Matematika Teknik: paket kilat

Lembar rumus, langkah-langkah metode utama untuk setiap topik, dan 20 soal latihan, dengan pembahasan lengkap di bagian belakang.

Soal baru Kembali ke mata kuliah

Di jendela cetak, pilih “Simpan sebagai PDF” untuk menyimpan salinan di perangkat Anda.

1Rumus dan metode

Limit

Substitusi langsung: coba x = a dulu; 0/0 berarti sederhanakan
Faktorkan dan coret: xⁿ − aⁿ = (x − a)(xⁿ⁻¹ + a·xⁿ⁻² + … + aⁿ⁻¹)
Sekawan: (√x − √a)(√x + √a) = x − a
Limit di tak hingga: bagi dengan pangkat tertinggi x; derajat yang sama menghasilkan rasio koefisien utama
Limit khusus: lim_x→∞ (1 + a/x)^bx = e^ab
Aturan L'Hôpital: lim f/g = lim f′/g′ (0/0 or ∞/∞)

Turunan

Aturan pangkat: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹
Aturan perkalian: (uv)′ = u′v + uv′
Aturan hasil bagi: (u/v)′ = (u′v − uv′)/v²
Aturan rantai: f(g(x))′ = f′(g(x))·g′(x)
Turunan umum: (eˣ)′ = eˣ, (ln x)′ = 1/x, (sin x)′ = cos x, (cos x)′ = −sin x

Metode

Kenali strukturnya: jumlah, hasil kali, hasil bagi, atau komposisi.
Terapkan aturan pangkat pada setiap pangkat x.
Gunakan aturan hasil kali, hasil bagi, atau rantai bila diperlukan.
Sederhanakan, dan hitung nilainya di titik tersebut jika diminta.

Integral

Aturan pangkat: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) + C
Integral tentu: ∫_a^b f dx = F(b) − F(a)
Integral umum: ∫eˣ dx = eˣ, ∫1/x dx = ln|x|, ∫sin x dx = −cos x
Luas daerah antara kurva: ∫_a^b (f − g) dx

Metode

Tulis ulang integran sebagai jumlah suku-suku sederhana bila memungkinkan.
Terapkan aturan pangkat: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1), dan integral standar untuk e^x, 1/x, sin, dan cos.
Gunakan substitusi saat Anda melihat suatu fungsi bersama turunannya.
Untuk integral tentu, hitung F(b) − F(a).

Bilangan kompleks

Bentuk kartesius: z = a + jb, j² = −1, z̄ = a − jb
Modulus dan argumen: |z| = √(a² + b²), tan θ = b/a (check the quadrant)
Bentuk kutub dan eksponensial: z = r∠θ = r(cos θ + j sin θ) = r·e^jθ
Pembagian: z₁/z₂ = z₁z̄₂/|z₂|²
Hasil kali dan hasil bagi: r₁∠θ₁ · r₂∠θ₂ = r₁r₂∠(θ₁ + θ₂), r₁∠θ₁ / r₂∠θ₂ = (r₁/r₂)∠(θ₁ − θ₂)
De Moivre: (r∠θ)ⁿ = rⁿ∠nθ
Akar ke-n: z_k = R^1/n∠((φ + 360°·k)/n), k = 0 … n − 1
Kuadratik dengan p² < 4q: z = −p/2 ± j√(q − p²/4)

Metode

Tentukan bentuk yang cocok untuk operasinya: kartesius a + jb untuk menjumlahkan dan mengurangkan, kutub r∠θ untuk mengalikan, membagi, pangkat, dan akar.
Kalikan dengan j² = −1; bagi dengan mengalikan pembilang dan penyebut dengan konjugat penyebut.
Ubah dengan r = √(a² + b²) dan θ dari sketsa titik (periksa kuadran), dan kembali dengan a = r cos θ, b = r sin θ.
Untuk pangkat pakai De Moivre, (r∠θ)ⁿ = rⁿ∠nθ; untuk zⁿ = R∠φ daftarkan semua n akar R^1/n∠((φ + 360°k)/n).

