Perancangan Elemen Mesin: paket kilat

Lembar rumus, langkah-langkah metode utama untuk setiap topik, dan 12 soal latihan, dengan pembahasan lengkap di bagian belakang.

Soal baru Kembali ke mata kuliah

Di jendela cetak, pilih “Simpan sebagai PDF” untuk menyimpan salinan di perangkat Anda.

1Rumus dan metode

Roda gigi & rangkaian roda gigi

Roda gigi yang berpasangan: n₁·N₁ = n₂·N₂
Torsi: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η
Daya: P = T·ω, ω = 2π·n/60
Rangkaian roda gigi majemuk: rasio total = hasil kali rasio setiap tingkat

Torsi poros

Tegangan geser: τ = T·r/J
Poros pejal: J = πd⁴/32
Poros berongga: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Sudut puntir: φ = TL/(GJ)
Daya: P = T·ω = 2πnT/60

Metode

Cari momen inersia polar: J = πd⁴/32 untuk poros pejal.
Tegangan geser di permukaan: τ = T·r/J, dengan r jari-jari luar.
Sudut puntir: φ = TL/(GJ) dalam radian.
Jika daya diketahui, cari torsi dulu dengan P = T·ω, ω = 2πn/60.

Lingkaran Mohr & transformasi tegangan

Pusat: C = (σ_x + σ_y)/2
Jari-jari: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Tegangan utama: σ_1,2 = C ± R
Arah utama: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Bidang miring: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Metode

Hitung pusat lingkaran Mohr: C = (σx + σy)/2.
Hitung jari-jarinya: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Tegangan utama adalah C ± R dan tegangan geser bidang terbesar adalah R.
Sudut pada lingkaran adalah dua kali sudut pada elemen: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Tegangan & regangan aksial

Tegangan normal: σ = F/A
Regangan: ε = ΔL/L
Hukum Hooke: σ = E·ε
Pertambahan panjang: ΔL = FL/(EA)
Regangan termal: ε_T = α·ΔT

Tekuk kolom

Beban Euler: P_cr = π²EI/(KL)²
Faktor panjang efektif: K = 1 sendi–sendi, 0,5 jepit–jepit, 0,7 jepit–sendi, 2 jepit–bebas
Tegangan kritis: σ_cr = P_cr/A
Kelangsingan: λ = KL/r, r = √(I/A)

Getaran mekanis

Frekuensi alami: ω_n = √(k/m), f_n = ω_n/(2π)
Dari defleksi statis: ω_n = √(g/δ_st)
Redaman kritis: c_c = 2√(km) = 2mω_n
Rasio redaman: ζ = c/c_c
Frekuensi teredam: ω_d = ω_n√(1 − ζ²)
Dekremen logaritmik: δ = (1/n)·ln(x₀/x_n), ζ = δ/√(4π² + δ²)
Pegas paralel: k = k₁ + k₂
Pegas seri: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

2Soal latihan

1.Roda gigi & rangkaian roda gigiSedang

Puli 120 mm pada 960 rpm menggerakkan puli 200 mm dengan sabuk yang slipnya 3 %. Cari kecepatan n₂ puli yang digerakkan.

n₁ = 960 rpmd₁ = 120 mmd₂ = 200 mms = 3 %

n₂ = rpm

2.Roda gigi & rangkaian roda gigiSulit

Sebuah sabuk terbuka menghubungkan puli penggerak 200 mm pada 960 rpm ke puli 315 mm; jarak sumbunya 500 mm. Koefisien gesekan adalah 0,3 dan tegangan sisi tarik tidak boleh melebihi 600 N. Cari daya terbesar P yang dapat ditransmisikan sabuk tanpa slip, dalam kW (abaikan efek sentrifugal).

d₁ = 200 mmn₁ = 960 rpmd₂ = 315 mmC = 500 mmμ = 0,3T₁ = 600 N

P = kW

3.Torsi porosSedang

Poros aluminium pejal bertingkat dijepit di A. Segmen AB berdiameter 60 mm dan panjang 3 m; segmen BC berdiameter 30 mm dan panjang 2,5 m. Torsi 100 N·m bekerja di ujung bebas C. Cari sudut puntir φ_C ujung C, dalam derajat.

