Lembar rumus, langkah-langkah metode utama untuk setiap topik, dan 42 soal latihan, dengan pembahasan lengkap di bagian belakang.
Balok sederhana (sendi di A, rol di B) menahan beban yang berubah linear, naik dari nol di A sampai 12 kN/m di B. Beban terpusat P juga bekerja pada 2 m dari A. Cari reaksi tumpuan vertikal RB.
Sebuah balok majemuk dijepit ke dinding di A, memiliki sendi dalam di C (3,5 m dari A), dan bertumpu pada rol di D (6 m dari A). Balok menahan beban terpusat P pada 5,5 m dari A, beban merata w di seluruh bagian CD. Cari reaksi RD di rol.
Sebuah batang baja (diameter 40 mm, E = 200 GPa) berada di dalam tabung dari kuningan (diameter luar 120 mm, diameter dalam 60 mm, E = 100 GPa). Keduanya panjangnya 800 mm dan ditekan bersama di antara pelat kaku oleh 100 kN. Cari pemendekan δ.
Sebuah batang baja (diameter 25 mm, E = 200 GPa, tegangan izin 200 MPa) berada di dalam tabung dari tembaga (diameter luar 120 mm, diameter dalam 70 mm, E = 120 GPa, tegangan izin 100 MPa). Keduanya ditekan bersama di antara pelat kaku. Cari beban terbesar Pmax.
Poros aluminium pejal sepanjang 1,2 m menahan torsi 500 N·m. Sudut puntir antara kedua ujungnya tidak boleh melebihi 0,5°. Cari diameter terkecil d yang memenuhi batas ini.
Poros berongga harus meneruskan 5 kW pada 300 rpm. Diameter dalamnya ditetapkan 0,7 kali diameter luarnya, dan tegangan geser tidak boleh melebihi 80 MPa. Cari diameter luar terkecil do.
Tanda A sampai G membagi balok menjadi enam bagian yang sama. Pada tanda mana momen lenturnya terbesar dalam ukuran, positif atau negatif? Klik pada diagram.
Balok sederhana menahan beban merata w di seluruh bentang dan beban terpusat P. Cari momen lentur maksimum Mmax pada balok.
Suatu titik memiliki σₓ = −10 MPa, σᵧ = −80 MPa, dan τₓᵧ = −10 MPa (tarik positif). Cari sudut θs, antara −90° dan 90°, dari sumbu x ke normal bidang tempat tegangan geser mencapai nilai positif maksimumnya +R (geser positif searah dengan τₓᵧ).
Poros pejal berdiameter 25 mm menahan gaya tekan aksial sebesar 50 kN bersama torsi 1000 N·m. Di permukaan poros, cari tegangan utama terbesar σ1.
Balok sederhana menahan beban merata w di seluruh bentang. Cari kemiringan θA balok di tumpuan A, dalam radian.
Balok sederhana menahan beban terpusat P pada b = 1 m dari tumpuan B. Cari lendutan maksimum δmax balok.
Kolom sepanjang L dari baja dengan tumpuan jepit di bawah dan sendi di atas. Dengan rumus Euler, cari beban tekuk kritisnya Pcr.
Kolom sepanjang L dari baja dengan tumpuan sendi di kedua ujung. Cari kelangsingannya dan tegangan tekuk kritis σcr dari rumus Euler.
Sebuah bola dilempar dengan sudut 55° di atas horizontal dari tanah datar. Abaikan hambatan udara. Cari jarak horizontal x yang ditempuh sebelum bola menyentuh tanah.
Sebuah bola dilempar dengan sudut 40° di atas horizontal dari puncak tebing setinggi 25 m. Abaikan hambatan udara. Cari jarak horizontal x yang ditempuh sebelum bola menyentuh tanah.
Bola 2 kg tergantung pada tali ringan sepanjang 1,5 m. Bola ditarik ke samping sampai tali membentuk 90° terhadap vertikal lalu dilepas dari keadaan diam. Cari tegangan tali T saat bola melewati titik terendah.
Balok 5 kg mula-mula diam di dasar lereng 35° dan ditarik menaiki lereng oleh gaya konstan 65 N yang sejajar lereng. Koefisien gesek kinetisnya 0,25. Cari kecepatan v balok setelah bergerak 10 m menaiki lereng.
Massa 20 kg ditopang oleh pegas dengan kekakuan 4 kN/m dan peredam viskos dengan koefisien redaman 170 N·s/m. Cari rasio redaman ζ.
Massa 100 kg tergantung pada dua pegas berdampingan (paralel), dengan kekakuan k₁ = 25 kN/m dan k₂ = 80 kN/m. Massa tetap datar. Abaikan redaman dan massa pegas. Cari frekuensi alami fn getaran vertikal dalam Hz.
