Perancangan Elemen Mesin: paket kilat

Lembar rumus, langkah-langkah metode utama untuk setiap topik, dan 12 soal latihan, dengan pembahasan lengkap di bagian belakang.

Soal baruKembali ke mata kuliah

Di jendela cetak, pilih “Simpan sebagai PDF” untuk menyimpan salinan di perangkat Anda.

1Rumus dan metode

Roda gigi & rangkaian roda gigi

Roda gigi yang berpasangan
n1·N1 = n2·N2
Torsi
T2 = T1·(N2/N1)·η
Daya
P = T·ω, ω = 2π·n/60
Rangkaian roda gigi majemuk
rasio total = hasil kali rasio setiap tingkat

Torsi poros

Tegangan geser
τ = T·r/J
Poros pejal
J = πd⁴/32
Poros berongga
J = π(D⁴ − d⁴)/32
Sudut puntir
φ = TL/(GJ)
Daya
P = T·ω = 2πnT/60

Metode

  1. Cari momen inersia polar: J = πd⁴/32 untuk poros pejal.
  2. Tegangan geser di permukaan: τ = T·r/J, dengan r jari-jari luar.
  3. Sudut puntir: φ = TL/(GJ) dalam radian.
  4. Jika daya diketahui, cari torsi dulu dengan P = T·ω, ω = 2πn/60.

Lingkaran Mohr & transformasi tegangan

Pusat
C = (σx + σy)/2
Jari-jari
R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)
Tegangan utama
σ1,2 = C ± R
Arah utama
tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)
Bidang miring
σθ = C + (σx − σy)/2·cos 2θ + τxy·sin 2θ

Metode

  1. Hitung pusat lingkaran Mohr: C = (σx + σy)/2.
  2. Hitung jari-jarinya: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
  3. Tegangan utama adalah C ± R dan tegangan geser bidang terbesar adalah R.
  4. Sudut pada lingkaran adalah dua kali sudut pada elemen: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Tegangan & regangan aksial

Tegangan normal
σ = F/A
Regangan
ε = ΔL/L
Hukum Hooke
σ = E·ε
Pertambahan panjang
ΔL = FL/(EA)
Regangan termal
εT = α·ΔT

Tekuk kolom

Beban Euler
Pcr = π²EI/(KL)²
Faktor panjang efektif
K = 1 sendi–sendi, 0,5 jepit–jepit, 0,7 jepit–sendi, 2 jepit–bebas
Tegangan kritis
σcr = Pcr/A
Kelangsingan
λ = KL/r, r = √(I/A)

Getaran mekanis

Frekuensi alami
ωn = √(k/m), fn = ωn/(2π)
Dari defleksi statis
ωn = √(g/δst)
Redaman kritis
cc = 2√(km) = 2mωn
Rasio redaman
ζ = c/cc
Frekuensi teredam
ωd = ωn√(1 − ζ²)
Dekremen logaritmik
δ = (1/n)·ln(x0/xn), ζ = δ/√(4π² + δ²)
Pegas paralel
k = k1 + k2
Pegas seri
1/k = 1/k1 + 1/k2

2Soal latihan

1.Roda gigi & rangkaian roda gigiSedang
N1​ = 25N2​ = 48

Sebuah motor 15 kW yang berputar pada 960 rpm menggerakkan pinion dengan 25 gigi, yang berpasangan dengan roda gigi 48 gigi. Pasangan roda gigi memiliki efisiensi 95%. Cari torsi T1 pada poros motor.

P = 15 kWn1 = 960 rpmN1 = 25N2 = 48η = 95%
T1 = N·m
2.Roda gigi & rangkaian roda gigiSulit
d1​ = 200 mmd2​ = 400 mm960 rpmC = 1000 mmθ = ?

Sebuah sabuk terbuka menghubungkan puli 200 mm dan puli 400 mm yang jarak sumbunya 1000 mm. Cari sudut kontak θ pada puli yang lebih kecil, dalam derajat.

d1 = 200 mmd2 = 400 mmC = 1000 mm
θ = °
3.Torsi porosSedang
T = 500 N·md = 25 mmL = 0,8 mφ = ?

Poros pejal baja dijepit di dinding dan dipuntir oleh torsi T di ujung bebasnya. Cari sudut puntir φ ujung bebas, dalam derajat.

T = 500 N·md = 25 mmL = 0,8 mG = 80 GPa
φ = °
4.Torsi porosSulit
Tdo​ = 40 mm, di​ = 30 mm

Poros berongga meneruskan 30 kW pada 3000 rpm. Cari tegangan geser maksimum τmax pada poros.

