Lembar rumus, langkah-langkah metode utama untuk setiap topik, dan 42 soal latihan, dengan pembahasan lengkap di bagian belakang.
Balok sederhana memiliki tumpuan sendi di A dan rol di B. Balok menahan beban terpusat P pada 3,5 m dari A dan kopel berlawanan arah jarum jam M pada 2,5 m dari A. Cari reaksi vertikal RA, dengan arah ke atas positif.
Balok kantilever dijepit ke dinding di A. Balok menahan beban yang berubah linear, nol di dinding dan naik sampai 10 kN/m di ujung bebas B, ditambah beban terpusat P pada 4 m dari dinding. Cari besar momen reaksi MA di dinding.
Cari regangan aksial ε pada batang tembaga, dalam mikroregangan (µε = 10⁻⁶).
Sebuah batang baja (diameter 20 mm, E = 200 GPa, tegangan izin 250 MPa) berada di dalam tabung dari perunggu (diameter luar 80 mm, diameter dalam 60 mm, E = 110 GPa, tegangan izin 60 MPa). Keduanya ditekan bersama di antara pelat kaku. Cari beban terbesar Pmax.
Poros pejal kuningan dijepit di dinding dan dipuntir oleh torsi T di ujung bebasnya. Cari sudut puntir φ ujung bebas, dalam derajat.
Poros berongga harus meneruskan 20 kW pada 750 rpm. Diameter dalamnya ditetapkan 0,8 kali diameter luarnya, dan tegangan geser tidak boleh melebihi 40 MPa. Cari diameter luar terkecil do.
Cari gaya geser Vx pada potongan x = 5 m dari tumpuan A. Anggap positif momen yang membuat serat bawah tertarik dan gaya geser ke atas pada muka kiri.
Balok sederhana menahan beban merata w di seluruh bentang dan beban terpusat P. Cari momen lentur maksimum Mmax pada balok.
Sebuah titik pada komponen yang dibebani memiliki σₓ = 10 MPa, σᵧ = −70 MPa, dan τₓᵧ = −10 MPa (tarik positif). Cari sudut θp dari sumbu x ke arah tegangan utama terbesar, antara −90° dan 90°.
Sebuah titik pada komponen yang dibebani memiliki σₓ = −20 MPa, σᵧ = 10 MPa, dan τₓᵧ = 60 MPa (tarik positif). Cari tegangan normal σθ pada bidang yang normalnya diputar 60° berlawanan arah jarum jam dari sumbu x.
Balok sederhana menahan beban merata w di seluruh bentang. Cari lendutan maksimum δmax di tengah bentang.
Balok kayu sederhana berpenampang persegi panjang selebar 75 mm menahan beban merata w di seluruh bentang. Lendutan tengah bentangnya tidak boleh melebihi bentang/360. Cari tinggi terkecil hreq penampang.
Kolom sepanjang L dari aluminium dengan tumpuan jepit di kedua ujung. Dengan rumus Euler, cari beban tekuk kritisnya Pcr.
Kolom bulat pejal sepanjang L dari baja dengan tumpuan sendi di kedua ujung. Kolom harus menahan 25 kN dengan faktor keamanan 2 terhadap tekuk. Cari diameter terkecil d.
Sebuah bola dilempar dengan sudut 35° di atas horizontal dari tanah datar. Abaikan hambatan udara. Cari waktu terbang t sampai bola menyentuh tanah.
Sebuah bola dilempar dengan sudut 20° di atas horizontal dari puncak tebing setinggi 40 m. Abaikan hambatan udara. Cari waktu terbang t sampai bola menyentuh tanah.
Sebuah peluncur mainan memiliki pegas vertikal dengan kekakuan 200 N/m. Bola 0,2 kg diletakkan di atasnya dan pegas dimampatkan sejauh 8 cm, lalu dilepas. Dengan mengabaikan hambatan udara dan massa pegas, cari tinggi h naiknya bola, diukur dari posisinya saat pegas dimampatkan.
Sebuah pegas dengan kekakuan 800 N/m di dasar lereng 20° dimampatkan sejauh 12 cm oleh balok 3 kg lalu dilepas. Koefisien gesek kinetis antara balok dan lereng 0,25. Seberapa jauh d balok menaiki lereng dari titik lepas sebelum berhenti? (Abaikan jarak pendek saat pegas mendorong, yaitu ambil gesekan dan gravitasi sepanjang seluruh jarak d.)
Massa 80 kg pada pegas dengan kekakuan 50 kN/m memiliki peredam viskos yang memberikan rasio redaman 0,4. Cari frekuensi alami teredam fd getaran bebasnya dalam Hz.