Sebuah mesin kalor bekerja di antara reservoir panas bersuhu 525 °C dan reservoir dingin bersuhu 20 °C. Mesin menyerap 1800 kJ panas. Cari usaha terbesar Wmax yang mungkin dihasilkan.
Sebuah mesin kalor Carnot menerima 200 kW panas dari sumber bersuhu 750 °C dan membuang panas ke lingkungan bersuhu 20 °C. Seluruh usahanya menggerakkan lemari pendingin Carnot yang mengambil panas dari freezer bersuhu -25 °C dan juga membuang panas ke lingkungan bersuhu 20 °C. Cari laju Q̇L panas yang diambil dari freezer.
Sebuah siklus Diesel ideal memiliki rasio kompresi r = 20 dan rasio cutoff rc = v₃/v₂ = 2,5. Pada awal kompresi udara bersuhu 290 K. Gunakan asumsi standar udara dingin: udara adalah gas ideal dengan kalor jenis konstan, k = 1,4, cp = 1,005 kJ/(kg·K) dan cv = 0,718 kJ/(kg·K). Cari suhu T3 di akhir penambahan kalor, dalam K.
Sebuah pembangkit turbin gas bekerja dengan siklus Brayton dengan rasio tekanan kompresor 15. Udara memasuki kompresor pada 288 K dan turbin pada 1400 K. Kompresor memiliki efisiensi isentropik 82% dan turbin 92%. Gunakan asumsi standar udara dingin: udara adalah gas ideal dengan kalor jenis konstan, k = 1,4, cp = 1,005 kJ/(kg·K) dan cv = 0,718 kJ/(kg·K). Cari kerja keluaran netto wnet per kilogram udara, dalam kJ/kg.
Tabung pitot-statis di terowongan angin menunjukkan selisih 750 Pa antara tekanan stagnasi dan tekanan statis. Massa jenis udara 1,2 kg/m³. Cari kecepatan udara v.
Air mengalir naik melalui pipa yang menyempit dari 75 mm ke 40 mm sambil naik 1 m. Di penampang 1 tekanannya 340 kPa dan kecepatannya 1,75 m/s. Dengan mengabaikan kerugian, cari tekanan p2 di penampang 2.
Air mengalir dengan kecepatan rata-rata 2,4 m/s melalui pipa sepanjang 100 m dengan diameter dalam 75 mm. Gunakan faktor gesekan Darcy f = 0,02 dan g = 9,81 m/s². Cari kehilangan head akibat gesekan hf.
Sebuah pipa sepanjang 200 m dengan diameter dalam 250 mm (faktor gesekan Darcy f = 0,02) berawal dari reservoir terbuka dan mengeluarkan air sebagai pancaran bebas ke udara. Kerugian minornya adalah lubang masuk bersudut tajam (K = 0,5), 3 belokan (masing-masing K = 0,3), dan sebuah katup (K = 5). Gunakan g = 9,81 m/s². Berapa tinggi H permukaan reservoir harus berada di atas lubang keluar pipa untuk debit 150 L/s?
Sebuah pompa mengalirkan 50 L/s air (ρ = 1000 kg/m³) melawan head 36 m. Efisiensi pompa 80% dan motor listrik penggeraknya memiliki efisiensi 94%. Gunakan g = 9,81 m/s². Cari daya listrik Pel yang ditarik motor, dalam kW.
Sebuah pompa memindahkan 30 L/s air (ρ = 1000 kg/m³) dari reservoir bawah yang terbuka ke tangki atas yang permukaan airnya 6 m lebih tinggi. Pipa sepanjang 100 m dengan diameter dalam 150 mm dan faktor gesekan Darcy f = 0,022; koefisien kerugian minornya berjumlah ΣK = 6 (termasuk lubang masuk dan keluar). Gunakan g = 9,81 m/s². Cari head H yang harus ditambahkan pompa.
Dinding terdiri dari 200 mm beton dan 50 mm bata, dengan luas 8 m². Permukaan luarnya bersuhu 15 °C dan 6 °C. Cari suhu Ti pada antarmuka kedua lapisan.
Dinding 150 mm kaca dan 150 mm papan gipsum memisahkan ruangan bersuhu 21 °C dari udara luar bersuhu -14 °C. Koefisien konveksinya 8 W/(m²·K) di dalam dan 20 W/(m²·K) di luar, dan luas dinding 20 m². Cari koefisien perpindahan panas menyeluruh U dinding.
Sebuah sabuk berjalan pada puli penggerak 80 mm pada 1440 rpm. Tegangannya 1500 N pada sisi tarik dan 750 N pada sisi kendor. Cari daya P yang ditransmisikan, dalam kW.
Dalam set roda gigi planet, roda gigi matahari memiliki 18 gigi dan setiap roda gigi planet 15 gigi. Pembawa planet ditahan diam dan matahari digerakkan pada 900 rpm. Cari kecepatan nr roda gigi cincin (besarnya).
