Matematika Teknik: paket kilat

Lembar rumus, langkah-langkah metode utama untuk setiap topik, dan 20 soal latihan, dengan pembahasan lengkap di bagian belakang.

Soal baru Kembali ke mata kuliah

Di jendela cetak, pilih “Simpan sebagai PDF” untuk menyimpan salinan di perangkat Anda.

1Rumus dan metode

Limit

Substitusi langsung: coba x = a dulu; 0/0 berarti sederhanakan
Faktorkan dan coret: xⁿ − aⁿ = (x − a)(xⁿ⁻¹ + a·xⁿ⁻² + … + aⁿ⁻¹)
Sekawan: (√x − √a)(√x + √a) = x − a
Limit di tak hingga: bagi dengan pangkat tertinggi x; derajat yang sama menghasilkan rasio koefisien utama
Limit khusus: lim_x→∞ (1 + a/x)^bx = e^ab
Aturan L'Hôpital: lim f/g = lim f′/g′ (0/0 or ∞/∞)

Turunan

Aturan pangkat: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹
Aturan perkalian: (uv)′ = u′v + uv′
Aturan hasil bagi: (u/v)′ = (u′v − uv′)/v²
Aturan rantai: f(g(x))′ = f′(g(x))·g′(x)
Turunan umum: (eˣ)′ = eˣ, (ln x)′ = 1/x, (sin x)′ = cos x, (cos x)′ = −sin x

Metode

Kenali strukturnya: jumlah, hasil kali, hasil bagi, atau komposisi.
Terapkan aturan pangkat pada setiap pangkat x.
Gunakan aturan hasil kali, hasil bagi, atau rantai bila diperlukan.
Sederhanakan, dan hitung nilainya di titik tersebut jika diminta.

Integral

Aturan pangkat: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) + C
Integral tentu: ∫_a^b f dx = F(b) − F(a)
Integral umum: ∫eˣ dx = eˣ, ∫1/x dx = ln|x|, ∫sin x dx = −cos x
Luas daerah antara kurva: ∫_a^b (f − g) dx

Metode

Tulis ulang integran sebagai jumlah suku-suku sederhana bila memungkinkan.
Terapkan aturan pangkat: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1), dan integral standar untuk e^x, 1/x, sin, dan cos.
Gunakan substitusi saat Anda melihat suatu fungsi bersama turunannya.
Untuk integral tentu, hitung F(b) − F(a).

Bilangan kompleks

Bentuk kartesius: z = a + jb, j² = −1, z̄ = a − jb
Modulus dan argumen: |z| = √(a² + b²), tan θ = b/a (check the quadrant)
Bentuk kutub dan eksponensial: z = r∠θ = r(cos θ + j sin θ) = r·e^jθ
Pembagian: z₁/z₂ = z₁z̄₂/|z₂|²
Hasil kali dan hasil bagi: r₁∠θ₁ · r₂∠θ₂ = r₁r₂∠(θ₁ + θ₂), r₁∠θ₁ / r₂∠θ₂ = (r₁/r₂)∠(θ₁ − θ₂)
De Moivre: (r∠θ)ⁿ = rⁿ∠nθ
Akar ke-n: z_k = R^1/n∠((φ + 360°·k)/n), k = 0 … n − 1
Kuadratik dengan p² < 4q: z = −p/2 ± j√(q − p²/4)

Metode

Tentukan bentuk yang cocok untuk operasinya: kartesius a + jb untuk menjumlahkan dan mengurangkan, kutub r∠θ untuk mengalikan, membagi, pangkat, dan akar.
Kalikan dengan j² = −1; bagi dengan mengalikan pembilang dan penyebut dengan konjugat penyebut.
Ubah dengan r = √(a² + b²) dan θ dari sketsa titik (periksa kuadran), dan kembali dengan a = r cos θ, b = r sin θ.
Untuk pangkat pakai De Moivre, (r∠θ)ⁿ = rⁿ∠nθ; untuk zⁿ = R∠φ daftarkan semua n akar R^1/n∠((φ + 360°k)/n).

