Perancangan Elemen Mesin: paket kilat

Lembar rumus, langkah-langkah metode utama untuk setiap topik, dan 12 soal latihan, dengan pembahasan lengkap di bagian belakang.

Soal baru Kembali ke mata kuliah

Di jendela cetak, pilih “Simpan sebagai PDF” untuk menyimpan salinan di perangkat Anda.

1Rumus dan metode

Roda gigi & rangkaian roda gigi

Roda gigi yang berpasangan: n₁·N₁ = n₂·N₂
Torsi: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η
Daya: P = T·ω, ω = 2π·n/60
Rangkaian roda gigi majemuk: rasio total = hasil kali rasio setiap tingkat

Torsi poros

Tegangan geser: τ = T·r/J
Poros pejal: J = πd⁴/32
Poros berongga: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Sudut puntir: φ = TL/(GJ)
Daya: P = T·ω = 2πnT/60

Metode

Cari momen inersia polar: J = πd⁴/32 untuk poros pejal.
Tegangan geser di permukaan: τ = T·r/J, dengan r jari-jari luar.
Sudut puntir: φ = TL/(GJ) dalam radian.
Jika daya diketahui, cari torsi dulu dengan P = T·ω, ω = 2πn/60.

Lingkaran Mohr & transformasi tegangan

Pusat: C = (σ_x + σ_y)/2
Jari-jari: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Tegangan utama: σ_1,2 = C ± R
Arah utama: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Bidang miring: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Metode

Hitung pusat lingkaran Mohr: C = (σx + σy)/2.
Hitung jari-jarinya: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Tegangan utama adalah C ± R dan tegangan geser bidang terbesar adalah R.
Sudut pada lingkaran adalah dua kali sudut pada elemen: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Tegangan & regangan aksial

Tegangan normal: σ = F/A
Regangan: ε = ΔL/L
Hukum Hooke: σ = E·ε
Pertambahan panjang: ΔL = FL/(EA)
Regangan termal: ε_T = α·ΔT

Tekuk kolom

Beban Euler: P_cr = π²EI/(KL)²
Faktor panjang efektif: K = 1 sendi–sendi, 0,5 jepit–jepit, 0,7 jepit–sendi, 2 jepit–bebas
Tegangan kritis: σ_cr = P_cr/A
Kelangsingan: λ = KL/r, r = √(I/A)

Getaran mekanis

Frekuensi alami: ω_n = √(k/m), f_n = ω_n/(2π)
Dari defleksi statis: ω_n = √(g/δ_st)
Redaman kritis: c_c = 2√(km) = 2mω_n
Rasio redaman: ζ = c/c_c
Frekuensi teredam: ω_d = ω_n√(1 − ζ²)
Dekremen logaritmik: δ = (1/n)·ln(x₀/x_n), ζ = δ/√(4π² + δ²)
Pegas paralel: k = k₁ + k₂
Pegas seri: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

2Soal latihan

1.Roda gigi & rangkaian roda gigiSedang

Sebuah motor 1,1 kW pada 2900 rpm menggerakkan cacing dengan 1 ulir. Roda cacing memiliki 36 gigi dan efisiensi penggeraknya 50%. Cari torsi keluaran T_w pada poros roda cacing.

z = 1N_w = 36n = 2900 rpmP = 1,1 kWη = 50%

T_w = N·m

2.Roda gigi & rangkaian roda gigiSulit

Sebuah sabuk terbuka menghubungkan puli penggerak 160 mm pada 1440 rpm ke puli 450 mm; jarak sumbunya 600 mm. Koefisien gesekan adalah 0,25 dan tegangan sisi tarik tidak boleh melebihi 1500 N. Cari daya terbesar P yang dapat ditransmisikan sabuk tanpa slip, dalam kW (abaikan efek sentrifugal).

d₁ = 160 mmn₁ = 1440 rpmd₂ = 450 mmC = 600 mmμ = 0,25T₁ = 1500 N

P = kW

3.Torsi porosSedang

Poros aluminium berongga (diameter luar 50 mm, diameter dalam 35 mm, panjang 0,8 m) dijepit di satu ujung dan dipuntir oleh torsi 1500 N·m di ujung lainnya. Cari sudut puntir φ dalam derajat.

