Perancangan Elemen Mesin: paket kilat

Lembar rumus, langkah-langkah metode utama untuk setiap topik, dan 12 soal latihan, dengan pembahasan lengkap di bagian belakang.

Soal baru Kembali ke mata kuliah

Di jendela cetak, pilih “Simpan sebagai PDF” untuk menyimpan salinan di perangkat Anda.

1Rumus dan metode

Roda gigi & rangkaian roda gigi

Roda gigi yang berpasangan: n₁·N₁ = n₂·N₂
Torsi: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η
Daya: P = T·ω, ω = 2π·n/60
Rangkaian roda gigi majemuk: rasio total = hasil kali rasio setiap tingkat

Torsi poros

Tegangan geser: τ = T·r/J
Poros pejal: J = πd⁴/32
Poros berongga: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Sudut puntir: φ = TL/(GJ)
Daya: P = T·ω = 2πnT/60

Metode

Cari momen inersia polar: J = πd⁴/32 untuk poros pejal.
Tegangan geser di permukaan: τ = T·r/J, dengan r jari-jari luar.
Sudut puntir: φ = TL/(GJ) dalam radian.
Jika daya diketahui, cari torsi dulu dengan P = T·ω, ω = 2πn/60.

Lingkaran Mohr & transformasi tegangan

Pusat: C = (σ_x + σ_y)/2
Jari-jari: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Tegangan utama: σ_1,2 = C ± R
Arah utama: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Bidang miring: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Metode

Hitung pusat lingkaran Mohr: C = (σx + σy)/2.
Hitung jari-jarinya: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Tegangan utama adalah C ± R dan tegangan geser bidang terbesar adalah R.
Sudut pada lingkaran adalah dua kali sudut pada elemen: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Tegangan & regangan aksial

Tegangan normal: σ = F/A
Regangan: ε = ΔL/L
Hukum Hooke: σ = E·ε
Pertambahan panjang: ΔL = FL/(EA)
Regangan termal: ε_T = α·ΔT

Tekuk kolom

Beban Euler: P_cr = π²EI/(KL)²
Faktor panjang efektif: K = 1 sendi–sendi, 0,5 jepit–jepit, 0,7 jepit–sendi, 2 jepit–bebas
Tegangan kritis: σ_cr = P_cr/A
Kelangsingan: λ = KL/r, r = √(I/A)

Getaran mekanis

Frekuensi alami: ω_n = √(k/m), f_n = ω_n/(2π)
Dari defleksi statis: ω_n = √(g/δ_st)
Redaman kritis: c_c = 2√(km) = 2mω_n
Rasio redaman: ζ = c/c_c
Frekuensi teredam: ω_d = ω_n√(1 − ζ²)
Dekremen logaritmik: δ = (1/n)·ln(x₀/x_n), ζ = δ/√(4π² + δ²)
Pegas paralel: k = k₁ + k₂
Pegas seri: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

2Soal latihan

1.Roda gigi & rangkaian roda gigiSedang

Cacing dengan 2 ulir berputar pada 960 rpm dan menggerakkan roda cacing dengan 45 gigi. Cari kecepatan n_w roda cacing.

z = 2N_w = 45n = 960 rpm

n_w = rpm

2.Roda gigi & rangkaian roda gigiSulit

Dalam rangkaian roda gigi majemuk, roda gigi A (18 gigi) pada poros masukan yang berputar pada 1450 rpm menggerakkan roda gigi B (36 gigi). Roda gigi C (16 gigi) terpasang pada poros yang sama dengan B dan menggerakkan roda gigi D (50 gigi) pada poros keluaran. Cari putaran keluaran n_out.

n_in = 1450 rpmA = 18B = 36C = 16D = 50

n_out = rpm

3.Torsi porosSedang

Poros aluminium pejal bertingkat dijepit di A. Segmen AB berdiameter 60 mm dan panjang 0,8 m; segmen BC berdiameter 50 mm dan panjang 2,5 m. Torsi 1000 N·m bekerja di ujung bebas C. Cari sudut puntir φ_C ujung C, dalam derajat.

T = 1000 N·md₁ = 60 mm, L₁ = 0,8 md₂ = 50 mm, L₂ = 2,5 mG = 26 GPa

φ_C = °

4.Torsi porosSulit

Poros pejal harus meneruskan 20 kW pada 300 rpm tanpa tegangan geser melebihi 80 MPa. Cari diameter terkecil d yang memenuhi.

