Matematika Teknik: paket kilat

Lembar rumus, langkah-langkah metode utama untuk setiap topik, dan 20 soal latihan, dengan pembahasan lengkap di bagian belakang.

Soal baru Kembali ke mata kuliah

Di jendela cetak, pilih “Simpan sebagai PDF” untuk menyimpan salinan di perangkat Anda.

1Rumus dan metode

Limit

Substitusi langsung: coba x = a dulu; 0/0 berarti sederhanakan
Faktorkan dan coret: xⁿ − aⁿ = (x − a)(xⁿ⁻¹ + a·xⁿ⁻² + … + aⁿ⁻¹)
Sekawan: (√x − √a)(√x + √a) = x − a
Limit di tak hingga: bagi dengan pangkat tertinggi x; derajat yang sama menghasilkan rasio koefisien utama
Limit khusus: lim_x→∞ (1 + a/x)^bx = e^ab
Aturan L'Hôpital: lim f/g = lim f′/g′ (0/0 or ∞/∞)

Turunan

Aturan pangkat: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹
Aturan perkalian: (uv)′ = u′v + uv′
Aturan hasil bagi: (u/v)′ = (u′v − uv′)/v²
Aturan rantai: f(g(x))′ = f′(g(x))·g′(x)
Turunan umum: (eˣ)′ = eˣ, (ln x)′ = 1/x, (sin x)′ = cos x, (cos x)′ = −sin x

Metode

Kenali strukturnya: jumlah, hasil kali, hasil bagi, atau komposisi.
Terapkan aturan pangkat pada setiap pangkat x.
Gunakan aturan hasil kali, hasil bagi, atau rantai bila diperlukan.
Sederhanakan, dan hitung nilainya di titik tersebut jika diminta.

Integral

Aturan pangkat: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) + C
Integral tentu: ∫_a^b f dx = F(b) − F(a)
Integral umum: ∫eˣ dx = eˣ, ∫1/x dx = ln|x|, ∫sin x dx = −cos x
Luas daerah antara kurva: ∫_a^b (f − g) dx

Metode

Tulis ulang integran sebagai jumlah suku-suku sederhana bila memungkinkan.
Terapkan aturan pangkat: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1), dan integral standar untuk e^x, 1/x, sin, dan cos.
Gunakan substitusi saat Anda melihat suatu fungsi bersama turunannya.
Untuk integral tentu, hitung F(b) − F(a).

Bilangan kompleks

Bentuk kartesius: z = a + jb, j² = −1, z̄ = a − jb
Modulus dan argumen: |z| = √(a² + b²), tan θ = b/a (check the quadrant)
Bentuk kutub dan eksponensial: z = r∠θ = r(cos θ + j sin θ) = r·e^jθ
Pembagian: z₁/z₂ = z₁z̄₂/|z₂|²
Hasil kali dan hasil bagi: r₁∠θ₁ · r₂∠θ₂ = r₁r₂∠(θ₁ + θ₂), r₁∠θ₁ / r₂∠θ₂ = (r₁/r₂)∠(θ₁ − θ₂)
De Moivre: (r∠θ)ⁿ = rⁿ∠nθ
Akar ke-n: z_k = R^1/n∠((φ + 360°·k)/n), k = 0 … n − 1
Kuadratik dengan p² < 4q: z = −p/2 ± j√(q − p²/4)

Metode

Tentukan bentuk yang cocok untuk operasinya: kartesius a + jb untuk menjumlahkan dan mengurangkan, kutub r∠θ untuk mengalikan, membagi, pangkat, dan akar.
Kalikan dengan j² = −1; bagi dengan mengalikan pembilang dan penyebut dengan konjugat penyebut.
Ubah dengan r = √(a² + b²) dan θ dari sketsa titik (periksa kuadran), dan kembali dengan a = r cos θ, b = r sin θ.
Untuk pangkat pakai De Moivre, (r∠θ)ⁿ = rⁿ∠nθ; untuk zⁿ = R∠φ daftarkan semua n akar R^1/n∠((φ + 360°k)/n).