Massa 100 kg tergantung pada pegas k₃ = 12 kN/m. Ujung atas k₃ terpasang pada batang kaku yang tergantung pada dua pegas berdampingan, k₁ = 50 kN/m dan k₂ = 5 kN/m; batang tetap datar. Abaikan redaman serta massa pegas dan batang. Cari frekuensi alami fn getaran vertikal dalam Hz.
Sebuah mesin kalor bekerja di antara reservoir panas bersuhu 725 °C dan reservoir dingin bersuhu 15 °C. Cari efisiensi termal tertinggi yang mungkin ηmax.
Pompa kalor menjaga rumah pada 20 °C saat di luar 7 °C, dengan memasok 11 kW panas ke rumah. Cari koefisien kinerja tertinggi yang mungkin COPmax.
Sebuah siklus Diesel ideal memiliki rasio kompresi r = 14 dan rasio cutoff rc = v₃/v₂ = 2,2. Pada awal kompresi udara bersuhu 310 K. Gunakan asumsi standar udara dingin: udara adalah gas ideal dengan kalor jenis konstan, k = 1,4, cp = 1,005 kJ/(kg·K) dan cv = 0,718 kJ/(kg·K). Cari suhu T3 di akhir penambahan kalor, dalam K.
Sebuah pembangkit turbin gas bekerja dengan siklus Brayton dengan rasio tekanan kompresor 8. Udara memasuki kompresor pada 288 K dan turbin pada 1500 K. Kedua mesin isentropik. Gunakan asumsi standar udara dingin: udara adalah gas ideal dengan kalor jenis konstan, k = 1,4, cp = 1,005 kJ/(kg·K) dan cv = 0,718 kJ/(kg·K). Cari kerja keluaran netto wnet per kilogram udara, dalam kJ/kg.
Air mengalir melalui pipa horizontal yang menyempit dari 75 mm ke 40 mm. Di bagian lebar tekanannya 120 kPa dan kecepatannya 2,25 m/s. Dengan mengabaikan kerugian, cari tekanan p2 di bagian sempit.
Selang berdiameter dalam 50 mm menyifon air dari tangki terbuka. Titik tertinggi C selang berada 1 m di atas permukaan air, dan ujung keluarnya (terbuka ke udara) berada 4 m di bawah permukaan air. Abaikan kerugian dan ambil g = 9,81 m/s². Cari laju aliran Q.
Air mengalir dengan debit 12 L/s melalui pipa sepanjang 500 m dengan diameter dalam 75 mm. Gunakan faktor gesekan Darcy f = 0,022 dan g = 9,81 m/s². Cari kehilangan head akibat gesekan hf.
Sebuah pipa sepanjang 200 m dengan diameter dalam 250 mm (faktor gesekan Darcy f = 0,025) berawal dari reservoir terbuka dan mengeluarkan air sebagai pancaran bebas ke udara. Kerugian minornya adalah lubang masuk bersudut tajam (K = 0,5), 3 belokan (masing-masing K = 0,3), dan sebuah katup (K = 2). Gunakan g = 9,81 m/s². Berapa tinggi H permukaan reservoir harus berada di atas lubang keluar pipa untuk debit 75 L/s?
Sebuah pompa dengan efisiensi 80% mengalirkan 25 L/s air (ρ = 1000 kg/m³) melawan head 80 m. Gunakan g = 9,81 m/s². Cari daya poros Pshaft yang diperlukan, dalam kW.
Sebuah pompa memindahkan 40 L/s air (ρ = 1000 kg/m³) dari reservoir bawah yang terbuka ke tangki atas yang permukaan airnya 24 m lebih tinggi. Pipa sepanjang 300 m dengan diameter dalam 150 mm dan faktor gesekan Darcy f = 0,02; koefisien kerugian minornya berjumlah ΣK = 8 (termasuk lubang masuk dan keluar). Gunakan g = 9,81 m/s². Efisiensi pompa 70%. Cari daya poros Pshaft dalam kW.
Dinding terdiri dari 50 mm wol mineral dan 25 mm beton, dengan luas 4 m². Permukaan luarnya bersuhu 20 °C dan -4 °C. Cari aliran panas Q̇ melalui dinding.
Dinding 100 mm polistirena ekspansi dan 25 mm kayu memisahkan ruangan bersuhu 21 °C dari udara luar bersuhu -10 °C. Koefisien konveksinya 6 W/(m²·K) di dalam dan 30 W/(m²·K) di luar, dan luas dinding 6 m². Cari suhu Ts permukaan dalam dinding.
