Perancangan Elemen Mesin: paket kilat

Lembar rumus, langkah-langkah metode utama untuk setiap topik, dan 12 soal latihan, dengan pembahasan lengkap di bagian belakang.

Soal baru Kembali ke mata kuliah

Di jendela cetak, pilih “Simpan sebagai PDF” untuk menyimpan salinan di perangkat Anda.

1Rumus dan metode

Roda gigi & rangkaian roda gigi

Roda gigi yang berpasangan: n₁·N₁ = n₂·N₂
Torsi: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η
Daya: P = T·ω, ω = 2π·n/60
Rangkaian roda gigi majemuk: rasio total = hasil kali rasio setiap tingkat

Torsi poros

Tegangan geser: τ = T·r/J
Poros pejal: J = πd⁴/32
Poros berongga: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Sudut puntir: φ = TL/(GJ)
Daya: P = T·ω = 2πnT/60

Metode

Cari momen inersia polar: J = πd⁴/32 untuk poros pejal.
Tegangan geser di permukaan: τ = T·r/J, dengan r jari-jari luar.
Sudut puntir: φ = TL/(GJ) dalam radian.
Jika daya diketahui, cari torsi dulu dengan P = T·ω, ω = 2πn/60.

Lingkaran Mohr & transformasi tegangan

Pusat: C = (σ_x + σ_y)/2
Jari-jari: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Tegangan utama: σ_1,2 = C ± R
Arah utama: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Bidang miring: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Metode

Hitung pusat lingkaran Mohr: C = (σx + σy)/2.
Hitung jari-jarinya: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Tegangan utama adalah C ± R dan tegangan geser bidang terbesar adalah R.
Sudut pada lingkaran adalah dua kali sudut pada elemen: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Tegangan & regangan aksial

Tegangan normal: σ = F/A
Regangan: ε = ΔL/L
Hukum Hooke: σ = E·ε
Pertambahan panjang: ΔL = FL/(EA)
Regangan termal: ε_T = α·ΔT

Tekuk kolom

Beban Euler: P_cr = π²EI/(KL)²
Faktor panjang efektif: K = 1 sendi–sendi, 0,5 jepit–jepit, 0,7 jepit–sendi, 2 jepit–bebas
Tegangan kritis: σ_cr = P_cr/A
Kelangsingan: λ = KL/r, r = √(I/A)

Getaran mekanis

Frekuensi alami: ω_n = √(k/m), f_n = ω_n/(2π)
Dari defleksi statis: ω_n = √(g/δ_st)
Redaman kritis: c_c = 2√(km) = 2mω_n
Rasio redaman: ζ = c/c_c
Frekuensi teredam: ω_d = ω_n√(1 − ζ²)
Dekremen logaritmik: δ = (1/n)·ln(x₀/x_n), ζ = δ/√(4π² + δ²)
Pegas paralel: k = k₁ + k₂
Pegas seri: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

2Soal latihan

1.Roda gigi & rangkaian roda gigiSedang

Sebuah motor 1,5 kW yang berputar pada 1440 rpm menggerakkan pinion dengan 16 gigi, yang berpasangan dengan roda gigi 45 gigi. Pasangan roda gigi memiliki efisiensi 96%. Cari torsi T₁ pada poros motor.

P = 1,5 kWn₁ = 1440 rpmN₁ = 16N₂ = 45η = 96%

T₁ = N·m

2.Roda gigi & rangkaian roda gigiSulit

Sebuah motor 1,1 kW pada 2900 rpm menggerakkan roda gigi A (16 gigi), yang berpasangan dengan roda gigi B (32 gigi). Roda gigi C (15 gigi) pada poros yang sama dengan B menggerakkan roda gigi D (32 gigi) pada poros keluaran. Setiap pasangan roda gigi memiliki efisiensi 97%. Cari torsi keluaran T_out.

P = 1,1 kWn_in = 2900 rpmA = 16B = 32C = 15D = 32η_mesh = 97%

T_out = N·m

3.Torsi porosSedang

Poros pejal baja dijepit di dinding dan dipuntir oleh torsi T di ujung bebasnya. Cari sudut puntir φ ujung bebas, dalam derajat.