Persamaan diferensial

Pertumbuhan/peluruhan eksponensial: dy/dt = ky → y = y₀e^kt
Waktu paruh: k = ln 2 / t_½
Hukum pendinginan Newton: T(t) = T_a + (T₀ − T_a)e^−kt
Faktor integrasi: y′ + p(x)y = q(x): μ = e^{∫p dx}, (μy)′ = μq
Tangki pencampuran: dm/dt = r·c − (r/V)·m

Matriks & determinan

determinan 2×2: det = ad − bc
Invers 2×2: A⁻¹ = (1/det)·[d −b; −c a]
Produk: (AB)_ij = Σ_k A_ikB_kj
Nilai eigen: det(A − λI) = 0
Aturan Cramer: x_i = det(A_i)/det(A)

Vektor: hasil kali titik & silang

Besar: |a| = √(a_x² + a_y² + a_z²)
Vektor satuan: û = a/|a|
Komponen dari sebuah sudut: F_x = F·cos θ, F_y = F·sin θ
Hasil kali titik: a·b = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z = |a||b|cos θ
Proyeksi skalar a pada b: a·b/|b|
Usaha: W = F·d
Hasil kali silang: a × b = (a_yb_z − a_zb_y, a_zb_x − a_xb_z, a_xb_y − a_yb_x)
Luas: jajar genjang |a × b|, segitiga ½|a × b|
Momen terhadap O: M_O = r × F, r = A − O
Volume paralelepipedum: V = |a·(b × c)|

Metode

Tulis setiap vektor dalam komponen; untuk gaya yang diberikan dengan besar dan sudut, gunakan F·cos θ dan F·sin θ.
Untuk panjang dan arah gunakan besar √(x² + y² + z²) dan vektor satuan a/|a|.
Gunakan hasil kali titik untuk sudut, proyeksi, ketegaklurusan, dan usaha: a·b = |a||b|cos θ.
Gunakan hasil kali silang untuk vektor tegak lurus, luas, dan momen: tulis ketiga komponen dengan teliti, jaga urutan a × b.

Peluang

Komplemen: P(not A) = 1 − P(A)
Aturan penjumlahan: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Kejadian saling bebas: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Peluang bersyarat: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Binomial: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Statistika deskriptif

Rata-rata: x̄ = Σx/n
Simpangan baku sampel: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Median: nilai tengah data yang telah diurutkan
Skor z: z = (x − μ)/σ
Distribusi normal: 68% dalam ±1σ, 95% dalam ±2σ

Distribusi normal

Skor z: z = (x − μ)/σ
Di bawah x: P(X < x) = Φ(z)
Di atas x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Di antara: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Persentil: x = μ + z·σ

Metode

Ubah nilainya menjadi skor z: z = (x − μ)/σ.
Cari Φ(z), luas di sebelah kiri z.
Untuk luas di sebelah kanan gunakan 1 − Φ(z); untuk suatu selang kurangkan kedua luas kiri.
Untuk persentil, kerjakan mundur: cari z untuk luasnya, lalu x = μ + z·σ.

2Soal latihan

1.LimitSedang

Cari limit L = lim_x→∞ (1 − 1/x)^x. Berikan nilai desimal.

f(x) = (1 − 1/x)^xx → ∞

L =

2.LimitSulit

Cari limit L = lim_x→0 (1 − cos 2x)/(3x²), dengan x dalam radian.

f(x) = (1 − cos 2x)/(3x²)x → 0

L =

3.TurunanSedang

Misalkan f(x) = x·sin(3x), dengan x dalam radian. Tentukan f′(2).

f(x) = x·sin(3x)x = 2 rad

f′(2) =

4.TurunanSulit

Garis singgung f(x) = 3x² − 3x − 3 di x = 1 memotong sumbu y di y = b. Tentukan b.

f(x) = 3x² − 3x − 3x = 1

b =

5.IntegralSedang

Hitung I = ∫₀^π/3 x·sin x dx (x dalam radian).