Persamaan diferensial

Pertumbuhan/peluruhan eksponensial: dy/dt = ky → y = y₀e^kt
Waktu paruh: k = ln 2 / t_½
Hukum pendinginan Newton: T(t) = T_a + (T₀ − T_a)e^−kt
Faktor integrasi: y′ + p(x)y = q(x): μ = e^{∫p dx}, (μy)′ = μq
Tangki pencampuran: dm/dt = r·c − (r/V)·m

Matriks & determinan

determinan 2×2: det = ad − bc
Invers 2×2: A⁻¹ = (1/det)·[d −b; −c a]
Produk: (AB)_ij = Σ_k A_ikB_kj
Nilai eigen: det(A − λI) = 0
Aturan Cramer: x_i = det(A_i)/det(A)

Vektor: hasil kali titik & silang

Besar: |a| = √(a_x² + a_y² + a_z²)
Vektor satuan: û = a/|a|
Komponen dari sebuah sudut: F_x = F·cos θ, F_y = F·sin θ
Hasil kali titik: a·b = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z = |a||b|cos θ
Proyeksi skalar a pada b: a·b/|b|
Usaha: W = F·d
Hasil kali silang: a × b = (a_yb_z − a_zb_y, a_zb_x − a_xb_z, a_xb_y − a_yb_x)
Luas: jajar genjang |a × b|, segitiga ½|a × b|
Momen terhadap O: M_O = r × F, r = A − O
Volume paralelepipedum: V = |a·(b × c)|

Metode

Tulis setiap vektor dalam komponen; untuk gaya yang diberikan dengan besar dan sudut, gunakan F·cos θ dan F·sin θ.
Untuk panjang dan arah gunakan besar √(x² + y² + z²) dan vektor satuan a/|a|.
Gunakan hasil kali titik untuk sudut, proyeksi, ketegaklurusan, dan usaha: a·b = |a||b|cos θ.
Gunakan hasil kali silang untuk vektor tegak lurus, luas, dan momen: tulis ketiga komponen dengan teliti, jaga urutan a × b.

Peluang

Komplemen: P(not A) = 1 − P(A)
Aturan penjumlahan: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Kejadian saling bebas: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Peluang bersyarat: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Binomial: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Statistika deskriptif

Rata-rata: x̄ = Σx/n
Simpangan baku sampel: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Median: nilai tengah data yang telah diurutkan
Skor z: z = (x − μ)/σ
Distribusi normal: 68% dalam ±1σ, 95% dalam ±2σ

Distribusi normal

Skor z: z = (x − μ)/σ
Di bawah x: P(X < x) = Φ(z)
Di atas x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Di antara: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Persentil: x = μ + z·σ

Metode

Ubah nilainya menjadi skor z: z = (x − μ)/σ.
Cari Φ(z), luas di sebelah kiri z.
Untuk luas di sebelah kanan gunakan 1 − Φ(z); untuk suatu selang kurangkan kedua luas kiri.
Untuk persentil, kerjakan mundur: cari z untuk luasnya, lalu x = μ + z·σ.

2Soal latihan

1.LimitSedang

Cari limit L = lim_x→∞ (1 − 1/x)^3x. Berikan nilai desimal.

f(x) = (1 − 1/x)^3xx → ∞

L =

2.LimitSulit

Cari limit L = lim_x→0 (e^1,5x − 1 − 1,5x)/x².

f(x) = (e^1,5x − 1 − 1,5x)/x²x → 0

L =

3.TurunanSedang

Misalkan f(x) = ln(3x² + 4). Tentukan f′(−2).

f(x) = ln(3x² + 4)x = −2

f′(−2) =

4.TurunanSulit

Garis singgung f(x) = 0,5x² + 2x + 6 di x = 3 memotong sumbu y di y = b. Tentukan b.

f(x) = 0,5x² + 2x + 6x = 3

b =

5.IntegralSedang

Hitung I = ∫₀¹ 2x·(x² + 1)¹ dx.

f(x) = 2x·(x² + 1)¹[0, 1]

