Perancangan Elemen Mesin: paket kilat

Lembar rumus, langkah-langkah metode utama untuk setiap topik, dan 12 soal latihan, dengan pembahasan lengkap di bagian belakang.

Soal baru Kembali ke mata kuliah

Di jendela cetak, pilih “Simpan sebagai PDF” untuk menyimpan salinan di perangkat Anda.

1Rumus dan metode

Roda gigi & rangkaian roda gigi

Roda gigi yang berpasangan: n₁·N₁ = n₂·N₂
Torsi: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η
Daya: P = T·ω, ω = 2π·n/60
Rangkaian roda gigi majemuk: rasio total = hasil kali rasio setiap tingkat

Torsi poros

Tegangan geser: τ = T·r/J
Poros pejal: J = πd⁴/32
Poros berongga: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Sudut puntir: φ = TL/(GJ)
Daya: P = T·ω = 2πnT/60

Metode

Cari momen inersia polar: J = πd⁴/32 untuk poros pejal.
Tegangan geser di permukaan: τ = T·r/J, dengan r jari-jari luar.
Sudut puntir: φ = TL/(GJ) dalam radian.
Jika daya diketahui, cari torsi dulu dengan P = T·ω, ω = 2πn/60.

Lingkaran Mohr & transformasi tegangan

Pusat: C = (σ_x + σ_y)/2
Jari-jari: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Tegangan utama: σ_1,2 = C ± R
Arah utama: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Bidang miring: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Metode

Hitung pusat lingkaran Mohr: C = (σx + σy)/2.
Hitung jari-jarinya: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Tegangan utama adalah C ± R dan tegangan geser bidang terbesar adalah R.
Sudut pada lingkaran adalah dua kali sudut pada elemen: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Tegangan & regangan aksial

Tegangan normal: σ = F/A
Regangan: ε = ΔL/L
Hukum Hooke: σ = E·ε
Pertambahan panjang: ΔL = FL/(EA)
Regangan termal: ε_T = α·ΔT

Tekuk kolom

Beban Euler: P_cr = π²EI/(KL)²
Faktor panjang efektif: K = 1 sendi–sendi, 0,5 jepit–jepit, 0,7 jepit–sendi, 2 jepit–bebas
Tegangan kritis: σ_cr = P_cr/A
Kelangsingan: λ = KL/r, r = √(I/A)

Getaran mekanis

Frekuensi alami: ω_n = √(k/m), f_n = ω_n/(2π)
Dari defleksi statis: ω_n = √(g/δ_st)
Redaman kritis: c_c = 2√(km) = 2mω_n
Rasio redaman: ζ = c/c_c
Frekuensi teredam: ω_d = ω_n√(1 − ζ²)
Dekremen logaritmik: δ = (1/n)·ln(x₀/x_n), ζ = δ/√(4π² + δ²)
Pegas paralel: k = k₁ + k₂
Pegas seri: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

2Soal latihan

1.Roda gigi & rangkaian roda gigiSedang

Puli 120 mm pada 1450 rpm menggerakkan puli 500 mm dengan sabuk yang slipnya 3 %. Cari kecepatan n₂ puli yang digerakkan.

n₁ = 1450 rpmd₁ = 120 mmd₂ = 500 mms = 3 %

n₂ = rpm

2.Roda gigi & rangkaian roda gigiSulit

Sebuah sabuk terbuka menghubungkan puli 120 mm dan puli 315 mm yang jarak sumbunya 600 mm. Cari sudut kontak θ pada puli yang lebih kecil, dalam derajat.

d₁ = 120 mmd₂ = 315 mmC = 600 mm

θ = °

3.Torsi porosSedang

Poros pejal baja dijepit di dinding dan dipuntir oleh torsi T di ujung bebasnya. Cari sudut puntir φ ujung bebas, dalam derajat.

T = 750 N·md = 30 mmL = 1 mG = 80 GPa

φ = °

4.Torsi porosSulit

Poros baja pejal meneruskan 30 kW pada 1000 rpm. Tegangan geser tidak boleh melebihi 60 MPa dan puntiran tidak boleh melebihi 0,5° per m panjang. Cari diameter terkecil d yang memenuhi kedua batas.

