Perancangan Elemen Mesin: paket kilat

Lembar rumus, langkah-langkah metode utama untuk setiap topik, dan 12 soal latihan, dengan pembahasan lengkap di bagian belakang.

Soal baru Kembali ke mata kuliah

Di jendela cetak, pilih “Simpan sebagai PDF” untuk menyimpan salinan di perangkat Anda.

1Rumus dan metode

Roda gigi & rangkaian roda gigi

Roda gigi yang berpasangan: n₁·N₁ = n₂·N₂
Torsi: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η
Daya: P = T·ω, ω = 2π·n/60
Rangkaian roda gigi majemuk: rasio total = hasil kali rasio setiap tingkat

Torsi poros

Tegangan geser: τ = T·r/J
Poros pejal: J = πd⁴/32
Poros berongga: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Sudut puntir: φ = TL/(GJ)
Daya: P = T·ω = 2πnT/60

Metode

Cari momen inersia polar: J = πd⁴/32 untuk poros pejal.
Tegangan geser di permukaan: τ = T·r/J, dengan r jari-jari luar.
Sudut puntir: φ = TL/(GJ) dalam radian.
Jika daya diketahui, cari torsi dulu dengan P = T·ω, ω = 2πn/60.

Lingkaran Mohr & transformasi tegangan

Pusat: C = (σ_x + σ_y)/2
Jari-jari: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Tegangan utama: σ_1,2 = C ± R
Arah utama: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Bidang miring: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Metode

Hitung pusat lingkaran Mohr: C = (σx + σy)/2.
Hitung jari-jarinya: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Tegangan utama adalah C ± R dan tegangan geser bidang terbesar adalah R.
Sudut pada lingkaran adalah dua kali sudut pada elemen: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Tegangan & regangan aksial

Tegangan normal: σ = F/A
Regangan: ε = ΔL/L
Hukum Hooke: σ = E·ε
Pertambahan panjang: ΔL = FL/(EA)
Regangan termal: ε_T = α·ΔT

Tekuk kolom

Beban Euler: P_cr = π²EI/(KL)²
Faktor panjang efektif: K = 1 sendi–sendi, 0,5 jepit–jepit, 0,7 jepit–sendi, 2 jepit–bebas
Tegangan kritis: σ_cr = P_cr/A
Kelangsingan: λ = KL/r, r = √(I/A)

Getaran mekanis

Frekuensi alami: ω_n = √(k/m), f_n = ω_n/(2π)
Dari defleksi statis: ω_n = √(g/δ_st)
Redaman kritis: c_c = 2√(km) = 2mω_n
Rasio redaman: ζ = c/c_c
Frekuensi teredam: ω_d = ω_n√(1 − ζ²)
Dekremen logaritmik: δ = (1/n)·ln(x₀/x_n), ζ = δ/√(4π² + δ²)
Pegas paralel: k = k₁ + k₂
Pegas seri: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

2Soal latihan

1.Roda gigi & rangkaian roda gigiSedang

Sebuah sabuk berjalan pada puli penggerak 100 mm pada 1440 rpm. Tegangannya 1200 N pada sisi tarik dan 480 N pada sisi kendor. Cari daya P yang ditransmisikan, dalam kW.

d₁ = 100 mmn₁ = 1440 rpmT₁ = 1200 NT₂ = 480 N

P = kW

2.Roda gigi & rangkaian roda gigiSulit

Dalam rangkaian roda gigi majemuk, roda gigi A (72 gigi) pada poros masukan yang berputar pada 1450 rpm menggerakkan roda gigi B (80 gigi). Roda gigi C (20 gigi) terpasang pada poros yang sama dengan B dan menggerakkan roda gigi D (60 gigi) pada poros keluaran. Cari putaran keluaran n_out.

n_in = 1450 rpmA = 72B = 80C = 20D = 60

n_out = rpm

3.Torsi porosSedang

Poros kuningan berongga (diameter luar 60 mm, diameter dalam 42 mm, panjang 0,8 m) dijepit di satu ujung dan dipuntir oleh torsi 1500 N·m di ujung lainnya. Cari sudut puntir φ dalam derajat.