Tentukan f(t) untuk F(s) = (s + 13)/(s² + 4s + 5) dengan melengkapkan kuadrat, lalu hitung f(0,2).
Sebuah sistem dinyatakan oleh persamaan diferensial y″ + 5y′ + 6y = 4u′ + 8u, dengan masukan u(t) dan keluaran y(t). Tentukan fungsi alihnya G(s) = Y(s)/U(s) (syarat awal nol) dan hitung respons impuls g(t) pada t = 0,5 s. Tentukan g(0,5).
Plant G(s) = 4/(s + 3) dikendalikan dalam loop umpan balik negatif yang sensornya memiliki penguatan H = 2. Tentukan konstanta waktu τ loop tertutup.
Reduksi diagram blok dengan G₁ = 9/(s + 3), G₂ = 10/(s + 5), umpan balik negatif dalam H₁ = 2 di sekitar G₂ dan umpan balik negatif luar H₂ = 0,25. Tentukan penguatan DC T(0) dari C(s)/R(s).
Sebuah sistem memiliki fungsi alih G(s) = 178/(s² + 11s + 89) dan menerima masukan langkah satuan. Tentukan waktu penetapan 2 % ts dari respons langkah, dengan ts ≈ 4/(ζωₙ).
Loop umpan balik negatif satuan memiliki G(s) = K/(s(s + 20)). Tentukan penguatan K yang memberi respons langkah dengan overshoot 30 %.
Suatu proses G(s) = 2/(2s + 1) dikendalikan oleh penguatan proporsional K = 9 dalam loop umpan balik satuan. Cari galat keadaan tunak ess untuk undak, sebagai persentase dari ukuran undak.
Pengendali proporsional K = 50 mengendalikan plant G(s) = 2/(s(s + 8)) dalam loop umpan balik satuan. Tentukan waktu penetapan 2 % ts dari respons langkah, dengan ts ≈ 4/(ζωₙ).
Jawaban: RB = 35,75 kN
Kesetimbangan statis: benda yang diam memenuhi ΣFx = 0, ΣFy = 0, dan ΣM = 0 terhadap titik mana pun. Ganti setiap beban merata dengan resultannya (luasnya) yang bekerja di titik berat diagram beban, dan ambil momen terhadap satu tumpuan untuk menghilangkan reaksi tumpuan itu dari persamaan.
Momen terhadap A, positif berlawanan arah jarum jam. Lalu kesetimbangan gaya vertikal.
Jawaban: RD = 47 kN
Kesetimbangan statis: benda yang diam memenuhi ΣFx = 0, ΣFy = 0, dan ΣM = 0 terhadap titik mana pun. Ganti setiap beban merata dengan resultannya (luasnya) yang bekerja di titik berat diagram beban, dan ambil momen terhadap satu tumpuan untuk menghilangkan reaksi tumpuan itu dari persamaan. Sendi dalam tidak dapat menahan momen lentur, sehingga memberi satu persamaan tambahan: momen terhadap sendi dari gaya-gaya di salah satu sisi sama dengan nol.
Sendi tidak memiliki momen, jadi momen terhadap C pada CD saja harus seimbang.
Jawaban: δ = 0,07276 mm
Dua bahan: pada susunan seri (satu demi satu) setiap segmen menahan gaya yang sama dan perpanjangannya dijumlahkan: δ = P·Σ L/(E·A). Pada susunan paralel (berdampingan di antara pelat kaku) kedua bagian memendek sama besar, sehingga regangannya sama: bagian yang lebih kaku menanggung bagian yang lebih besar, Pi = P·EiAi/ΣEA, dan σi = Ei·ε. Batang yang ditahan di antara dua dinding kaku dengan beban di sambungan adalah statis tak tentu: kedua segmen membagi beban sebanding dengan kekakuannya k = EA/L.
Jawaban: Pmax = 827,9 kN
Dua bahan: pada susunan seri (satu demi satu) setiap segmen menahan gaya yang sama dan perpanjangannya dijumlahkan: δ = P·Σ L/(E·A). Pada susunan paralel (berdampingan di antara pelat kaku) kedua bagian memendek sama besar, sehingga regangannya sama: bagian yang lebih kaku menanggung bagian yang lebih besar, Pi = P·EiAi/ΣEA, dan σi = Ei·ε. Batang yang ditahan di antara dua dinding kaku dengan beban di sambungan adalah statis tak tentu: kedua segmen membagi beban sebanding dengan kekakuannya k = EA/L.
Jawaban: d = 72,04 mm
Torsi poros bulat: tegangan geser naik linear dari nol di pusat hingga τmax = T·r/J di permukaan, dengan J = πd⁴/32 untuk poros pejal dan J = π(do⁴ − di⁴)/32 untuk poros berongga. Sudut puntir φ = TL/(GJ) dalam radian. Daya dan torsi berhubungan melalui P = T·ω.