T = 1500 N·md_o = 50 mmd_i = 35 mmL = 0,8 mG = 26 GPa

φ = °

4.Torsi porosSulit

Poros aluminium pejal berdiameter 40 mm dijepit pada dinding kaku di kedua ujung A dan B. Torsi 400 N·m diberikan di C, 0,8 m dari A dan 3 m dari B. Cari tegangan geser maksimum τ_max pada poros.

d = 40 mmT₀ = 400 N·ma = 0,8 mb = 3 m

τ_max = MPa

5.Lingkaran Mohr & transformasi teganganSedang

Suatu titik memiliki σₓ = 20 MPa dan σᵧ = 60 MPa. Seberapa besar tegangan geser τ_xy (besarnya) dapat meningkat sebelum tegangan utama terbesar mencapai 75 MPa?

σ_x = 20 MPaσ_y = 60 MPaσ₁ = 75 MPa

τ_xy = MPa

6.Lingkaran Mohr & transformasi teganganSulit

Poros pejal berdiameter 60 mm menahan gaya tarik aksial sebesar 90 kN bersama torsi 750 N·m. Di permukaan poros, cari tegangan utama terbesar σ₁.

d = 60 mmF = 90 kNT = 750 N·m

σ₁ = MPa

7.Tegangan & regangan aksialSedang

Cari regangan aksial ε pada batang aluminium, dalam mikroregangan (µε = 10⁻⁶).

P = 65 kNd = 12 mmL = 1,5 mE = 70 GPa

ε = µε

8.Tegangan & regangan aksialSulit

Sebuah batang baja (diameter 25 mm, E = 200 GPa, tegangan izin 150 MPa) berada di dalam tabung dari perunggu (diameter luar 100 mm, diameter dalam 70 mm, E = 110 GPa, tegangan izin 80 MPa). Keduanya ditekan bersama di antara pelat kaku. Cari beban terbesar P_max.

batang: Ø25 mm, E = 200 GPa, σ_allow = 150 MPatabung: Ø100/Ø70 mm, E = 110 GPa, σ_allow = 80 MPa

P_max = kN

9.Tekuk kolomSedang

Kolom sepanjang L dari aluminium dengan tumpuan jepit di bawah dan sendi di atas. Dengan rumus Euler, cari beban tekuk kritisnya P_cr.

L = 4 mE = 70 GPa (aluminium)b × h = 20 × 100 mm

P_cr = kN

10.Tekuk kolomSulit

Kolom bulat pejal sepanjang L dari baja dengan tumpuan jepit di kedua ujung. Kolom harus menahan 55 kN dengan faktor keamanan 3 terhadap tekuk. Cari diameter terkecil d.

P = 55 kNn = 3L = 5 mE = 200 GPa (baja)

d = mm

11.Getaran mekanisSedang

Dalam uji getaran bebas sistem massa–pegas teredam, puncak simpangan 40 mm diikuti 2 siklus kemudian oleh puncak 5,9 mm. Cari rasio redaman ζ.

x₀ = 40 mmx₂ = 5,9 mmn = 2

ζ =

12.Getaran mekanisSulit

Massa 25 kg tergantung pada dua pegas berdampingan (paralel), dengan kekakuan k₁ = 100 kN/m dan k₂ = 80 kN/m. Massa tetap datar. Abaikan redaman dan massa pegas. Cari frekuensi alami f_n getaran vertikal dalam Hz.

m = 25 kgk₁ = 100 kN/mk₂ = 80 kN/m

f_n = Hz

3Larutan

1.Roda gigi & rangkaian roda gigi

Jawaban: T_w = 65,2 N·m

Gear trains: meshing gears have the same speed at the teeth, so n₁·N₁ = n₂·N₂: the gear with fewer teeth turns faster. Gears on one shaft turn at the same speed. Power is passed on (minus losses), so torque goes up when speed goes down: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, and P = T·ω with ω = 2π·n/60.