P = 20 kWN = 300 rpmτ_allow = 80 MPa

d = mm

5.Lingkaran Mohr & transformasi teganganSedang

Suatu titik memiliki σₓ = 20 MPa, σᵧ = 70 MPa, dan τₓᵧ = 30 MPa (tarik positif). Cari sudut θ_s, antara −90° dan 90°, dari sumbu x ke normal bidang tempat tegangan geser mencapai nilai positif maksimumnya +R (geser positif searah dengan τₓᵧ).

σ_x = 20 MPaσ_y = 70 MPaτ_xy = 30 MPa

θ_s = °

6.Lingkaran Mohr & transformasi teganganSulit

Poros pejal berdiameter 60 mm menahan gaya tekan aksial sebesar 100 kN bersama torsi 2000 N·m. Di permukaan poros, cari tegangan utama terbesar σ₁.

d = 60 mmF = −100 kNT = 2000 N·m

σ₁ = MPa

7.Tegangan & regangan aksialSedang

Sebuah batang baja (diameter 20 mm, E = 200 GPa) berada di dalam tabung dari perunggu (diameter luar 120 mm, diameter dalam 60 mm, E = 110 GPa). Keduanya panjangnya 300 mm dan ditekan bersama di antara pelat kaku oleh 250 kN. Cari pemendekan δ.

P = 250 kNbatang: Ø20 mm, E = 200 GPatabung: Ø120/Ø60 mm, E = 110 GPaL = 300 mm

δ = mm

8.Tegangan & regangan aksialSulit

Batang bertingkat dijepit di dinding dan dibebani di ujung bebasnya. Cari pertambahan panjang total δ.

P = 70 kNsegmen 1: Ø35 mm, 2 m, baja (E = 200 GPa)segmen 2: Ø16 mm, 0,5 m, kuningan (E = 100 GPa)

δ = mm

9.Tekuk kolomSedang

Kolom sepanjang L dari aluminium dengan tumpuan jepit di bawah dan bebas di atas. Dengan rumus Euler, cari beban tekuk kritisnya P_cr.

L = 5 mE = 70 GPa (aluminium)d = 60 mm

P_cr = kN

10.Tekuk kolomSulit

Kolom bulat pejal sepanjang L dari baja dengan tumpuan jepit di bawah dan sendi di atas. Kolom harus menahan 135 kN dengan faktor keamanan 2,5 terhadap tekuk. Cari diameter terkecil d.

P = 135 kNn = 2,5L = 6 mE = 200 GPa (baja)

d = mm

11.Getaran mekanisSedang

Massa 100 kg pada pegas dengan kekakuan 20 kN/m memiliki peredam viskos yang memberikan rasio redaman 0,4. Cari frekuensi alami teredam f_d getaran bebasnya dalam Hz.

m = 100 kgk = 20 kN/mζ = 0,4

f_d = Hz

12.Getaran mekanisSulit

Massa 25 kg tergantung pada dua pegas berdampingan (paralel), dengan kekakuan k₁ = 40 kN/m dan k₂ = 20 kN/m. Massa tetap datar. Abaikan redaman dan massa pegas. Cari frekuensi alami f_n getaran vertikal dalam Hz.

m = 25 kgk₁ = 40 kN/mk₂ = 20 kN/m

f_n = Hz

3Larutan

1.Roda gigi & rangkaian roda gigi

Jawaban: n_w = 42,67 rpm

Gear trains: meshing gears have the same speed at the teeth, so n₁·N₁ = n₂·N₂: the gear with fewer teeth turns faster. Gears on one shaft turn at the same speed. Power is passed on (minus losses), so torque goes up when speed goes down: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, and P = T·ω with ω = 2π·n/60.

Kecepatan roda

n_w = n·z/N_w = 960·2/45 = 42,67 rpm

Jawaban

n_w = 42,67 rpm

2.Roda gigi & rangkaian roda gigi

Jawaban: n_out = 232 rpm

Rangkaian roda gigi: roda gigi yang berpasangan memiliki kecepatan yang sama di giginya, sehingga n₁·N₁ = n₂·N₂: roda gigi dengan jumlah gigi lebih sedikit berputar lebih cepat. Roda gigi pada satu poros berputar dengan kecepatan yang sama. Daya diteruskan (dikurangi rugi-rugi), sehingga torsi naik ketika putaran turun: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, dan P = T·ω dengan ω = 2π·n/60.