Dalam praktik Anda membulatkan ke ukuran standar berikutnya.
Jawaban: do = 23,71 mm
Torsi poros bulat: tegangan geser naik linear dari nol di pusat hingga τmax = T·r/J di permukaan, dengan J = πd⁴/32 untuk poros pejal dan J = π(do⁴ − di⁴)/32 untuk poros berongga. Sudut puntir φ = TL/(GJ) dalam radian. Daya dan torsi berhubungan melalui P = T·ω.
Poros pejal memerlukan d = 21,64 mm; poros berongga sedikit lebih besar tetapi jauh lebih ringan.
Jawaban: B (x = 1 m)
Momen lentur terbesar: kemiringan M berubah di mana pun gaya geser berubah, sehingga puncaknya berada di tempat gaya geser memotong nol: di bawah beban terpusat, di dalam beban merata, atau di atas tumpuan pada balok dengan kantilever. Pada tumpuan jepit kantilever momen terbesar berada di dinding. Bandingkan besar M pada tempat-tempat itu, positif (sagging) atau negatif (hogging).
Ambil momen terhadap satu tumpuan, lalu pakai keseimbangan gaya vertikal.
Jumlahkan momen semua gaya pada satu sisi potongan. Positif (sagging) adalah positif, negatif (hogging) adalah negatif.
Jawaban: Mmax = 93,02 kN·m
Metode potongan: potong balok di tempat gaya dalam yang ingin dicari dan ambil satu sisi. Gaya geser V mengimbangi gaya vertikal di sisi itu, dan momen lentur M mengimbangi momennya terhadap potongan. Momen maksimum: karena dM/dx = V, momen lentur mencapai puncaknya di tempat gaya geser melewati nol, baik di beban terpusat maupun di dalam beban merata.
Kesetimbangan seluruh balok.
Terjadi di x = 2,063 m dari A.
Jawaban: θs = −52,97 °
Transformasi tegangan bidang: pada bidang yang diputar sebesar θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Lingkaran Mohr menampilkan semua bidang sekaligus: pusatnya di C = (σₓ + σᵧ)/2 dan jari-jarinya R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Tegangan utama adalah C ± R, dan tegangan geser terbesar dalam bidang adalah R.
Pada lingkaran Mohr titik puncak (+R) berjarak 90° dari titik utama σ₁; pada elemen itu sama dengan 45°.
Sudut positif berlawanan arah jarum jam.
Jawaban: σ1 = 279 MPa
Transformasi tegangan bidang: pada bidang yang diputar sebesar θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Lingkaran Mohr menampilkan semua bidang sekaligus: pusatnya di C = (σₓ + σᵧ)/2 dan jari-jarinya R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Tegangan utama adalah C ± R, dan tegangan geser terbesar dalam bidang adalah R.
Jawaban: θA = 0,02286 rad
Lendutan balok: lendutan diperoleh dengan mengintegrasikan kelengkungan M/(EI) dua kali. Kasus standar tersedia dalam tabel, misalnya PL³/(3EI) untuk kantilever dengan beban ujung dan 5wL⁴/(384EI) untuk balok sederhana dengan beban merata penuh. Lendutan akibat beban terpisah dijumlahkan (superposisi). Kemiringan θ = dv/dx adalah integral pertama dari M/(EI); dengan satuan yang konsisten hasilnya dalam radian.
Hitung dalam N dan mm: P dalam N, w dalam N/mm (kN/m = N/mm), L dalam mm, E dalam N/mm² (GPa × 1000), I dalam mm⁴.
Itu sama dengan 1,31°.
Jawaban: δmax = 10,96 mm
Lendutan balok: lendutan diperoleh dengan mengintegrasikan kelengkungan M/(EI) dua kali. Kasus standar tersedia dalam tabel, misalnya PL³/(3EI) untuk kantilever dengan beban ujung dan 5wL⁴/(384EI) untuk balok sederhana dengan beban merata penuh. Lendutan akibat beban terpisah dijumlahkan (superposisi).
Hitung dalam N dan mm: P dalam N, w dalam N/mm (kN/m = N/mm), L dalam mm, E dalam N/mm² (GPa × 1000), I dalam mm⁴.
Menyamakan kemiringan pada segmen yang lebih panjang dengan nol memberi letaknya.
Jawaban: Pcr = 1049 kN
Tekuk Euler: kolom langsing menjadi tidak stabil pada Pcr = π²EI/(KL)², dengan KL panjang efektif: K = 1 untuk sendi–sendi, 2 untuk jepit–bebas, 0,7 untuk jepit–sendi, dan 0,5 untuk jepit–jepit. Kolom menekuk terhadap sumbu dengan I terkecil. Rumus berlaku untuk kolom langsing yang tegangan kritisnya tetap di bawah tegangan leleh.
