Perancangan Elemen Mesin: paket kilat

Lembar rumus, langkah-langkah metode utama untuk setiap topik, dan 12 soal latihan, dengan pembahasan lengkap di bagian belakang.

Soal baru Kembali ke mata kuliah

Di jendela cetak, pilih “Simpan sebagai PDF” untuk menyimpan salinan di perangkat Anda.

1Rumus dan metode

Roda gigi & rangkaian roda gigi

Roda gigi yang berpasangan: n₁·N₁ = n₂·N₂
Torsi: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η
Daya: P = T·ω, ω = 2π·n/60
Rangkaian roda gigi majemuk: rasio total = hasil kali rasio setiap tingkat

Torsi poros

Tegangan geser: τ = T·r/J
Poros pejal: J = πd⁴/32
Poros berongga: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Sudut puntir: φ = TL/(GJ)
Daya: P = T·ω = 2πnT/60

Metode

Cari momen inersia polar: J = πd⁴/32 untuk poros pejal.
Tegangan geser di permukaan: τ = T·r/J, dengan r jari-jari luar.
Sudut puntir: φ = TL/(GJ) dalam radian.
Jika daya diketahui, cari torsi dulu dengan P = T·ω, ω = 2πn/60.

Lingkaran Mohr & transformasi tegangan

Pusat: C = (σ_x + σ_y)/2
Jari-jari: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Tegangan utama: σ_1,2 = C ± R
Arah utama: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Bidang miring: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Metode

Hitung pusat lingkaran Mohr: C = (σx + σy)/2.
Hitung jari-jarinya: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Tegangan utama adalah C ± R dan tegangan geser bidang terbesar adalah R.
Sudut pada lingkaran adalah dua kali sudut pada elemen: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Tegangan & regangan aksial

Tegangan normal: σ = F/A
Regangan: ε = ΔL/L
Hukum Hooke: σ = E·ε
Pertambahan panjang: ΔL = FL/(EA)
Regangan termal: ε_T = α·ΔT

Tekuk kolom

Beban Euler: P_cr = π²EI/(KL)²
Faktor panjang efektif: K = 1 sendi–sendi, 0,5 jepit–jepit, 0,7 jepit–sendi, 2 jepit–bebas
Tegangan kritis: σ_cr = P_cr/A
Kelangsingan: λ = KL/r, r = √(I/A)

Getaran mekanis

Frekuensi alami: ω_n = √(k/m), f_n = ω_n/(2π)
Dari defleksi statis: ω_n = √(g/δ_st)
Redaman kritis: c_c = 2√(km) = 2mω_n
Rasio redaman: ζ = c/c_c
Frekuensi teredam: ω_d = ω_n√(1 − ζ²)
Dekremen logaritmik: δ = (1/n)·ln(x₀/x_n), ζ = δ/√(4π² + δ²)
Pegas paralel: k = k₁ + k₂
Pegas seri: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

2Soal latihan

1.Roda gigi & rangkaian roda gigiSedang

Sebuah sabuk berjalan pada puli penggerak 125 mm pada 960 rpm. Tegangannya 1000 N pada sisi tarik dan 300 N pada sisi kendor. Cari daya P yang ditransmisikan, dalam kW.

d₁ = 125 mmn₁ = 960 rpmT₁ = 1000 NT₂ = 300 N

P = kW

2.Roda gigi & rangkaian roda gigiSulit

Sebuah sabuk terbuka menghubungkan puli penggerak 120 mm pada 1450 rpm ke puli 450 mm; jarak sumbunya 800 mm. Koefisien gesekan adalah 0,35 dan tegangan sisi tarik tidak boleh melebihi 500 N. Cari daya terbesar P yang dapat ditransmisikan sabuk tanpa slip, dalam kW (abaikan efek sentrifugal).

d₁ = 120 mmn₁ = 1450 rpmd₂ = 450 mmC = 800 mmμ = 0,35T₁ = 500 N

P = kW

3.Torsi porosSedang

Poros berongga harus menahan torsi 200 N·m. Diameter dalamnya ditetapkan 0,8 kali diameter luarnya, dan tegangan geser tidak boleh melebihi 50 MPa. Cari diameter luar terkecil d_o.