∫₀^π/3 x·sin x dx

I =

6.IntegralSulit

Hitung I = ∫₀^2,5 x²·eˣ dx.

∫₀^2,5 x²eˣ dx

I =

7.Bilangan kompleksSedang

Bilangan z = 3·e^j1,2 memiliki sudut dalam radian. Carilah bagian realnya a.

r = 3θ = 1,2 rad

a =

8.Bilangan kompleksSulit

Tepat satu dari titik A–D adalah akar z³ = 8∠90°. Klik titik itu.

w = 8∠90°n = 3

1A (2∠0°)
2B (2∠−150°)
3C (1∠30°)
4D (2∠30°)

9.Persamaan diferensialSedang

Selesaikan y″ + 8y′ + 15y = 0 dengan y(0) = 1 dan y′(0) = 6. Cari y(0,5).

y″ + 8y′ + 15y = 0y(0) = 1y′(0) = 6

y(0.5) =

10.Persamaan diferensialSulit

Sebuah sistem memenuhi y″ + 2y′ + 26y = 52 untuk t ≥ 0, dimulai dari keadaan diam: y(0) = 0, y′(0) = 0. Cari y(1); sudut dalam radian.

y″ + 2y′ + 26y = 52y(0) = 0y′(0) = 0

y(1) =

11.Matriks & determinanSedang

Misalkan C = AB untuk matriks yang ditunjukkan. Tentukan entri c₁₂ (baris 1, kolom 2).

A = [−2 2; −5 3]B = [−2 3; −4 −2]

c₁₂ =

12.Matriks & determinanSulit

Tentukan nilai eigen yang lebih besar λ dari matriks A yang ditunjukkan.

A = [3 −4; 5 −6]

λ =

13.Vektor: hasil kali titik & silangSedang

Tentukan proyeksi skalar comp_b a dari a = (1, 6, 6) pada b = (6, 5, −5), yaitu komponen a searah b.

a = (1, 6, 6)b = (6, 5, −5)

comp_b a =

14.Vektor: hasil kali titik & silangSulit

Untuk a = (−5, −5, −1) dan b = (−2, −4, 6), tentukan komponen y (a × b)_y dari hasil kali silang a × b.

a = (−5, −5, −1)b = (−2, −4, 6)

(a × b)_y =

15.PeluangSedang

Sebuah dadu adil dilempar 7 kali. Berapa peluang P mendapatkan setidaknya satu angka enam?

n = 7

P =

16.PeluangSulit

7 komponen diuji, dan masing-masing gagal secara saling bebas dengan peluang 0,6. Berapa peluang P paling banyak satu yang gagal?

n = 7p = 0,6

P =

17.Statistika deskriptifSedang

Tentukan simpangan baku sampel s dari data: 26, 12, 17, 59, 16, 28, 55.

n = 7

s =

18.Statistika deskriptifSulit

Suatu besaran berdistribusi normal dengan rata-rata 50 dan simpangan baku 12. Berapa proporsi P nilai di bawah 38?

μ = 50σ = 12x = 38

P =

19.Distribusi normalSedang

Data umur pakai baterai berdistribusi normal dengan rata-rata 500 h dan simpangan baku 40 h. Berapa proporsi yang berada di antara 442 dan 510 h? Nyatakan P dalam bentuk desimal.

μ = 500σ = 40x₁ = 442x₂ = 510

P =

20.Distribusi normalSulit

Data nilai ujian berdistribusi normal dengan rata-rata 65 poin dan simpangan baku 10 poin. Tentukan nilai x yang di bawahnya terdapat 75% data (persentil ke-75).

μ = 65σ = 10P = 75%

x = poin

3Larutan

1.Limit

Jawaban: L = 0,3679

Limit: coba dulu substitusi langsung. Jika hasilnya 0/0, sederhanakan dulu: faktorkan dan coret faktor yang sama, atau kalikan dengan bentuk sekawan. Untuk x → ∞, bagi pembilang dan penyebut dengan pangkat tertinggi x. Aturan L'Hôpital: jika f/g memberikan 0/0 atau ∞/∞, maka lim f/g = lim f′/g′, dengan menurunkan pembilang dan penyebut secara terpisah (bukan dengan aturan hasil bagi).