Persegi panjang menekuk terhadap sumbu lemahnya, dengan dimensi terkecil dipangkatkan tiga.
Jawaban: σcr = 27,76 MPa
Tekuk Euler: kolom langsing menjadi tidak stabil pada Pcr = π²EI/(KL)², dengan KL panjang efektif: K = 1 untuk sendi–sendi, 2 untuk jepit–bebas, 0,7 untuk jepit–sendi, dan 0,5 untuk jepit–jepit. Kolom menekuk terhadap sumbu dengan I terkecil. Rumus berlaku untuk kolom langsing yang tegangan kritisnya tetap di bawah tegangan leleh.
Penampang bulat memiliki I yang sama terhadap setiap sumbu.
Jawaban: x = 13,79 m
Gerak proyektil: tanpa hambatan udara, x = vxt dan y = h + vyt − ½gt². Kedua arah tidak saling bergantung, kecuali berbagi waktu yang sama.
Kecepatan horizontal tetap; gerak vertikal memiliki percepatan konstan g = 9,81 m/s² ke bawah.
Berangkat dan mendarat pada ketinggian sama: t = 2vy/g.
Jawaban: x = 26,04 m
Gerak proyektil: tanpa hambatan udara, x = vxt dan y = h + vyt − ½gt². Kedua arah tidak saling bergantung, kecuali berbagi waktu yang sama.
Kecepatan horizontal tetap; gerak vertikal memiliki percepatan konstan g = 9,81 m/s² ke bawah.
Selesaikan y(t) = h + vy·t − ½gt² = 0 untuk akar positif.
Jawaban: T = 58,86 N
Prinsip usaha–energi: perubahan energi kinetik sama dengan usaha oleh semua gaya. Menuliskan gravitasi dan pegas sebagai energi potensial (mgh dan ½kx²) mengubahnya menjadi neraca: energi awal = energi akhir + energi yang hilang karena gesekan (μN·d). Pada lintasan melingkar, gaya total ke arah pusat harus sama dengan mv²/r.
Periksa: T = mg(3 − 2cos θ) = 58,86 N.
Jawaban: v = 10,36 m/s
Prinsip usaha–energi: perubahan energi kinetik sama dengan usaha oleh semua gaya. Menuliskan gravitasi dan pegas sebagai energi potensial (mgh dan ½kx²) mengubahnya menjadi neraca: energi awal = energi akhir + energi yang hilang karena gesekan (μN·d).
Jawaban: ζ = 0,3005
Getaran bebas sistem massa–pegas: frekuensi alami tak teredam adalah ωn = √(k/m) dalam rad/s, dan fn = ωn/(2π) dalam Hz. Peredam viskos c memberikan rasio redaman ζ = c/cc, dengan redaman kritis cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn. Sistem kurang teredam (ζ < 1) berosilasi pada ωd = ωn·√(1 − ζ²). Pegas paralel dijumlahkan, k = k₁ + k₂; pegas seri dijumlahkan sebagai kebalikan, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.
ζ < 1, sehingga sistem kurang teredam dan berosilasi sambil meluruh.
Jawaban: fn = 5,157 Hz
Getaran bebas sistem massa–pegas: frekuensi alami tak teredam adalah ωn = √(k/m) dalam rad/s, dan fn = ωn/(2π) dalam Hz. Peredam viskos c memberikan rasio redaman ζ = c/cc, dengan redaman kritis cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn. Sistem kurang teredam (ζ < 1) berosilasi pada ωd = ωn·√(1 − ζ²). Pegas paralel dijumlahkan, k = k₁ + k₂; pegas seri dijumlahkan sebagai kebalikan, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.
Pegas berdampingan berbagi defleksi dan gayanya dijumlahkan, sehingga kekakuannya cukup dijumlahkan: k = k1 + k2.
Jawaban: Wmax = 1139 kJ
Batas hukum kedua: tidak ada siklus yang bekerja di antara reservoir bersuhu mutlak TH dan TL yang dapat mengungguli siklus reversibel (Carnot): ηmax = 1 − TL/TH, COPR,max = TL/(TH − TL), dan COPHP,max = TH/(TH − TL). Energi selalu kekal: QH = W + QL.
Jawaban: Q̇L = 786,9 kW
Second-law limits: no cycle working between reservoirs at absolute temperatures TH and TL can beat the reversible (Carnot) cycle: ηmax = 1 − TL/TH, COPR,max = TL/(TH − TL) and COPHP,max = TH/(TH − TL). Energy is always conserved: QH = W + QL.