T = 200 N·md_i/d_o = 0,8τ_allow = 50 MPa

d_o = mm

4.Torsi porosSulit

Poros pejal harus meneruskan 75 kW pada 1800 rpm tanpa tegangan geser melebihi 75 MPa. Cari diameter terkecil d yang memenuhi.

P = 75 kWN = 1800 rpmτ_allow = 75 MPa

d = mm

5.Lingkaran Mohr & transformasi teganganSedang

Sebuah titik pada komponen yang dibebani memiliki σₓ = 10 MPa, σᵧ = 120 MPa, dan τₓᵧ = 40 MPa (tarik positif). Cari tegangan geser maksimum dalam bidang τ_max.

σ_x = 10 MPaσ_y = 120 MPaτ_xy = 40 MPa

τ_max = MPa

6.Lingkaran Mohr & transformasi teganganSulit

Sebuah titik pada komponen yang dibebani memiliki σₓ = 90 MPa, σᵧ = −10 MPa, dan τₓᵧ = 10 MPa (tarik positif). Cari tegangan geser τ_θ pada bidang yang normalnya diputar 30° searah jarum jam dari sumbu x (positif dengan arah yang sama seperti τₓᵧ).

σ_x = 90 MPaσ_y = −10 MPaτ_xy = 10 MPaθ = -30°

τ_θ = MPa

7.Tegangan & regangan aksialSedang

Cari pertambahan panjang δ batang baja akibat beban aksial.

P = 120 kNd = 10 mmL = 2 mE = 200 GPa

δ = mm

8.Tegangan & regangan aksialSulit

Batang bertingkat dijepit di dinding dan dibebani di ujung bebasnya. Cari pertambahan panjang total δ.

P = 45 kNsegmen 1: Ø25 mm, 0,5 m, kuningan (E = 100 GPa)segmen 2: Ø16 mm, 1 m, tembaga (E = 117 GPa)

δ = mm

9.Tekuk kolomSedang

Kolom sepanjang L dari baja dengan tumpuan jepit di bawah dan bebas di atas. Dengan rumus Euler, cari beban tekuk kritisnya P_cr.

L = 4 mE = 200 GPa (baja)d = 80 mm

P_cr = kN

10.Tekuk kolomSulit

Kolom sepanjang L dari baja dengan tumpuan jepit di kedua ujung. Cari kelangsingannya dan tegangan tekuk kritis σ_cr dari rumus Euler.

L = 1,5 mE = 200 GPa (baja)d = 25 mm

σ_cr = MPa

11.Getaran mekanisSedang

Massa 20 kg pada pegas dengan kekakuan 12 kN/m memiliki peredam viskos yang memberikan rasio redaman 0,6. Cari frekuensi alami teredam f_d getaran bebasnya dalam Hz.

m = 20 kgk = 12 kN/mζ = 0,6

f_d = Hz

12.Getaran mekanisSulit

Massa 25 kg tergantung pada pegas k₃ = 40 kN/m. Ujung atas k₃ terpasang pada batang kaku yang tergantung pada dua pegas berdampingan, k₁ = 50 kN/m dan k₂ = 12 kN/m; batang tetap datar. Abaikan redaman serta massa pegas dan batang. Cari frekuensi alami f_n getaran vertikal dalam Hz.

m = 25 kgk₁ = 50 kN/mk₂ = 12 kN/mk₃ = 40 kN/m

f_n = Hz

3Larutan

1.Roda gigi & rangkaian roda gigi

Jawaban: P = 4,398 kW

Penggerak sabuk: tanpa slip, kedua puli memiliki kecepatan tepi yang sama v = π·d·n/60, sehingga n₁·d₁ = n₂·d₂ dan rasio kecepatan adalah d₂/d₁. Slip s membuat puli yang digerakkan sedikit lebih lambat: n₂ = n₁·(d₁/d₂)·(1 − s). Daya yang ditransmisikan adalah P = (T₁ − T₂)·v, dengan T₁ tegangan sisi tarik dan T₂ sisi kendor. Gesekan membatasi rasio tegangan: T₁/T₂ = e^μθ, dengan θ sudut kontak dalam radian pada puli yang lebih kecil; untuk sabuk terbuka θ = π − 2·asin((d₂ − d₁)/(2C)) dengan jarak sumbu C.