I =

6.IntegralSulit

Tentukan luas A daerah antara parabola y = 9 − x² dan sumbu x.

y = 9 − x²

A =

7.Bilangan kompleksSedang

Tuliskan z = 2∠160° dalam bentuk kartesius a + jb dan berikan bagian imajiner b.

r = 2θ = 160°

b =

8.Bilangan kompleksSulit

Pakai teorema De Moivre untuk mencari bagian real dari z⁴ untuk z = −1 + j.

z = −1 + jn = 4

Re(z⁴) =

9.Persamaan diferensialSedang

Selesaikan y″ + 6y′ + 5y = 0 dengan y(0) = 1 dan y′(0) = 0. Cari y(2).

y″ + 6y′ + 5y = 0y(0) = 1y′(0) = 0

y(2) =

10.Persamaan diferensialSulit

Sebuah sistem memenuhi y″ + y′ + 9,25y = 9,25 untuk t ≥ 0, dimulai dari keadaan diam: y(0) = 0, y′(0) = 0. Cari y(0,5); sudut dalam radian.

y″ + y′ + 9,25y = 9,25y(0) = 0y′(0) = 0

y(0.5) =

11.Matriks & determinanSedang

Tentukan determinan det A dari matriks 3×3 A yang ditunjukkan.

A = [−2 −3 3; −4 2 3; −3 −3 0]

det A =

12.Matriks & determinanSulit

Tentukan nilai eigen yang lebih besar λ dari matriks A yang ditunjukkan.

A = [2 3; −4 −5]

λ =

13.Vektor: hasil kali titik & silangSedang

Tentukan hasil kali titik a·b dari a = (1, 4, 4) dan b = (1, −5, 7).

a = (1, 4, 4)b = (1, −5, 7)

a·b =

14.Vektor: hasil kali titik & silangSulit

Sebuah gaya F = (0, 60, −20) N bekerja di titik A(−3, 1, 1). Koordinat dalam meter. Tentukan komponen x M_x dari momen gaya terhadap titik asal O(0, 0, 0).

F = (0, 60, −20) NA(−3, 1, 1) mO(0, 0, 0) m

M_x = N·m

15.PeluangSedang

Dengan berapa cara N sebuah panitia berisi 4 orang dapat dipilih dari kelompok 12 orang? Urutan tidak penting.

n = 12k = 4

N =

16.PeluangSulit

5 komponen diuji, dan masing-masing gagal secara saling bebas dengan peluang 0,5. Berapa peluang P paling banyak satu yang gagal?

n = 5p = 0,5

P =

17.Statistika deskriptifSedang

Tentukan simpangan baku sampel s dari data: 11, 32, 53, 40, 25, 37.

n = 6

s =

18.Statistika deskriptifSulit

Suatu besaran berdistribusi normal dengan rata-rata 50 dan simpangan baku 20. Berapa proporsi P nilai di atas 26?

μ = 50σ = 20x = 26

P =

19.Distribusi normalSedang

Seret z sehingga luas berarsir di antara −z dan z di bawah kurva normal baku adalah 0,9312. Cari z sampai dua desimal.

A = 0,9312

z =

20.Distribusi normalSulit

Data tinggi badan pria dewasa berdistribusi normal dengan rata-rata 178 cm dan simpangan baku 7 cm. Tentukan nilai x yang di bawahnya terdapat 90% data (persentil ke-90).

μ = 178σ = 7P = 90%

x = cm

3Larutan

1.Limit

Jawaban: L = 0,04979

Limit: coba dulu substitusi langsung. Jika hasilnya 0/0, sederhanakan dulu: faktorkan dan coret faktor yang sama, atau kalikan dengan bentuk sekawan. Untuk x → ∞, bagi pembilang dan penyebut dengan pangkat tertinggi x. Aturan L'Hôpital: jika f/g memberikan 0/0 atau ∞/∞, maka lim f/g = lim f′/g′, dengan menurunkan pembilang dan penyebut secara terpisah (bukan dengan aturan hasil bagi).

