Matematika Teknik: paket kilat

Lembar rumus, langkah-langkah metode utama untuk setiap topik, dan 20 soal latihan, dengan pembahasan lengkap di bagian belakang.

Soal baru Kembali ke mata kuliah

Di jendela cetak, pilih “Simpan sebagai PDF” untuk menyimpan salinan di perangkat Anda.

1Rumus dan metode

Limit

Substitusi langsung: coba x = a dulu; 0/0 berarti sederhanakan
Faktorkan dan coret: xⁿ − aⁿ = (x − a)(xⁿ⁻¹ + a·xⁿ⁻² + … + aⁿ⁻¹)
Sekawan: (√x − √a)(√x + √a) = x − a
Limit di tak hingga: bagi dengan pangkat tertinggi x; derajat yang sama menghasilkan rasio koefisien utama
Limit khusus: lim_x→∞ (1 + a/x)^bx = e^ab
Aturan L'Hôpital: lim f/g = lim f′/g′ (0/0 or ∞/∞)

Turunan

Aturan pangkat: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹
Aturan perkalian: (uv)′ = u′v + uv′
Aturan hasil bagi: (u/v)′ = (u′v − uv′)/v²
Aturan rantai: f(g(x))′ = f′(g(x))·g′(x)
Turunan umum: (eˣ)′ = eˣ, (ln x)′ = 1/x, (sin x)′ = cos x, (cos x)′ = −sin x

Metode

Kenali strukturnya: jumlah, hasil kali, hasil bagi, atau komposisi.
Terapkan aturan pangkat pada setiap pangkat x.
Gunakan aturan hasil kali, hasil bagi, atau rantai bila diperlukan.
Sederhanakan, dan hitung nilainya di titik tersebut jika diminta.

Integral

Aturan pangkat: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) + C
Integral tentu: ∫_a^b f dx = F(b) − F(a)
Integral umum: ∫eˣ dx = eˣ, ∫1/x dx = ln|x|, ∫sin x dx = −cos x
Luas daerah antara kurva: ∫_a^b (f − g) dx

Metode

Tulis ulang integran sebagai jumlah suku-suku sederhana bila memungkinkan.
Terapkan aturan pangkat: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1), dan integral standar untuk e^x, 1/x, sin, dan cos.
Gunakan substitusi saat Anda melihat suatu fungsi bersama turunannya.
Untuk integral tentu, hitung F(b) − F(a).

Bilangan kompleks

Bentuk kartesius: z = a + jb, j² = −1, z̄ = a − jb
Modulus dan argumen: |z| = √(a² + b²), tan θ = b/a (check the quadrant)
Bentuk kutub dan eksponensial: z = r∠θ = r(cos θ + j sin θ) = r·e^jθ
Pembagian: z₁/z₂ = z₁z̄₂/|z₂|²
Hasil kali dan hasil bagi: r₁∠θ₁ · r₂∠θ₂ = r₁r₂∠(θ₁ + θ₂), r₁∠θ₁ / r₂∠θ₂ = (r₁/r₂)∠(θ₁ − θ₂)
De Moivre: (r∠θ)ⁿ = rⁿ∠nθ
Akar ke-n: z_k = R^1/n∠((φ + 360°·k)/n), k = 0 … n − 1
Kuadratik dengan p² < 4q: z = −p/2 ± j√(q − p²/4)

Metode

Tentukan bentuk yang cocok untuk operasinya: kartesius a + jb untuk menjumlahkan dan mengurangkan, kutub r∠θ untuk mengalikan, membagi, pangkat, dan akar.
Kalikan dengan j² = −1; bagi dengan mengalikan pembilang dan penyebut dengan konjugat penyebut.
Ubah dengan r = √(a² + b²) dan θ dari sketsa titik (periksa kuadran), dan kembali dengan a = r cos θ, b = r sin θ.
Untuk pangkat pakai De Moivre, (r∠θ)ⁿ = rⁿ∠nθ; untuk zⁿ = R∠φ daftarkan semua n akar R^1/n∠((φ + 360°k)/n).