Ambil logaritmanya

ln L = lim_x→∞ x·ln(1 − 1/x)

Hitung nilainya

ln(1 + u)/u → 1 saat u → 0, sehingga x·ln(1 + a/x) → a.

ln L = 1·(−1) = −1

Batalkan logaritmanya

L = e⁻¹ = 0,3679

Jawaban

L = 0,3679

2.Limit

Jawaban: L = 0,6667

Penerapan pertama

2·sin 2x/(6x) → 0/0

Penerapan kedua

4·cos 2x/6

Substitusikan x = 0

L = 4/6 = 0,6667

Jawaban

L = 0,6667

3.Turunan

Jawaban: f′(2) = 5,482

Diferensial: turunan f′(x) adalah kemiringan grafik di x. Aturan pangkat: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹. Aturan perkalian: (uv)′ = u′v + uv′. Aturan rantai: (f(g(x)))′ = f′(g(x))·g′(x). Di mana f′(x) = 0, grafik memiliki garis singgung mendatar: maksimum, minimum, atau titik pelana.

Aturan perkalian dan rantai

f′(x) = sin(3x) + 3x·cos(3x)

Substitusikan

f′(2) = −0,2794 + 6·0,9602 = 5,482

Jawaban

f′(2) = 5,482

4.Turunan

Jawaban: b = −6

Titik dan kemiringan

f(1) = −3

f′(x) = 6x − 3 → f′(1) = 3

Garis singgung di x = 0

b = f(x₀) − f′(x₀)·x₀ = −3 − 3·1 = −6

Jawaban

b = −6

5.Integral

Jawaban: I = 0,3424

Integrasi parsial: ∫u·dv = u·v − ∫v·du, dari aturan perkalian. Pilih u sebagai faktor yang menjadi lebih sederhana saat diturunkan (pangkat x, atau ln x), dan dv sebagai faktor yang dapat Anda integralkan (eˣ, sin x, cos x, atau x bila u = ln x). Untuk integral tentu, hitung u·v pada kedua batas: ∫ₐᵇ u dv = [u·v]ₐᵇ − ∫ₐᵇ v du. Faktor x² memerlukan dua putaran.

Pilih u dan dv

u = x, du = dx; dv = sin x dx, v = −cos x

Antiturunan

∫x sin x dx = −x cos x + ∫cos x dx = −x cos x + sin x

Limit

(−π/3·cos π/3 + sin π/3) − (0 + 0) = 0,3424

Jawaban

I = 0,3424

6.Integral

Jawaban: I = 37,59

Putaran pertama

∫x²eˣ dx = x²eˣ − ∫2x eˣ dx

Putaran kedua

∫2x eˣ dx = 2x eˣ − 2eˣ

∫x²eˣ dx = eˣ(x² − 2x + 2)

Limit

12,18·(3,25) − 1·2 = 37,59

Jawaban

I = 37,59

7.Bilangan kompleks

Jawaban: a = 1,087

Bentuk kutub: z = r∠θ = r(cos θ + j sin θ) = r·e^jθ, dengan r = |z| dan θ = arg z. Kembali ke bentuk kartesius: a = r cos θ, b = r sin θ. Argumen memerlukan kuadran: θ = atan(b/a) hanya jika a > 0; untuk a < 0 tambahkan atau kurangkan 180°. Dalam bentuk kutub perkalian mudah: kalikan modulus dan jumlahkan argumen; untuk pembagian bagi modulus dan kurangkan argumen.