P = 30 kWN = 3000 rpmdo = 40 mmdi = 30 mm
τmax = MPa
5.Lingkaran Mohr & transformasi teganganSedang
σx​ = 60σy​ = 70τxy​ = 20MPa

Sebuah titik pada komponen yang dibebani memiliki σₓ = 60 MPa, σᵧ = 70 MPa, dan τₓᵧ = 20 MPa (tarik positif). Cari tegangan geser maksimum dalam bidang τmax.

σx = 60 MPaσy = 70 MPaτxy = 20 MPa
τmax = MPa
6.Lingkaran Mohr & transformasi teganganSulit
σx​ = −20σy​ = 10τxy​ = 10MPa

Sebuah titik pada komponen yang dibebani memiliki σₓ = −20 MPa, σᵧ = 10 MPa, dan τₓᵧ = 10 MPa (tarik positif). Cari tegangan normal σθ pada bidang yang normalnya diputar 25° berlawanan arah jarum jam dari sumbu x.

σx = −20 MPaσy = 10 MPaτxy = 10 MPaθ = 25°
σθ = MPa
7.Tegangan & regangan aksialSedang
Ø 16 mmBaja1,5 mP = 40 kN

Cari pertambahan panjang δ batang baja akibat beban aksial.

P = 40 kNd = 16 mmL = 1,5 mE = 200 GPa
δ = mm
8.Tegangan & regangan aksialSulit
Ø 35 mmTembaga1 mØ 12 mmTembaga2 mP = 30 kN

Batang bertingkat dijepit di dinding dan dibebani di ujung bebasnya. Cari tegangan normal terbesar σmax pada batang.

P = 30 kNsegmen 1: Ø35 mm, 1 m, tembaga (E = 117 GPa)segmen 2: Ø12 mm, 2 m, tembaga (E = 117 GPa)
σmax = MPa
9.Tekuk kolomSedang
PL = 3 md = 40 mmpenampang

Kolom sepanjang L dari aluminium dengan tumpuan sendi di kedua ujung. Dengan rumus Euler, cari beban tekuk kritisnya Pcr.

L = 3 mE = 70 GPa (aluminium)d = 40 mm
Pcr = kN
10.Tekuk kolomSulit
PL = 1,5 md = 40 mmpenampang

Kolom sepanjang L dari aluminium dengan tumpuan sendi di kedua ujung. Cari kelangsingannya dan tegangan tekuk kritis σcr dari rumus Euler.

L = 1,5 mE = 70 GPa (aluminium)d = 40 mm
σcr = MPa
11.Getaran mekanisSedang
k = 20 kN/mc = 890 N·s/mm = 40 kg

Massa 40 kg ditopang oleh pegas dengan kekakuan 20 kN/m dan peredam viskos dengan koefisien redaman 890 N·s/m. Cari rasio redaman ζ.

m = 40 kgk = 20 kN/mc = 890 N·s/m
ζ =
12.Getaran mekanisSulit
k1​ = 80k2​ = 5m = 100 kg

Massa 100 kg tergantung pada dua pegas berdampingan (paralel), dengan kekakuan k₁ = 80 kN/m dan k₂ = 5 kN/m. Massa tetap datar. Cari kekakuan ekivalen keq sistem pegas dalam kN/m.

m = 100 kgk1 = 80 kN/mk2 = 5 kN/m
keq = kN/m

3Larutan

1.Roda gigi & rangkaian roda gigi

Jawaban: T1 = 149,2 N·m

Rangkaian roda gigi: roda gigi yang berpasangan memiliki kecepatan yang sama di giginya, sehingga n₁·N₁ = n₂·N₂: roda gigi dengan jumlah gigi lebih sedikit berputar lebih cepat. Roda gigi pada satu poros berputar dengan kecepatan yang sama. Daya diteruskan (dikurangi rugi-rugi), sehingga torsi naik ketika putaran turun: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, dan P = T·ω dengan ω = 2π·n/60.