Sebuah motor 2,2 kW yang berputar pada 1440 rpm menggerakkan pinion dengan 18 gigi, yang berpasangan dengan roda gigi 80 gigi. Pasangan roda gigi memiliki efisiensi 98%. Cari torsi T1 pada poros motor.
Dalam rangkaian roda gigi majemuk, roda gigi A (24 gigi) pada poros masukan berputar pada 1500 rpm dan menggerakkan roda gigi B (25 gigi). Roda gigi C (30 gigi) terpasang pada poros yang sama dengan B dan menggerakkan roda gigi D pada poros keluaran. Keluaran harus berputar pada 1200 rpm. Berapa jumlah gigi ND yang harus dimiliki roda gigi D?
Tentukan f(t) untuk F(s) = 19/(s² + 8s + 32) dengan melengkapkan kuadrat, lalu hitung f(0,25).
Selesaikan y″ + 8y′ + 12y = 0 dengan y(0) = −3 dan y′(0) = −1 memakai transformasi Laplace, lalu tentukan y(0,2).
Plant G(s) = 8/(s + 8) memiliki loop umpan balik negatif dalam (minor) dengan penguatan H₁ = 1. Penguatan pengendali K = 7 dan loop umpan balik negatif satuan luar menutup sistem. Tentukan kutub loop tertutup p.
Reduksi diagram blok dengan G₁ = 13/(s + 1), G₂ = 2/(s + 8), umpan balik negatif dalam H₁ = 4 di sekitar G₂ dan umpan balik negatif luar H₂ = 0,5. Tentukan penguatan DC T(0) dari C(s)/R(s).
Sebuah sistem memiliki fungsi alih G(s) = 21/(s² + 5s + 21) dan menerima masukan langkah satuan. Tentukan frekuensi alami ωn dalam rad/s.
Rangkaian RLC seri dengan R = 40 Ω, L = 100 mH, dan C = 10 µF dihubungkan ke langkah 5 V pada t = 0. Kapasitor belum bermuatan dan tidak ada arus yang mengalir sebelum langkah. Tentukan waktu tp puncak tegangan pertama, dalam ms.
Suatu loop umpan balik satuan memiliki G(s) = K/((s + 1)(s + 2)). Cari penguatan K yang memberikan galat keadaan tunak 10 % untuk masukan undak.
Pengendali PI C(s) = Kp + Ki/s mengendalikan plant G(s) = 2/(s + 1) dalam loop umpan balik satuan. Loop tertutup harus memiliki ωₙ = 3 rad/s dan ζ = 1. Cari penguatan integral Ki.
Jawaban: RA = 19 kN
Kesetimbangan statis: benda yang diam memenuhi ΣFx = 0, ΣFy = 0, dan ΣM = 0 terhadap titik mana pun. Ganti setiap beban merata dengan resultannya (luasnya) yang bekerja di titik berat diagram beban, dan ambil momen terhadap satu tumpuan untuk menghilangkan reaksi tumpuan itu dari persamaan.
Berlawanan arah jarum jam positif.
Reaksi negatif bekerja ke bawah.
Jawaban: MA = 373,3 kN·m
Kesetimbangan kantilever: tumpuan jepit dapat mendorong ke atas sekaligus menahan rotasi, jadi memberi reaksi vertikal RA dan momen reaksi MA. ΣFy = 0 memberi RA, dan momen terhadap dinding memberi MA = Σ(beban × jarak dari dinding). Beban merata bekerja sebagai resultannya di titik berat diagram beban.
Jawaban: ε = 408,1 µε
Hukum Hooke: dalam daerah elastis σ = E·ε. Digabung dengan σ = P/A dan ε = δ/L menghasilkan δ = PL/(AE).
E for tembaga = 117 GPa = 117000 MPa.
Jawaban: Pmax = 166,2 kN
Dua bahan: pada susunan seri (satu demi satu) setiap segmen menahan gaya yang sama dan perpanjangannya dijumlahkan: δ = P·Σ L/(E·A). Pada susunan paralel (berdampingan di antara pelat kaku) kedua bagian memendek sama besar, sehingga regangannya sama: bagian yang lebih kaku menanggung bagian yang lebih besar, Pi = P·EiAi/ΣEA, dan σi = Ei·ε. Batang yang ditahan di antara dua dinding kaku dengan beban di sambungan adalah statis tak tentu: kedua segmen membagi beban sebanding dengan kekakuannya k = EA/L.
Jawaban: φ = 0,4789 °
Torsi poros bulat: tegangan geser naik linear dari nol di pusat hingga τmax = T·r/J di permukaan, dengan J = πd⁴/32 untuk poros pejal dan J = π(do⁴ − di⁴)/32 untuk poros berongga. Sudut puntir φ = TL/(GJ) dalam radian. Daya dan torsi berhubungan melalui P = T·ω.