Rumus Euler

z = 3·(cos 1,2 + j sin 1,2)

Komponen (radian)

a = 3·cos 1,2 = 1,087

b = 3·sin 1,2 = 2,796

a = 1,087

Jawaban

a = 1,087

8.Bilangan kompleks

Jawaban: D (2∠30°)

De Moivre dan akar: (r∠θ)ⁿ = rⁿ∠nθ. Persamaan zⁿ = R∠φ memiliki tepat n akar, semuanya bermodulus R^1/n, pada argumen (φ + 360°·k)/n untuk k = 0, 1, …, n − 1: akar-akar itu tersebar merata pada sebuah lingkaran, berjarak 360°/n. Persamaan kuadrat z² + pz + q = 0 dengan p² < 4q memiliki akar kompleks z = −p/2 ± j√(q − p²/4); polinom berkoefisien real selalu memiliki akar kompleks dalam pasangan konjugat a ± jb.

Modulus dan argumen akar-akar

|z| = 2

θ = 30°, 150°, −90°

Titiknya

D = 2∠30°

Jawaban

D (2∠30°)

9.Persamaan diferensial

Jawaban: y(0.5) = 0,8578

Persamaan linear orde dua: untuk y″ + b·y′ + c·y = 0 coba y = e^rt: ini memberi persamaan karakteristik r² + b·r + c = 0. Dua akar real r₁ ≠ r₂ memberi y = A·e^r₁t + B·e^r₂t (redaman lebih); akar ganda r memberi y = (A + Bt)·e^rt (redaman kritis); akar kompleks −α ± jω memberi y = e^−αt(A cos ωt + B sin ωt) (redaman kurang, berosilasi). Nilai awal y(0) dan y′(0) menentukan A dan B. Ditulis sebagai y″ + 2ζω_ny′ + ω_n²y = 0, ω_n adalah frekuensi alami dan ζ rasio redaman: ζ < 1 berosilasi. Dengan masukan konstan, y″ + by′ + cy = c·K, penyelesaiannya adalah nilai tunak K ditambah respons bebas.

Akar karakteristik

(r + 3)(r + 5) = 0 → r = −3, −5

Konstanta dari nilai awal

A + B = 1, −3A − 5B = 6

A = 5,5, B = −4,5

Hitung nilainya

y(0,5) = 5,5·e^−1,5 + (−4,5)·e^−2,5 = 0,8578

Jawaban

y(0,5) = 0,8578

10.Persamaan diferensial

Jawaban: y(1) = 1,932

Nilai tunak dan akar-akar

y_ss = 2, r = −1 ± 5j

Konstanta dari nilai awal

y(0) = 2 + A = 0 → A = −2

y′(0) = −1A + 5B = 0 → B = −0,4

Hitung nilainya

y(1) = 2·(1 − e⁻¹(cos 5 + 0,2·sin 5)) = 1,932

Jawaban

y(1) = 1,932

11.Matriks & determinan

Jawaban: c₁₂ = −10

Matriks: determinan matriks 2×2 adalah ad − bc. Untuk 3×3, ekspansikan sepanjang satu baris: setiap entri dikali determinan matriks 2×2 yang tersisa setelah baris dan kolomnya dihapus, dengan tanda bergantian + − +. Nilai eigen λ memenuhi det(A − λI) = 0; untuk 2×2 itu adalah λ² − (trace)·λ + det = 0.

Baris kali kolom

c₁₂ = (−2)·3 + 2·(−2) = −10

Jawaban

c₁₂ = −10

12.Matriks & determinan

Jawaban: λ = −1

Persamaan karakteristik

λ² − (−3)λ + (2) = 0

Selesaikan

λ = (−3 ± √(1))/2 → λ = −2, −1

λ = −1

Jawaban

λ = −1

13.Vektor: hasil kali titik & silang

Jawaban: comp_b a = 0,647

Dot product: a·b = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z = |a|·|b|·cos θ, a scalar. It gives the angle between two vectors, cos θ = a·b/(|a|·|b|), and it is zero when they are perpendicular. The scalar projection of a onto b is a·b/|b|, and a constant force F moving through a displacement d does work W = F·d.

