Perancangan Elemen Mesin: paket kilat

Lembar rumus, langkah-langkah metode utama untuk setiap topik, dan 12 soal latihan, dengan pembahasan lengkap di bagian belakang.

Soal baru Kembali ke mata kuliah

Di jendela cetak, pilih “Simpan sebagai PDF” untuk menyimpan salinan di perangkat Anda.

1Rumus dan metode

Roda gigi & rangkaian roda gigi

Roda gigi yang berpasangan: n₁·N₁ = n₂·N₂
Torsi: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η
Daya: P = T·ω, ω = 2π·n/60
Rangkaian roda gigi majemuk: rasio total = hasil kali rasio setiap tingkat

Torsi poros

Tegangan geser: τ = T·r/J
Poros pejal: J = πd⁴/32
Poros berongga: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Sudut puntir: φ = TL/(GJ)
Daya: P = T·ω = 2πnT/60

Metode

Cari momen inersia polar: J = πd⁴/32 untuk poros pejal.
Tegangan geser di permukaan: τ = T·r/J, dengan r jari-jari luar.
Sudut puntir: φ = TL/(GJ) dalam radian.
Jika daya diketahui, cari torsi dulu dengan P = T·ω, ω = 2πn/60.

Lingkaran Mohr & transformasi tegangan

Pusat: C = (σ_x + σ_y)/2
Jari-jari: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Tegangan utama: σ_1,2 = C ± R
Arah utama: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Bidang miring: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Metode

Hitung pusat lingkaran Mohr: C = (σx + σy)/2.
Hitung jari-jarinya: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Tegangan utama adalah C ± R dan tegangan geser bidang terbesar adalah R.
Sudut pada lingkaran adalah dua kali sudut pada elemen: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Tegangan & regangan aksial

Tegangan normal: σ = F/A
Regangan: ε = ΔL/L
Hukum Hooke: σ = E·ε
Pertambahan panjang: ΔL = FL/(EA)
Regangan termal: ε_T = α·ΔT

Tekuk kolom

Beban Euler: P_cr = π²EI/(KL)²
Faktor panjang efektif: K = 1 sendi–sendi, 0,5 jepit–jepit, 0,7 jepit–sendi, 2 jepit–bebas
Tegangan kritis: σ_cr = P_cr/A
Kelangsingan: λ = KL/r, r = √(I/A)

Getaran mekanis

Frekuensi alami: ω_n = √(k/m), f_n = ω_n/(2π)
Dari defleksi statis: ω_n = √(g/δ_st)
Redaman kritis: c_c = 2√(km) = 2mω_n
Rasio redaman: ζ = c/c_c
Frekuensi teredam: ω_d = ω_n√(1 − ζ²)
Dekremen logaritmik: δ = (1/n)·ln(x₀/x_n), ζ = δ/√(4π² + δ²)
Pegas paralel: k = k₁ + k₂
Pegas seri: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

2Soal latihan

1.Roda gigi & rangkaian roda gigiSedang

Puli 100 mm pada 1450 rpm menggerakkan puli 500 mm dengan sabuk yang slipnya 3 %. Cari kecepatan n₂ puli yang digerakkan.

n₁ = 1450 rpmd₁ = 100 mmd₂ = 500 mms = 3 %

n₂ = rpm

2.Roda gigi & rangkaian roda gigiSulit

Dalam rangkaian roda gigi majemuk, roda gigi A (30 gigi) pada poros masukan berputar pada 1440 rpm dan menggerakkan roda gigi B (36 gigi). Roda gigi C (24 gigi) terpasang pada poros yang sama dengan B dan menggerakkan roda gigi D pada poros keluaran. Keluaran harus berputar pada 640 rpm. Berapa jumlah gigi N_D yang harus dimiliki roda gigi D?

n_in = 1440 rpmA = 30B = 36C = 24n_out = 640 rpm

N_D =

3.Torsi porosSedang

Poros kuningan pejal sepanjang 3 m menahan torsi 400 N·m. Sudut puntir antara kedua ujungnya tidak boleh melebihi 1°. Cari diameter terkecil d yang memenuhi batas ini.