Jawaban: do = 38,01 mm
Torsi poros bulat: tegangan geser naik linear dari nol di pusat hingga τmax = T·r/J di permukaan, dengan J = πd⁴/32 untuk poros pejal dan J = π(do⁴ − di⁴)/32 untuk poros berongga. Sudut puntir φ = TL/(GJ) dalam radian. Daya dan torsi berhubungan melalui P = T·ω.
Poros pejal memerlukan d = 31,89 mm; poros berongga sedikit lebih besar tetapi jauh lebih ringan.
Jawaban: Vx = −20 kN
Metode potongan: potong balok di tempat gaya dalam yang ingin dicari dan ambil satu sisi. Gaya geser V mengimbangi gaya vertikal di sisi itu, dan momen lentur M mengimbangi momennya terhadap potongan.
Kesetimbangan seluruh balok.
Hanya gaya di kiri potongan yang diperhitungkan. Bagian beban merata bekerja sebagai satu gaya di tengah bagian itu.
Jawaban: Mmax = 126 kN·m
Metode potongan: potong balok di tempat gaya dalam yang ingin dicari dan ambil satu sisi. Gaya geser V mengimbangi gaya vertikal di sisi itu, dan momen lentur M mengimbangi momennya terhadap potongan. Momen maksimum: karena dM/dx = V, momen lentur mencapai puncaknya di tempat gaya geser melewati nol, baik di beban terpusat maupun di dalam beban merata.
Kesetimbangan seluruh balok.
Terjadi di x = 3 m dari A.
Jawaban: θp = −7,018 °
Transformasi tegangan bidang: pada bidang yang diputar sebesar θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Lingkaran Mohr menampilkan semua bidang sekaligus: pusatnya di C = (σₓ + σᵧ)/2 dan jari-jarinya R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Tegangan utama adalah C ± R, dan tegangan geser terbesar dalam bidang adalah R.
Titik x terletak pada sudut 2θp dari sumbu σ pada lingkaran Mohr; kuadrannya ditentukan oleh tanda σₓ − σᵧ dan τₓᵧ.
Sudut positif berlawanan arah jarum jam.
Jawaban: σθ = 54,46 MPa
Transformasi tegangan bidang: pada bidang yang diputar sebesar θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Lingkaran Mohr menampilkan semua bidang sekaligus: pusatnya di C = (σₓ + σᵧ)/2 dan jari-jarinya R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Tegangan utama adalah C ± R, dan tegangan geser terbesar dalam bidang adalah R.
Jawaban: δmax = 25,11 mm
Lendutan balok: lendutan diperoleh dengan mengintegrasikan kelengkungan M/(EI) dua kali. Kasus standar tersedia dalam tabel, misalnya PL³/(3EI) untuk kantilever dengan beban ujung dan 5wL⁴/(384EI) untuk balok sederhana dengan beban merata penuh. Lendutan akibat beban terpisah dijumlahkan (superposisi).
Hitung dalam N dan mm: P dalam N, w dalam N/mm (kN/m = N/mm), L dalam mm, E dalam N/mm² (GPa × 1000), I dalam mm⁴.
Jawaban: hreq = 206,2 mm
Lendutan balok: lendutan diperoleh dengan mengintegrasikan kelengkungan M/(EI) dua kali. Kasus standar tersedia dalam tabel, misalnya PL³/(3EI) untuk kantilever dengan beban ujung dan 5wL⁴/(384EI) untuk balok sederhana dengan beban merata penuh. Lendutan akibat beban terpisah dijumlahkan (superposisi).
Hitung dalam N dan mm: P dalam N, w dalam N/mm (kN/m = N/mm), L dalam mm, E dalam N/mm² (GPa × 1000), I dalam mm⁴.
Dalam praktik, pilih tinggi standar berikutnya di atas nilai ini.
Jawaban: Pcr = 11,79 kN
Tekuk Euler: kolom langsing menjadi tidak stabil pada Pcr = π²EI/(KL)², dengan KL panjang efektif: K = 1 untuk sendi–sendi, 2 untuk jepit–bebas, 0,7 untuk jepit–sendi, dan 0,5 untuk jepit–jepit. Kolom menekuk terhadap sumbu dengan I terkecil. Rumus berlaku untuk kolom langsing yang tegangan kritisnya tetap di bawah tegangan leleh.
Persegi panjang menekuk terhadap sumbu lemahnya, dengan dimensi terkecil dipangkatkan tiga.