Ambil logaritmanya

ln L = lim_x→∞ 3·x·ln(1 − 1/x)

Hitung nilainya

ln(1 + u)/u → 1 saat u → 0, sehingga x·ln(1 + a/x) → a.

ln L = 3·(−1) = −3

Batalkan logaritmanya

L = e⁻³ = 0,04979

Jawaban

L = 0,04979

2.Limit

Jawaban: L = 1,125

Penerapan pertama

(1,5·e^1,5x − 1,5)/(2x) → 0/0

Penerapan kedua

2,25·e^1,5x/2

Substitusikan x = 0

L = 2,25·1/2 = 1,125

Jawaban

L = 1,125

3.Turunan

Jawaban: f′(−2) = −0,75

Diferensial: turunan f′(x) adalah kemiringan grafik di x. Aturan pangkat: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹. Aturan perkalian: (uv)′ = u′v + uv′. Aturan rantai: (f(g(x)))′ = f′(g(x))·g′(x). Di mana f′(x) = 0, grafik memiliki garis singgung mendatar: maksimum, minimum, atau titik pelana.

Aturan rantai untuk logaritma

f′(x) = 6x/(3x² + 4)

Substitusikan

f′(−2) = −12/16 = −0,75

Jawaban

f′(−2) = −0,75

4.Turunan

Jawaban: b = 1,5

Titik dan kemiringan

f(3) = 16,5

f′(x) = x + 2 → f′(3) = 5

Garis singgung di x = 0

b = f(x₀) − f′(x₀)·x₀ = 16,5 − 5·3 = 1,5

Jawaban

b = 1,5

5.Integral

Jawaban: I = 1,5

Integral tentu: ∫ₐᵇ f(x) dx adalah luas bertanda antara grafik dan sumbu x dari a ke b. Cari antiturunan F (dengan F′ = f) dan hitung F(b) − F(a). Aturan pangkat: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1). Luas antara dua kurva adalah ∫(atas − bawah) dx.

Substitusi

u = x² + 1, du = 2x dx

I = ∫₁² u¹ du

Integralkan dan substitusikan batas

I = [u²/2]₁² = (4 − 1)/2 = 1,5

Jawaban

I = 1,5

6.Integral

Jawaban: A = 36

Pembuat nol

9 − x² = 0 → x = ±3

Integralkan

A = [9x − x³/3]₋₃³ = 18 − (−18) = 36

Jawaban

A = 36

7.Bilangan kompleks

Jawaban: b = 0,684

Bentuk kutub: z = r∠θ = r(cos θ + j sin θ) = r·e^jθ, dengan r = |z| dan θ = arg z. Kembali ke bentuk kartesius: a = r cos θ, b = r sin θ. Argumen memerlukan kuadran: θ = atan(b/a) hanya jika a > 0; untuk a < 0 tambahkan atau kurangkan 180°. Dalam bentuk kutub perkalian mudah: kalikan modulus dan jumlahkan argumen; untuk pembagian bagi modulus dan kurangkan argumen.

Komponen

a = 2·cos(160°) = −1,879

b = 2·sin(160°) = 0,684

Bentuk kartesius

z = −1,879 + j0,684

b = 0,684

Jawaban

b = 0,684

8.Bilangan kompleks

Jawaban: Re(z⁴) = −4

De Moivre dan akar: (r∠θ)ⁿ = rⁿ∠nθ. Persamaan zⁿ = R∠φ memiliki tepat n akar, semuanya bermodulus R^1/n, pada argumen (φ + 360°·k)/n untuk k = 0, 1, …, n − 1: akar-akar itu tersebar merata pada sebuah lingkaran, berjarak 360°/n. Persamaan kuadrat z² + pz + q = 0 dengan p² < 4q memiliki akar kompleks z = −p/2 ± j√(q − p²/4); polinom berkoefisien real selalu memiliki akar kompleks dalam pasangan konjugat a ± jb.

