Perancangan Elemen Mesin: paket kilat

Lembar rumus, langkah-langkah metode utama untuk setiap topik, dan 12 soal latihan, dengan pembahasan lengkap di bagian belakang.

Soal baru Kembali ke mata kuliah

Di jendela cetak, pilih “Simpan sebagai PDF” untuk menyimpan salinan di perangkat Anda.

1Rumus dan metode

Roda gigi & rangkaian roda gigi

Roda gigi yang berpasangan: n₁·N₁ = n₂·N₂
Torsi: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η
Daya: P = T·ω, ω = 2π·n/60
Rangkaian roda gigi majemuk: rasio total = hasil kali rasio setiap tingkat

Torsi poros

Tegangan geser: τ = T·r/J
Poros pejal: J = πd⁴/32
Poros berongga: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Sudut puntir: φ = TL/(GJ)
Daya: P = T·ω = 2πnT/60

Metode

Cari momen inersia polar: J = πd⁴/32 untuk poros pejal.
Tegangan geser di permukaan: τ = T·r/J, dengan r jari-jari luar.
Sudut puntir: φ = TL/(GJ) dalam radian.
Jika daya diketahui, cari torsi dulu dengan P = T·ω, ω = 2πn/60.

Lingkaran Mohr & transformasi tegangan

Pusat: C = (σ_x + σ_y)/2
Jari-jari: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Tegangan utama: σ_1,2 = C ± R
Arah utama: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Bidang miring: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Metode

Hitung pusat lingkaran Mohr: C = (σx + σy)/2.
Hitung jari-jarinya: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Tegangan utama adalah C ± R dan tegangan geser bidang terbesar adalah R.
Sudut pada lingkaran adalah dua kali sudut pada elemen: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Tegangan & regangan aksial

Tegangan normal: σ = F/A
Regangan: ε = ΔL/L
Hukum Hooke: σ = E·ε
Pertambahan panjang: ΔL = FL/(EA)
Regangan termal: ε_T = α·ΔT

Tekuk kolom

Beban Euler: P_cr = π²EI/(KL)²
Faktor panjang efektif: K = 1 sendi–sendi, 0,5 jepit–jepit, 0,7 jepit–sendi, 2 jepit–bebas
Tegangan kritis: σ_cr = P_cr/A
Kelangsingan: λ = KL/r, r = √(I/A)

Getaran mekanis

Frekuensi alami: ω_n = √(k/m), f_n = ω_n/(2π)
Dari defleksi statis: ω_n = √(g/δ_st)
Redaman kritis: c_c = 2√(km) = 2mω_n
Rasio redaman: ζ = c/c_c
Frekuensi teredam: ω_d = ω_n√(1 − ζ²)
Dekremen logaritmik: δ = (1/n)·ln(x₀/x_n), ζ = δ/√(4π² + δ²)
Pegas paralel: k = k₁ + k₂
Pegas seri: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

2Soal latihan

1.Roda gigi & rangkaian roda gigiSedang

Sebuah sabuk berjalan pada puli penggerak 120 mm pada 720 rpm. Tegangannya 800 N pada sisi tarik dan 320 N pada sisi kendor. Cari daya P yang ditransmisikan, dalam kW.

d₁ = 120 mmn₁ = 720 rpmT₁ = 800 NT₂ = 320 N

P = kW

2.Roda gigi & rangkaian roda gigiSulit

Dalam rangkaian roda gigi majemuk, roda gigi A (20 gigi) pada poros masukan berputar pada 2880 rpm dan menggerakkan roda gigi B (25 gigi). Roda gigi C (20 gigi) terpasang pada poros yang sama dengan B dan menggerakkan roda gigi D pada poros keluaran. Keluaran harus berputar pada 1152 rpm. Berapa jumlah gigi N_D yang harus dimiliki roda gigi D?

n_in = 2880 rpmA = 20B = 25C = 20n_out = 1152 rpm

N_D =

3.Torsi porosSedang

Poros pejal kuningan dijepit di dinding dan dipuntir oleh torsi T di ujung bebasnya. Cari sudut puntir φ ujung bebas, dalam derajat.

T = 500 N·md = 50 mmL = 0,8 mG = 39 GPa

φ = °

4.Torsi porosSulit

Poros berongga harus meneruskan 20 kW pada 1500 rpm. Diameter dalamnya ditetapkan 0,5 kali diameter luarnya, dan tegangan geser tidak boleh melebihi 80 MPa. Cari diameter luar terkecil d_o.