Torsi motor

ω₁ = 2π·960/60 = 100,5 rad/s
T1 = P/ω₁ = 15000/100,5 = 149,2 N·m

Jawaban

T1 = 149,2 N·m
2.Roda gigi & rangkaian roda gigi

Jawaban: θ = 168,5 °

Penggerak sabuk: tanpa slip, kedua puli memiliki kecepatan tepi yang sama v = π·d·n/60, sehingga n₁·d₁ = n₂·d₂ dan rasio kecepatan adalah d₂/d₁. Slip s membuat puli yang digerakkan sedikit lebih lambat: n₂ = n₁·(d₁/d₂)·(1 − s). Daya yang ditransmisikan adalah P = (T₁ − T₂)·v, dengan T₁ tegangan sisi tarik dan T₂ sisi kendor. Gesekan membatasi rasio tegangan: T₁/T₂ = eμθ, dengan θ sudut kontak dalam radian pada puli yang lebih kecil; untuk sabuk terbuka θ = π − 2·asin((d₂ − d₁)/(2C)) dengan jarak sumbu C.

Sudut sabuk

asin(0,1) = 5,739°

Sudut kontak

θ = 180 − 2·5,739 = 168,5°

Jawaban

θ = 168,5°
3.Torsi poros

Jawaban: φ = 7,47 °

Torsi poros bulat: tegangan geser naik linear dari nol di pusat hingga τmax = T·r/J di permukaan, dengan J = πd⁴/32 untuk poros pejal dan J = π(do⁴ − di⁴)/32 untuk poros berongga. Sudut puntir φ = TL/(GJ) dalam radian. Daya dan torsi berhubungan melalui P = T·ω.

Momen inersia polar

J = π·25⁴/32 = 38350 mm⁴

Sudut puntir

φ = TL/(GJ) = 500·1000·800/(80000·38350) = 0,1304 rad
φ = 0,1304·180/π = 7,47°

Jawaban

φ = 7,47°
4.Torsi poros

Jawaban: τmax = 11,12 MPa

Torsi poros bulat: tegangan geser naik linear dari nol di pusat hingga τmax = T·r/J di permukaan, dengan J = πd⁴/32 untuk poros pejal dan J = π(do⁴ − di⁴)/32 untuk poros berongga. Sudut puntir φ = TL/(GJ) dalam radian. Daya dan torsi berhubungan melalui P = T·ω.

Torsi

ω = 2πN/60 = 2π·3000/60 = 314,2 rad/s
T = P/ω = 30000/314,2 = 95,49 N·m

Momen inersia polar

J = π(40⁴ − 30⁴)/32 = 171806 mm⁴

Tegangan geser maksimum

τmax = T·(do/2)/J = 95493·20/171806 = 11,12 MPa

Jawaban

τmax = 11,12 MPa
5.Lingkaran Mohr & transformasi tegangan

Jawaban: τmax = 20,62 MPa

Transformasi tegangan bidang: pada bidang yang diputar sebesar θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Lingkaran Mohr menampilkan semua bidang sekaligus: pusatnya di C = (σₓ + σᵧ)/2 dan jari-jarinya R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Tegangan utama adalah C ± R, dan tegangan geser terbesar dalam bidang adalah R.

σxyCτmax​

Jari-jari lingkaran Mohr

τmax = R = √(((60 − 70)/2)² + 20²) = 20,62 MPa

Jawaban

τmax = 20,62 MPa
6.Lingkaran Mohr & transformasi tegangan

Jawaban: σθ = −6,981 MPa

Transformasi tegangan bidang: pada bidang yang diputar sebesar θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Lingkaran Mohr menampilkan semua bidang sekaligus: pusatnya di C = (σₓ + σᵧ)/2 dan jari-jarinya R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Tegangan utama adalah C ± R, dan tegangan geser terbesar dalam bidang adalah R.

Persamaan transformasi

σθ = −5 + −15·0,6428 + 10·0,766 = −6,981 MPa

Jawaban

σθ = −6,981 MPa
7.Tegangan & regangan aksial

Jawaban: δ = 1,492 mm

Hukum Hooke: dalam daerah elastis σ = E·ε. Digabung dengan σ = P/A dan ε = δ/L menghasilkan δ = PL/(AE).

Tegangan

A = π·16²/4 = 201,1 mm²
σ = P/A = 40·1000/201,1 = 198,9 MPa

Regangan (hukum Hooke)

E for baja = 200 GPa = 200000 MPa.

ε = σ/E = 198,9/200000 = 0,0009947 = 994,7 µε

Pertambahan panjang

δ = ε·L = 0,0009947·1500 mm = 1,492 mm

Jawaban

δ = 1,492 mm
8.Tegangan & regangan aksial

Jawaban: σmax = 265,3 MPa

Batang beban aksial: setiap segmen prismatis mengikuti δ = PL/(AE). Untuk segmen seri, pertambahan panjangnya dijumlahkan.

