Perancangan Elemen Mesin: paket kilat

Lembar rumus, langkah-langkah metode utama untuk setiap topik, dan 12 soal latihan, dengan pembahasan lengkap di bagian belakang.

Soal baru Kembali ke mata kuliah

Di jendela cetak, pilih “Simpan sebagai PDF” untuk menyimpan salinan di perangkat Anda.

1Rumus dan metode

Roda gigi & rangkaian roda gigi

Roda gigi yang berpasangan: n₁·N₁ = n₂·N₂
Torsi: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η
Daya: P = T·ω, ω = 2π·n/60
Rangkaian roda gigi majemuk: rasio total = hasil kali rasio setiap tingkat

Torsi poros

Tegangan geser: τ = T·r/J
Poros pejal: J = πd⁴/32
Poros berongga: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Sudut puntir: φ = TL/(GJ)
Daya: P = T·ω = 2πnT/60

Metode

Cari momen inersia polar: J = πd⁴/32 untuk poros pejal.
Tegangan geser di permukaan: τ = T·r/J, dengan r jari-jari luar.
Sudut puntir: φ = TL/(GJ) dalam radian.
Jika daya diketahui, cari torsi dulu dengan P = T·ω, ω = 2πn/60.

Lingkaran Mohr & transformasi tegangan

Pusat: C = (σ_x + σ_y)/2
Jari-jari: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Tegangan utama: σ_1,2 = C ± R
Arah utama: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Bidang miring: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Metode

Hitung pusat lingkaran Mohr: C = (σx + σy)/2.
Hitung jari-jarinya: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Tegangan utama adalah C ± R dan tegangan geser bidang terbesar adalah R.
Sudut pada lingkaran adalah dua kali sudut pada elemen: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Tegangan & regangan aksial

Tegangan normal: σ = F/A
Regangan: ε = ΔL/L
Hukum Hooke: σ = E·ε
Pertambahan panjang: ΔL = FL/(EA)
Regangan termal: ε_T = α·ΔT

Tekuk kolom

Beban Euler: P_cr = π²EI/(KL)²
Faktor panjang efektif: K = 1 sendi–sendi, 0,5 jepit–jepit, 0,7 jepit–sendi, 2 jepit–bebas
Tegangan kritis: σ_cr = P_cr/A
Kelangsingan: λ = KL/r, r = √(I/A)

Getaran mekanis

Frekuensi alami: ω_n = √(k/m), f_n = ω_n/(2π)
Dari defleksi statis: ω_n = √(g/δ_st)
Redaman kritis: c_c = 2√(km) = 2mω_n
Rasio redaman: ζ = c/c_c
Frekuensi teredam: ω_d = ω_n√(1 − ζ²)
Dekremen logaritmik: δ = (1/n)·ln(x₀/x_n), ζ = δ/√(4π² + δ²)
Pegas paralel: k = k₁ + k₂
Pegas seri: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

2Soal latihan

1.Roda gigi & rangkaian roda gigiSedang

Puli 200 mm pada 960 rpm menggerakkan puli 315 mm dengan sabuk yang slipnya 2,5 %. Cari kecepatan n₂ puli yang digerakkan.

n₁ = 960 rpmd₁ = 200 mmd₂ = 315 mms = 2,5 %

n₂ = rpm

2.Roda gigi & rangkaian roda gigiSulit

Dalam rangkaian roda gigi majemuk, roda gigi A (12 gigi) pada poros masukan yang berputar pada 960 rpm menggerakkan roda gigi B (18 gigi). Roda gigi C (18 gigi) terpasang pada poros yang sama dengan B dan menggerakkan roda gigi D (80 gigi) pada poros keluaran. Cari putaran keluaran n_out.

n_in = 960 rpmA = 12B = 18C = 18D = 80

n_out = rpm

3.Torsi porosSedang

Poros pejal baja dijepit di dinding dan dipuntir oleh torsi T di ujung bebasnya. Cari sudut puntir φ ujung bebas, dalam derajat.

T = 100 N·md = 40 mmL = 2 mG = 80 GPa

φ = °

4.Torsi porosSulit

Poros pejal harus meneruskan 100 kW pada 1500 rpm tanpa tegangan geser melebihi 40 MPa. Cari diameter terkecil d yang memenuhi.