Kecepatan roda

n_w = n·z/N_w = 2900·1/36 = 80,56 rpm

Torsi keluaran

ω_w = 2π·80,56/60 = 8,436 rad/s

T_w = η·P/ω_w = 0,5·1100/8,436 = 65,2 N·m

Jawaban

T_w = 65,2 N·m

2.Roda gigi & rangkaian roda gigi

Jawaban: P = 8,774 kW

Penggerak sabuk: tanpa slip, kedua puli memiliki kecepatan tepi yang sama v = π·d·n/60, sehingga n₁·d₁ = n₂·d₂ dan rasio kecepatan adalah d₂/d₁. Slip s membuat puli yang digerakkan sedikit lebih lambat: n₂ = n₁·(d₁/d₂)·(1 − s). Daya yang ditransmisikan adalah P = (T₁ − T₂)·v, dengan T₁ tegangan sisi tarik dan T₂ sisi kendor. Gesekan membatasi rasio tegangan: T₁/T₂ = e^μθ, dengan θ sudut kontak dalam radian pada puli yang lebih kecil; untuk sabuk terbuka θ = π − 2·asin((d₂ − d₁)/(2C)) dengan jarak sumbu C.

Sudut kontak

θ = 2,653 rad

Tegangan sisi kendor

e^μθ = e^0,6634 = 1,941, T₂ = 1500/1,941 = 772,7 N

Daya

P = (1500 − 772,7)·12,06 = 8,774 kW

Jawaban

P = 8,774 kW

3.Torsi poros

Jawaban: φ = 5,671 °

Momen inersia polar

J = π(50⁴ − 35⁴)/32 = 466269 mm⁴

Sudut puntir

T = 1500 N·m = 1,5 × 10⁶ N·mm

L = 0,8 m = 800 mm

G = 26 GPa = 26000 MPa

φ = TL/(GJ) = 1,5 × 10⁶·800/(26000·466269) = 0,09899 rad

φ = 0,09899·180/π = 5,671°

Jawaban

φ = 5,671°

4.Torsi poros

Jawaban: τ_max = 25,13 MPa

Torsi poros bulat: tegangan geser naik linear dari nol di pusat hingga τ_max = T·r/J di permukaan, dengan J = πd⁴/32 untuk poros pejal dan J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 untuk poros berongga. Sudut puntir φ = TL/(GJ) dalam radian. Daya dan torsi berhubungan melalui P = T·ω. Jika kedua ujung dijepit, statika saja hanya memberi T_A + T_B = T₀; persamaan kedua adalah kompatibilitas (puntiran kedua bagian sama di penampang yang dibebani).

Kesetimbangan dan kompatibilitas

T_A + T_B = 400

T_A·a = T_B·b

T_A = 400·3/3,8 = 315,8 N·m

T_B = 400·0,8/3,8 = 84,21 N·m

Tegangan geser maksimum

Yang lebih besar dari kedua torsi yang menentukan (diameter sama).

τ_max = 16·315789/(π·40³) = 25,13 MPa

Jawaban

τ_max = 25,13 MPa

5.Lingkaran Mohr & transformasi tegangan

Jawaban: τ_xy = 28,72 MPa

Transformasi tegangan bidang: pada bidang yang diputar sebesar θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Lingkaran Mohr menampilkan semua bidang sekaligus: pusatnya di C = (σₓ + σᵧ)/2 dan jari-jarinya R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Tegangan utama adalah C ± R, dan tegangan geser terbesar dalam bidang adalah R.

Jari-jari yang diperlukan

C = (20 + 60)/2 = 40 MPa

R = σ₁ − C = 75 − 40 = 35 MPa

Tegangan geser

τ_xy = √(R² − ((σₓ − σᵧ)/2)²) = √(35² − 20²) = 28,72 MPa

Jawaban

τ_xy = 28,72 MPa

6.Lingkaran Mohr & transformasi tegangan

Jawaban: σ₁ = 39,71 MPa

Tegangan di permukaan

σ = F/A = 90000/(π·60²/4) = 90000/2827 = 31,83 MPa

τ = 16T/(πd³) = 16·750000/(π·60³) = 17,68 MPa

Lingkaran Mohr

C = σ/2 = 15,92 MPa

R = √(15,92² + 17,68²) = 23,79 MPa

σ₁ = C + R = 39,71 MPa

σ₂ = C − R = −7,876 MPa

Jawaban

σ₁ = 39,71 MPa

7.Tegangan & regangan aksial

Jawaban: ε = 8210 µε

Hukum Hooke: dalam daerah elastis σ = E·ε. Digabung dengan σ = P/A dan ε = δ/L menghasilkan δ = PL/(AE).

Tegangan

A = π·12²/4 = 113,1 mm²

σ = P/A = 65·1000/113,1 = 574,7 MPa

Regangan (hukum Hooke)

E for aluminium = 70 GPa = 70000 MPa.