T = 400 N·mL = 3 mG = 39 GPaφ_allow = 1°

d = mm

4.Torsi porosSulit

Poros aluminium pejal berdiameter 40 mm dijepit pada dinding kaku di kedua ujung A dan B. Torsi 1500 N·m diberikan di C, 1,2 m dari A dan 2 m dari B. Cari sudut rotasi φ_C penampang C, dalam derajat.

d = 40 mmT₀ = 1500 N·ma = 1,2 mb = 2 mG = 26 GPa

φ_C = °

5.Lingkaran Mohr & transformasi teganganSedang

Suatu titik memiliki σₓ = 110 MPa dan σᵧ = 0 MPa. Seberapa besar tegangan geser τ_xy (besarnya) dapat meningkat sebelum tegangan utama terbesar mencapai 160 MPa?

σ_x = 110 MPaσ_y = 0 MPaσ₁ = 160 MPa

τ_xy = MPa

6.Lingkaran Mohr & transformasi teganganSulit

Poros pejal berdiameter 50 mm menahan gaya tarik aksial sebesar 120 kN bersama torsi 2000 N·m. Di permukaan poros, cari tegangan utama terbesar σ₁.

d = 50 mmF = 120 kNT = 2000 N·m

σ₁ = MPa

7.Tegangan & regangan aksialSedang

Sebuah batang terdiri dari segmen baja (diameter 30 mm, panjang 500 mm, E = 200 GPa) yang disambung ujung ke ujung dengan segmen dari tembaga (diameter 60 mm, panjang 300 mm, E = 120 GPa). Salah satu ujungnya dijepit dan ujung lainnya ditarik. Cari beban aksial P yang memanjangkannya sebesar 0,2 mm secara total.

segmen 1: baja, Ø30 mm, 500 mm, E = 200 GPasegmen 2: tembaga, Ø60 mm, 300 mm, E = 120 GPaδ = 0,2 mm

P = kN

8.Tegangan & regangan aksialSulit

Sebuah segmen baja (diameter 20 mm, panjang 400 mm, E = 200 GPa) dan segmen dari kuningan (diameter 30 mm, panjang 500 mm, E = 100 GPa) disambung ujung ke ujung dan dijepit di antara dua dinding kaku. Beban aksial 30 kN bekerja di sambungan, menuju segmen 2. Cari besar tegangan σ₂ pada segmen 2.

segmen 1: baja, Ø20 mm, 400 mm, E = 200 GPasegmen 2: kuningan, Ø30 mm, 500 mm, E = 100 GPaP = 30 kN

σ₂ = MPa

9.Tekuk kolomSedang

Kolom sepanjang L dari baja dengan tumpuan sendi di kedua ujung. Dengan rumus Euler, cari beban tekuk kritisnya P_cr.

L = 2 mE = 200 GPa (baja)b × h = 20 × 100 mm

P_cr = kN

10.Tekuk kolomSulit

Kolom bulat pejal sepanjang L dari baja dengan tumpuan jepit di bawah dan bebas di atas. Kolom harus menahan 10 kN dengan faktor keamanan 2 terhadap tekuk. Cari diameter terkecil d.

P = 10 kNn = 2L = 1 mE = 200 GPa (baja)

d = mm

11.Getaran mekanisSedang

Massa 15 kg ditopang oleh pegas dengan kekakuan 25 kN/m dan peredam viskos dengan koefisien redaman 240 N·s/m. Cari rasio redaman ζ.

m = 15 kgk = 25 kN/mc = 240 N·s/m

ζ =

12.Getaran mekanisSulit

Massa 20 kg tergantung pada dua pegas yang disambung ujung ke ujung (seri): pegas atas memiliki k₁ = 12 kN/m dan pegas bawah k₂ = 80 kN/m. Cari kekakuan ekivalen k_eq sistem pegas dalam kN/m.

m = 20 kgk₁ = 12 kN/mk₂ = 80 kN/m

k_eq = kN/m

3Larutan

1.Roda gigi & rangkaian roda gigi

Jawaban: n₂ = 281,3 rpm

Penggerak sabuk: tanpa slip, kedua puli memiliki kecepatan tepi yang sama v = π·d·n/60, sehingga n₁·d₁ = n₂·d₂ dan rasio kecepatan adalah d₂/d₁. Slip s membuat puli yang digerakkan sedikit lebih lambat: n₂ = n₁·(d₁/d₂)·(1 − s). Daya yang ditransmisikan adalah P = (T₁ − T₂)·v, dengan T₁ tegangan sisi tarik dan T₂ sisi kendor. Gesekan membatasi rasio tegangan: T₁/T₂ = e^μθ, dengan θ sudut kontak dalam radian pada puli yang lebih kecil; untuk sabuk terbuka θ = π − 2·asin((d₂ − d₁)/(2C)) dengan jarak sumbu C.