Persamaan diferensial

Pertumbuhan/peluruhan eksponensial: dy/dt = ky → y = y₀e^kt
Waktu paruh: k = ln 2 / t_½
Hukum pendinginan Newton: T(t) = T_a + (T₀ − T_a)e^−kt
Faktor integrasi: y′ + p(x)y = q(x): μ = e^{∫p dx}, (μy)′ = μq
Tangki pencampuran: dm/dt = r·c − (r/V)·m

Matriks & determinan

determinan 2×2: det = ad − bc
Invers 2×2: A⁻¹ = (1/det)·[d −b; −c a]
Produk: (AB)_ij = Σ_k A_ikB_kj
Nilai eigen: det(A − λI) = 0
Aturan Cramer: x_i = det(A_i)/det(A)

Vektor: hasil kali titik & silang

Besar: |a| = √(a_x² + a_y² + a_z²)
Vektor satuan: û = a/|a|
Komponen dari sebuah sudut: F_x = F·cos θ, F_y = F·sin θ
Hasil kali titik: a·b = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z = |a||b|cos θ
Proyeksi skalar a pada b: a·b/|b|
Usaha: W = F·d
Hasil kali silang: a × b = (a_yb_z − a_zb_y, a_zb_x − a_xb_z, a_xb_y − a_yb_x)
Luas: jajar genjang |a × b|, segitiga ½|a × b|
Momen terhadap O: M_O = r × F, r = A − O
Volume paralelepipedum: V = |a·(b × c)|

Metode

Tulis setiap vektor dalam komponen; untuk gaya yang diberikan dengan besar dan sudut, gunakan F·cos θ dan F·sin θ.
Untuk panjang dan arah gunakan besar √(x² + y² + z²) dan vektor satuan a/|a|.
Gunakan hasil kali titik untuk sudut, proyeksi, ketegaklurusan, dan usaha: a·b = |a||b|cos θ.
Gunakan hasil kali silang untuk vektor tegak lurus, luas, dan momen: tulis ketiga komponen dengan teliti, jaga urutan a × b.

Peluang

Komplemen: P(not A) = 1 − P(A)
Aturan penjumlahan: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Kejadian saling bebas: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Peluang bersyarat: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Binomial: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Statistika deskriptif

Rata-rata: x̄ = Σx/n
Simpangan baku sampel: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Median: nilai tengah data yang telah diurutkan
Skor z: z = (x − μ)/σ
Distribusi normal: 68% dalam ±1σ, 95% dalam ±2σ

Distribusi normal

Skor z: z = (x − μ)/σ
Di bawah x: P(X < x) = Φ(z)
Di atas x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Di antara: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Persentil: x = μ + z·σ

Metode

Ubah nilainya menjadi skor z: z = (x − μ)/σ.
Cari Φ(z), luas di sebelah kiri z.
Untuk luas di sebelah kanan gunakan 1 − Φ(z); untuk suatu selang kurangkan kedua luas kiri.
Untuk persentil, kerjakan mundur: cari z untuk luasnya, lalu x = μ + z·σ.

2Soal latihan

1.LimitSedang

Cari limit L = lim_x→∞ (√(x² + 5x) − x).

f(x) = √(x² + 5x) − xx → ∞

L =

2.LimitSulit

Cari limit L = lim_x→0 (e^2x − 1 − 2x)/x².

f(x) = (e^2x − 1 − 2x)/x²x → 0

L =

3.TurunanSedang

Misalkan f(x) = x·e^−x. Tentukan f′(0,5).

f(x) = x·e^−xx = 0,5

f′(0.5) =

4.TurunanSulit

Misalkan f(x) = x³ − 12x − 1. Tentukan koordinat x x dari minimum lokal.

f(x) = x³ − 12x − 1

x =

5.IntegralSedang

Hitung I = ∫₀² e^2x dx.

f(x) = e^2x[0, 2]

I =

6.IntegralSulit

Tentukan luas A daerah yang dibatasi oleh y = x² dan y = 3x.