T = 400 N·md = 40 mmL = 2 mG = 80 GPa

φ = °

4.Torsi porosSulit

Poros berongga meneruskan 100 kW pada 500 rpm. Cari tegangan geser maksimum τ_max pada poros.

P = 100 kWN = 500 rpmd_o = 80 mmd_i = 40 mm

τ_max = MPa

5.Lingkaran Mohr & transformasi teganganSedang

Sebuah titik pada komponen yang dibebani memiliki σₓ = 60 MPa, σᵧ = 50 MPa, dan τₓᵧ = 10 MPa (tarik positif). Cari sudut θ_p dari sumbu x ke arah tegangan utama terbesar, antara −90° dan 90°.

σ_x = 60 MPaσ_y = 50 MPaτ_xy = 10 MPa

θ_p = °

6.Lingkaran Mohr & transformasi teganganSulit

Poros pejal berdiameter 50 mm menahan momen lentur sebesar 750 N·m bersama torsi 750 N·m. Di permukaan atas, tempat tegangan lentur bersifat tarik dan paling besar, cari tegangan geser sebidang maksimum τ_max.

d = 50 mmM = 750 N·mT = 750 N·m

τ_max = MPa

7.Tegangan & regangan aksialSedang

Cari pertambahan panjang δ batang kuningan akibat beban aksial.

P = 110 kNd = 25 mmL = 2,5 mE = 100 GPa

δ = mm

8.Tegangan & regangan aksialSulit

Sebuah segmen baja (diameter 20 mm, panjang 600 mm, E = 200 GPa) dan segmen dari tembaga (diameter 30 mm, panjang 400 mm, E = 120 GPa) disambung ujung ke ujung dan dijepit di antara dua dinding kaku. Beban aksial 20 kN bekerja di sambungan, menuju segmen 2. Cari besar tegangan σ₂ pada segmen 2.

segmen 1: baja, Ø20 mm, 600 mm, E = 200 GPasegmen 2: tembaga, Ø30 mm, 400 mm, E = 120 GPaP = 20 kN

σ₂ = MPa

9.Tekuk kolomSedang

Kolom sepanjang L dari baja dengan tumpuan jepit di bawah dan sendi di atas. Dengan rumus Euler, cari beban tekuk kritisnya P_cr.

L = 2 mE = 200 GPa (baja)b × h = 40 × 60 mm

P_cr = kN

10.Tekuk kolomSulit

Kolom sepanjang L dari aluminium dengan tumpuan sendi di kedua ujung. Cari kelangsingannya dan tegangan tekuk kritis σ_cr dari rumus Euler.

L = 3 mE = 70 GPa (aluminium)d = 40 mm

σ_cr = MPa

11.Getaran mekanisSedang

Massa 8 kg pada pegas dengan kekakuan 8 kN/m memiliki peredam viskos yang memberikan rasio redaman 0,45. Cari frekuensi alami teredam f_d getaran bebasnya dalam Hz.

m = 8 kgk = 8 kN/mζ = 0,45

f_d = Hz

12.Getaran mekanisSulit

Massa 50 kg tergantung pada dua pegas berdampingan (paralel), dengan kekakuan k₁ = 50 kN/m dan k₂ = 12 kN/m. Massa tetap datar. Abaikan redaman dan massa pegas. Cari frekuensi alami f_n getaran vertikal dalam Hz.

m = 50 kgk₁ = 50 kN/mk₂ = 12 kN/m

f_n = Hz

3Larutan

1.Roda gigi & rangkaian roda gigi

Jawaban: T₁ = 9,947 N·m

Rangkaian roda gigi: roda gigi yang berpasangan memiliki kecepatan yang sama di giginya, sehingga n₁·N₁ = n₂·N₂: roda gigi dengan jumlah gigi lebih sedikit berputar lebih cepat. Roda gigi pada satu poros berputar dengan kecepatan yang sama. Daya diteruskan (dikurangi rugi-rugi), sehingga torsi naik ketika putaran turun: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, dan P = T·ω dengan ω = 2π·n/60.