Jawaban: T3 = 2403 K
Siklus Diesel (motor diesel): 1→2 kompresi isentropik, 2→3 penambahan kalor pada tekanan konstan, 3→4 ekspansi isentropik, 4→1 pelepasan kalor pada volume konstan. Dengan rasio kompresi r = v₁/v₂ dan rasio penghentian (cutoff) rc = v₃/v₂: T₂ = T₁·rk−1, T₃ = rc·T₂, qin = cp·(T₃ − T₂) dan η = 1 − (1/rk−1)·(rck − 1)/(k·(rc − 1)).
Jawaban: wnet = 285,1 kJ/kg
Siklus Brayton (turbin gas): 1→2 kompresi isentropik, 2→3 penambahan kalor pada tekanan konstan, 3→4 ekspansi isentropik di turbin, 4→1 pelepasan kalor pada tekanan konstan. Dengan rasio tekanan rp = P₂/P₁: T₂ = T₁·rp(k−1)/k, T₄ = T₃/rp(k−1)/k dan η = 1 − 1/rp(k−1)/k. Kerja netto w = cp·[(T₃ − T₄) − (T₂ − T₁)]. Dengan efisiensi isentropik, kompresor memerlukan ws/ηc dan turbin menghasilkan ηt·ws.
Rasio kerja balik: wc/wt = 59,11%.
Jawaban: v = 35,36 m/s
Continuity and Bernoulli: for an incompressible fluid the flow rate is the same at every section, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Along a streamline without losses, p + ½ρv² + ρgz is constant, so where the fluid is faster or higher its pressure is lower.
Aliran berhenti di ujung tabung, jadi energi kinetiknya muncul sebagai tambahan tekanan.
Jawaban: p2 = 312,8 kPa
Kontinuitas dan Bernoulli: untuk fluida tak mampat, laju alir sama di setiap penampang, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Sepanjang garis arus tanpa kerugian, p + ½ρv² + ρgz konstan, jadi di tempat fluida lebih cepat atau lebih tinggi, tekanannya lebih rendah.
Hitung dalam Pa, lalu bagi 1000 untuk mendapat kPa.
Jawaban: hf = 7,829 m
Aliran pipa: bilangan Reynolds Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ membedakan aliran laminar (Re di bawah sekitar 2000) dari aliran turbulen (di atas sekitar 4000). Gesekan sepanjang pipa menyebabkan kehilangan head Darcy–Weisbach hf = f·(L/D)·V²/(2g). Sambungan, katup, lubang masuk, dan lubang keluar menambah kerugian minor hm = ΣK·V²/(2g). Di antara dua permukaan reservoir terbuka, persamaan energi memberikan Δz = hf + hm, termasuk kerugian keluar K = 1.
Jawaban: H = 11,14 m
Aliran pipa: bilangan Reynolds Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ membedakan aliran laminar (Re di bawah sekitar 2000) dari aliran turbulen (di atas sekitar 4000). Gesekan sepanjang pipa menyebabkan kehilangan head Darcy–Weisbach hf = f·(L/D)·V²/(2g). Sambungan, katup, lubang masuk, dan lubang keluar menambah kerugian minor hm = ΣK·V²/(2g). Di antara dua permukaan reservoir terbuka, persamaan energi memberikan Δz = hf + hm, termasuk kerugian keluar K = 1.
Pancaran keluar masih membawa head kecepatannya; itu bukan kerugian, tetapi harus disediakan.
Jawaban: Pel = 23,48 kW
Daya pompa: daya yang diberikan kepada air adalah daya hidrolik Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp. Poros harus menyalurkan lebih banyak karena pompa mengalami rugi: Pshaft = Ph/ηpump, dan motor menarik Pel = Pshaft/ηmotor. Head pompa H diperoleh dari persamaan energi: tinggi angkat statis + head tekanan + semua kerugian gesekan dan minor.
Jawaban: H = 9,036 m
Daya pompa: daya yang diberikan kepada air adalah daya hidrolik Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp. Poros harus menyalurkan lebih banyak karena pompa mengalami rugi: Pshaft = Ph/ηpump, dan motor menarik Pel = Pshaft/ηmotor. Head pompa H diperoleh dari persamaan energi: tinggi angkat statis + head tekanan + semua kerugian gesekan dan minor.
Kedua permukaan terbuka dan praktis diam, sehingga suku tekanan dan kecepatan hilang.
Jawaban: Ti = 8,944 °C
Tahanan termal: aliran panas tunak melalui lapisan seri berperilaku seperti arus melalui resistor seri: Q̇ = ΔT/ΣR, dengan R = L/(kA) untuk lapisan konduksi dan R = 1/(hA) untuk permukaan konveksi. Penurunan suhu pada setiap lapisan sebanding dengan tahanannya.
Suhu turun sebesar Q̇·R₁ pada lapisan pertama.
Jawaban: U = 0,824 W/(m²·K)
Tahanan termal: aliran panas tunak melalui lapisan seri berperilaku seperti arus melalui resistor seri: Q̇ = ΔT/ΣR, dengan R = L/(kA) untuk lapisan konduksi dan R = 1/(hA) untuk permukaan konveksi. Penurunan suhu pada setiap lapisan sebanding dengan tahanannya.