y = x²y = 3x

A =

7.Bilangan kompleksSedang

Diberikan z₁ = 3∠70° dan z₂ = 0,5∠20°, carilah bagian imajiner dari w = z₁/z₂.

z₁ = 3∠70°z₂ = 0,5∠20°

Im(w) =

8.Bilangan kompleksSulit

Tepat satu dari titik A–D adalah akar z⁴ = 16∠90°. Klik titik itu.

w = 16∠90°n = 4

1A (3,6∠−67,5°)
2B (2∠−67,5°)
3C (2∠−22,5°)
4D (2∠67,5°)

9.Persamaan diferensialSedang

Selesaikan y″ + 4y′ + 4y = 0 dengan y(0) = 3 dan y′(0) = 2. Cari y(2).

y″ + 4y′ + 4y = 0y(0) = 3y′(0) = 2

y(2) =

10.Persamaan diferensialSulit

Selesaikan y″ + 3y′ + 11,25y = 0 dengan y(0) = 3 dan y′(0) = 0 (dilepas dari keadaan diam). Cari y(0,5); sudut dalam radian.

y″ + 3y′ + 11,25y = 0y(0) = 3y′(0) = 0

y(0.5) =

11.Matriks & determinanSedang

Tentukan determinan det A dari matriks 3×3 A yang ditunjukkan.

A = [4 −3 4; 1 3 −4; −1 −1 −4]

det A =

12.Matriks & determinanSulit

Selesaikan sistem 5x − 3y = −8 dan −2x + 3y = −10. Tentukan x.

5x − 3y = −8−2x + 3y = −10

x =

13.Vektor: hasil kali titik & silangSedang

Tentukan hasil kali titik a·b dari a = (0, −5, −3) dan b = (7, 2, −1).

a = (0, −5, −3)b = (7, 2, −1)

a·b =

14.Vektor: hasil kali titik & silangSulit

Tentukan luas A jajar genjang yang direntang oleh a = (3, 5, 4) dan b = (4, −5, −6).

a = (3, 5, 4)b = (4, −5, −6)

A =

15.PeluangSedang

Untuk distribusi yang ditunjukkan, cari variansi Var(X) dari X.

x: 0, 1, 2p(x): 0,3, 0,35, 0,35

Var(X) =

16.PeluangSulit

Sebuah tes memiliki 7 soal pilihan ganda. Seorang mahasiswi yang menebak menjawab benar setiap soal dengan peluang 0,25, secara saling bebas. Berapa peluang P tepat 5 jawaban benar?

n = 7p = 0,25k = 5

P =

17.Statistika deskriptifSedang

Tentukan simpangan baku sampel s dari data: 17, 10, 14, 11, 59, 16, 39.

n = 7

s =

18.Statistika deskriptifSulit

Suatu besaran berdistribusi normal dengan rata-rata 100 dan simpangan baku 15. Berapa proporsi P nilai di bawah 88?

μ = 100σ = 15x = 88

P =

19.Distribusi normalSedang

Seret z sehingga luas berarsir di antara −z dan z di bawah kurva normal baku adalah 0,7887. Cari z sampai dua desimal.

A = 0,7887

z =

20.Distribusi normalSulit

berat kantong berdistribusi normal dengan rata-rata 250 g dan simpangan baku 5 g. Seret batas sehingga 80% teratas yang diarsir berada di sebelah kanannya. Cari batas x.

μ = 250 gσ = 5 g80%

x = g

3Larutan

1.Limit

Jawaban: L = 2,5

Limit: coba dulu substitusi langsung. Jika hasilnya 0/0, sederhanakan dulu: faktorkan dan coret faktor yang sama, atau kalikan dengan bentuk sekawan. Untuk x → ∞, bagi pembilang dan penyebut dengan pangkat tertinggi x. Aturan L'Hôpital: jika f/g memberikan 0/0 atau ∞/∞, maka lim f/g = lim f′/g′, dengan menurunkan pembilang dan penyebut secara terpisah (bukan dengan aturan hasil bagi).