Persamaan diferensial

Pertumbuhan/peluruhan eksponensial: dy/dt = ky → y = y₀e^kt
Waktu paruh: k = ln 2 / t_½
Hukum pendinginan Newton: T(t) = T_a + (T₀ − T_a)e^−kt
Faktor integrasi: y′ + p(x)y = q(x): μ = e^{∫p dx}, (μy)′ = μq
Tangki pencampuran: dm/dt = r·c − (r/V)·m

Matriks & determinan

determinan 2×2: det = ad − bc
Invers 2×2: A⁻¹ = (1/det)·[d −b; −c a]
Produk: (AB)_ij = Σ_k A_ikB_kj
Nilai eigen: det(A − λI) = 0
Aturan Cramer: x_i = det(A_i)/det(A)

Vektor: hasil kali titik & silang

Besar: |a| = √(a_x² + a_y² + a_z²)
Vektor satuan: û = a/|a|
Komponen dari sebuah sudut: F_x = F·cos θ, F_y = F·sin θ
Hasil kali titik: a·b = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z = |a||b|cos θ
Proyeksi skalar a pada b: a·b/|b|
Usaha: W = F·d
Hasil kali silang: a × b = (a_yb_z − a_zb_y, a_zb_x − a_xb_z, a_xb_y − a_yb_x)
Luas: jajar genjang |a × b|, segitiga ½|a × b|
Momen terhadap O: M_O = r × F, r = A − O
Volume paralelepipedum: V = |a·(b × c)|

Metode

Tulis setiap vektor dalam komponen; untuk gaya yang diberikan dengan besar dan sudut, gunakan F·cos θ dan F·sin θ.
Untuk panjang dan arah gunakan besar √(x² + y² + z²) dan vektor satuan a/|a|.
Gunakan hasil kali titik untuk sudut, proyeksi, ketegaklurusan, dan usaha: a·b = |a||b|cos θ.
Gunakan hasil kali silang untuk vektor tegak lurus, luas, dan momen: tulis ketiga komponen dengan teliti, jaga urutan a × b.

Peluang

Komplemen: P(not A) = 1 − P(A)
Aturan penjumlahan: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Kejadian saling bebas: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Peluang bersyarat: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Binomial: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Statistika deskriptif

Rata-rata: x̄ = Σx/n
Simpangan baku sampel: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Median: nilai tengah data yang telah diurutkan
Skor z: z = (x − μ)/σ
Distribusi normal: 68% dalam ±1σ, 95% dalam ±2σ

Distribusi normal

Skor z: z = (x − μ)/σ
Di bawah x: P(X < x) = Φ(z)
Di atas x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Di antara: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Persentil: x = μ + z·σ

Metode

Ubah nilainya menjadi skor z: z = (x − μ)/σ.
Cari Φ(z), luas di sebelah kiri z.
Untuk luas di sebelah kanan gunakan 1 − Φ(z); untuk suatu selang kurangkan kedua luas kiri.
Untuk persentil, kerjakan mundur: cari z untuk luasnya, lalu x = μ + z·σ.

2Soal latihan

1.LimitSedang

Cari limit L = lim_x→∞ (1 − 2/x)^2x. Berikan nilai desimal.

f(x) = (1 − 2/x)^2xx → ∞

L =

2.LimitSulit

Cari limit L = lim_x→0 ln(1 + 5x)/sin(4x), dengan x dalam radian.

f(x) = ln(1 + 5x)/sin(4x)x → 0

L =

3.TurunanSedang

Misalkan f(x) = ln(x² + 2). Tentukan f′(3).

f(x) = ln(x² + 2)x = 3

f′(3) =

4.TurunanSulit

Garis singgung f(x) = −x² − 5x − 1 di x = 3 memotong sumbu y di y = b. Tentukan b.

f(x) = −x² − 5x − 1x = 3

b =

5.IntegralSedang

Hitung I = ∫₂¹⁰ 2/x dx.

f(x) = 2/x[2, 10]

I =

6.IntegralSulit

Tentukan luas A daerah yang dibatasi oleh y = x² dan y = 2x.

y = x²y = 2x

A =

7.Bilangan kompleksSedang

Carilah argumen θ dari z = −1 − j6 dalam derajat, sebagai nilai pokok di antara −180° dan 180°.

z = −1 − j6

θ = °

8.Bilangan kompleksSulit

Tepat satu dari titik A–D adalah akar z⁴ = 16∠120°. Klik titik itu.

w = 16∠120°n = 4

1A (2∠−15°)
2B (2∠−60°)
3C (3,6∠−60°)
4D (2∠60°)

9.Persamaan diferensialSedang

Selesaikan y″ + 6y′ + 8y = 0 dengan y(0) = 3 dan y′(0) = 0. Cari y(1,5).

y″ + 6y′ + 8y = 0y(0) = 3y′(0) = 0

y(1.5) =

10.Persamaan diferensialSulit

Sebuah tangki berisi 500 L air murni. Air garam dengan 0,05 kg garam per liter mengalir masuk dengan laju 5 L/menit, dan larutan yang tercampur rata mengalir keluar dengan laju yang sama. Berapa banyak garam m di dalam tangki setelah 105 menit?

