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², dan simpangan baku σ = √Var(X). Untuk perubahan linear Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) dan σ_Y = |a|·σ_X; menambah konstanta tidak mengubah sebaran.

Rata-rata

μ = 0·0,35 + 1·0,15 + 2·0,1 + 3·0,05 + 4·0,35 = 1,9

Rata-rata kuadrat

E(X²) = 0·0,35 + 1·0,15 + 4·0,1 + 9·0,05 + 16·0,35 = 6,6

Variansi

Var(X) = 6,6 − 1,9² = 2,99

Jawaban

Var(X) = 2,99

16.Peluang

Jawaban: E(G) = −0,8 €

Hasil bersih

G: 8 (p = 0,1), 18 (p = 0,01), −2 (p = 0,89)

Nilai harapan

E(G) = 8·0,1 + 18·0,01 − 2·0,89 = −0,8 €

Jawaban

E(G) = −0,8 €

Nilai negatif berarti rata-rata Anda kehilangan uang.

17.Statistika deskriptif

Jawaban: s = 14,66

Statistika deskriptif: rata-rata adalah jumlah dibagi n; median adalah nilai tengah data yang terurut (rata-rata dua nilai tengah jika n genap). Simpangan baku sampel s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Skor z z = (x − μ)/σ menyatakan berapa simpangan baku suatu nilai dari rata-rata.

Rata-rata

x̄ = 216/7 = 30,86

Kuadrat simpangan

Σ(x − x̄)² = (−15,86)² + (−20,86)² + 5,143² + 9,143² + 22,14² + 1,143² + (−0,8571)² = 1289

Simpangan baku

s = √(1289/6) = 14,66

Jawaban

s = 14,66

18.Statistika deskriptif

Jawaban: z = 1

Standarkan

z = (108 − 100)/8 = 1

Jawaban

z = 1

19.Distribusi normal

Jawaban: P = 0,9073

Distribusi normal: ubah nilai x menjadi skor z, z = (x − μ)/σ, yang menghitung berapa simpangan baku dari rata-rata. Tabel z (atau Φ(z)) memberikan luas di sebelah kiri z, yaitu P(X < x). Luas di sebelah kanan adalah 1 − Φ(z), dan luas di antara dua nilai adalah selisih kedua luasnya.

Skor z

z₁ = (76,75 − 100)/15 = −1,55

z₂ = (127,75 − 100)/15 = 1,85

Luas di antara

P = Φ(1,85) − Φ(−1,55) = 0,9678 − 0,06057 = 0,9073

Jawaban

P = 0,9073

20.Distribusi normal

Jawaban: x = 189,5 cm

z untuk persentil

Φ(z) = 0,95 → z = 1,645

Kembali ke x

x = 178 + 1,645·7 = 189,51 cm

Jawaban

x = 189,51 cm

ExamProblems · examproblems.com/courses/engineering-mathematics