Kalikan dengan bentuk sekawan

f(x) = 5x/(√(x² + 5x) + x)

Bagi dengan x

f(x) = 5/(√(1 + 5/x) + 1)

Biarkan x → ∞

L = 5/(1 + 1) = 2,5

Jawaban

L = 2,5

2.Limit

Jawaban: L = 2

Penerapan pertama

(2·e^2x − 2)/(2x) → 0/0

Penerapan kedua

4·e^2x/2

Substitusikan x = 0

L = 4·1/2 = 2

Jawaban

L = 2

3.Turunan

Jawaban: f′(0.5) = 0,3033

Diferensial: turunan f′(x) adalah kemiringan grafik di x. Aturan pangkat: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹. Aturan perkalian: (uv)′ = u′v + uv′. Aturan rantai: (f(g(x)))′ = f′(g(x))·g′(x). Di mana f′(x) = 0, grafik memiliki garis singgung mendatar: maksimum, minimum, atau titik pelana.

Aturan perkalian

f′(x) = u′v + uv′ = e^−x·(1 + (−1)·x)

Substitusikan

f′(0,5) = 0,6065·(1 + (−0,5)) = 0,3033

Jawaban

f′(0,5) = 0,3033

4.Turunan

Jawaban: x = 2

Turunan

f′(x) = 3x² − 12 = 3·(x² − 4)

Selesaikan f′(x) = 0

x = −2 atau x = 2

Mana yang mana

f″(x) = 6x: negatif di maksimum, positif di minimum.

f″(−2) = −12, f″(2) = 12

x = 2

Jawaban

x = 2

5.Integral

Jawaban: I = 26,8

Integral tentu: ∫ₐᵇ f(x) dx adalah luas bertanda antara grafik dan sumbu x dari a ke b. Cari antiturunan F (dengan F′ = f) dan hitung F(b) − F(a). Aturan pangkat: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1). Luas antara dua kurva adalah ∫(atas − bawah) dx.

Antiturunan

F(x) = e^2x/2

Substitusikan batasnya

I = (e⁴ − 1)/2 = (54,6 − 1)/2 = 26,8

Jawaban

I = 26,8

6.Integral

Jawaban: A = 4,5

Titik potong

x² = 3x → x = 0, x = 3

Integralkan atas dikurangi bawah

A = [1,5x² − 0,3333x³]₀³ = 4,5

Jawaban

A = 4,5

7.Bilangan kompleks

Jawaban: Im(w) = 4,596

Bentuk kutub: z = r∠θ = r(cos θ + j sin θ) = r·e^jθ, dengan r = |z| dan θ = arg z. Kembali ke bentuk kartesius: a = r cos θ, b = r sin θ. Argumen memerlukan kuadran: θ = atan(b/a) hanya jika a > 0; untuk a < 0 tambahkan atau kurangkan 180°. Dalam bentuk kutub perkalian mudah: kalikan modulus dan jumlahkan argumen; untuk pembagian bagi modulus dan kurangkan argumen.

Modulus dan argumen w

|w| = 3 / 0,5 = 6

θ = 70° − 20° = 50°

Bentuk kartesius

Re(w) = 6·cos(50°) = 3,857

Im(w) = 6·sin(50°) = 4,596

Im(w) = 4,596

Jawaban

Im(w) = 4,596

8.Bilangan kompleks

Jawaban: B (2∠−67,5°)

De Moivre dan akar: (r∠θ)ⁿ = rⁿ∠nθ. Persamaan zⁿ = R∠φ memiliki tepat n akar, semuanya bermodulus R^1/n, pada argumen (φ + 360°·k)/n untuk k = 0, 1, …, n − 1: akar-akar itu tersebar merata pada sebuah lingkaran, berjarak 360°/n. Persamaan kuadrat z² + pz + q = 0 dengan p² < 4q memiliki akar kompleks z = −p/2 ± j√(q − p²/4); polinom berkoefisien real selalu memiliki akar kompleks dalam pasangan konjugat a ± jb.