P = 30 kWN = 1000 rpmτ_allow = 60 MPaθ_allow = 0,5°/mG = 80 GPa

d = mm

5.Lingkaran Mohr & transformasi teganganSedang

Suatu titik memiliki σₓ = 10 MPa, σᵧ = 70 MPa, dan τₓᵧ = −20 MPa (tarik positif). Elemen diputar 60° berlawanan arah jarum jam. Cari tegangan normal σ_y′ pada muka elemen yang diputar yang tegak lurus sumbu y′ yang diputar.

σ_x = 10 MPaσ_y = 70 MPaτ_xy = −20 MPaθ = 60°

σ_y′ = MPa

6.Lingkaran Mohr & transformasi teganganSulit

Sebuah titik pada komponen yang dibebani memiliki σₓ = 90 MPa, σᵧ = −40 MPa, dan τₓᵧ = 40 MPa (tarik positif). Cari tegangan geser τ_θ pada bidang yang normalnya diputar 50° berlawanan arah jarum jam dari sumbu x (positif dengan arah yang sama seperti τₓᵧ).

σ_x = 90 MPaσ_y = −40 MPaτ_xy = 40 MPaθ = 50°

τ_θ = MPa

7.Tegangan & regangan aksialSedang

Sebuah batang baja (diameter 30 mm, E = 200 GPa) berada di dalam tabung dari kuningan (diameter luar 100 mm, diameter dalam 60 mm, E = 100 GPa). Keduanya panjangnya 500 mm dan ditekan bersama di antara pelat kaku oleh 200 kN. Cari pemendekan δ.

P = 200 kNbatang: Ø30 mm, E = 200 GPatabung: Ø100/Ø60 mm, E = 100 GPaL = 500 mm

δ = mm

8.Tegangan & regangan aksialSulit

Sebuah batang baja (diameter 25 mm, E = 200 GPa, tegangan izin 120 MPa) berada di dalam tabung dari aluminium (diameter luar 120 mm, diameter dalam 50 mm, E = 70 GPa, tegangan izin 80 MPa). Keduanya ditekan bersama di antara pelat kaku. Cari beban terbesar P_max.

batang: Ø25 mm, E = 200 GPa, σ_allow = 120 MPatabung: Ø120/Ø50 mm, E = 70 GPa, σ_allow = 80 MPa

P_max = kN

9.Tekuk kolomSedang

Kolom sepanjang L dari baja dengan tumpuan jepit di kedua ujung. Dengan rumus Euler, cari beban tekuk kritisnya P_cr.

L = 3 mE = 200 GPa (baja)d = 25 mm

P_cr = kN

10.Tekuk kolomSulit

Kolom bulat pejal sepanjang L dari aluminium dengan tumpuan sendi di kedua ujung. Kolom harus menahan 145 kN dengan faktor keamanan 3 terhadap tekuk. Cari diameter terkecil d.

P = 145 kNn = 3L = 3 mE = 70 GPa (aluminium)

d = mm

11.Getaran mekanisSedang

Dalam uji getaran bebas sistem massa–pegas teredam, puncak simpangan 12 mm diikuti 5 siklus kemudian oleh puncak 4,7 mm. Cari rasio redaman ζ.

x₀ = 12 mmx₅ = 4,7 mmn = 5

ζ =

12.Getaran mekanisSulit

Massa 100 kg tergantung pada pegas k₃ = 5 kN/m. Ujung atas k₃ terpasang pada batang kaku yang tergantung pada dua pegas berdampingan, k₁ = 12 kN/m dan k₂ = 25 kN/m; batang tetap datar. Abaikan redaman serta massa pegas dan batang. Cari frekuensi alami f_n getaran vertikal dalam Hz.

m = 100 kgk₁ = 12 kN/mk₂ = 25 kN/mk₃ = 5 kN/m

f_n = Hz

3Larutan

1.Roda gigi & rangkaian roda gigi

Jawaban: n₂ = 337,6 rpm

Penggerak sabuk: tanpa slip, kedua puli memiliki kecepatan tepi yang sama v = π·d·n/60, sehingga n₁·d₁ = n₂·d₂ dan rasio kecepatan adalah d₂/d₁. Slip s membuat puli yang digerakkan sedikit lebih lambat: n₂ = n₁·(d₁/d₂)·(1 − s). Daya yang ditransmisikan adalah P = (T₁ − T₂)·v, dengan T₁ tegangan sisi tarik dan T₂ sisi kendor. Gesekan membatasi rasio tegangan: T₁/T₂ = e^μθ, dengan θ sudut kontak dalam radian pada puli yang lebih kecil; untuk sabuk terbuka θ = π − 2·asin((d₂ − d₁)/(2C)) dengan jarak sumbu C.