Bentuk kutub

z = −1 + j = √2∠135°

De Moivre

z⁴ = (√2)⁴∠540° = 4∠180°

Bentuk kartesius

z⁴ = 4·(cos 180° + j sin 180°) = −4

Re(z⁴) = −4

Jawaban

Re(z⁴) = −4

9.Persamaan diferensial

Jawaban: y(2) = 0,1692

Persamaan linear orde dua: untuk y″ + b·y′ + c·y = 0 coba y = e^rt: ini memberi persamaan karakteristik r² + b·r + c = 0. Dua akar real r₁ ≠ r₂ memberi y = A·e^r₁t + B·e^r₂t (redaman lebih); akar ganda r memberi y = (A + Bt)·e^rt (redaman kritis); akar kompleks −α ± jω memberi y = e^−αt(A cos ωt + B sin ωt) (redaman kurang, berosilasi). Nilai awal y(0) dan y′(0) menentukan A dan B. Ditulis sebagai y″ + 2ζω_ny′ + ω_n²y = 0, ω_n adalah frekuensi alami dan ζ rasio redaman: ζ < 1 berosilasi. Dengan masukan konstan, y″ + by′ + cy = c·K, penyelesaiannya adalah nilai tunak K ditambah respons bebas.

Akar karakteristik

(r + 1)(r + 5) = 0 → r = −1, −5

Konstanta dari nilai awal

A + B = 1, −1A − 5B = 0

A = 1,25, B = −0,25

Hitung nilainya

y(2) = 1,25·e⁻² + (−0,25)·e⁻¹⁰ = 0,1692

Jawaban

y(2) = 0,1692

10.Persamaan diferensial

Jawaban: y(0.5) = 0,8154

Nilai tunak dan akar-akar

y_ss = 1, r = −0,5 ± 3j

Konstanta dari nilai awal

y(0) = 1 + A = 0 → A = −1

y′(0) = −0,5A + 3B = 0 → B = −0,1667

Hitung nilainya

y(0,5) = 1·(1 − e^−0,25(cos 1,5 + 0,1667·sin 1,5)) = 0,8154

Jawaban

y(0,5) = 0,8154

11.Matriks & determinan

Jawaban: det A = 63

Matriks: determinan matriks 2×2 adalah ad − bc. Untuk 3×3, ekspansikan sepanjang satu baris: setiap entri dikali determinan matriks 2×2 yang tersisa setelah baris dan kolomnya dihapus, dengan tanda bergantian + − +. Nilai eigen λ memenuhi det(A − λI) = 0; untuk 2×2 itu adalah λ² − (trace)·λ + det = 0.

Minor 2×2 baris pertama

M₁₁ = 9, M₁₂ = 9, M₁₃ = 18

Ekspansi kofaktor

det A = (−2)·9 − (−3)·9 + 3·18 = 63

Jawaban

det A = 63

12.Matriks & determinan

Jawaban: λ = −1

Persamaan karakteristik

λ² − (−3)λ + (2) = 0

Selesaikan

λ = (−3 ± √(1))/2 → λ = −2, −1

λ = −1

Jawaban

λ = −1

13.Vektor: hasil kali titik & silang

Jawaban: a·b = 9

Perkalian titik: a·b = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z = |a|·|b|·cos θ, sebuah skalar. Perkalian ini memberi sudut antara dua vektor, cos θ = a·b/(|a|·|b|), dan bernilai nol jika keduanya tegak lurus. Proyeksi skalar a pada b adalah a·b/|b|, dan gaya konstan F yang bergerak sejauh perpindahan d melakukan usaha W = F·d.

Kalikan komponen yang bersesuaian lalu jumlahkan

a·b = 1·1 + 4·(−5) + 4·7 = 1 + (−20) + 28 = 9

Jawaban

a·b = 9

Positif: sudut di antara kedua vektor kurang dari 90°.