T = 1500 N·md_o = 60 mmd_i = 42 mmL = 0,8 mG = 39 GPa

φ = °

4.Torsi porosSulit

Poros baja pejal berdiameter 50 mm dijepit di A. Torsi 100 N·m bekerja di B, 1,2 m dari A, dan torsi 250 N·m dengan arah berlawanan bekerja di ujung bebas C, 1 m lebih jauh. Cari tegangan geser maksimum τ_max pada poros.

d = 50 mmT_B = 100 N·mT_C = 250 N·mAB = 1,2 mBC = 1 m

τ_max = MPa

5.Lingkaran Mohr & transformasi teganganSedang

Suatu titik pada pelat tipis berada dalam tegangan bidang: σₓ = 80 MPa, σᵧ = 70 MPa, dan τₓᵧ = 20 MPa, dengan σ_z = 0. Cari tegangan geser maksimum absolut τ_abs di titik itu (dengan meninjau semua bidang dalam tiga dimensi).

σ_x = 80 MPaσ_y = 70 MPaτ_xy = 20 MPaσ_z = 0

τ_abs = MPa

6.Lingkaran Mohr & transformasi teganganSulit

Sebuah titik pada komponen yang dibebani memiliki σₓ = −50 MPa, σᵧ = 60 MPa, dan τₓᵧ = 60 MPa (tarik positif). Cari tegangan normal σ_θ pada bidang yang normalnya diputar 60° berlawanan arah jarum jam dari sumbu x.

σ_x = −50 MPaσ_y = 60 MPaτ_xy = 60 MPaθ = 60°

σ_θ = MPa

7.Tegangan & regangan aksialSedang

Cari regangan aksial ε pada batang tembaga, dalam mikroregangan (µε = 10⁻⁶).

P = 60 kNd = 25 mmL = 3 mE = 117 GPa

ε = µε

8.Tegangan & regangan aksialSulit

Sebuah batang baja (diameter 20 mm, E = 200 GPa, tegangan izin 120 MPa) berada di dalam tabung dari kuningan (diameter luar 120 mm, diameter dalam 70 mm, E = 100 GPa, tegangan izin 60 MPa). Keduanya ditekan bersama di antara pelat kaku. Cari beban terbesar P_max.

batang: Ø20 mm, E = 200 GPa, σ_allow = 120 MPatabung: Ø120/Ø70 mm, E = 100 GPa, σ_allow = 60 MPa

P_max = kN

9.Tekuk kolomSedang

Kolom sepanjang L dari aluminium dengan tumpuan sendi di kedua ujung. Dengan rumus Euler, cari beban tekuk kritisnya P_cr.

L = 2 mE = 70 GPa (aluminium)d = 30 mm

P_cr = kN

10.Tekuk kolomSulit

Kolom bulat pejal sepanjang L dari aluminium dengan tumpuan jepit di bawah dan bebas di atas. Kolom harus menahan 10 kN dengan faktor keamanan 3 terhadap tekuk. Cari diameter terkecil d.

P = 10 kNn = 3L = 4 mE = 70 GPa (aluminium)

d = mm

11.Getaran mekanisSedang

Massa 250 kg pada pegas dengan kekakuan 50 kN/m memiliki peredam viskos yang memberikan rasio redaman 0,7. Cari frekuensi alami teredam f_d getaran bebasnya dalam Hz.

m = 250 kgk = 50 kN/mζ = 0,7

f_d = Hz

12.Getaran mekanisSulit

Massa 10 kg tergantung pada dua pegas berdampingan (paralel), dengan kekakuan k₁ = 80 kN/m dan k₂ = 60 kN/m. Massa tetap datar. Cari kekakuan ekivalen k_eq sistem pegas dalam kN/m.

m = 10 kgk₁ = 80 kN/mk₂ = 60 kN/m

k_eq = kN/m

3Larutan

1.Roda gigi & rangkaian roda gigi

Jawaban: P = 5,429 kW

Penggerak sabuk: tanpa slip, kedua puli memiliki kecepatan tepi yang sama v = π·d·n/60, sehingga n₁·d₁ = n₂·d₂ dan rasio kecepatan adalah d₂/d₁. Slip s membuat puli yang digerakkan sedikit lebih lambat: n₂ = n₁·(d₁/d₂)·(1 − s). Daya yang ditransmisikan adalah P = (T₁ − T₂)·v, dengan T₁ tegangan sisi tarik dan T₂ sisi kendor. Gesekan membatasi rasio tegangan: T₁/T₂ = e^μθ, dengan θ sudut kontak dalam radian pada puli yang lebih kecil; untuk sabuk terbuka θ = π − 2·asin((d₂ − d₁)/(2C)) dengan jarak sumbu C.