T = 100 N·md₁ = 60 mm, L₁ = 3 md₂ = 30 mm, L₂ = 2,5 mG = 26 GPa

φ_C = °

4.Torsi porosSulit

Poros baja pejal berdiameter 50 mm dijepit pada dinding kaku di kedua ujung A dan B. Torsi 1500 N·m diberikan di C, 2 m dari A dan 0,5 m dari B. Cari torsi reaksi T_A di dinding A.

d = 50 mmT₀ = 1500 N·ma = 2 mb = 0,5 m

T_A = N·m

5.Lingkaran Mohr & transformasi teganganSedang

Suatu titik memiliki σₓ = 30 MPa, σᵧ = 20 MPa, dan τₓᵧ = 60 MPa (tarik positif). Elemen diputar 15° berlawanan arah jarum jam. Cari tegangan normal σ_y′ pada muka elemen yang diputar yang tegak lurus sumbu y′ yang diputar.

σ_x = 30 MPaσ_y = 20 MPaτ_xy = 60 MPaθ = 15°

σ_y′ = MPa

6.Lingkaran Mohr & transformasi teganganSulit

Sebuah titik pada komponen yang dibebani memiliki σₓ = 150 MPa, σᵧ = −70 MPa, dan τₓᵧ = 50 MPa (tarik positif). Cari tegangan normal σ_θ pada bidang yang normalnya diputar 20° berlawanan arah jarum jam dari sumbu x.

σ_x = 150 MPaσ_y = −70 MPaτ_xy = 50 MPaθ = 20°

σ_θ = MPa

7.Tegangan & regangan aksialSedang

Cari regangan aksial ε pada batang baja, dalam mikroregangan (µε = 10⁻⁶).

P = 45 kNd = 16 mmL = 0,5 mE = 200 GPa

ε = µε

8.Tegangan & regangan aksialSulit

Sebuah batang baja (diameter 40 mm, E = 200 GPa, tegangan izin 200 MPa) berada di dalam tabung dari tembaga (diameter luar 80 mm, diameter dalam 60 mm, E = 120 GPa, tegangan izin 80 MPa). Keduanya ditekan bersama di antara pelat kaku. Cari beban terbesar P_max.

batang: Ø40 mm, E = 200 GPa, σ_allow = 200 MPatabung: Ø80/Ø60 mm, E = 120 GPa, σ_allow = 80 MPa

P_max = kN

9.Tekuk kolomSedang

Kolom sepanjang L dari baja dengan tumpuan sendi di kedua ujung. Dengan rumus Euler, cari beban tekuk kritisnya P_cr.

L = 2 mE = 200 GPa (baja)b × h = 20 × 60 mm

P_cr = kN

10.Tekuk kolomSulit

Kolom sepanjang L dari baja dengan tumpuan jepit di bawah dan sendi di atas. Cari kelangsingannya dan tegangan tekuk kritis σ_cr dari rumus Euler.

L = 1,5 mE = 200 GPa (baja)d = 25 mm

σ_cr = MPa

11.Getaran mekanisSedang

Massa 2 kg ditopang oleh pegas dengan kekakuan 12 kN/m dan peredam viskos dengan koefisien redaman 190 N·s/m. Cari rasio redaman ζ.

m = 2 kgk = 12 kN/mc = 190 N·s/m

ζ =

12.Getaran mekanisSulit

Massa 100 kg tergantung pada pegas k₃ = 20 kN/m. Ujung atas k₃ terpasang pada batang kaku yang tergantung pada dua pegas berdampingan, k₁ = 5 kN/m dan k₂ = 50 kN/m; batang tetap datar. Abaikan redaman serta massa pegas dan batang. Cari frekuensi alami f_n getaran vertikal dalam Hz.

m = 100 kgk₁ = 5 kN/mk₂ = 50 kN/mk₃ = 20 kN/m

f_n = Hz

3Larutan

1.Roda gigi & rangkaian roda gigi

Jawaban: n₂ = 558,7 rpm

Penggerak sabuk: tanpa slip, kedua puli memiliki kecepatan tepi yang sama v = π·d·n/60, sehingga n₁·d₁ = n₂·d₂ dan rasio kecepatan adalah d₂/d₁. Slip s membuat puli yang digerakkan sedikit lebih lambat: n₂ = n₁·(d₁/d₂)·(1 − s). Daya yang ditransmisikan adalah P = (T₁ − T₂)·v, dengan T₁ tegangan sisi tarik dan T₂ sisi kendor. Gesekan membatasi rasio tegangan: T₁/T₂ = e^μθ, dengan θ sudut kontak dalam radian pada puli yang lebih kecil; untuk sabuk terbuka θ = π − 2·asin((d₂ − d₁)/(2C)) dengan jarak sumbu C.