P = 20 kWN = 1500 rpmd_i/d_o = 0,5τ_allow = 80 MPa

d_o = mm

5.Lingkaran Mohr & transformasi teganganSedang

Sebuah titik pada komponen yang dibebani memiliki σₓ = −60 MPa, σᵧ = 10 MPa, dan τₓᵧ = −20 MPa (tarik positif). Cari sudut θ_p dari sumbu x ke arah tegangan utama terbesar, antara −90° dan 90°.

σ_x = −60 MPaσ_y = 10 MPaτ_xy = −20 MPa

θ_p = °

6.Lingkaran Mohr & transformasi teganganSulit

Poros pejal berdiameter 30 mm menahan gaya tekan aksial sebesar 110 kN bersama torsi 400 N·m. Di permukaan poros, cari tegangan utama terbesar σ₁.

d = 30 mmF = −110 kNT = 400 N·m

σ₁ = MPa

7.Tegangan & regangan aksialSedang

Sebuah batang baja (diameter 40 mm, E = 200 GPa) berada di dalam tabung dari perunggu (diameter luar 80 mm, diameter dalam 60 mm, E = 110 GPa). Keduanya panjangnya 500 mm dan ditekan bersama di antara pelat kaku oleh 80 kN. Cari pemendekan δ.

P = 80 kNbatang: Ø40 mm, E = 200 GPatabung: Ø80/Ø60 mm, E = 110 GPaL = 500 mm

δ = mm

8.Tegangan & regangan aksialSulit

Batang bertingkat dijepit di dinding dan dibebani di ujung bebasnya. Cari pertambahan panjang total δ.

P = 35 kNsegmen 1: Ø25 mm, 2 m, aluminium (E = 70 GPa)segmen 2: Ø16 mm, 0,5 m, aluminium (E = 70 GPa)

δ = mm

9.Tekuk kolomSedang

Kolom sepanjang L dari aluminium dengan tumpuan jepit di bawah dan sendi di atas. Dengan rumus Euler, cari beban tekuk kritisnya P_cr.

L = 4 mE = 70 GPa (aluminium)d = 80 mm

P_cr = kN

10.Tekuk kolomSulit

Kolom sepanjang L dari baja dengan tumpuan sendi di kedua ujung. Cari kelangsingannya dan tegangan tekuk kritis σ_cr dari rumus Euler.

L = 6 mE = 200 GPa (baja)d = 30 mm

σ_cr = MPa

11.Getaran mekanisSedang

Dalam uji getaran bebas sistem massa–pegas teredam, puncak simpangan 12 mm diikuti 2 siklus kemudian oleh puncak 2,6 mm. Cari rasio redaman ζ.

x₀ = 12 mmx₂ = 2,6 mmn = 2

ζ =

12.Getaran mekanisSulit

Massa 25 kg tergantung pada dua pegas berdampingan (paralel), dengan kekakuan k₁ = 20 kN/m dan k₂ = 50 kN/m. Massa tetap datar. Cari kekakuan ekivalen k_eq sistem pegas dalam kN/m.

m = 25 kgk₁ = 20 kN/mk₂ = 50 kN/m

k_eq = kN/m

3Larutan

1.Roda gigi & rangkaian roda gigi

Jawaban: P = 2,171 kW

Penggerak sabuk: tanpa slip, kedua puli memiliki kecepatan tepi yang sama v = π·d·n/60, sehingga n₁·d₁ = n₂·d₂ dan rasio kecepatan adalah d₂/d₁. Slip s membuat puli yang digerakkan sedikit lebih lambat: n₂ = n₁·(d₁/d₂)·(1 − s). Daya yang ditransmisikan adalah P = (T₁ − T₂)·v, dengan T₁ tegangan sisi tarik dan T₂ sisi kendor. Gesekan membatasi rasio tegangan: T₁/T₂ = e^μθ, dengan θ sudut kontak dalam radian pada puli yang lebih kecil; untuk sabuk terbuka θ = π − 2·asin((d₂ − d₁)/(2C)) dengan jarak sumbu C.