V = 500 Lm₀ = 0 kgc = 0,05 kg/Lr = 5 L/min

m = kg

11.Matriks & determinanSedang

Tentukan determinan det A dari matriks 3×3 A yang ditunjukkan.

A = [0 5 −4; −1 −1 4; −1 −4 2]

det A =

12.Matriks & determinanSulit

Tentukan nilai eigen yang lebih besar λ dari matriks A yang ditunjukkan.

A = [0 −1; −3 2]

λ =

13.Vektor: hasil kali titik & silangSedang

Gaya konstan F = (30, 0, 20) N bekerja pada sebuah benda yang bergerak lurus dari titik A(2, −5, 1) ke titik B(−3, −1, 0). Koordinat dalam meter. Tentukan usaha W yang dilakukan gaya itu.

F = (30, 0, 20) NA(2, −5, 1) mB(−3, −1, 0) m

W = J

14.Vektor: hasil kali titik & silangSulit

Vektor satuan n̂ tegak lurus terhadap a = (−4, −2, −4) dan b = (−2, 3, 4) serta memiliki komponen z positif. Tentukan komponen x n̂_x.

a = (−4, −2, −4)b = (−2, 3, 4)n̂_z > 0

n̂_x =

15.PeluangSedang

Untuk distribusi yang ditunjukkan, cari simpangan baku σ dari X.

x: 1, 2, 3, 4p(x): 0,3, 0,35, 0,25, 0,1

σ =

16.PeluangSulit

Sebuah permainan berbiaya €3 untuk dimainkan. Anda memenangkan €6 dengan peluang 0,1 dan €60 dengan peluang 0,05; selain itu Anda tidak memperoleh apa-apa. Taruhan tidak dikembalikan. Cari keuntungan bersih yang diharapkan E(G) per permainan.

taruhan = €3€6: p = 0,1€60: p = 0,05

E(G) = €

17.Statistika deskriptifSedang

Tentukan simpangan baku sampel s dari data: 19, 45, 15, 49, 38, 59.

n = 6

s =

18.Statistika deskriptifSulit

Suatu besaran berdistribusi normal dengan rata-rata 50 dan simpangan baku 8. Berapa proporsi P nilai di bawah 46?

μ = 50σ = 8x = 46

P =

19.Distribusi normalSedang

X normal dengan rata-rata 12 min dan simpangan baku 1,5 min; Y saling bebas dan normal dengan rata-rata 20 min dan simpangan baku 2 min. Cari peluang P bahwa X + Y lebih dari 34 min. Bulatkan z ke dua desimal.

μ_X = 12, σ_X = 1,5μ_Y = 20, σ_Y = 2X + Y > 34 min

P =

20.Distribusi normalSulit

Massa X produk dari lini 1 dan Y dari lini 2 saling bebas dan normal: X memiliki rata-rata 500 g dan simpangan baku 8 g, Y memiliki rata-rata 490 g dan simpangan baku 6 g. Cari peluang P bahwa X lebih besar dari Y. Bulatkan z ke dua desimal.

μ_X = 500 g, σ_X = 8 gμ_Y = 490 g, σ_Y = 6 g

P =

3Larutan

1.Limit

Jawaban: L = 0,01832

Limit: coba dulu substitusi langsung. Jika hasilnya 0/0, sederhanakan dulu: faktorkan dan coret faktor yang sama, atau kalikan dengan bentuk sekawan. Untuk x → ∞, bagi pembilang dan penyebut dengan pangkat tertinggi x. Aturan L'Hôpital: jika f/g memberikan 0/0 atau ∞/∞, maka lim f/g = lim f′/g′, dengan menurunkan pembilang dan penyebut secara terpisah (bukan dengan aturan hasil bagi).