Gaya sama di kedua segmen

Ujung bebas menahan P, jadi setiap penampang batang menahan gaya aksial P yang sama. Hanya luas dan bahannya yang berubah.

A1 = π·35²/4 = 962,1 mm², A2 = π·12²/4 = 113,1 mm²
σ1 = 31,18 MPa
σ2 = 265,3 MPa

Tegangan terbesar

Segmen yang lebih tipis luasnya lebih kecil, jadi tegangannya lebih besar.

σmax = 265,3 MPa

Jawaban

σmax = 265,3 MPa
9.Tekuk kolom

Jawaban: Pcr = 9,646 kN

Tekuk Euler: kolom langsing menjadi tidak stabil pada Pcr = π²EI/(KL)², dengan KL panjang efektif: K = 1 untuk sendi–sendi, 2 untuk jepit–bebas, 0,7 untuk jepit–sendi, dan 0,5 untuk jepit–jepit. Kolom menekuk terhadap sumbu dengan I terkecil. Rumus berlaku untuk kolom langsing yang tegangan kritisnya tetap di bawah tegangan leleh.

Momen inersia terkecil

Penampang bulat memiliki I yang sama terhadap setiap sumbu.

I = πd⁴/64 = π·40⁴/64 = 125664 mm⁴

Panjang efektif

KL = 1·3000 = 3000 mm

Beban kritis

Pcr = π²EI/(KL)² = π²·70000·125664/3000² = 9646 N = 9,646 kN

Jawaban

Pcr = 9,646 kN
10.Tekuk kolom

Jawaban: σcr = 30,71 MPa

Tekuk Euler: kolom langsing menjadi tidak stabil pada Pcr = π²EI/(KL)², dengan KL panjang efektif: K = 1 untuk sendi–sendi, 2 untuk jepit–bebas, 0,7 untuk jepit–sendi, dan 0,5 untuk jepit–jepit. Kolom menekuk terhadap sumbu dengan I terkecil. Rumus berlaku untuk kolom langsing yang tegangan kritisnya tetap di bawah tegangan leleh.

Momen inersia terkecil

Penampang bulat memiliki I yang sama terhadap setiap sumbu.

I = πd⁴/64 = π·40⁴/64 = 125664 mm⁴

Jari-jari girasi dan kelangsingan

A = 1257 mm²
r = √(I/A) = √(125664/1257) = 10 mm
KL = 1·1500 = 1500 mm
KL/r = 1500/10 = 150

Tegangan kritis

σcr = π²E/(KL/r)² = π²·70000/150² = 30,71 MPa

Jawaban

σcr = 30,71 MPa
11.Getaran mekanis

Jawaban: ζ = 0,4975

Getaran bebas sistem massa–pegas: frekuensi alami tak teredam adalah ωn = √(k/m) dalam rad/s, dan fn = ωn/(2π) dalam Hz. Peredam viskos c memberikan rasio redaman ζ = c/cc, dengan redaman kritis cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn. Sistem kurang teredam (ζ < 1) berosilasi pada ωd = ωn·√(1 − ζ²). Pegas paralel dijumlahkan, k = k₁ + k₂; pegas seri dijumlahkan sebagai kebalikan, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

Redaman kritis

cc = 2·√(k·m) = 2·√(20000·40) = 1789 N·s/m

Rasio redaman

ζ = c/cc = 890/1789 = 0,4975

Jawaban

ζ = 0,4975

ζ < 1, sehingga sistem kurang teredam dan berosilasi sambil meluruh.

12.Getaran mekanis

Jawaban: keq = 85 kN/m

Getaran bebas sistem massa–pegas: frekuensi alami tak teredam adalah ωn = √(k/m) dalam rad/s, dan fn = ωn/(2π) dalam Hz. Peredam viskos c memberikan rasio redaman ζ = c/cc, dengan redaman kritis cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn. Sistem kurang teredam (ζ < 1) berosilasi pada ωd = ωn·√(1 − ζ²). Pegas paralel dijumlahkan, k = k₁ + k₂; pegas seri dijumlahkan sebagai kebalikan, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

Kekakuan ekivalen

Pegas berdampingan berbagi defleksi dan gayanya dijumlahkan, sehingga kekakuannya cukup dijumlahkan: k = k1 + k2.

keq = 80 + 5 = 85 kN/m

Jawaban

keq = 85 kN/m

ExamProblems · examproblems.com/courses/machine-design