Jawaban: d = 37,9 mm
Tekuk Euler: kolom langsing menjadi tidak stabil pada Pcr = π²EI/(KL)², dengan KL panjang efektif: K = 1 untuk sendi–sendi, 2 untuk jepit–bebas, 0,7 untuk jepit–sendi, dan 0,5 untuk jepit–jepit. Kolom menekuk terhadap sumbu dengan I terkecil. Rumus berlaku untuk kolom langsing yang tegangan kritisnya tetap di bawah tegangan leleh.
Periksa: kelangsingan KL/r adalah 211,1, jadi kolom langsing dan rumus Euler berlaku.
Jawaban: t = 2,573 s
Gerak proyektil: tanpa hambatan udara, x = vxt dan y = h + vyt − ½gt². Kedua arah tidak saling bergantung, kecuali berbagi waktu yang sama.
Kecepatan horizontal tetap; gerak vertikal memiliki percepatan konstan g = 9,81 m/s² ke bawah.
Berangkat dan mendarat pada ketinggian sama: t = 2vy/g.
Jawaban: t = 3,637 s
Gerak proyektil: tanpa hambatan udara, x = vxt dan y = h + vyt − ½gt². Kedua arah tidak saling bergantung, kecuali berbagi waktu yang sama.
Kecepatan horizontal tetap; gerak vertikal memiliki percepatan konstan g = 9,81 m/s² ke bawah.
Selesaikan y(t) = h + vy·t − ½gt² = 0 untuk akar positif.
Jawaban: h = 0,3262 m
Prinsip usaha–energi: perubahan energi kinetik sama dengan usaha oleh semua gaya. Menuliskan gravitasi dan pegas sebagai energi potensial (mgh dan ½kx²) mengubahnya menjadi neraca: energi awal = energi akhir + energi yang hilang karena gesekan (μN·d).
Jawaban: d = 0,3392 m
Prinsip usaha–energi: perubahan energi kinetik sama dengan usaha oleh semua gaya. Menuliskan gravitasi dan pegas sebagai energi potensial (mgh dan ½kx²) mengubahnya menjadi neraca: energi awal = energi akhir + energi yang hilang karena gesekan (μN·d).
Jawaban: fd = 3,647 Hz
Getaran bebas sistem massa–pegas: frekuensi alami tak teredam adalah ωn = √(k/m) dalam rad/s, dan fn = ωn/(2π) dalam Hz. Peredam viskos c memberikan rasio redaman ζ = c/cc, dengan redaman kritis cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn. Sistem kurang teredam (ζ < 1) berosilasi pada ωd = ωn·√(1 − ζ²). Pegas paralel dijumlahkan, k = k₁ + k₂; pegas seri dijumlahkan sebagai kebalikan, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.
Jawaban: fn = 1,58 Hz
Getaran bebas sistem massa–pegas: frekuensi alami tak teredam adalah ωn = √(k/m) dalam rad/s, dan fn = ωn/(2π) dalam Hz. Peredam viskos c memberikan rasio redaman ζ = c/cc, dengan redaman kritis cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn. Sistem kurang teredam (ζ < 1) berosilasi pada ωd = ωn·√(1 − ζ²). Pegas paralel dijumlahkan, k = k₁ + k₂; pegas seri dijumlahkan sebagai kebalikan, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.
Hanya k1 dan k2 yang paralel. Pasangan itu seri dengan k3, jadi gabungkan sebagai kebalikan.
Jawaban: ηmax = 71,13 %
Batas hukum kedua: tidak ada siklus yang bekerja di antara reservoir bersuhu mutlak TH dan TL yang dapat mengungguli siklus reversibel (Carnot): ηmax = 1 − TL/TH, COPR,max = TL/(TH − TL), dan COPHP,max = TH/(TH − TL). Energi selalu kekal: QH = W + QL.
Jawaban: COPmax = 22,55
Batas hukum kedua: tidak ada siklus yang bekerja di antara reservoir bersuhu mutlak TH dan TL yang dapat mengungguli siklus reversibel (Carnot): ηmax = 1 − TL/TH, COPR,max = TL/(TH − TL), dan COPHP,max = TH/(TH − TL). Energi selalu kekal: QH = W + QL.
Jawaban: T3 = 1960 K
Siklus Diesel (motor diesel): 1→2 kompresi isentropik, 2→3 penambahan kalor pada tekanan konstan, 3→4 ekspansi isentropik, 4→1 pelepasan kalor pada volume konstan. Dengan rasio kompresi r = v₁/v₂ dan rasio penghentian (cutoff) rc = v₃/v₂: T₂ = T₁·rk−1, T₃ = rc·T₂, qin = cp·(T₃ − T₂) dan η = 1 − (1/rk−1)·(rck − 1)/(k·(rc − 1)).