Ambil logaritmanya

ln L = lim_x→∞ 2·x·ln(1 − 2/x)

Hitung nilainya

ln(1 + u)/u → 1 saat u → 0, sehingga x·ln(1 + a/x) → a.

ln L = 2·(−2) = −4

Batalkan logaritmanya

L = e⁻⁴ = 0,01832

Jawaban

L = 0,01832

2.Limit

Jawaban: L = 1,25

Aturan L'Hôpital

L = lim_x→0 [5/(1 + 5x)]/[4·cos 4x]

Substitusikan x = 0

L = 5/4 = 1,25

Jawaban

L = 1,25

3.Turunan

Jawaban: f′(3) = 0,5455

Diferensial: turunan f′(x) adalah kemiringan grafik di x. Aturan pangkat: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹. Aturan perkalian: (uv)′ = u′v + uv′. Aturan rantai: (f(g(x)))′ = f′(g(x))·g′(x). Di mana f′(x) = 0, grafik memiliki garis singgung mendatar: maksimum, minimum, atau titik pelana.

Aturan rantai untuk logaritma

f′(x) = 2x/(x² + 2)

Substitusikan

f′(3) = 6/11 = 0,5455

Jawaban

f′(3) = 0,5455

4.Turunan

Jawaban: b = 8

Titik dan kemiringan

f(3) = −25

f′(x) = −2x − 5 → f′(3) = −11

Garis singgung di x = 0

b = f(x₀) − f′(x₀)·x₀ = −25 − (−11)·3 = 8

Jawaban

b = 8

5.Integral

Jawaban: I = 3,219

Integral tentu: ∫ₐᵇ f(x) dx adalah luas bertanda antara grafik dan sumbu x dari a ke b. Cari antiturunan F (dengan F′ = f) dan hitung F(b) − F(a). Aturan pangkat: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1). Luas antara dua kurva adalah ∫(atas − bawah) dx.

Antiturunan

F(x) = 2·ln x

Substitusikan batasnya

I = 2·(ln 10 − ln 2) = 2·ln 5 = 3,219

Jawaban

I = 3,219

6.Integral

Jawaban: A = 1,333

Titik potong

x² = 2x → x = 0, x = 2

Integralkan atas dikurangi bawah

A = [x² − 0,3333x³]₀² = 1,333

Jawaban

A = 1,333

7.Bilangan kompleks

Jawaban: θ = −99,46 °

Bentuk kutub: z = r∠θ = r(cos θ + j sin θ) = r·e^jθ, dengan r = |z| dan θ = arg z. Kembali ke bentuk kartesius: a = r cos θ, b = r sin θ. Argumen memerlukan kuadran: θ = atan(b/a) hanya jika a > 0; untuk a < 0 tambahkan atau kurangkan 180°. Dalam bentuk kutub perkalian mudah: kalikan modulus dan jumlahkan argumen; untuk pembagian bagi modulus dan kurangkan argumen.

Kuadran

a = −1, b = −6 → III

Sudut acuan

α = atan(6/1) = 80,54°

Argumen

θ = −(180° − α) = −99,46°

Jawaban

θ = −99,46°

Dalam bentuk kutub z = 6,083∠−99,46°.

8.Bilangan kompleks

Jawaban: B (2∠−60°)

De Moivre dan akar: (r∠θ)ⁿ = rⁿ∠nθ. Persamaan zⁿ = R∠φ memiliki tepat n akar, semuanya bermodulus R^1/n, pada argumen (φ + 360°·k)/n untuk k = 0, 1, …, n − 1: akar-akar itu tersebar merata pada sebuah lingkaran, berjarak 360°/n. Persamaan kuadrat z² + pz + q = 0 dengan p² < 4q memiliki akar kompleks z = −p/2 ± j√(q − p²/4); polinom berkoefisien real selalu memiliki akar kompleks dalam pasangan konjugat a ± jb.