Kecepatan sabuk

v = 4,524 m/s

Daya

P = (800 − 320)·4,524 = 2171 W = 2,171 kW

Jawaban

P = 2,171 kW

2.Roda gigi & rangkaian roda gigi

Jawaban: N_D = 40

Gear trains: meshing gears have the same speed at the teeth, so n₁·N₁ = n₂·N₂: the gear with fewer teeth turns faster. Gears on one shaft turn at the same speed. Power is passed on (minus losses), so torque goes up when speed goes down: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, and P = T·ω with ω = 2π·n/60.

Kecepatan poros antara

n_B = n_C = 2880·20/25 = 2304 rpm

Jumlah gigi roda gigi D

N_D = C·n_C/n_out = 20·2304/1152 = 40

Jawaban

N_D = 40

3.Torsi poros

Jawaban: φ = 0,9577 °

Torsi poros bulat: tegangan geser naik linear dari nol di pusat hingga τ_max = T·r/J di permukaan, dengan J = πd⁴/32 untuk poros pejal dan J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 untuk poros berongga. Sudut puntir φ = TL/(GJ) dalam radian. Daya dan torsi berhubungan melalui P = T·ω.

Momen inersia polar

J = π·50⁴/32 = 613592 mm⁴

Sudut puntir

φ = TL/(GJ) = 500·1000·800/(39000·613592) = 0,01672 rad

φ = 0,01672·180/π = 0,9577°

Jawaban

φ = 0,9577°

4.Torsi poros

Jawaban: d_o = 20,52 mm

Torsi

ω = 2πN/60 = 2π·1500/60 = 157,1 rad/s

T = P/ω = 20000/157,1 = 127,3 N·m

Diameter luar dari tegangan izin

T = 127,3 N·m = 127324 N·mm

1 − k⁴ = 1 − 0,5⁴ = 0,9375

d_o = ∛(16T/(π·τ_allow·(1 − k⁴))) = ∛(16·127324/(π·80·0,9375)) = 20,52 mm

d_i = 0,5·20,52 = 10,26 mm

Jawaban

d_o = 20,52 mm

Poros pejal memerlukan d = 20,09 mm; poros berongga sedikit lebih besar tetapi jauh lebih ringan.

5.Lingkaran Mohr & transformasi tegangan

Jawaban: θ_p = −75,13 °

Transformasi tegangan bidang: pada bidang yang diputar sebesar θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Lingkaran Mohr menampilkan semua bidang sekaligus: pusatnya di C = (σₓ + σᵧ)/2 dan jari-jarinya R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Tegangan utama adalah C ± R, dan tegangan geser terbesar dalam bidang adalah R.

Sudut pada lingkaran

Titik x terletak pada sudut 2θp dari sumbu σ pada lingkaran Mohr; kuadrannya ditentukan oleh tanda σₓ − σᵧ dan τₓᵧ.

2θ_p = atan2(2·−20, −60 − 10) = −150,3°

Sudut pada elemen

θ_p = −75,13°

Jawaban

θ_p = −75,13°

Sudut positif berlawanan arah jarum jam.

6.Lingkaran Mohr & transformasi tegangan

Jawaban: σ₁ = 30,58 MPa

Tegangan di permukaan

σ = F/A = −110000/(π·30²/4) = −110000/706,9 = −155,6 MPa

τ = 16T/(πd³) = 16·400000/(π·30³) = 75,45 MPa

Lingkaran Mohr

C = σ/2 = −77,81 MPa

R = √((−77,81)² + 75,45²) = 108,4 MPa

σ₁ = C + R = 30,58 MPa

σ₂ = C − R = −186,2 MPa

Jawaban

σ₁ = 30,58 MPa

7.Tegangan & regangan aksial

Jawaban: δ = 0,0811 mm

Dua bahan: pada susunan seri (satu demi satu) setiap segmen menahan gaya yang sama dan perpanjangannya dijumlahkan: δ = P·Σ L/(E·A). Pada susunan paralel (berdampingan di antara pelat kaku) kedua bagian memendek sama besar, sehingga regangannya sama: bagian yang lebih kaku menanggung bagian yang lebih besar, P_i = P·E_iA_i/ΣEA, dan σ_i = E_i·ε. Batang yang ditahan di antara dua dinding kaku dengan beban di sambungan adalah statis tak tentu: kedua segmen membagi beban sebanding dengan kekakuannya k = EA/L.