Jawaban: wnet = 440,4 kJ/kg
Siklus Brayton (turbin gas): 1→2 kompresi isentropik, 2→3 penambahan kalor pada tekanan konstan, 3→4 ekspansi isentropik di turbin, 4→1 pelepasan kalor pada tekanan konstan. Dengan rasio tekanan rp = P₂/P₁: T₂ = T₁·rp(k−1)/k, T₄ = T₃/rp(k−1)/k dan η = 1 − 1/rp(k−1)/k. Kerja netto w = cp·[(T₃ − T₄) − (T₂ − T₁)]. Dengan efisiensi isentropik, kompresor memerlukan ws/ηc dan turbin menghasilkan ηt·ws.
Rasio kerja balik: wc/wt = 34,78%.
Jawaban: p2 = 91,25 kPa
Kontinuitas dan Bernoulli: untuk fluida tak mampat, laju alir sama di setiap penampang, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Sepanjang garis arus tanpa kerugian, p + ½ρv² + ρgz konstan, jadi di tempat fluida lebih cepat atau lebih tinggi, tekanannya lebih rendah.
Hitung dalam Pa, lalu bagi 1000 untuk mendapat kPa.
Jawaban: Q = 17,39 L/s
Continuity and Bernoulli: for an incompressible fluid the flow rate is the same at every section, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Along a streamline without losses, p + ½ρv² + ρgz is constant, so where the fluid is faster or higher its pressure is lower.
Permukaan dan ujung keluar sama-sama terbuka ke udara, jadi suku tekanan saling menghapus.
Jawaban: hf = 55,15 m
Aliran pipa: bilangan Reynolds Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ membedakan aliran laminar (Re di bawah sekitar 2000) dari aliran turbulen (di atas sekitar 4000). Gesekan sepanjang pipa menyebabkan kehilangan head Darcy–Weisbach hf = f·(L/D)·V²/(2g). Sambungan, katup, lubang masuk, dan lubang keluar menambah kerugian minor hm = ΣK·V²/(2g). Di antara dua permukaan reservoir terbuka, persamaan energi memberikan Δz = hf + hm, termasuk kerugian keluar K = 1.
Jawaban: H = 2,903 m
Aliran pipa: bilangan Reynolds Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ membedakan aliran laminar (Re di bawah sekitar 2000) dari aliran turbulen (di atas sekitar 4000). Gesekan sepanjang pipa menyebabkan kehilangan head Darcy–Weisbach hf = f·(L/D)·V²/(2g). Sambungan, katup, lubang masuk, dan lubang keluar menambah kerugian minor hm = ΣK·V²/(2g). Di antara dua permukaan reservoir terbuka, persamaan energi memberikan Δz = hf + hm, termasuk kerugian keluar K = 1.
Pancaran keluar masih membawa head kecepatannya; itu bukan kerugian, tetapi harus disediakan.
Jawaban: Pshaft = 24,52 kW
Daya pompa: daya yang diberikan kepada air adalah daya hidrolik Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp. Poros harus menyalurkan lebih banyak karena pompa mengalami rugi: Pshaft = Ph/ηpump, dan motor menarik Pel = Pshaft/ηmotor. Head pompa H diperoleh dari persamaan energi: tinggi angkat statis + head tekanan + semua kerugian gesekan dan minor.
Jawaban: Pshaft = 20,48 kW
Daya pompa: daya yang diberikan kepada air adalah daya hidrolik Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp. Poros harus menyalurkan lebih banyak karena pompa mengalami rugi: Pshaft = Ph/ηpump, dan motor menarik Pel = Pshaft/ηmotor. Head pompa H diperoleh dari persamaan energi: tinggi angkat statis + head tekanan + semua kerugian gesekan dan minor.
Jawaban: Q̇ = 75,72 W
Tahanan termal: aliran panas tunak melalui lapisan seri berperilaku seperti arus melalui resistor seri: Q̇ = ΔT/ΣR, dengan R = L/(kA) untuk lapisan konduksi dan R = 1/(hA) untuk permukaan konveksi. Penurunan suhu pada setiap lapisan sebanding dengan tahanannya.
Jawaban: Ts = 19,39 °C
Tahanan termal: aliran panas tunak melalui lapisan seri berperilaku seperti arus melalui resistor seri: Q̇ = ΔT/ΣR, dengan R = L/(kA) untuk lapisan konduksi dan R = 1/(hA) untuk permukaan konveksi. Penurunan suhu pada setiap lapisan sebanding dengan tahanannya.