Kecepatan tanpa slip

1450·120/500 = 348 rpm

Dengan slip

n₂ = 348·0,97 = 337,6 rpm

Jawaban

n₂ = 337,6 rpm

2.Roda gigi & rangkaian roda gigi

Jawaban: θ = 161,3 °

Sudut sabuk

asin(0,1625) = 9,352°

Sudut kontak

θ = 180 − 2·9,352 = 161,3°

Jawaban

θ = 161,3°

3.Torsi poros

Jawaban: φ = 6,755 °

Torsi poros bulat: tegangan geser naik linear dari nol di pusat hingga τ_max = T·r/J di permukaan, dengan J = πd⁴/32 untuk poros pejal dan J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 untuk poros berongga. Sudut puntir φ = TL/(GJ) dalam radian. Daya dan torsi berhubungan melalui P = T·ω.

Momen inersia polar

J = π·30⁴/32 = 79522 mm⁴

Sudut puntir

φ = TL/(GJ) = 750·1000·1000/(80000·79522) = 0,1179 rad

φ = 0,1179·180/π = 6,755°

Jawaban

φ = 6,755°

4.Torsi poros

Jawaban: d = 45,22 mm

Torsi

ω = 2πN/60 = 2π·1000/60 = 104,7 rad/s

T = P/ω = 30000/104,7 = 286,5 N·m

Diameter berdasarkan kekuatan

T = 286,5 N·m = 286479 N·mm

d_τ = ∛(16·286479/(π·60)) = 28,97 mm

Diameter berdasarkan kekakuan

θ = 0,5·π/180/1000 = 8,727 × 10⁻⁶ rad/mm

G = 80 GPa = 80000 MPa

d_φ = (32·286479/(π·80000·8,727 × 10⁻⁶))^1/4 = 45,22 mm

Diameter yang menentukan

Kedua batas harus terpenuhi, jadi diameter yang lebih besar yang menentukan.

d = max(28,97, 45,22) = 45,22 mm

Jawaban

d = 45,22 mm

Di sini kekakuan yang menentukan.

5.Lingkaran Mohr & transformasi tegangan

Jawaban: σ_y′ = 42,32 MPa

Transformasi tegangan bidang: pada bidang yang diputar sebesar θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Lingkaran Mohr menampilkan semua bidang sekaligus: pusatnya di C = (σₓ + σᵧ)/2 dan jari-jarinya R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Tegangan utama adalah C ± R, dan tegangan geser terbesar dalam bidang adalah R.

Persamaan transformasi untuk muka y′

σ_y′ = 40 − (−30)·(−0,5) − (−20)·0,866 = 42,32 MPa

Periksa

Jumlah tegangan normal tidak berubah karena rotasi.

σ_x′ = 37,68 MPa, σ_x′ + σ_y′ = 80 = σ_x + σ_y

Jawaban

σ_y′ = 42,32 MPa

6.Lingkaran Mohr & transformasi tegangan

Jawaban: τ_θ = −70,96 MPa

Persamaan transformasi

τ_θ = −65·0,9848 + 40·−0,1736 = −70,96 MPa

Jawaban

τ_θ = −70,96 MPa

7.Tegangan & regangan aksial

Jawaban: δ = 0,1553 mm

Dua bahan: pada susunan seri (satu demi satu) setiap segmen menahan gaya yang sama dan perpanjangannya dijumlahkan: δ = P·Σ L/(E·A). Pada susunan paralel (berdampingan di antara pelat kaku) kedua bagian memendek sama besar, sehingga regangannya sama: bagian yang lebih kaku menanggung bagian yang lebih besar, P_i = P·E_iA_i/ΣEA, dan σ_i = E_i·ε. Batang yang ditahan di antara dua dinding kaku dengan beban di sambungan adalah statis tak tentu: kedua segmen membagi beban sebanding dengan kekakuannya k = EA/L.