Modulus dan argumen akar-akar

|z| = 2

θ = 22,5°, 112,5°, −157,5°, −67,5°

Titiknya

B = 2∠−67,5°

Jawaban

B (2∠−67,5°)

9.Persamaan diferensial

Jawaban: y(2) = 0,348

Persamaan linear orde dua: untuk y″ + b·y′ + c·y = 0 coba y = e^rt: ini memberi persamaan karakteristik r² + b·r + c = 0. Dua akar real r₁ ≠ r₂ memberi y = A·e^r₁t + B·e^r₂t (redaman lebih); akar ganda r memberi y = (A + Bt)·e^rt (redaman kritis); akar kompleks −α ± jω memberi y = e^−αt(A cos ωt + B sin ωt) (redaman kurang, berosilasi). Nilai awal y(0) dan y′(0) menentukan A dan B. Ditulis sebagai y″ + 2ζω_ny′ + ω_n²y = 0, ω_n adalah frekuensi alami dan ζ rasio redaman: ζ < 1 berosilasi. Dengan masukan konstan, y″ + by′ + cy = c·K, penyelesaiannya adalah nilai tunak K ditambah respons bebas.

Akar ganda

(r + 2)² = 0 → r = −2

Konstanta

A = y(0) = 3

y′(0) = B − 2A → B = 2 + 6 = 8

Hitung nilainya

y(2) = (3 + 8·2)·e⁻⁴ = 0,348

Jawaban

y(2) = 0,348

10.Persamaan diferensial

Jawaban: y(0.5) = 0,807

Akar kompleks

r = −1,5 ± 3j

Konstanta

A = 3, B = 1,5·3/3 = 1,5

Hitung nilainya

y(0,5) = e^−0,75(3·cos 1,5 + 1,5·sin 1,5) = 0,807

Jawaban

y(0,5) = 0,807

11.Matriks & determinan

Jawaban: det A = −80

Matriks: determinan matriks 2×2 adalah ad − bc. Untuk 3×3, ekspansikan sepanjang satu baris: setiap entri dikali determinan matriks 2×2 yang tersisa setelah baris dan kolomnya dihapus, dengan tanda bergantian + − +. Nilai eigen λ memenuhi det(A − λI) = 0; untuk 2×2 itu adalah λ² − (trace)·λ + det = 0.

Minor 2×2 baris pertama

M₁₁ = −16, M₁₂ = −8, M₁₃ = 2

Ekspansi kofaktor

det A = 4·(−16) − (−3)·(−8) + 4·2 = −80

Jawaban

det A = −80

12.Matriks & determinan

Jawaban: x = −6

Determinan matriks koefisien

det A = 5·3 − (−3)·(−2) = 9

Ganti kolom x

det Aₓ = (−8)·3 − (−3)·(−10) = −54

x = −54/9 = −6

Jawaban

x = −6

y = −7,333

13.Vektor: hasil kali titik & silang

Jawaban: a·b = −7

Dot product: a·b = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z = |a|·|b|·cos θ, a scalar. It gives the angle between two vectors, cos θ = a·b/(|a|·|b|), and it is zero when they are perpendicular. The scalar projection of a onto b is a·b/|b|, and a constant force F moving through a displacement d does work W = F·d.

Kalikan komponen yang bersesuaian lalu jumlahkan

a·b = 0·7 + (−5)·2 + (−3)·(−1) = 0 + (−10) + 3 = −7

Jawaban

a·b = −7

Negatif: sudut di antara kedua vektor lebih dari 90°.

14.Vektor: hasil kali titik & silang

Jawaban: A = 49,81

Cross product: a × b = (a_yb_z − a_zb_y, a_zb_x − a_xb_z, a_xb_y − a_yb_x) is perpendicular to both vectors, and |a × b| = |a|·|b|·sin θ is the area of the parallelogram they span (the triangle has half of it). Order matters: b × a = −(a × b). The moment of a force F applied at point A about point O is M_O = r × F, with r = A − O.