14.Vektor: hasil kali titik & silang

Jawaban: M_x = −80 N·m

Perkalian silang: a × b = (a_yb_z − a_zb_y, a_zb_x − a_xb_z, a_xb_y − a_yb_x) tegak lurus terhadap kedua vektor, dan |a × b| = |a|·|b|·sin θ adalah luas jajar genjang yang direntang keduanya (segitiganya setengah dari itu). Urutan berpengaruh: b × a = −(a × b). Momen gaya F yang bekerja di titik A terhadap titik O adalah M_O = r × F, dengan r = A − O.

Vektor posisi dari O ke A

r = A − O = (−3, 1, 1) − (0, 0, 0) = (−3, 1, 1) m

Momen M = r × F

(r × F)_x = r_yF_z − r_zF_y = 1·(−20) − 1·60 = −80 N·m

(r × F)_y = r_zF_x − r_xF_z = 1·0 − (−3)·(−20) = −60 N·m

(r × F)_z = r_xF_y − r_yF_x = (−3)·60 − 1·0 = −180 N·m

Komponen yang diminta

M_x = −80 N·m

Jawaban

M_x = −80 N·m

15.Peluang

Jawaban: N = 495

Peluang: dengan hasil yang sama mungkin, P(A) = yang diinginkan/total. Untuk kejadian saling bebas, kalikan: P(A dan B) = P(A)·P(B). Komplemen sering membantu: P(setidaknya satu) = 1 − P(tidak ada). Binomial: dalam n percobaan saling bebas dengan peluang sukses p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Kombinasi

C(12, 4) = (12·11·10·9)/(4·3·2·1) = 495

Jawaban

N = 495

16.Peluang

Jawaban: P = 0,1875

Nol dan satu kegagalan

P(X = 0) = 0,5⁵ = 0,03125

P(X = 1) = 5·0,5·0,5⁴ = 0,1563

Jumlahkan

P = 0,03125 + 0,1563 = 0,1875

Jawaban

P = 0,1875

17.Statistika deskriptif

Jawaban: s = 14,24

Statistika deskriptif: rata-rata adalah jumlah dibagi n; median adalah nilai tengah data yang terurut (rata-rata dua nilai tengah jika n genap). Simpangan baku sampel s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Skor z z = (x − μ)/σ menyatakan berapa simpangan baku suatu nilai dari rata-rata.

Rata-rata

x̄ = 198/6 = 33

Kuadrat simpangan

Σ(x − x̄)² = (−22)² + (−1)² + 20² + 7² + (−8)² + 4² = 1014

Simpangan baku

s = √(1014/5) = 14,24

Jawaban

s = 14,24

18.Statistika deskriptif

Jawaban: P = 0,8849

Standarkan

z = −1,2

Tabel normal baku

Φ(−1,2) = 0,1151

P = 1 − 0,1151 = 0,8849

Jawaban

P = 0,8849

19.Distribusi normal

Jawaban: z = 1,82

Dari luas kembali ke z: Φ(z) adalah luas di sebelah kiri z. Untuk luas ekor kiri A, cari z dengan Φ(z) = A dalam tabel. Luas ekor kanan A berarti Φ(z) = 1 − A. Luas tengah A di antara −z dan z menyisakan (1 − A)/2 pada setiap ekor, sehingga Φ(z) = (1 + A)/2. Untuk nilai x, pakai x = μ + zσ.

Luas di sebelah kiri z

Φ(z) = (1 + 0,9312)/2 = 0,9656

Baca tabel z secara terbalik

Cari 0,9656 di dalam tabel dan baca z.

z = 1,82

Jawaban

z = 1,82

20.Distribusi normal

Jawaban: x = 187 cm

Distribusi normal: ubah nilai x menjadi skor z, z = (x − μ)/σ, yang menghitung berapa simpangan baku dari rata-rata. Tabel z (atau Φ(z)) memberikan luas di sebelah kiri z, yaitu P(X < x). Luas di sebelah kanan adalah 1 − Φ(z), dan luas di antara dua nilai adalah selisih kedua luasnya.

z untuk persentil

Φ(z) = 0,9 → z = 1,282

Kembali ke x

x = 178 + 1,282·7 = 186,97 cm

Jawaban

x = 186,97 cm

ExamProblems · examproblems.com/courses/engineering-mathematics