Kecepatan tanpa slip

1450·100/500 = 290 rpm

Dengan slip

n₂ = 290·0,97 = 281,3 rpm

Jawaban

n₂ = 281,3 rpm

2.Roda gigi & rangkaian roda gigi

Jawaban: N_D = 45

Rangkaian roda gigi: roda gigi yang berpasangan memiliki kecepatan yang sama di giginya, sehingga n₁·N₁ = n₂·N₂: roda gigi dengan jumlah gigi lebih sedikit berputar lebih cepat. Roda gigi pada satu poros berputar dengan kecepatan yang sama. Daya diteruskan (dikurangi rugi-rugi), sehingga torsi naik ketika putaran turun: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, dan P = T·ω dengan ω = 2π·n/60.

Kecepatan poros antara

n_B = n_C = 1440·30/36 = 1200 rpm

Jumlah gigi roda gigi D

N_D = C·n_C/n_out = 24·1200/640 = 45

Jawaban

N_D = 45

3.Torsi poros

Jawaban: d = 65,1 mm

Momen inersia polar yang diperlukan

T = 400 N·m = 400000 N·mm

L = 3 m = 3000 mm

G = 39 GPa = 39000 MPa

φ = 1·π/180 = 0,01745 rad

J = TL/(Gφ) = 400000·3000/(39000·0,01745) = 1,763 × 10⁶ mm⁴

Diameter

d = (32J/π)^1/4 = 65,1 mm

Jawaban

d = 65,1 mm

Dalam praktik Anda membulatkan ke ukuran standar berikutnya.

4.Torsi poros

Jawaban: φ_C = 9,864 °

Torsi poros bulat: tegangan geser naik linear dari nol di pusat hingga τ_max = T·r/J di permukaan, dengan J = πd⁴/32 untuk poros pejal dan J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 untuk poros berongga. Sudut puntir φ = TL/(GJ) dalam radian. Daya dan torsi berhubungan melalui P = T·ω. Jika kedua ujung dijepit, statika saja hanya memberi T_A + T_B = T₀; persamaan kedua adalah kompatibilitas (puntiran kedua bagian sama di penampang yang dibebani).

Kesetimbangan dan kompatibilitas

T_A + T_B = 1500

T_A·a = T_B·b

T_A = 1500·2/3,2 = 937,5 N·m

T_B = 1500·1,2/3,2 = 562,5 N·m

Rotasi C

Gunakan segmen AC: dijepit di A dan menahan T_A.

J = π·40⁴/32 = 251327 mm⁴

G = 26 GPa = 26000 MPa

φ_C = T_A·a/(GJ) = 937500·1200/(26000·251327) = 0,1722 rad = 9,864°

Jawaban

φ_C = 9,864°

5.Lingkaran Mohr & transformasi tegangan

Jawaban: τ_xy = 89,44 MPa

Transformasi tegangan bidang: pada bidang yang diputar sebesar θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Lingkaran Mohr menampilkan semua bidang sekaligus: pusatnya di C = (σₓ + σᵧ)/2 dan jari-jarinya R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Tegangan utama adalah C ± R, dan tegangan geser terbesar dalam bidang adalah R.

Jari-jari yang diperlukan

C = (110 + 0)/2 = 55 MPa

R = σ₁ − C = 160 − 55 = 105 MPa

Tegangan geser

τ_xy = √(R² − ((σₓ − σᵧ)/2)²) = √(105² − 55²) = 89,44 MPa

Jawaban

τ_xy = 89,44 MPa

6.Lingkaran Mohr & transformasi tegangan

Jawaban: σ₁ = 117,6 MPa

Tegangan di permukaan

σ = F/A = 120000/(π·50²/4) = 120000/1963 = 61,12 MPa

τ = 16T/(πd³) = 16·2000000/(π·50³) = 81,49 MPa

Lingkaran Mohr

C = σ/2 = 30,56 MPa

R = √(30,56² + 81,49²) = 87,03 MPa

σ₁ = C + R = 117,6 MPa

σ₂ = C − R = −56,47 MPa

Jawaban

σ₁ = 117,6 MPa

7.Tegangan & regangan aksial

Jawaban: P = 45,24 kN

Dua bahan: pada susunan seri (satu demi satu) setiap segmen menahan gaya yang sama dan perpanjangannya dijumlahkan: δ = P·Σ L/(E·A). Pada susunan paralel (berdampingan di antara pelat kaku) kedua bagian memendek sama besar, sehingga regangannya sama: bagian yang lebih kaku menanggung bagian yang lebih besar, P_i = P·E_iA_i/ΣEA, dan σ_i = E_i·ε. Batang yang ditahan di antara dua dinding kaku dengan beban di sambungan adalah statis tak tentu: kedua segmen membagi beban sebanding dengan kekakuannya k = EA/L.