Hasil kali silang

(a × b)_x = a_yb_z − a_zb_y = 5·(−6) − 4·(−5) = −10

(a × b)_y = a_zb_x − a_xb_z = 4·4 − 3·(−6) = 34

(a × b)_z = a_xb_y − a_yb_x = 3·(−5) − 5·4 = −35

Luas

A = |a × b| = √((−10)² + 34² + (−35)²) = 49,81

Jawaban

A = 49,81

15.Peluang

Jawaban: Var(X) = 0,6475

Variabel acak diskrit: distribusi peluang mendaftar setiap nilai x yang dapat diambil variabel beserta peluangnya p(x); peluang bernilai antara 0 dan 1 dan jumlahnya 1. Nilai harapan (rata-rata) adalah E(X) = Σx·p(x), rata-rata jangka panjang. Variansi adalah Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², dan simpangan baku σ = √Var(X). Untuk perubahan linear Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) dan σ_Y = |a|·σ_X; menambah konstanta tidak mengubah sebaran.

Rata-rata

μ = 0·0,3 + 1·0,35 + 2·0,35 = 1,05

Rata-rata kuadrat

E(X²) = 0·0,3 + 1·0,35 + 4·0,35 = 1,75

Variansi

Var(X) = 1,75 − 1,05² = 0,6475

Jawaban

Var(X) = 0,6475

16.Peluang

Jawaban: P = 0,01154

Peluang: dengan hasil yang sama mungkin, P(A) = yang diinginkan/total. Untuk kejadian saling bebas, kalikan: P(A dan B) = P(A)·P(B). Komplemen sering membantu: P(setidaknya satu) = 1 − P(tidak ada). Binomial: dalam n percobaan saling bebas dengan peluang sukses p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Rumus binomial

P(X = 5) = 21·0,25⁵·0,75² = 21·0,0009766·0,5625 = 0,01154

Jawaban

P = 0,01154

17.Statistika deskriptif

Jawaban: s = 18,38

Statistika deskriptif: rata-rata adalah jumlah dibagi n; median adalah nilai tengah data yang terurut (rata-rata dua nilai tengah jika n genap). Simpangan baku sampel s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Skor z z = (x − μ)/σ menyatakan berapa simpangan baku suatu nilai dari rata-rata.

Rata-rata

x̄ = 166/7 = 23,71

Kuadrat simpangan

Σ(x − x̄)² = (−6,714)² + (−13,71)² + (−9,714)² + (−12,71)² + 35,29² + (−7,714)² + 15,29² = 2027

Simpangan baku

s = √(2027/6) = 18,38

Jawaban

s = 18,38

18.Statistika deskriptif

Jawaban: P = 0,2119

Standarkan

z = −0,8

Tabel normal baku

Φ(−0,8) = 0,2119

P = 0,2119

Jawaban

P = 0,2119

19.Distribusi normal

Jawaban: z = 1,25

Dari luas kembali ke z: Φ(z) adalah luas di sebelah kiri z. Untuk luas ekor kiri A, cari z dengan Φ(z) = A dalam tabel. Luas ekor kanan A berarti Φ(z) = 1 − A. Luas tengah A di antara −z dan z menyisakan (1 − A)/2 pada setiap ekor, sehingga Φ(z) = (1 + A)/2. Untuk nilai x, pakai x = μ + zσ.

Luas di sebelah kiri z

Φ(z) = (1 + 0,7887)/2 = 0,8944

Baca tabel z secara terbalik

Cari 0,8944 di dalam tabel dan baca z.

z = 1,25

Jawaban

z = 1,25

20.Distribusi normal

Jawaban: x = 245,8 g

Luas di sebelah kiri

Φ(z) = 0,2

z dari tabel

z ≈ −0,84

Kembali ke satuan semula

x = 250 − 0,84·5 = 245,8 g

Jawaban

x = 245,8 g

ExamProblems · examproblems.com/courses/engineering-mathematics