Jawaban: P = 4,524 kW
Penggerak sabuk: tanpa slip, kedua puli memiliki kecepatan tepi yang sama v = π·d·n/60, sehingga n₁·d₁ = n₂·d₂ dan rasio kecepatan adalah d₂/d₁. Slip s membuat puli yang digerakkan sedikit lebih lambat: n₂ = n₁·(d₁/d₂)·(1 − s). Daya yang ditransmisikan adalah P = (T₁ − T₂)·v, dengan T₁ tegangan sisi tarik dan T₂ sisi kendor. Gesekan membatasi rasio tegangan: T₁/T₂ = eμθ, dengan θ sudut kontak dalam radian pada puli yang lebih kecil; untuk sabuk terbuka θ = π − 2·asin((d₂ − d₁)/(2C)) dengan jarak sumbu C.
Jawaban: nr = 337,5 rpm
Set roda gigi planet: kecepatan matahari, cincin, dan pembawa dihubungkan oleh persamaan Willis (ns − nc)/(nr − nc) = −Nr/Ns: dilihat dari pembawa, set ini adalah rangkaian roda gigi biasa dengan planet sebagai roda perantara. Menahan satu anggota diam mengubah set menjadi reduktor dengan satu rasio.
Dengan nc = 0, matahari menggerakkan cincin melalui planet, yang bertindak sebagai roda perantara.
Cincin berputar berlawanan arah dengan matahari.
Jawaban: f(0.2) = 2,122
Transformasi Laplace: F(s) = ∫₀∞ f(t)·e−st dt mengubah turunan menjadi perkalian dengan s: ℒ{f′} = sF(s) − f(0), ℒ{f″} = s²F(s) − s·f(0) − f′(0). Pasangan baku: 1 ↔ 1/s, e−at ↔ 1/(s + a), t·e−at ↔ 1/(s + a)², sin ωt ↔ ω/(s² + ω²), cos ωt ↔ s/(s² + ω²), dan pergeseran s → s + σ mengalikan fungsi waktu dengan e−σt. Untuk membalik F(s) rasional, uraikan menjadi pecahan parsial: residu sebuah kutub tunggal p adalah A = [(s − p)·F(s)] pada s = p. Teorema nilai akhir: f(∞) = lims→0 s·F(s), hanya berlaku jika semua kutub s·F(s) berada di setengah bidang kiri. Teorema nilai awal: f(0⁺) = lims→∞ s·F(s).
Jawaban: g(0.5) = 0,8925
Transformasi Laplace: F(s) = ∫₀∞ f(t)·e−st dt mengubah turunan menjadi perkalian dengan s: ℒ{f′} = sF(s) − f(0), ℒ{f″} = s²F(s) − s·f(0) − f′(0). Pasangan baku: 1 ↔ 1/s, e−at ↔ 1/(s + a), t·e−at ↔ 1/(s + a)², sin ωt ↔ ω/(s² + ω²), cos ωt ↔ s/(s² + ω²), dan pergeseran s → s + σ mengalikan fungsi waktu dengan e−σt. Untuk membalik F(s) rasional, uraikan menjadi pecahan parsial: residu sebuah kutub tunggal p adalah A = [(s − p)·F(s)] pada s = p. Teorema nilai akhir: f(∞) = lims→0 s·F(s), hanya berlaku jika semua kutub s·F(s) berada di setengah bidang kiri. Teorema nilai awal: f(0⁺) = lims→∞ s·F(s).
Jawaban: τ = 0,09091 s
Aljabar diagram blok: blok yang seri dikalikan (G₁·G₂), blok yang paralel dijumlahkan (G₁ + G₂), dan loop dengan lintasan maju G dan lintasan umpan balik H direduksi menjadi T = G/(1 + G·H) untuk umpan balik negatif dan G/(1 − G·H) untuk umpan balik positif. Reduksi loop dalam terlebih dahulu, lalu bekerja ke luar. Kutub loop tertutup adalah akar persamaan karakteristik 1 + G(s)H(s) = 0. Untuk loop yang stabil, masukan langkah berukuran A memberi keluaran keadaan tunak A·T(0); dengan umpan balik satuan, galat keadaan tunak terhadap langkah adalah A/(1 + Kp) dengan Kp = G(0).
Jawaban: T(0) = 0,9231
Aljabar diagram blok: blok yang seri dikalikan (G₁·G₂), blok yang paralel dijumlahkan (G₁ + G₂), dan loop dengan lintasan maju G dan lintasan umpan balik H direduksi menjadi T = G/(1 + G·H) untuk umpan balik negatif dan G/(1 − G·H) untuk umpan balik positif. Reduksi loop dalam terlebih dahulu, lalu bekerja ke luar. Kutub loop tertutup adalah akar persamaan karakteristik 1 + G(s)H(s) = 0. Untuk loop yang stabil, masukan langkah berukuran A memberi keluaran keadaan tunak A·T(0); dengan umpan balik satuan, galat keadaan tunak terhadap langkah adalah A/(1 + Kp) dengan Kp = G(0).