Kecepatan tanpa slip

960·120/200 = 576 rpm

Dengan slip

n₂ = 576·0,97 = 558,7 rpm

Jawaban

n₂ = 558,7 rpm

2.Roda gigi & rangkaian roda gigi

Jawaban: P = 3,513 kW

Sudut kontak

θ = 2,911 rad

Tegangan sisi kendor

e^μθ = e^0,8733 = 2,395, T₂ = 600/2,395 = 250,5 N

Daya

P = (600 − 250,5)·10,05 = 3,513 kW

Jawaban

P = 3,513 kW

3.Torsi poros

Jawaban: φ_C = 7,448 °

Momen inersia polar

J₁ = π·60⁴/32 = 1,272 × 10⁶ mm⁴

J₂ = π·30⁴/32 = 79522 mm⁴

Puntiran tiap segmen

T = 100 N·m = 100000 N·mm

G = 26 GPa = 26000 MPa

φ_AB = 100000·3000/(26000·1,272 × 10⁶) = 0,009069 rad

φ_BC = 100000·2500/(26000·79522) = 0,1209 rad

Puntiran total

φ_C = 0,009069 + 0,1209 = 0,13 rad = 7,448°

Jawaban

φ_C = 7,448°

4.Torsi poros

Jawaban: T_A = 300 N·m

Torsi poros bulat: tegangan geser naik linear dari nol di pusat hingga τ_max = T·r/J di permukaan, dengan J = πd⁴/32 untuk poros pejal dan J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 untuk poros berongga. Sudut puntir φ = TL/(GJ) dalam radian. Daya dan torsi berhubungan melalui P = T·ω. Jika kedua ujung dijepit, statika saja hanya memberi T_A + T_B = T₀; persamaan kedua adalah kompatibilitas (puntiran kedua bagian sama di penampang yang dibebani).

Kesetimbangan dan kompatibilitas

T_A + T_B = 1500

T_A·a = T_B·b

T_A = 1500·0,5/2,5 = 300 N·m

T_B = 1500·2/2,5 = 1200 N·m

Jawaban

T_A = 300 N·m

5.Lingkaran Mohr & transformasi tegangan

Jawaban: σ_y′ = −9,33 MPa

Transformasi tegangan bidang: pada bidang yang diputar sebesar θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Lingkaran Mohr menampilkan semua bidang sekaligus: pusatnya di C = (σₓ + σᵧ)/2 dan jari-jarinya R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Tegangan utama adalah C ± R, dan tegangan geser terbesar dalam bidang adalah R.

Persamaan transformasi untuk muka y′

σ_y′ = 25 − 5·0,866 − 60·0,5 = −9,33 MPa

Periksa

Jumlah tegangan normal tidak berubah karena rotasi.

σ_x′ = 59,33 MPa, σ_x′ + σ_y′ = 50 = σ_x + σ_y

Jawaban

σ_y′ = −9,33 MPa

6.Lingkaran Mohr & transformasi tegangan

Jawaban: σ_θ = 156,4 MPa

Persamaan transformasi

σ_θ = 40 + 110·0,766 + 50·0,6428 = 156,4 MPa

Jawaban

σ_θ = 156,4 MPa

7.Tegangan & regangan aksial

Jawaban: ε = 1119 µε

Hukum Hooke: dalam daerah elastis σ = E·ε. Digabung dengan σ = P/A dan ε = δ/L menghasilkan δ = PL/(AE).

Tegangan

A = π·16²/4 = 201,1 mm²

σ = P/A = 45·1000/201,1 = 223,8 MPa

Regangan (hukum Hooke)

E for baja = 200 GPa = 200000 MPa.