Torsi motor

ω₁ = 2π·1440/60 = 150,8 rad/s

T₁ = P/ω₁ = 1500/150,8 = 9,947 N·m

Jawaban

T₁ = 9,947 N·m

2.Roda gigi & rangkaian roda gigi

Jawaban: T_out = 14,54 N·m

Gear trains: meshing gears have the same speed at the teeth, so n₁·N₁ = n₂·N₂: the gear with fewer teeth turns faster. Gears on one shaft turn at the same speed. Power is passed on (minus losses), so torque goes up when speed goes down: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, and P = T·ω with ω = 2π·n/60.

Kecepatan keluaran

n_out = 2900·(16/32)·(15/32) = 679,7 rpm

ω_out = 2π·679,7/60 = 71,18 rad/s

Daya dan torsi keluaran

P_out = 1100·0,97² = 1035 W

T_out = P_out/ω_out = 1035/71,18 = 14,54 N·m

Jawaban

T_out = 14,54 N·m

3.Torsi poros

Jawaban: φ = 2,28 °

Torsi poros bulat: tegangan geser naik linear dari nol di pusat hingga τ_max = T·r/J di permukaan, dengan J = πd⁴/32 untuk poros pejal dan J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 untuk poros berongga. Sudut puntir φ = TL/(GJ) dalam radian. Daya dan torsi berhubungan melalui P = T·ω.

Momen inersia polar

J = π·40⁴/32 = 251327 mm⁴

Sudut puntir

φ = TL/(GJ) = 400·1000·2000/(80000·251327) = 0,03979 rad

φ = 0,03979·180/π = 2,28°

Jawaban

φ = 2,28°

4.Torsi poros

Jawaban: τ_max = 20,26 MPa

Torsi

ω = 2πN/60 = 2π·500/60 = 52,36 rad/s

T = P/ω = 100000/52,36 = 1910 N·m

Momen inersia polar

J = π(80⁴ − 40⁴)/32 = 3,77 × 10⁶ mm⁴

Tegangan geser maksimum

τ_max = T·(d_o/2)/J = 1,91 × 10⁶·40/3,77 × 10⁶ = 20,26 MPa

Jawaban

τ_max = 20,26 MPa

5.Lingkaran Mohr & transformasi tegangan

Jawaban: θ_p = 31,72 °

Transformasi tegangan bidang: pada bidang yang diputar sebesar θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Lingkaran Mohr menampilkan semua bidang sekaligus: pusatnya di C = (σₓ + σᵧ)/2 dan jari-jarinya R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Tegangan utama adalah C ± R, dan tegangan geser terbesar dalam bidang adalah R.

Sudut pada lingkaran

Titik x terletak pada sudut 2θp dari sumbu σ pada lingkaran Mohr; kuadrannya ditentukan oleh tanda σₓ − σᵧ dan τₓᵧ.

2θ_p = atan2(2·10, 60 − 50) = 63,43°

Sudut pada elemen

θ_p = 31,72°

Jawaban

θ_p = 31,72°

Sudut positif berlawanan arah jarum jam.

6.Lingkaran Mohr & transformasi tegangan

Jawaban: τ_max = 43,22 MPa

Tegangan di permukaan

σ = 32M/(πd³) = 32·750000/(π·50³) = 61,12 MPa

τ = 16T/(πd³) = 16·750000/(π·50³) = 30,56 MPa

Lingkaran Mohr

C = σ/2 = 30,56 MPa

R = √(30,56² + 30,56²) = 43,22 MPa

Jawaban

τ_max = 43,22 MPa

7.Tegangan & regangan aksial

Jawaban: δ = 5,602 mm

Hukum Hooke: dalam daerah elastis σ = E·ε. Digabung dengan σ = P/A dan ε = δ/L menghasilkan δ = PL/(AE).

Tegangan

A = π·25²/4 = 490,9 mm²

σ = P/A = 110·1000/490,9 = 224,1 MPa

Regangan (hukum Hooke)

E for kuningan = 100 GPa = 100000 MPa.