Jawaban: ts = 0,7273 s
Respons langkah: sistem orde satu G(s) = K/(τs + 1) menjawab masukan langkah berukuran U dengan y(t) = K·U·(1 − e−t/τ): mencapai 63,2 % dari nilai akhir K·U setelah satu konstanta waktu τ dan 98 % setelah 4τ. Sistem orde dua G(s) = K·ωₙ²/(s² + 2ζωₙs + ωₙ²) memiliki kutub s = −ζωₙ ± jωd dengan ωd = ωₙ√(1 − ζ²). Untuk 0 < ζ < 1 respons langkahnya melampaui (overshoot): persen overshoot %OS = 100·e−ζπ/√(1−ζ²), waktu puncak tp = π/ωd, dan waktu penetapan 2 % ts ≈ 4/(ζωₙ). Bandingkan penyebut dengan s² + 2ζωₙs + ωₙ² untuk membaca ωₙ dan ζ. Untuk massa–pegas–peredam ωₙ = √(k/m) dan ζ = c/(2√(km)); untuk rangkaian RLC seri ωₙ = 1/√(LC) dan ζ = (R/2)·√(C/L).
Penyebut harus cocok dengan s² + 2ζωₙs + ωₙ².
Jawaban: K = 780,9
Respons langkah: sistem orde satu G(s) = K/(τs + 1) menjawab masukan langkah berukuran U dengan y(t) = K·U·(1 − e−t/τ): mencapai 63,2 % dari nilai akhir K·U setelah satu konstanta waktu τ dan 98 % setelah 4τ. Sistem orde dua G(s) = K·ωₙ²/(s² + 2ζωₙs + ωₙ²) memiliki kutub s = −ζωₙ ± jωd dengan ωd = ωₙ√(1 − ζ²). Untuk 0 < ζ < 1 respons langkahnya melampaui (overshoot): persen overshoot %OS = 100·e−ζπ/√(1−ζ²), waktu puncak tp = π/ωd, dan waktu penetapan 2 % ts ≈ 4/(ζωₙ). Bandingkan penyebut dengan s² + 2ζωₙs + ωₙ² untuk membaca ωₙ dan ζ. Untuk massa–pegas–peredam ωₙ = √(k/m) dan ζ = c/(2√(km)); untuk rangkaian RLC seri ωₙ = 1/√(LC) dan ζ = (R/2)·√(C/L).
Jawaban: ess = 5,263 %
Galat keadaan tunak: dalam loop umpan balik satuan dengan fungsi alih loop terbuka G(s), galatnya adalah E(s) = R(s)/(1 + G(s)), dan menurut teorema nilai akhir ess = lims→0 s·E(s). Tipe sistem adalah jumlah kutub G(s) di s = 0. Konstanta galat adalah Kp = lim G(s), Kv = lim s·G(s) dan Ka = lim s²·G(s), semuanya untuk s → 0. Masukan undak berukuran A memberikan ess = A/(1 + Kp), ramp A·t memberikan A/Kv dan parabola A·t²/2 memberikan A/Ka. Loop tipe 0 mengikuti undak dengan galat terhingga, loop tipe 1 mengikutinya dengan tepat dan mengikuti ramp dengan galat terhingga.
Jawaban: ts = 1 s
Kendali P, PI, dan PID: pengendali C(s) = Kp + Ki/s + Kd·s bekerja pada galat. Penguatan proporsional membuat loop lebih cepat dan mengurangi galat plant tipe 0, tetapi tidak pernah menghilangkannya. Suku integral menambahkan kutub di s = 0: tipe sistem naik satu, dan undak diikuti tanpa galat. Suku turunan menambah redaman. Untuk memilih penguatan, tulis polinomial karakteristik loop tertutup dan bandingkan dengan s² + 2ζωns + ωn². Maka %OS = 100·e−ζπ/√(1−ζ²), tp = π/ωd dengan ωd = ωn√(1 − ζ²), dan ts ≈ 4/(ζωn).
Waktu penetapan di sini tidak bergantung pada K: menaikkan K hanya membuat respons berosilasi lebih cepat.
Ini adalah materi latihan independen. ExamProblems tidak berafiliasi dengan atau didukung oleh organisasi penyelenggara ujian ini, dan nama ujian hanya digunakan untuk menggambarkan isinya. FE exam diselenggarakan oleh NCEES, yang tidak berafiliasi dengan ExamProblems dan tidak mendukungnya.
ExamProblems · examproblems.com/courses/fe-exam-mechanical