ε = σ/E = 223,8/200000 = 0,001119 = 1119 µε

Jawaban

ε = 1119 µε

8.Tegangan & regangan aksial

Jawaban: P_max = 343,5 kN

Dua bahan: pada susunan seri (satu demi satu) setiap segmen menahan gaya yang sama dan perpanjangannya dijumlahkan: δ = P·Σ L/(E·A). Pada susunan paralel (berdampingan di antara pelat kaku) kedua bagian memendek sama besar, sehingga regangannya sama: bagian yang lebih kaku menanggung bagian yang lebih besar, P_i = P·E_iA_i/ΣEA, dan σ_i = E_i·ε. Batang yang ditahan di antara dua dinding kaku dengan beban di sambungan adalah statis tak tentu: kedua segmen membagi beban sebanding dengan kekakuannya k = EA/L.

Luas

A_r = π·40²/4 = 1257 mm²

A_t = π(80² − 60²)/4 = 2199 mm²

Kekakuan aksial gabungan

ΣEA = 200·10³·1257 + 120·10³·2199 = 5,152 × 10⁸ N

Regangan penentu

ε = min(0,001, 0,0006667) = 0,0006667 (tembaga)

Beban terbesar

P_max = 0,0006667·5,152 × 10⁸ = 343481 N = 343,5 kN

Jawaban

P_max = 343,5 kN

9.Tekuk kolom

Jawaban: P_cr = 19,74 kN

Tekuk Euler: kolom langsing menjadi tidak stabil pada P_cr = π²EI/(KL)², dengan KL panjang efektif: K = 1 untuk sendi–sendi, 2 untuk jepit–bebas, 0,7 untuk jepit–sendi, dan 0,5 untuk jepit–jepit. Kolom menekuk terhadap sumbu dengan I terkecil. Rumus berlaku untuk kolom langsing yang tegangan kritisnya tetap di bawah tegangan leleh.

Momen inersia terkecil

Persegi panjang menekuk terhadap sumbu lemahnya, dengan dimensi terkecil dipangkatkan tiga.

I_min = h·b³/12 = 60·20³/12 = 40000 mm⁴

Panjang efektif

KL = 1·2000 = 2000 mm

Beban kritis

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·40000/2000² = 19739 N = 19,74 kN

Jawaban

P_cr = 19,74 kN

10.Tekuk kolom

Jawaban: σ_cr = 69,94 MPa

Momen inersia terkecil

Penampang bulat memiliki I yang sama terhadap setiap sumbu.

I = πd⁴/64 = π·25⁴/64 = 19175 mm⁴

Jari-jari girasi dan kelangsingan

A = 490,9 mm²

r = √(I/A) = √(19175/490,9) = 6,25 mm

KL = 0,7·1500 = 1050 mm

KL/r = 1050/6,25 = 168

Tegangan kritis

σ_cr = π²E/(KL/r)² = π²·200000/168² = 69,94 MPa

Jawaban

σ_cr = 69,94 MPa

11.Getaran mekanis

Jawaban: ζ = 0,6132

Getaran bebas sistem massa–pegas: frekuensi alami tak teredam adalah ω_n = √(k/m) dalam rad/s, dan f_n = ω_n/(2π) dalam Hz. Peredam viskos c memberikan rasio redaman ζ = c/c_c, dengan redaman kritis c_c = 2·√(k·m) = 2·m·ω_n. Sistem kurang teredam (ζ < 1) berosilasi pada ω_d = ω_n·√(1 − ζ²). Pegas paralel dijumlahkan, k = k₁ + k₂; pegas seri dijumlahkan sebagai kebalikan, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

Redaman kritis

c_c = 2·√(k·m) = 2·√(12000·2) = 309,8 N·s/m

Rasio redaman

ζ = c/c_c = 190/309,8 = 0,6132

Jawaban

ζ = 0,6132

ζ < 1, sehingga sistem kurang teredam dan berosilasi sambil meluruh.

12.Getaran mekanis

Jawaban: f_n = 1,927 Hz

Kekakuan ekivalen

Hanya k₁ dan k₂ yang paralel. Pasangan itu seri dengan k₃, jadi gabungkan sebagai kebalikan.

k₁₂ = 5 + 50 = 55 kN/m

k_eq = 55·20/(55 + 20) = 14,67 kN/m

Frekuensi alami

ω_n = √(14667/100) = 12,11 rad/s

f_n = 12,11/(2π) = 1,927 Hz

Jawaban

f_n = 1,927 Hz

ExamProblems · examproblems.com/courses/machine-design