Luas

A₁ = 706,9 mm², A₂ = 2827 mm²

Kelenturan

L₁/(E₁A₁) = 500/(200000·706,9) = 3,537 × 10⁻⁶ mm/N

L₂/(E₂A₂) = 300/(120000·2827) = 8,842 × 10⁻⁷ mm/N

Beban

P = 0,2/4,421 × 10⁻⁶ = 45239 N = 45,24 kN

Jawaban

P = 45,24 kN

8.Tegangan & regangan aksial

Jawaban: σ₂ = 20,1 MPa

Kekakuan

k₁ = 200000·314,2/400 = 157080 N/mm

k₂ = 100000·706,9/500 = 141372 N/mm

Bagian segmen 2

F₂ = 30000·141372/298451 = 14211 N

Tegangan

σ₂ = 14211/706,9 = 20,1 MPa (tekan)

Jawaban

σ₂ = 20,1 MPa

9.Tekuk kolom

Jawaban: P_cr = 32,9 kN

Tekuk Euler: kolom langsing menjadi tidak stabil pada P_cr = π²EI/(KL)², dengan KL panjang efektif: K = 1 untuk sendi–sendi, 2 untuk jepit–bebas, 0,7 untuk jepit–sendi, dan 0,5 untuk jepit–jepit. Kolom menekuk terhadap sumbu dengan I terkecil. Rumus berlaku untuk kolom langsing yang tegangan kritisnya tetap di bawah tegangan leleh.

Momen inersia terkecil

Persegi panjang menekuk terhadap sumbu lemahnya, dengan dimensi terkecil dipangkatkan tiga.

I_min = h·b³/12 = 100·20³/12 = 66667 mm⁴

Panjang efektif

KL = 1·2000 = 2000 mm

Beban kritis

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·66667/2000² = 32899 N = 32,9 kN

Jawaban

P_cr = 32,9 kN

10.Tekuk kolom

Jawaban: d = 30,14 mm

Beban kritis yang diperlukan

P_cr = n·P = 2·10000 = 20000 N

KL = 2·1000 = 2000 mm

Selesaikan untuk diameter

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·20000·2000²/(π³·200000))^(1/4) = 30,14 mm

Jawaban

d = 30,14 mm

Periksa: kelangsingan KL/r adalah 265,4, jadi kolom langsing dan rumus Euler berlaku.

11.Getaran mekanis

Jawaban: ζ = 0,196

Getaran bebas sistem massa–pegas: frekuensi alami tak teredam adalah ω_n = √(k/m) dalam rad/s, dan f_n = ω_n/(2π) dalam Hz. Peredam viskos c memberikan rasio redaman ζ = c/c_c, dengan redaman kritis c_c = 2·√(k·m) = 2·m·ω_n. Sistem kurang teredam (ζ < 1) berosilasi pada ω_d = ω_n·√(1 − ζ²). Pegas paralel dijumlahkan, k = k₁ + k₂; pegas seri dijumlahkan sebagai kebalikan, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

Redaman kritis

c_c = 2·√(k·m) = 2·√(25000·15) = 1225 N·s/m

Rasio redaman

ζ = c/c_c = 240/1225 = 0,196

Jawaban

ζ = 0,196

ζ < 1, sehingga sistem kurang teredam dan berosilasi sambil meluruh.

12.Getaran mekanis

Jawaban: k_eq = 10,43 kN/m

Kekakuan ekivalen

Pegas seri menerima gaya yang sama dan defleksinya dijumlahkan, sehingga digabung sebagai kebalikan: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

1/k_eq = 1/12 + 1/80 → k_eq = 12·80/(12 + 80) = 10,43 kN/m

Jawaban

k_eq = 10,43 kN/m

ExamProblems · examproblems.com/courses/machine-design