Luas

A_r = π·40²/4 = 1257 mm²

A_t = π(80² − 60²)/4 = 2199 mm²

Kekakuan aksial gabungan

ΣEA = 200·10³·1257 + 110·10³·2199 = 4,932 × 10⁸ N

Pemendekan

δ = 80000·500/4,932 × 10⁸ = 0,0811 mm

Jawaban

δ = 0,0811 mm

8.Tegangan & regangan aksial

Jawaban: δ = 3,281 mm

Batang beban aksial: setiap segmen prismatis mengikuti δ = PL/(AE). Untuk segmen seri, pertambahan panjangnya dijumlahkan.

Gaya sama di kedua segmen

Ujung bebas menahan P, jadi setiap penampang batang menahan gaya aksial P yang sama. Hanya luas dan bahannya yang berubah.

A₁ = π·25²/4 = 490,9 mm², A₂ = π·16²/4 = 201,1 mm²

σ₁ = 71,3 MPa

σ₂ = 174,1 MPa

Jumlahkan pertambahan panjang segmen

δ₁ = σ₁L₁/E₁ = 71,3·2000/70000 = 2,037 mm

δ₂ = σ₂L₂/E₂ = 174,1·500/70000 = 1,243 mm

δ = δ₁ + δ₂ = 3,281 mm

Jawaban

δ = 3,281 mm

9.Tekuk kolom

Jawaban: P_cr = 177,2 kN

Tekuk Euler: kolom langsing menjadi tidak stabil pada P_cr = π²EI/(KL)², dengan KL panjang efektif: K = 1 untuk sendi–sendi, 2 untuk jepit–bebas, 0,7 untuk jepit–sendi, dan 0,5 untuk jepit–jepit. Kolom menekuk terhadap sumbu dengan I terkecil. Rumus berlaku untuk kolom langsing yang tegangan kritisnya tetap di bawah tegangan leleh.

Momen inersia terkecil

Penampang bulat memiliki I yang sama terhadap setiap sumbu.

I = πd⁴/64 = π·80⁴/64 = 2,011 × 10⁶ mm⁴

Panjang efektif

KL = 0,7·4000 = 2800 mm

Beban kritis

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·70000·2,011 × 10⁶/2800² = 177179 N = 177,2 kN

Jawaban

P_cr = 177,2 kN

10.Tekuk kolom

Jawaban: σ_cr = 3,084 MPa

Momen inersia terkecil

Penampang bulat memiliki I yang sama terhadap setiap sumbu.

I = πd⁴/64 = π·30⁴/64 = 39761 mm⁴

Jari-jari girasi dan kelangsingan

A = 706,9 mm²

r = √(I/A) = √(39761/706,9) = 7,5 mm

KL = 1·6000 = 6000 mm

KL/r = 6000/7,5 = 800

Tegangan kritis

σ_cr = π²E/(KL/r)² = π²·200000/800² = 3,084 MPa

Jawaban

σ_cr = 3,084 MPa

11.Getaran mekanis

Jawaban: ζ = 0,1208

Getaran bebas sistem massa–pegas: frekuensi alami tak teredam adalah ω_n = √(k/m) dalam rad/s, dan f_n = ω_n/(2π) dalam Hz. Peredam viskos c memberikan rasio redaman ζ = c/c_c, dengan redaman kritis c_c = 2·√(k·m) = 2·m·ω_n. Sistem kurang teredam (ζ < 1) berosilasi pada ω_d = ω_n·√(1 − ζ²). Pegas paralel dijumlahkan, k = k₁ + k₂; pegas seri dijumlahkan sebagai kebalikan, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

Dekremen logaritmik

δ = (1/2)·ln(12/2,6) = 0,7647

Rasio redaman

ζ = δ/√(4π² + δ²) = 0,7647/√(39,48 + 0,5848) = 0,1208

Jawaban

ζ = 0,1208

12.Getaran mekanis

Jawaban: k_eq = 70 kN/m

Kekakuan ekivalen

Pegas berdampingan berbagi defleksi dan gayanya dijumlahkan, sehingga kekakuannya cukup dijumlahkan: k = k₁ + k₂.

k_eq = 20 + 50 = 70 kN/m

Jawaban

k_eq = 70 kN/m

ExamProblems · examproblems.com/courses/machine-design