Jawaban: T1 = 14,59 N·m
Rangkaian roda gigi: roda gigi yang berpasangan memiliki kecepatan yang sama di giginya, sehingga n₁·N₁ = n₂·N₂: roda gigi dengan jumlah gigi lebih sedikit berputar lebih cepat. Roda gigi pada satu poros berputar dengan kecepatan yang sama. Daya diteruskan (dikurangi rugi-rugi), sehingga torsi naik ketika putaran turun: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, dan P = T·ω dengan ω = 2π·n/60.
Jawaban: ND = 36
Gear trains: meshing gears have the same speed at the teeth, so n₁·N₁ = n₂·N₂: the gear with fewer teeth turns faster. Gears on one shaft turn at the same speed. Power is passed on (minus losses), so torque goes up when speed goes down: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, and P = T·ω with ω = 2π·n/60.
Jawaban: f(0.25) = 1,47
Transformasi Laplace: F(s) = ∫₀∞ f(t)·e−st dt mengubah turunan menjadi perkalian dengan s: ℒ{f′} = sF(s) − f(0), ℒ{f″} = s²F(s) − s·f(0) − f′(0). Pasangan baku: 1 ↔ 1/s, e−at ↔ 1/(s + a), t·e−at ↔ 1/(s + a)², sin ωt ↔ ω/(s² + ω²), cos ωt ↔ s/(s² + ω²), dan pergeseran s → s + σ mengalikan fungsi waktu dengan e−σt. Untuk membalik F(s) rasional, uraikan menjadi pecahan parsial: residu sebuah kutub tunggal p adalah A = [(s − p)·F(s)] pada s = p. Teorema nilai akhir: f(∞) = lims→0 s·F(s), hanya berlaku jika semua kutub s·F(s) berada di setengah bidang kiri. Teorema nilai awal: f(0⁺) = lims→∞ s·F(s).
Jawaban: y(0.2) = −2,657
Transformasi Laplace: F(s) = ∫₀∞ f(t)·e−st dt mengubah turunan menjadi perkalian dengan s: ℒ{f′} = sF(s) − f(0), ℒ{f″} = s²F(s) − s·f(0) − f′(0). Pasangan baku: 1 ↔ 1/s, e−at ↔ 1/(s + a), t·e−at ↔ 1/(s + a)², sin ωt ↔ ω/(s² + ω²), cos ωt ↔ s/(s² + ω²), dan pergeseran s → s + σ mengalikan fungsi waktu dengan e−σt. Untuk membalik F(s) rasional, uraikan menjadi pecahan parsial: residu sebuah kutub tunggal p adalah A = [(s − p)·F(s)] pada s = p. Teorema nilai akhir: f(∞) = lims→0 s·F(s), hanya berlaku jika semua kutub s·F(s) berada di setengah bidang kiri. Teorema nilai awal: f(0⁺) = lims→∞ s·F(s).
Periksa: y(0) = A + B = −3.
Jawaban: p = −72
Aljabar diagram blok: blok yang seri dikalikan (G₁·G₂), blok yang paralel dijumlahkan (G₁ + G₂), dan loop dengan lintasan maju G dan lintasan umpan balik H direduksi menjadi T = G/(1 + G·H) untuk umpan balik negatif dan G/(1 − G·H) untuk umpan balik positif. Reduksi loop dalam terlebih dahulu, lalu bekerja ke luar. Kutub loop tertutup adalah akar persamaan karakteristik 1 + G(s)H(s) = 0. Untuk loop yang stabil, masukan langkah berukuran A memberi keluaran keadaan tunak A·T(0); dengan umpan balik satuan, galat keadaan tunak terhadap langkah adalah A/(1 + Kp) dengan Kp = G(0).
Jawaban: T(0) = 0,8966
Aljabar diagram blok: blok yang seri dikalikan (G₁·G₂), blok yang paralel dijumlahkan (G₁ + G₂), dan loop dengan lintasan maju G dan lintasan umpan balik H direduksi menjadi T = G/(1 + G·H) untuk umpan balik negatif dan G/(1 − G·H) untuk umpan balik positif. Reduksi loop dalam terlebih dahulu, lalu bekerja ke luar. Kutub loop tertutup adalah akar persamaan karakteristik 1 + G(s)H(s) = 0. Untuk loop yang stabil, masukan langkah berukuran A memberi keluaran keadaan tunak A·T(0); dengan umpan balik satuan, galat keadaan tunak terhadap langkah adalah A/(1 + Kp) dengan Kp = G(0).