Luas

A_r = π·30²/4 = 706,9 mm²

A_t = π(100² − 60²)/4 = 5027 mm²

Kekakuan aksial gabungan

ΣEA = 200·10³·706,9 + 100·10³·5027 = 6,44 × 10⁸ N

Pemendekan

δ = 200000·500/6,44 × 10⁸ = 0,1553 mm

Jawaban

δ = 0,1553 mm

8.Tegangan & regangan aksial

Jawaban: P_max = 451,4 kN

Luas

A_r = π·25²/4 = 490,9 mm²

A_t = π(120² − 50²)/4 = 9346 mm²

Kekakuan aksial gabungan

ΣEA = 200·10³·490,9 + 70·10³·9346 = 7,524 × 10⁸ N

Regangan penentu

ε = min(0,0006, 0,001143) = 0,0006 (baja)

Beban terbesar

P_max = 0,0006·7,524 × 10⁸ = 451447 N = 451,4 kN

Jawaban

P_max = 451,4 kN

9.Tekuk kolom

Jawaban: P_cr = 16,82 kN

Tekuk Euler: kolom langsing menjadi tidak stabil pada P_cr = π²EI/(KL)², dengan KL panjang efektif: K = 1 untuk sendi–sendi, 2 untuk jepit–bebas, 0,7 untuk jepit–sendi, dan 0,5 untuk jepit–jepit. Kolom menekuk terhadap sumbu dengan I terkecil. Rumus berlaku untuk kolom langsing yang tegangan kritisnya tetap di bawah tegangan leleh.

Momen inersia terkecil

Penampang bulat memiliki I yang sama terhadap setiap sumbu.

I = πd⁴/64 = π·25⁴/64 = 19175 mm⁴

Panjang efektif

KL = 0,5·3000 = 1500 mm

Beban kritis

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·19175/1500² = 16822 N = 16,82 kN

Jawaban

P_cr = 16,82 kN

10.Tekuk kolom

Jawaban: d = 103,7 mm

Beban kritis yang diperlukan

P_cr = n·P = 3·145000 = 435000 N

KL = 1·3000 = 3000 mm

Selesaikan untuk diameter

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·435000·3000²/(π³·70000))^(1/4) = 103,7 mm

Jawaban

d = 103,7 mm

Periksa: kelangsingan KL/r adalah 115,8, jadi kolom langsing dan rumus Euler berlaku.

11.Getaran mekanis

Jawaban: ζ = 0,02982

Getaran bebas sistem massa–pegas: frekuensi alami tak teredam adalah ω_n = √(k/m) dalam rad/s, dan f_n = ω_n/(2π) dalam Hz. Peredam viskos c memberikan rasio redaman ζ = c/c_c, dengan redaman kritis c_c = 2·√(k·m) = 2·m·ω_n. Sistem kurang teredam (ζ < 1) berosilasi pada ω_d = ω_n·√(1 − ζ²). Pegas paralel dijumlahkan, k = k₁ + k₂; pegas seri dijumlahkan sebagai kebalikan, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

Dekremen logaritmik

δ = (1/5)·ln(12/4,7) = 0,1875

Rasio redaman

ζ = δ/√(4π² + δ²) = 0,1875/√(39,48 + 0,03514) = 0,02982

Jawaban

ζ = 0,02982

12.Getaran mekanis

Jawaban: f_n = 1,056 Hz

Kekakuan ekivalen

Hanya k₁ dan k₂ yang paralel. Pasangan itu seri dengan k₃, jadi gabungkan sebagai kebalikan.

k₁₂ = 12 + 25 = 37 kN/m

k_eq = 37·5/(37 + 5) = 4,405 kN/m

Frekuensi alami

ω_n = √(4405/100) = 6,637 rad/s

f_n = 6,637/(2π) = 1,056 Hz

Jawaban

f_n = 1,056 Hz

ExamProblems · examproblems.com/courses/machine-design