Kecepatan sabuk

v = 6,283 m/s

Daya

P = (1000 − 300)·6,283 = 4398 W = 4,398 kW

Jawaban

P = 4,398 kW

2.Roda gigi & rangkaian roda gigi

Jawaban: P = 2,801 kW

Sudut kontak

θ = 2,726 rad

Tegangan sisi kendor

e^μθ = e^0,9541 = 2,596, T₂ = 500/2,596 = 192,6 N

Daya

P = (500 − 192,6)·9,111 = 2,801 kW

Jawaban

P = 2,801 kW

3.Torsi poros

Jawaban: d_o = 32,56 mm

Torsi poros bulat: tegangan geser naik linear dari nol di pusat hingga τ_max = T·r/J di permukaan, dengan J = πd⁴/32 untuk poros pejal dan J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 untuk poros berongga. Sudut puntir φ = TL/(GJ) dalam radian. Daya dan torsi berhubungan melalui P = T·ω.

Diameter luar dari tegangan izin

T = 200 N·m = 200000 N·mm

1 − k⁴ = 1 − 0,8⁴ = 0,5904

d_o = ∛(16T/(π·τ_allow·(1 − k⁴))) = ∛(16·200000/(π·50·0,5904)) = 32,56 mm

d_i = 0,8·32,56 = 26,04 mm

Jawaban

d_o = 32,56 mm

Poros pejal memerlukan d = 27,31 mm; poros berongga sedikit lebih besar tetapi jauh lebih ringan.

4.Torsi poros

Jawaban: d = 30,01 mm

Torsi

ω = 2πN/60 = 2π·1800/60 = 188,5 rad/s

T = P/ω = 75000/188,5 = 397,9 N·m

Diameter dari tegangan izin

d = ∛(16T/(π·τ_allow)) = ∛(16·397887/(π·75)) = 30,01 mm

Jawaban

d = 30,01 mm

Dalam praktik Anda membulatkan ke ukuran standar berikutnya.

5.Lingkaran Mohr & transformasi tegangan

Jawaban: τ_max = 68,01 MPa

Transformasi tegangan bidang: pada bidang yang diputar sebesar θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Lingkaran Mohr menampilkan semua bidang sekaligus: pusatnya di C = (σₓ + σᵧ)/2 dan jari-jarinya R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Tegangan utama adalah C ± R, dan tegangan geser terbesar dalam bidang adalah R.

Jari-jari lingkaran Mohr

τ_max = R = √(((10 − 120)/2)² + 40²) = 68,01 MPa

Jawaban

τ_max = 68,01 MPa

6.Lingkaran Mohr & transformasi tegangan

Jawaban: τ_θ = 48,3 MPa

Persamaan transformasi

τ_θ = −50·−0,866 + 10·0,5 = 48,3 MPa

Jawaban

τ_θ = 48,3 MPa

7.Tegangan & regangan aksial

Jawaban: δ = 15,28 mm

Hukum Hooke: dalam daerah elastis σ = E·ε. Digabung dengan σ = P/A dan ε = δ/L menghasilkan δ = PL/(AE).

Tegangan

A = π·10²/4 = 78,54 mm²

σ = P/A = 120·1000/78,54 = 1528 MPa

Regangan (hukum Hooke)

E for baja = 200 GPa = 200000 MPa.

ε = σ/E = 1528/200000 = 0,007639 = 7639 µε

Pertambahan panjang

δ = ε·L = 0,007639·2000 mm = 15,28 mm

Jawaban

δ = 15,28 mm

8.Tegangan & regangan aksial

Jawaban: δ = 2,371 mm

Batang beban aksial: setiap segmen prismatis mengikuti δ = PL/(AE). Untuk segmen seri, pertambahan panjangnya dijumlahkan.