Modulus dan argumen akar-akar

|z| = 2

θ = 30°, 120°, −150°, −60°

Titiknya

B = 2∠−60°

Jawaban

B (2∠−60°)

9.Persamaan diferensial

Jawaban: y(1.5) = 0,2913

Persamaan linear orde dua: untuk y″ + b·y′ + c·y = 0 coba y = e^rt: ini memberi persamaan karakteristik r² + b·r + c = 0. Dua akar real r₁ ≠ r₂ memberi y = A·e^r₁t + B·e^r₂t (redaman lebih); akar ganda r memberi y = (A + Bt)·e^rt (redaman kritis); akar kompleks −α ± jω memberi y = e^−αt(A cos ωt + B sin ωt) (redaman kurang, berosilasi). Nilai awal y(0) dan y′(0) menentukan A dan B. Ditulis sebagai y″ + 2ζω_ny′ + ω_n²y = 0, ω_n adalah frekuensi alami dan ζ rasio redaman: ζ < 1 berosilasi. Dengan masukan konstan, y″ + by′ + cy = c·K, penyelesaiannya adalah nilai tunak K ditambah respons bebas.

Akar karakteristik

(r + 2)(r + 4) = 0 → r = −2, −4

Konstanta dari nilai awal

A + B = 3, −2A − 4B = 0

A = 6, B = −3

Hitung nilainya

y(1,5) = 6·e⁻³ + (−3)·e⁻⁶ = 0,2913

Jawaban

y(1,5) = 0,2913

10.Persamaan diferensial

Jawaban: m = 16,25 kg

Persamaan diferensial orde satu: dy/dt = k·y memiliki penyelesaian y = y₀·e^kt (pertumbuhan untuk k > 0, peluruhan untuk k < 0); waktu paruh T memberikan k = ln 2/T. Hukum pendinginan Newton, dT/dt = −k·(T − Tₐ), memberikan T(t) = Tₐ + (T₀ − Tₐ)·e^−kt. Persamaan linear y′ + p(x)·y = q(x) diselesaikan dengan faktor integrasi μ = e^{∫p dx}: (μy)′ = μq, sehingga μy = ∫μq dx + C.

Susun persamaannya

dm/dt = 5·0,05 − (5/500)·m = 0,25 − 0,01·m

Selesaikan

Faktor integrasinya e^rt/V; penyelesaiannya mendekati kesetimbangan c·V.

m(t) = 25 + (−25)·e^−t/100

Substitusikan t

m(105) = 25 + (−25)·0,3499 = 16,25 kg

Jawaban

m = 16,25 kg

11.Matriks & determinan

Jawaban: det A = −22

Matriks: determinan matriks 2×2 adalah ad − bc. Untuk 3×3, ekspansikan sepanjang satu baris: setiap entri dikali determinan matriks 2×2 yang tersisa setelah baris dan kolomnya dihapus, dengan tanda bergantian + − +. Nilai eigen λ memenuhi det(A − λI) = 0; untuk 2×2 itu adalah λ² − (trace)·λ + det = 0.

Minor 2×2 baris pertama

M₁₁ = 14, M₁₂ = 2, M₁₃ = 3

Ekspansi kofaktor

det A = 0·14 − 5·2 + (−4)·3 = −22

Jawaban

det A = −22

12.Matriks & determinan

Jawaban: λ = 3

Persamaan karakteristik

λ² − (2)λ + (−3) = 0

Selesaikan

λ = (2 ± √(16))/2 → λ = −1, 3

λ = 3

Jawaban

λ = 3

13.Vektor: hasil kali titik & silang

Jawaban: W = −170 J

Dot product: a·b = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z = |a|·|b|·cos θ, a scalar. It gives the angle between two vectors, cos θ = a·b/(|a|·|b|), and it is zero when they are perpendicular. The scalar projection of a onto b is a·b/|b|, and a constant force F moving through a displacement d does work W = F·d.

Perpindahan

d = B − A = (−3, −1, 0) − (2, −5, 1) = (−5, 4, −1) m

Usaha

W = F·d = 30·(−5) + 0·4 + 20·(−1) = −170 J

Jawaban

W = −170 J

Usaha negatif: gaya sebagian besar bekerja melawan gerakan.

14.Vektor: hasil kali titik & silang

Jawaban: n̂_x = −0,1374

Cross product: a × b = (a_yb_z − a_zb_y, a_zb_x − a_xb_z, a_xb_y − a_yb_x) is perpendicular to both vectors, and |a × b| = |a|·|b|·sin θ is the area of the parallelogram they span (the triangle has half of it). Order matters: b × a = −(a × b). The moment of a force F applied at point A about point O is M_O = r × F, with r = A − O.