P = 100 kWN = 1500 rpmτ_allow = 40 MPa

d = mm

5.Lingkaran Mohr & transformasi teganganSedang

Suatu titik memiliki σₓ = 40 MPa dan σᵧ = 100 MPa. Seberapa besar tegangan geser τ_xy (besarnya) dapat meningkat sebelum tegangan utama terbesar mencapai 115 MPa?

σ_x = 40 MPaσ_y = 100 MPaσ₁ = 115 MPa

τ_xy = MPa

6.Lingkaran Mohr & transformasi teganganSulit

Poros pejal berdiameter 40 mm menahan gaya tekan aksial sebesar 100 kN bersama torsi 200 N·m. Di permukaan poros, cari tegangan utama terbesar σ₁.

d = 40 mmF = −100 kNT = 200 N·m

σ₁ = MPa

7.Tegangan & regangan aksialSedang

Cari regangan aksial ε pada batang aluminium, dalam mikroregangan (µε = 10⁻⁶).

P = 90 kNd = 25 mmL = 1,5 mE = 70 GPa

ε = µε

8.Tegangan & regangan aksialSulit

Sebuah segmen baja (diameter 20 mm, panjang 300 mm, E = 200 GPa) dan segmen dari kuningan (diameter 40 mm, panjang 300 mm, E = 100 GPa) disambung ujung ke ujung dan dijepit di antara dua dinding kaku. Beban aksial 100 kN bekerja di sambungan, menuju segmen 2. Cari besar tegangan σ₂ pada segmen 2.

segmen 1: baja, Ø20 mm, 300 mm, E = 200 GPasegmen 2: kuningan, Ø40 mm, 300 mm, E = 100 GPaP = 100 kN

σ₂ = MPa

9.Tekuk kolomSedang

Kolom sepanjang L dari aluminium dengan tumpuan sendi di kedua ujung. Dengan rumus Euler, cari beban tekuk kritisnya P_cr.

L = 3 mE = 70 GPa (aluminium)d = 60 mm

P_cr = kN

10.Tekuk kolomSulit

Kolom sepanjang L dari aluminium dengan tumpuan jepit di kedua ujung. Cari kelangsingannya dan tegangan tekuk kritis σ_cr dari rumus Euler.

L = 2 mE = 70 GPa (aluminium)d = 30 mm

σ_cr = MPa

11.Getaran mekanisSedang

Massa 12 kg ditopang oleh pegas dengan kekakuan 2 kN/m dan peredam viskos dengan koefisien redaman 20 N·s/m. Cari rasio redaman ζ.

m = 12 kgk = 2 kN/mc = 20 N·s/m

ζ =

12.Getaran mekanisSulit

Massa 5 kg tergantung pada pegas k₃ = 15 kN/m. Ujung atas k₃ terpasang pada batang kaku yang tergantung pada dua pegas berdampingan, k₁ = 30 kN/m dan k₂ = 30 kN/m; batang tetap datar. Abaikan redaman serta massa pegas dan batang. Cari frekuensi alami f_n getaran vertikal dalam Hz.

m = 5 kgk₁ = 30 kN/mk₂ = 30 kN/mk₃ = 15 kN/m

f_n = Hz

3Larutan

1.Roda gigi & rangkaian roda gigi

Jawaban: n₂ = 594,3 rpm

Penggerak sabuk: tanpa slip, kedua puli memiliki kecepatan tepi yang sama v = π·d·n/60, sehingga n₁·d₁ = n₂·d₂ dan rasio kecepatan adalah d₂/d₁. Slip s membuat puli yang digerakkan sedikit lebih lambat: n₂ = n₁·(d₁/d₂)·(1 − s). Daya yang ditransmisikan adalah P = (T₁ − T₂)·v, dengan T₁ tegangan sisi tarik dan T₂ sisi kendor. Gesekan membatasi rasio tegangan: T₁/T₂ = e^μθ, dengan θ sudut kontak dalam radian pada puli yang lebih kecil; untuk sabuk terbuka θ = π − 2·asin((d₂ − d₁)/(2C)) dengan jarak sumbu C.