Gaya sama di kedua segmen

Ujung bebas menahan P, jadi setiap penampang batang menahan gaya aksial P yang sama. Hanya luas dan bahannya yang berubah.

A₁ = π·25²/4 = 490,9 mm², A₂ = π·16²/4 = 201,1 mm²

σ₁ = 91,67 MPa

σ₂ = 223,8 MPa

Jumlahkan pertambahan panjang segmen

δ₁ = σ₁L₁/E₁ = 91,67·500/100000 = 0,4584 mm

δ₂ = σ₂L₂/E₂ = 223,8·1000/117000 = 1,913 mm

δ = δ₁ + δ₂ = 2,371 mm

Jawaban

δ = 2,371 mm

9.Tekuk kolom

Jawaban: P_cr = 62,01 kN

Tekuk Euler: kolom langsing menjadi tidak stabil pada P_cr = π²EI/(KL)², dengan KL panjang efektif: K = 1 untuk sendi–sendi, 2 untuk jepit–bebas, 0,7 untuk jepit–sendi, dan 0,5 untuk jepit–jepit. Kolom menekuk terhadap sumbu dengan I terkecil. Rumus berlaku untuk kolom langsing yang tegangan kritisnya tetap di bawah tegangan leleh.

Momen inersia terkecil

Penampang bulat memiliki I yang sama terhadap setiap sumbu.

I = πd⁴/64 = π·80⁴/64 = 2,011 × 10⁶ mm⁴

Panjang efektif

KL = 2·4000 = 8000 mm

Beban kritis

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·2,011 × 10⁶/8000² = 62013 N = 62,01 kN

Jawaban

P_cr = 62,01 kN

10.Tekuk kolom

Jawaban: σ_cr = 137,1 MPa

Momen inersia terkecil

Penampang bulat memiliki I yang sama terhadap setiap sumbu.

I = πd⁴/64 = π·25⁴/64 = 19175 mm⁴

Jari-jari girasi dan kelangsingan

A = 490,9 mm²

r = √(I/A) = √(19175/490,9) = 6,25 mm

KL = 0,5·1500 = 750 mm

KL/r = 750/6,25 = 120

Tegangan kritis

σ_cr = π²E/(KL/r)² = π²·200000/120² = 137,1 MPa

Jawaban

σ_cr = 137,1 MPa

11.Getaran mekanis

Jawaban: f_d = 3,119 Hz

Getaran bebas sistem massa–pegas: frekuensi alami tak teredam adalah ω_n = √(k/m) dalam rad/s, dan f_n = ω_n/(2π) dalam Hz. Peredam viskos c memberikan rasio redaman ζ = c/c_c, dengan redaman kritis c_c = 2·√(k·m) = 2·m·ω_n. Sistem kurang teredam (ζ < 1) berosilasi pada ω_d = ω_n·√(1 − ζ²). Pegas paralel dijumlahkan, k = k₁ + k₂; pegas seri dijumlahkan sebagai kebalikan, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

Frekuensi alami tak teredam

ω_n = √(12000/20) = 24,49 rad/s

f_n = 24,49/(2π) = 3,898 Hz

Frekuensi alami teredam

f_d = f_n·√(1 − ζ²) = 3,898·√(1 − 0,6²) = 3,119 Hz

Jawaban

f_d = 3,119 Hz

12.Getaran mekanis

Jawaban: f_n = 4,963 Hz

Kekakuan ekivalen

Hanya k₁ dan k₂ yang paralel. Pasangan itu seri dengan k₃, jadi gabungkan sebagai kebalikan.

k₁₂ = 50 + 12 = 62 kN/m

k_eq = 62·40/(62 + 40) = 24,31 kN/m

Frekuensi alami

ω_n = √(24314/25) = 31,19 rad/s

f_n = 31,19/(2π) = 4,963 Hz

Jawaban

f_n = 4,963 Hz

ExamProblems · examproblems.com/courses/machine-design