Kecepatan sabuk

v = 7,54 m/s

Daya

P = (1200 − 480)·7,54 = 5429 W = 5,429 kW

Jawaban

P = 5,429 kW

2.Roda gigi & rangkaian roda gigi

Jawaban: n_out = 435 rpm

Rangkaian roda gigi: roda gigi yang berpasangan memiliki kecepatan yang sama di giginya, sehingga n₁·N₁ = n₂·N₂: roda gigi dengan jumlah gigi lebih sedikit berputar lebih cepat. Roda gigi pada satu poros berputar dengan kecepatan yang sama. Daya diteruskan (dikurangi rugi-rugi), sehingga torsi naik ketika putaran turun: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, dan P = T·ω dengan ω = 2π·n/60.

Tingkat pertama

n_B = 1450·72/80 = 1305 rpm = n_C

Tingkat kedua

n_out = 1305·20/60 = 435 rpm

Jawaban

n_out = 435 rpm

rasio total = 3,333 : 1

3.Torsi poros

Jawaban: φ = 1,823 °

Torsi poros bulat: tegangan geser naik linear dari nol di pusat hingga τ_max = T·r/J di permukaan, dengan J = πd⁴/32 untuk poros pejal dan J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 untuk poros berongga. Sudut puntir φ = TL/(GJ) dalam radian. Daya dan torsi berhubungan melalui P = T·ω.

Momen inersia polar

J = π(60⁴ − 42⁴)/32 = 966855 mm⁴

Sudut puntir

T = 1500 N·m = 1,5 × 10⁶ N·mm

L = 0,8 m = 800 mm

G = 39 GPa = 39000 MPa

φ = TL/(GJ) = 1,5 × 10⁶·800/(39000·966855) = 0,03182 rad

φ = 0,03182·180/π = 1,823°

Jawaban

φ = 1,823°

4.Torsi poros

Jawaban: τ_max = 10,19 MPa

Torsi dalam

Arah T_C diambil sebagai positif.

T_BC = T_C = 250 N·m

T_AB = T_C − T_B = 250 − 100 = 150 N·m

Tegangan geser maksimum

Segmen dengan torsi dalam terbesar memiliki tegangan terbesar (diameter sama).

|T|_max = 250 N·m

τ_max = 16·250000/(π·50³) = 10,19 MPa

Jawaban

τ_max = 10,19 MPa

5.Lingkaran Mohr & transformasi tegangan

Jawaban: τ_abs = 47,81 MPa

Transformasi tegangan bidang: pada bidang yang diputar sebesar θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Lingkaran Mohr menampilkan semua bidang sekaligus: pusatnya di C = (σₓ + σᵧ)/2 dan jari-jarinya R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Tegangan utama adalah C ± R, dan tegangan geser terbesar dalam bidang adalah R. Dalam tiga dimensi, tegangan geser maksimum absolut adalah (σ_max − σ_min)/2 dari ketiga tegangan utama; pada tegangan bidang tegangan utama ketiga bernilai nol.

Tegangan utama sebidang

C = 75 MPa, R = √(5² + 20²) = 20,62 MPa

σ₁ = 95,62 MPa, σ₂ = 54,38 MPa, σ_z = 0

Lingkaran terbesar dari ketiganya

τ = max(|σ₁ − σ₂|, |σ₁|, |σ₂|)/2 = max(41,23, 95,62, 54,38)/2 = 47,81 MPa

Jawaban

τ_abs = 47,81 MPa

Di sini lingkaran di luar bidang yang menentukan: maksimum absolutnya lebih besar daripada maksimum sebidang R.

6.Lingkaran Mohr & transformasi tegangan

Jawaban: σ_θ = 84,46 MPa

Persamaan transformasi

σ_θ = 5 + −55·−0,5 + 60·0,866 = 84,46 MPa

Jawaban

σ_θ = 84,46 MPa

7.Tegangan & regangan aksial

Jawaban: ε = 1045 µε

Hukum Hooke: dalam daerah elastis σ = E·ε. Digabung dengan σ = P/A dan ε = δ/L menghasilkan δ = PL/(AE).