Kecepatan tanpa slip

960·200/315 = 609,5 rpm

Dengan slip

n₂ = 609,5·0,975 = 594,3 rpm

Jawaban

n₂ = 594,3 rpm

2.Roda gigi & rangkaian roda gigi

Jawaban: n_out = 144 rpm

Rangkaian roda gigi: roda gigi yang berpasangan memiliki kecepatan yang sama di giginya, sehingga n₁·N₁ = n₂·N₂: roda gigi dengan jumlah gigi lebih sedikit berputar lebih cepat. Roda gigi pada satu poros berputar dengan kecepatan yang sama. Daya diteruskan (dikurangi rugi-rugi), sehingga torsi naik ketika putaran turun: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, dan P = T·ω dengan ω = 2π·n/60.

Tingkat pertama

n_B = 960·12/18 = 640 rpm = n_C

Tingkat kedua

n_out = 640·18/80 = 144 rpm

Jawaban

n_out = 144 rpm

rasio total = 6,667 : 1

3.Torsi poros

Jawaban: φ = 0,5699 °

Torsi poros bulat: tegangan geser naik linear dari nol di pusat hingga τ_max = T·r/J di permukaan, dengan J = πd⁴/32 untuk poros pejal dan J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 untuk poros berongga. Sudut puntir φ = TL/(GJ) dalam radian. Daya dan torsi berhubungan melalui P = T·ω.

Momen inersia polar

J = π·40⁴/32 = 251327 mm⁴

Sudut puntir

φ = TL/(GJ) = 100·1000·2000/(80000·251327) = 0,009947 rad

φ = 0,009947·180/π = 0,5699°

Jawaban

φ = 0,5699°

4.Torsi poros

Jawaban: d = 43,28 mm

Torsi

ω = 2πN/60 = 2π·1500/60 = 157,1 rad/s

T = P/ω = 100000/157,1 = 636,6 N·m

Diameter dari tegangan izin

d = ∛(16T/(π·τ_allow)) = ∛(16·636620/(π·40)) = 43,28 mm

Jawaban

d = 43,28 mm

Dalam praktik Anda membulatkan ke ukuran standar berikutnya.

5.Lingkaran Mohr & transformasi tegangan

Jawaban: τ_xy = 33,54 MPa

Transformasi tegangan bidang: pada bidang yang diputar sebesar θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Lingkaran Mohr menampilkan semua bidang sekaligus: pusatnya di C = (σₓ + σᵧ)/2 dan jari-jarinya R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Tegangan utama adalah C ± R, dan tegangan geser terbesar dalam bidang adalah R.

Jari-jari yang diperlukan

C = (40 + 100)/2 = 70 MPa

R = σ₁ − C = 115 − 70 = 45 MPa

Tegangan geser

τ_xy = √(R² − ((σₓ − σᵧ)/2)²) = √(45² − 30²) = 33,54 MPa

Jawaban

τ_xy = 33,54 MPa

6.Lingkaran Mohr & transformasi tegangan

Jawaban: σ₁ = 3,065 MPa

Tegangan di permukaan

σ = F/A = −100000/(π·40²/4) = −100000/1257 = −79,58 MPa

τ = 16T/(πd³) = 16·200000/(π·40³) = 15,92 MPa

Lingkaran Mohr

C = σ/2 = −39,79 MPa

R = √((−39,79)² + 15,92²) = 42,85 MPa

σ₁ = C + R = 3,065 MPa

σ₂ = C − R = −82,64 MPa

Jawaban

σ₁ = 3,065 MPa

7.Tegangan & regangan aksial

Jawaban: ε = 2619 µε

Hukum Hooke: dalam daerah elastis σ = E·ε. Digabung dengan σ = P/A dan ε = δ/L menghasilkan δ = PL/(AE).

Tegangan

A = π·25²/4 = 490,9 mm²

σ = P/A = 90·1000/490,9 = 183,3 MPa

Regangan (hukum Hooke)

E for aluminium = 70 GPa = 70000 MPa.