ε = σ/E = 224,1/100000 = 0,002241 = 2241 µε

Pertambahan panjang

δ = ε·L = 0,002241·2500 mm = 5,602 mm

Jawaban

δ = 5,602 mm

8.Tegangan & regangan aksial

Jawaban: σ₂ = 18,94 MPa

Dua bahan: pada susunan seri (satu demi satu) setiap segmen menahan gaya yang sama dan perpanjangannya dijumlahkan: δ = P·Σ L/(E·A). Pada susunan paralel (berdampingan di antara pelat kaku) kedua bagian memendek sama besar, sehingga regangannya sama: bagian yang lebih kaku menanggung bagian yang lebih besar, P_i = P·E_iA_i/ΣEA, dan σ_i = E_i·ε. Batang yang ditahan di antara dua dinding kaku dengan beban di sambungan adalah statis tak tentu: kedua segmen membagi beban sebanding dengan kekakuannya k = EA/L.

Kekakuan

k₁ = 200000·314,2/600 = 104720 N/mm

k₂ = 120000·706,9/400 = 212058 N/mm

Bagian segmen 2

F₂ = 20000·212058/316777 = 13388 N

Tegangan

σ₂ = 13388/706,9 = 18,94 MPa (tekan)

Jawaban

σ₂ = 18,94 MPa

9.Tekuk kolom

Jawaban: P_cr = 322,3 kN

Tekuk Euler: kolom langsing menjadi tidak stabil pada P_cr = π²EI/(KL)², dengan KL panjang efektif: K = 1 untuk sendi–sendi, 2 untuk jepit–bebas, 0,7 untuk jepit–sendi, dan 0,5 untuk jepit–jepit. Kolom menekuk terhadap sumbu dengan I terkecil. Rumus berlaku untuk kolom langsing yang tegangan kritisnya tetap di bawah tegangan leleh.

Momen inersia terkecil

Persegi panjang menekuk terhadap sumbu lemahnya, dengan dimensi terkecil dipangkatkan tiga.

I_min = h·b³/12 = 60·40³/12 = 320000 mm⁴

Panjang efektif

KL = 0,7·2000 = 1400 mm

Beban kritis

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·320000/1400² = 322273 N = 322,3 kN

Jawaban

P_cr = 322,3 kN

10.Tekuk kolom

Jawaban: σ_cr = 7,676 MPa

Momen inersia terkecil

Penampang bulat memiliki I yang sama terhadap setiap sumbu.

I = πd⁴/64 = π·40⁴/64 = 125664 mm⁴

Jari-jari girasi dan kelangsingan

A = 1257 mm²

r = √(I/A) = √(125664/1257) = 10 mm

KL = 1·3000 = 3000 mm

KL/r = 3000/10 = 300

Tegangan kritis

σ_cr = π²E/(KL/r)² = π²·70000/300² = 7,676 MPa

Jawaban

σ_cr = 7,676 MPa

11.Getaran mekanis

Jawaban: f_d = 4,495 Hz

Getaran bebas sistem massa–pegas: frekuensi alami tak teredam adalah ω_n = √(k/m) dalam rad/s, dan f_n = ω_n/(2π) dalam Hz. Peredam viskos c memberikan rasio redaman ζ = c/c_c, dengan redaman kritis c_c = 2·√(k·m) = 2·m·ω_n. Sistem kurang teredam (ζ < 1) berosilasi pada ω_d = ω_n·√(1 − ζ²). Pegas paralel dijumlahkan, k = k₁ + k₂; pegas seri dijumlahkan sebagai kebalikan, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

Frekuensi alami tak teredam

ω_n = √(8000/8) = 31,62 rad/s

f_n = 31,62/(2π) = 5,033 Hz

Frekuensi alami teredam

f_d = f_n·√(1 − ζ²) = 5,033·√(1 − 0,45²) = 4,495 Hz

Jawaban

f_d = 4,495 Hz

12.Getaran mekanis

Jawaban: f_n = 5,604 Hz

Kekakuan ekivalen

Pegas berdampingan berbagi defleksi dan gayanya dijumlahkan, sehingga kekakuannya cukup dijumlahkan: k = k₁ + k₂.

k_eq = 50 + 12 = 62 kN/m

Frekuensi alami

ω_n = √(62000/50) = 35,21 rad/s

f_n = 35,21/(2π) = 5,604 Hz

Jawaban

f_n = 5,604 Hz

ExamProblems · examproblems.com/courses/machine-design