Jawaban: ωn = 4,583 rad/s
Respons langkah: sistem orde satu G(s) = K/(τs + 1) menjawab masukan langkah berukuran U dengan y(t) = K·U·(1 − e−t/τ): mencapai 63,2 % dari nilai akhir K·U setelah satu konstanta waktu τ dan 98 % setelah 4τ. Sistem orde dua G(s) = K·ωₙ²/(s² + 2ζωₙs + ωₙ²) memiliki kutub s = −ζωₙ ± jωd dengan ωd = ωₙ√(1 − ζ²). Untuk 0 < ζ < 1 respons langkahnya melampaui (overshoot): persen overshoot %OS = 100·e−ζπ/√(1−ζ²), waktu puncak tp = π/ωd, dan waktu penetapan 2 % ts ≈ 4/(ζωₙ). Bandingkan penyebut dengan s² + 2ζωₙs + ωₙ² untuk membaca ωₙ dan ζ. Untuk massa–pegas–peredam ωₙ = √(k/m) dan ζ = c/(2√(km)); untuk rangkaian RLC seri ωₙ = 1/√(LC) dan ζ = (R/2)·√(C/L).
Penyebut harus cocok dengan s² + 2ζωₙs + ωₙ².
Jawaban: tp = 3,206 ms
Respons langkah: sistem orde satu G(s) = K/(τs + 1) menjawab masukan langkah berukuran U dengan y(t) = K·U·(1 − e−t/τ): mencapai 63,2 % dari nilai akhir K·U setelah satu konstanta waktu τ dan 98 % setelah 4τ. Sistem orde dua G(s) = K·ωₙ²/(s² + 2ζωₙs + ωₙ²) memiliki kutub s = −ζωₙ ± jωd dengan ωd = ωₙ√(1 − ζ²). Untuk 0 < ζ < 1 respons langkahnya melampaui (overshoot): persen overshoot %OS = 100·e−ζπ/√(1−ζ²), waktu puncak tp = π/ωd, dan waktu penetapan 2 % ts ≈ 4/(ζωₙ). Bandingkan penyebut dengan s² + 2ζωₙs + ωₙ² untuk membaca ωₙ dan ζ. Untuk massa–pegas–peredam ωₙ = √(k/m) dan ζ = c/(2√(km)); untuk rangkaian RLC seri ωₙ = 1/√(LC) dan ζ = (R/2)·√(C/L).
Jawaban: K = 18
Galat keadaan tunak: dalam loop umpan balik satuan dengan fungsi alih loop terbuka G(s), galatnya adalah E(s) = R(s)/(1 + G(s)), dan menurut teorema nilai akhir ess = lims→0 s·E(s). Tipe sistem adalah jumlah kutub G(s) di s = 0. Konstanta galat adalah Kp = lim G(s), Kv = lim s·G(s) dan Ka = lim s²·G(s), semuanya untuk s → 0. Masukan undak berukuran A memberikan ess = A/(1 + Kp), ramp A·t memberikan A/Kv dan parabola A·t²/2 memberikan A/Ka. Loop tipe 0 mengikuti undak dengan galat terhingga, loop tipe 1 mengikutinya dengan tepat dan mengikuti ramp dengan galat terhingga.
Periksa juga kestabilan loop tertutup: untuk loop orde dua ini, setiap K > 0 stabil.
Jawaban: Ki = 4,5
Kendali P, PI, dan PID: pengendali C(s) = Kp + Ki/s + Kd·s bekerja pada galat. Penguatan proporsional membuat loop lebih cepat dan mengurangi galat plant tipe 0, tetapi tidak pernah menghilangkannya. Suku integral menambahkan kutub di s = 0: tipe sistem naik satu, dan undak diikuti tanpa galat. Suku turunan menambah redaman. Untuk memilih penguatan, tulis polinomial karakteristik loop tertutup dan bandingkan dengan s² + 2ζωns + ωn². Maka %OS = 100·e−ζπ/√(1−ζ²), tp = π/ωd dengan ωd = ωn√(1 − ζ²), dan ts ≈ 4/(ζωn).
1 + C(s)G(s) = 0, dikalikan dengan s(s + 1).
Suku integral membuat loop bertipe 1, sehingga undak diikuti tanpa galat keadaan tunak.
Ini adalah materi latihan independen. ExamProblems tidak berafiliasi dengan atau didukung oleh organisasi penyelenggara ujian ini, dan nama ujian hanya digunakan untuk menggambarkan isinya. FE exam diselenggarakan oleh NCEES, yang tidak berafiliasi dengan ExamProblems dan tidak mendukungnya.
ExamProblems · examproblems.com/courses/fe-exam-mechanical