ε = σ/E = 183,3/70000 = 0,002619 = 2619 µε

Jawaban

ε = 2619 µε

8.Tegangan & regangan aksial

Jawaban: σ₂ = 53,05 MPa

Dua bahan: pada susunan seri (satu demi satu) setiap segmen menahan gaya yang sama dan perpanjangannya dijumlahkan: δ = P·Σ L/(E·A). Pada susunan paralel (berdampingan di antara pelat kaku) kedua bagian memendek sama besar, sehingga regangannya sama: bagian yang lebih kaku menanggung bagian yang lebih besar, P_i = P·E_iA_i/ΣEA, dan σ_i = E_i·ε. Batang yang ditahan di antara dua dinding kaku dengan beban di sambungan adalah statis tak tentu: kedua segmen membagi beban sebanding dengan kekakuannya k = EA/L.

Kekakuan

k₁ = 200000·314,2/300 = 209440 N/mm

k₂ = 100000·1257/300 = 418879 N/mm

Bagian segmen 2

F₂ = 100000·418879/628319 = 66667 N

Tegangan

σ₂ = 66667/1257 = 53,05 MPa (tekan)

Jawaban

σ₂ = 53,05 MPa

9.Tekuk kolom

Jawaban: P_cr = 48,83 kN

Tekuk Euler: kolom langsing menjadi tidak stabil pada P_cr = π²EI/(KL)², dengan KL panjang efektif: K = 1 untuk sendi–sendi, 2 untuk jepit–bebas, 0,7 untuk jepit–sendi, dan 0,5 untuk jepit–jepit. Kolom menekuk terhadap sumbu dengan I terkecil. Rumus berlaku untuk kolom langsing yang tegangan kritisnya tetap di bawah tegangan leleh.

Momen inersia terkecil

Penampang bulat memiliki I yang sama terhadap setiap sumbu.

I = πd⁴/64 = π·60⁴/64 = 636173 mm⁴

Panjang efektif

KL = 1·3000 = 3000 mm

Beban kritis

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·70000·636173/3000² = 48835 N = 48,83 kN

Jawaban

P_cr = 48,83 kN

10.Tekuk kolom

Jawaban: σ_cr = 38,86 MPa

Momen inersia terkecil

Penampang bulat memiliki I yang sama terhadap setiap sumbu.

I = πd⁴/64 = π·30⁴/64 = 39761 mm⁴

Jari-jari girasi dan kelangsingan

A = 706,9 mm²

r = √(I/A) = √(39761/706,9) = 7,5 mm

KL = 0,5·2000 = 1000 mm

KL/r = 1000/7,5 = 133,3

Tegangan kritis

σ_cr = π²E/(KL/r)² = π²·70000/133,3² = 38,86 MPa

Jawaban

σ_cr = 38,86 MPa

11.Getaran mekanis

Jawaban: ζ = 0,06455

Getaran bebas sistem massa–pegas: frekuensi alami tak teredam adalah ω_n = √(k/m) dalam rad/s, dan f_n = ω_n/(2π) dalam Hz. Peredam viskos c memberikan rasio redaman ζ = c/c_c, dengan redaman kritis c_c = 2·√(k·m) = 2·m·ω_n. Sistem kurang teredam (ζ < 1) berosilasi pada ω_d = ω_n·√(1 − ζ²). Pegas paralel dijumlahkan, k = k₁ + k₂; pegas seri dijumlahkan sebagai kebalikan, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

Redaman kritis

c_c = 2·√(k·m) = 2·√(2000·12) = 309,8 N·s/m

Rasio redaman

ζ = c/c_c = 20/309,8 = 0,06455

Jawaban

ζ = 0,06455

ζ < 1, sehingga sistem kurang teredam dan berosilasi sambil meluruh.

12.Getaran mekanis

Jawaban: f_n = 7,797 Hz

Kekakuan ekivalen

Hanya k₁ dan k₂ yang paralel. Pasangan itu seri dengan k₃, jadi gabungkan sebagai kebalikan.

k₁₂ = 30 + 30 = 60 kN/m

k_eq = 60·15/(60 + 15) = 12 kN/m

Frekuensi alami

ω_n = √(12000/5) = 48,99 rad/s

f_n = 48,99/(2π) = 7,797 Hz

Jawaban

f_n = 7,797 Hz

ExamProblems · examproblems.com/courses/machine-design