Hasil kali silang

(a × b)_x = a_yb_z − a_zb_y = (−2)·4 − (−4)·3 = 4

(a × b)_y = a_zb_x − a_xb_z = (−4)·(−2) − (−4)·4 = 24

(a × b)_z = a_xb_y − a_yb_x = (−4)·3 − (−2)·(−2) = −16

Normalkan

Komponen z dari a × b negatif, jadi gunakan −(a × b).

|a × b| = √(4² + 24² + (−16)²) = 29,12

n̂ = −(4, 24, −16)/29,12 = (−0,1374, −0,8242, 0,5494)

n̂_x = −0,1374

Jawaban

n̂_x = −0,1374

15.Peluang

Jawaban: σ = 0,9631

Variabel acak diskrit: distribusi peluang mendaftar setiap nilai x yang dapat diambil variabel beserta peluangnya p(x); peluang bernilai antara 0 dan 1 dan jumlahnya 1. Nilai harapan (rata-rata) adalah E(X) = Σx·p(x), rata-rata jangka panjang. Variansi adalah Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², dan simpangan baku σ = √Var(X). Untuk perubahan linear Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) dan σ_Y = |a|·σ_X; menambah konstanta tidak mengubah sebaran.

Rata-rata

μ = 1·0,3 + 2·0,35 + 3·0,25 + 4·0,1 = 2,15

Rata-rata kuadrat

E(X²) = 1·0,3 + 4·0,35 + 9·0,25 + 16·0,1 = 5,55

Variansi

Var(X) = 5,55 − 2,15² = 0,9275

σ = √0,9275 = 0,9631

Jawaban

σ = 0,9631

16.Peluang

Jawaban: E(G) = 0,6 €

Hasil bersih

G: 3 (p = 0,1), 57 (p = 0,05), −3 (p = 0,85)

Nilai harapan

E(G) = 3·0,1 + 57·0,05 − 3·0,85 = 0,6 €

Jawaban

E(G) = 0,6 €

Nilai positif berarti rata-rata Anda memperoleh uang.

17.Statistika deskriptif

Jawaban: s = 17,32

Statistika deskriptif: rata-rata adalah jumlah dibagi n; median adalah nilai tengah data yang terurut (rata-rata dua nilai tengah jika n genap). Simpangan baku sampel s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Skor z z = (x − μ)/σ menyatakan berapa simpangan baku suatu nilai dari rata-rata.

Rata-rata

x̄ = 225/6 = 37,5

Kuadrat simpangan

Σ(x − x̄)² = (−18,5)² + 7,5² + (−22,5)² + 11,5² + 0,5² + 21,5² = 1500

Simpangan baku

s = √(1500/5) = 17,32

Jawaban

s = 17,32

18.Statistika deskriptif

Jawaban: P = 0,3085

Standarkan

z = −0,5

Tabel normal baku

Φ(−0,5) = 0,3085

P = 0,3085

Jawaban

P = 0,3085

19.Distribusi normal

Jawaban: P = 0,2119

Jumlah dan selisih variabel normal: jika X dan Y saling bebas dan normal, maka X + Y dan X − Y juga normal. Rata-rata dijumlahkan atau dikurangkan: E(X ± Y) = μ_X ± μ_Y. Variansi selalu dijumlahkan, juga untuk selisih: Var(X ± Y) = σ_X² + σ_Y², sehingga σ = √(σ_X² + σ_Y²). Simpangan baku tidak pernah dijumlahkan secara langsung. Total n butir yang saling bebas dan berdistribusi sama memiliki rata-rata n·μ dan simpangan baku σ·√n. Lalu standarkan seperti biasa: z = (x − rata-rata)/σ dan baca Φ(z).

Distribusi jumlah

μ = 32 min, σ = √(1,5² + 2²) = 2,5 min

Standarkan

z = (34 − 32)/2,5 = 0,8

Ekor atas

P = 1 − Φ(0,8) = 1 − 0,7881 = 0,2119

Jawaban

P = 0,2119

20.Distribusi normal

Jawaban: P = 0,8413

Distribusi selisih

μ = 500 − 490 = 10 g, σ = 10 g

Standarkan

z = (0 − 10)/10 = −1

Peluang

P = 1 − Φ(−1) = 0,8413

Jawaban

P = 0,8413

ExamProblems · examproblems.com/courses/engineering-mathematics