Tingkat pertama

n_B = 1450·18/36 = 725 rpm = n_C

Tingkat kedua

n_out = 725·16/50 = 232 rpm

Jawaban

n_out = 232 rpm

rasio total = 6,25 : 1

3.Torsi poros

Jawaban: φ_C = 10,36 °

Torsi poros bulat: tegangan geser naik linear dari nol di pusat hingga τ_max = T·r/J di permukaan, dengan J = πd⁴/32 untuk poros pejal dan J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 untuk poros berongga. Sudut puntir φ = TL/(GJ) dalam radian. Daya dan torsi berhubungan melalui P = T·ω.

Momen inersia polar

J₁ = π·60⁴/32 = 1,272 × 10⁶ mm⁴

J₂ = π·50⁴/32 = 613592 mm⁴

Puntiran tiap segmen

T = 1000 N·m = 1 × 10⁶ N·mm

G = 26 GPa = 26000 MPa

φ_AB = 1 × 10⁶·800/(26000·1,272 × 10⁶) = 0,02418 rad

φ_BC = 1 × 10⁶·2500/(26000·613592) = 0,1567 rad

Puntiran total

φ_C = 0,02418 + 0,1567 = 0,1809 rad = 10,36°

Jawaban

φ_C = 10,36°

4.Torsi poros

Jawaban: d = 34,35 mm

Torsi

ω = 2πN/60 = 2π·300/60 = 31,42 rad/s

T = P/ω = 20000/31,42 = 636,6 N·m

Diameter dari tegangan izin

d = ∛(16T/(π·τ_allow)) = ∛(16·636620/(π·80)) = 34,35 mm

Jawaban

d = 34,35 mm

Dalam praktik Anda membulatkan ke ukuran standar berikutnya.

5.Lingkaran Mohr & transformasi tegangan

Jawaban: θ_s = 19,9 °

Transformasi tegangan bidang: pada bidang yang diputar sebesar θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Lingkaran Mohr menampilkan semua bidang sekaligus: pusatnya di C = (σₓ + σᵧ)/2 dan jari-jarinya R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Tegangan utama adalah C ± R, dan tegangan geser terbesar dalam bidang adalah R.

Sudut pada lingkaran

Pada lingkaran Mohr titik puncak (+R) berjarak 90° dari titik utama σ₁; pada elemen itu sama dengan 45°.

cos 2θ_s = 30/39,05 = 0,7682, sin 2θ_s = −(−25)/39,05 = 0,6402

2θ_s = atan2(25, 30) = 39,81°

Sudut pada elemen

θ_s = 19,9°

periksa: θ_s − θ_p = 19,9 − 64,9 = −45°

Jawaban

θ_s = 19,9°

Sudut positif berlawanan arah jarum jam.

6.Lingkaran Mohr & transformasi tegangan

Jawaban: σ₁ = 32,68 MPa

Tegangan di permukaan

σ = F/A = −100000/(π·60²/4) = −100000/2827 = −35,37 MPa

τ = 16T/(πd³) = 16·2000000/(π·60³) = 47,16 MPa

Lingkaran Mohr

C = σ/2 = −17,68 MPa

R = √((−17,68)² + 47,16²) = 50,36 MPa

σ₁ = C + R = 32,68 MPa

σ₂ = C − R = −68,05 MPa

Jawaban

σ₁ = 32,68 MPa

7.Tegangan & regangan aksial

Jawaban: δ = 0,07531 mm

Dua bahan: pada susunan seri (satu demi satu) setiap segmen menahan gaya yang sama dan perpanjangannya dijumlahkan: δ = P·Σ L/(E·A). Pada susunan paralel (berdampingan di antara pelat kaku) kedua bagian memendek sama besar, sehingga regangannya sama: bagian yang lebih kaku menanggung bagian yang lebih besar, P_i = P·E_iA_i/ΣEA, dan σ_i = E_i·ε. Batang yang ditahan di antara dua dinding kaku dengan beban di sambungan adalah statis tak tentu: kedua segmen membagi beban sebanding dengan kekakuannya k = EA/L.