Hasil kali titik

a·b = 1·6 + 6·5 + 6·(−5) = 6

Panjang b

|b| = √(6² + 5² + (−5)²) = 9,274

Proyeksi skalar

comp_b a = a·b/|b| = 6/9,274 = 0,647

Jawaban

comp_b a = 0,647

14.Vektor: hasil kali titik & silang

Jawaban: (a × b)_y = 32

Cross product: a × b = (a_yb_z − a_zb_y, a_zb_x − a_xb_z, a_xb_y − a_yb_x) is perpendicular to both vectors, and |a × b| = |a|·|b|·sin θ is the area of the parallelogram they span (the triangle has half of it). Order matters: b × a = −(a × b). The moment of a force F applied at point A about point O is M_O = r × F, with r = A − O.

Hasil kali silang, komponen demi komponen

(a × b)_x = a_yb_z − a_zb_y = (−5)·6 − (−1)·(−4) = −34

(a × b)_y = a_zb_x − a_xb_z = (−1)·(−2) − (−5)·6 = 32

(a × b)_z = a_xb_y − a_yb_x = (−5)·(−4) − (−5)·(−2) = 10

Komponen yang diminta

(a × b)_y = 32

Jawaban

(a × b)_y = 32

Periksa: a × b tegak lurus terhadap kedua vektor, jadi hasil kali titiknya dengan a dan dengan b adalah nol.

15.Peluang

Jawaban: P = 0,7209

Peluang: dengan hasil yang sama mungkin, P(A) = yang diinginkan/total. Untuk kejadian saling bebas, kalikan: P(A dan B) = P(A)·P(B). Komplemen sering membantu: P(setidaknya satu) = 1 − P(tidak ada). Binomial: dalam n percobaan saling bebas dengan peluang sukses p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Komplemen

P(tidak ada enam) = (5/6)⁷ = 0,2791

P = 1 − 0,2791 = 0,7209

Jawaban

P = 0,7209

16.Peluang

Jawaban: P = 0,01884

Nol dan satu kegagalan

P(X = 0) = 0,4⁷ = 0,001638

P(X = 1) = 7·0,6·0,4⁶ = 0,0172

Jumlahkan

P = 0,001638 + 0,0172 = 0,01884

Jawaban

P = 0,01884

17.Statistika deskriptif

Jawaban: s = 19,03

Statistika deskriptif: rata-rata adalah jumlah dibagi n; median adalah nilai tengah data yang terurut (rata-rata dua nilai tengah jika n genap). Simpangan baku sampel s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Skor z z = (x − μ)/σ menyatakan berapa simpangan baku suatu nilai dari rata-rata.

Rata-rata

x̄ = 213/7 = 30,43

Kuadrat simpangan

Σ(x − x̄)² = (−4,429)² + (−18,43)² + (−13,43)² + 28,57² + (−14,43)² + (−2,429)² + 24,57² = 2174

Simpangan baku

s = √(2174/6) = 19,03

Jawaban

s = 19,03

18.Statistika deskriptif

Jawaban: P = 0,1587

Standarkan

z = −1

Tabel normal baku

Φ(−1) = 0,1587

P = 0,1587

Jawaban

P = 0,1587

19.Distribusi normal

Jawaban: P = 0,5252

Distribusi normal: ubah nilai x menjadi skor z, z = (x − μ)/σ, yang menghitung berapa simpangan baku dari rata-rata. Tabel z (atau Φ(z)) memberikan luas di sebelah kiri z, yaitu P(X < x). Luas di sebelah kanan adalah 1 − Φ(z), dan luas di antara dua nilai adalah selisih kedua luasnya.

Skor z

z₁ = (442 − 500)/40 = −1,45

z₂ = (510 − 500)/40 = 0,25

Luas di antara

P = Φ(0,25) − Φ(−1,45) = 0,5987 − 0,07353 = 0,5252

Jawaban

P = 0,5252

20.Distribusi normal

Jawaban: x = 71,75 poin

z untuk persentil

Φ(z) = 0,75 → z = 0,6745

Kembali ke x

x = 65 + 0,6745·10 = 71,75 poin

Jawaban

x = 71,75 poin

ExamProblems · examproblems.com/courses/engineering-mathematics