Tegangan

A = π·25²/4 = 490,9 mm²

σ = P/A = 60·1000/490,9 = 122,2 MPa

Regangan (hukum Hooke)

E for tembaga = 117 GPa = 117000 MPa.

ε = σ/E = 122,2/117000 = 0,001045 = 1045 µε

Jawaban

ε = 1045 µε

8.Tegangan & regangan aksial

Jawaban: P_max = 485,4 kN

Dua bahan: pada susunan seri (satu demi satu) setiap segmen menahan gaya yang sama dan perpanjangannya dijumlahkan: δ = P·Σ L/(E·A). Pada susunan paralel (berdampingan di antara pelat kaku) kedua bagian memendek sama besar, sehingga regangannya sama: bagian yang lebih kaku menanggung bagian yang lebih besar, P_i = P·E_iA_i/ΣEA, dan σ_i = E_i·ε. Batang yang ditahan di antara dua dinding kaku dengan beban di sambungan adalah statis tak tentu: kedua segmen membagi beban sebanding dengan kekakuannya k = EA/L.

Luas

A_r = π·20²/4 = 314,2 mm²

A_t = π(120² − 70²)/4 = 7461 mm²

Kekakuan aksial gabungan

ΣEA = 200·10³·314,2 + 100·10³·7461 = 8,09 × 10⁸ N

Regangan penentu

ε = min(0,0006, 0,0006) = 0,0006 (kuningan)

Beban terbesar

P_max = 0,0006·8,09 × 10⁸ = 485376 N = 485,4 kN

Jawaban

P_max = 485,4 kN

9.Tekuk kolom

Jawaban: P_cr = 6,867 kN

Tekuk Euler: kolom langsing menjadi tidak stabil pada P_cr = π²EI/(KL)², dengan KL panjang efektif: K = 1 untuk sendi–sendi, 2 untuk jepit–bebas, 0,7 untuk jepit–sendi, dan 0,5 untuk jepit–jepit. Kolom menekuk terhadap sumbu dengan I terkecil. Rumus berlaku untuk kolom langsing yang tegangan kritisnya tetap di bawah tegangan leleh.

Momen inersia terkecil

Penampang bulat memiliki I yang sama terhadap setiap sumbu.

I = πd⁴/64 = π·30⁴/64 = 39761 mm⁴

Panjang efektif

KL = 1·2000 = 2000 mm

Beban kritis

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·70000·39761/2000² = 6867 N = 6,867 kN

Jawaban

P_cr = 6,867 kN

10.Tekuk kolom

Jawaban: d = 86,74 mm

Beban kritis yang diperlukan

P_cr = n·P = 3·10000 = 30000 N

KL = 2·4000 = 8000 mm

Selesaikan untuk diameter

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·30000·8000²/(π³·70000))^(1/4) = 86,74 mm

Jawaban

d = 86,74 mm

Periksa: kelangsingan KL/r adalah 368,9, jadi kolom langsing dan rumus Euler berlaku.

11.Getaran mekanis

Jawaban: f_d = 1,607 Hz

Getaran bebas sistem massa–pegas: frekuensi alami tak teredam adalah ω_n = √(k/m) dalam rad/s, dan f_n = ω_n/(2π) dalam Hz. Peredam viskos c memberikan rasio redaman ζ = c/c_c, dengan redaman kritis c_c = 2·√(k·m) = 2·m·ω_n. Sistem kurang teredam (ζ < 1) berosilasi pada ω_d = ω_n·√(1 − ζ²). Pegas paralel dijumlahkan, k = k₁ + k₂; pegas seri dijumlahkan sebagai kebalikan, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

Frekuensi alami tak teredam

ω_n = √(50000/250) = 14,14 rad/s

f_n = 14,14/(2π) = 2,251 Hz

Frekuensi alami teredam

f_d = f_n·√(1 − ζ²) = 2,251·√(1 − 0,7²) = 1,607 Hz

Jawaban

f_d = 1,607 Hz

12.Getaran mekanis

Jawaban: k_eq = 140 kN/m

Kekakuan ekivalen

Pegas berdampingan berbagi defleksi dan gayanya dijumlahkan, sehingga kekakuannya cukup dijumlahkan: k = k₁ + k₂.

k_eq = 80 + 60 = 140 kN/m

Jawaban

k_eq = 140 kN/m

ExamProblems · examproblems.com/courses/machine-design