Luas

A_r = π·20²/4 = 314,2 mm²

A_t = π(120² − 60²)/4 = 8482 mm²

Kekakuan aksial gabungan

ΣEA = 200·10³·314,2 + 110·10³·8482 = 9,959 × 10⁸ N

Pemendekan

δ = 250000·300/9,959 × 10⁸ = 0,07531 mm

Jawaban

δ = 0,07531 mm

8.Tegangan & regangan aksial

Jawaban: δ = 2,468 mm

Batang beban aksial: setiap segmen prismatis mengikuti δ = PL/(AE). Untuk segmen seri, pertambahan panjangnya dijumlahkan.

Gaya sama di kedua segmen

Ujung bebas menahan P, jadi setiap penampang batang menahan gaya aksial P yang sama. Hanya luas dan bahannya yang berubah.

A₁ = π·35²/4 = 962,1 mm², A₂ = π·16²/4 = 201,1 mm²

σ₁ = 72,76 MPa

σ₂ = 348,2 MPa

Jumlahkan pertambahan panjang segmen

δ₁ = σ₁L₁/E₁ = 72,76·2000/200000 = 0,7276 mm

δ₂ = σ₂L₂/E₂ = 348,2·500/100000 = 1,741 mm

δ = δ₁ + δ₂ = 2,468 mm

Jawaban

δ = 2,468 mm

9.Tekuk kolom

Jawaban: P_cr = 4,395 kN

Tekuk Euler: kolom langsing menjadi tidak stabil pada P_cr = π²EI/(KL)², dengan KL panjang efektif: K = 1 untuk sendi–sendi, 2 untuk jepit–bebas, 0,7 untuk jepit–sendi, dan 0,5 untuk jepit–jepit. Kolom menekuk terhadap sumbu dengan I terkecil. Rumus berlaku untuk kolom langsing yang tegangan kritisnya tetap di bawah tegangan leleh.

Momen inersia terkecil

Penampang bulat memiliki I yang sama terhadap setiap sumbu.

I = πd⁴/64 = π·60⁴/64 = 636173 mm⁴

Panjang efektif

KL = 2·5000 = 10000 mm

Beban kritis

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·70000·636173/10000² = 4395 N = 4,395 kN

Jawaban

P_cr = 4,395 kN

10.Tekuk kolom

Jawaban: d = 88,54 mm

Beban kritis yang diperlukan

P_cr = n·P = 2,5·135000 = 337500 N

KL = 0,7·6000 = 4200 mm

Selesaikan untuk diameter

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·337500·4200²/(π³·200000))^(1/4) = 88,54 mm

Jawaban

d = 88,54 mm

Periksa: kelangsingan KL/r adalah 189,8, jadi kolom langsing dan rumus Euler berlaku.

11.Getaran mekanis

Jawaban: f_d = 2,063 Hz

Getaran bebas sistem massa–pegas: frekuensi alami tak teredam adalah ω_n = √(k/m) dalam rad/s, dan f_n = ω_n/(2π) dalam Hz. Peredam viskos c memberikan rasio redaman ζ = c/c_c, dengan redaman kritis c_c = 2·√(k·m) = 2·m·ω_n. Sistem kurang teredam (ζ < 1) berosilasi pada ω_d = ω_n·√(1 − ζ²). Pegas paralel dijumlahkan, k = k₁ + k₂; pegas seri dijumlahkan sebagai kebalikan, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

Frekuensi alami tak teredam

ω_n = √(20000/100) = 14,14 rad/s

f_n = 14,14/(2π) = 2,251 Hz

Frekuensi alami teredam

f_d = f_n·√(1 − ζ²) = 2,251·√(1 − 0,4²) = 2,063 Hz

Jawaban

f_d = 2,063 Hz

12.Getaran mekanis

Jawaban: f_n = 7,797 Hz

Kekakuan ekivalen

Pegas berdampingan berbagi defleksi dan gayanya dijumlahkan, sehingga kekakuannya cukup dijumlahkan: k = k₁ + k₂.

k_eq = 40 + 20 = 60 kN/m

Frekuensi alami

ω_n = √(60000/25) = 48,99 rad/s

f_n = 48,99/(2π) = 7,797 Hz

Jawaban

f_n = 7,797 Hz

ExamProblems · examproblems.com/courses/machine-design