ε = σ/E = 574,7/70000 = 0,00821 = 8210 µε

Jawaban

ε = 8210 µε

8.Tegangan & regangan aksial

Jawaban: P_max = 391,8 kN

Dua bahan: pada susunan seri (satu demi satu) setiap segmen menahan gaya yang sama dan perpanjangannya dijumlahkan: δ = P·Σ L/(E·A). Pada susunan paralel (berdampingan di antara pelat kaku) kedua bagian memendek sama besar, sehingga regangannya sama: bagian yang lebih kaku menanggung bagian yang lebih besar, P_i = P·E_iA_i/ΣEA, dan σ_i = E_i·ε. Batang yang ditahan di antara dua dinding kaku dengan beban di sambungan adalah statis tak tentu: kedua segmen membagi beban sebanding dengan kekakuannya k = EA/L.

Luas

A_r = π·25²/4 = 490,9 mm²

A_t = π(100² − 70²)/4 = 4006 mm²

Kekakuan aksial gabungan

ΣEA = 200·10³·490,9 + 110·10³·4006 = 5,388 × 10⁸ N

Regangan penentu

ε = min(0,00075, 0,0007273) = 0,0007273 (perunggu)

Beban terbesar

P_max = 0,0007273·5,388 × 10⁸ = 391842 N = 391,8 kN

Jawaban

P_max = 391,8 kN

9.Tekuk kolom

Jawaban: P_cr = 5,875 kN

Tekuk Euler: kolom langsing menjadi tidak stabil pada P_cr = π²EI/(KL)², dengan KL panjang efektif: K = 1 untuk sendi–sendi, 2 untuk jepit–bebas, 0,7 untuk jepit–sendi, dan 0,5 untuk jepit–jepit. Kolom menekuk terhadap sumbu dengan I terkecil. Rumus berlaku untuk kolom langsing yang tegangan kritisnya tetap di bawah tegangan leleh.

Momen inersia terkecil

Persegi panjang menekuk terhadap sumbu lemahnya, dengan dimensi terkecil dipangkatkan tiga.

I_min = h·b³/12 = 100·20³/12 = 66667 mm⁴

Panjang efektif

KL = 0,7·4000 = 2800 mm

Beban kritis

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·70000·66667/2800² = 5875 N = 5,875 kN

Jawaban

P_cr = 5,875 kN

10.Tekuk kolom

Jawaban: d = 57,12 mm

Beban kritis yang diperlukan

P_cr = n·P = 3·55000 = 165000 N

KL = 0,5·5000 = 2500 mm

Selesaikan untuk diameter

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·165000·2500²/(π³·200000))^(1/4) = 57,12 mm

Jawaban

d = 57,12 mm

Periksa: kelangsingan KL/r adalah 175,1, jadi kolom langsing dan rumus Euler berlaku.

11.Getaran mekanis

Jawaban: ζ = 0,1506

Getaran bebas sistem massa–pegas: frekuensi alami tak teredam adalah ω_n = √(k/m) dalam rad/s, dan f_n = ω_n/(2π) dalam Hz. Peredam viskos c memberikan rasio redaman ζ = c/c_c, dengan redaman kritis c_c = 2·√(k·m) = 2·m·ω_n. Sistem kurang teredam (ζ < 1) berosilasi pada ω_d = ω_n·√(1 − ζ²). Pegas paralel dijumlahkan, k = k₁ + k₂; pegas seri dijumlahkan sebagai kebalikan, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

Dekremen logaritmik

δ = (1/2)·ln(40/5,9) = 0,957

Rasio redaman

ζ = δ/√(4π² + δ²) = 0,957/√(39,48 + 0,9158) = 0,1506

Jawaban

ζ = 0,1506

12.Getaran mekanis

Jawaban: f_n = 13,5 Hz

Kekakuan ekivalen

Pegas berdampingan berbagi defleksi dan gayanya dijumlahkan, sehingga kekakuannya cukup dijumlahkan: k = k₁ + k₂.

k_eq = 100 + 80 = 180 kN/m

Frekuensi alami

ω_n = √(180000/25) = 84,85 rad/s

f_n = 84,85/(2π) = 13,5 Hz

Jawaban

f_n = 13,5 Hz

ExamProblems · examproblems.com/courses/machine-design