Perancangan Elemen Mesin: paket kilat

Lembar rumus, langkah-langkah metode utama untuk setiap topik, dan 12 soal latihan, dengan pembahasan lengkap di bagian belakang.

Soal baruKembali ke mata kuliah

Di jendela cetak, pilih “Simpan sebagai PDF” untuk menyimpan salinan di perangkat Anda.

1Rumus dan metode

Roda gigi & rangkaian roda gigi

Roda gigi yang berpasangan
n1·N1 = n2·N2
Torsi
T2 = T1·(N2/N1)·η
Daya
P = T·ω, ω = 2π·n/60
Rangkaian roda gigi majemuk
rasio total = hasil kali rasio setiap tingkat

Torsi poros

Tegangan geser
τ = T·r/J
Poros pejal
J = πd⁴/32
Poros berongga
J = π(D⁴ − d⁴)/32
Sudut puntir
φ = TL/(GJ)
Daya
P = T·ω = 2πnT/60

Metode

  1. Cari momen inersia polar: J = πd⁴/32 untuk poros pejal.
  2. Tegangan geser di permukaan: τ = T·r/J, dengan r jari-jari luar.
  3. Sudut puntir: φ = TL/(GJ) dalam radian.
  4. Jika daya diketahui, cari torsi dulu dengan P = T·ω, ω = 2πn/60.

Lingkaran Mohr & transformasi tegangan

Pusat
C = (σx + σy)/2
Jari-jari
R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)
Tegangan utama
σ1,2 = C ± R
Arah utama
tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)
Bidang miring
σθ = C + (σx − σy)/2·cos 2θ + τxy·sin 2θ

Metode

  1. Hitung pusat lingkaran Mohr: C = (σx + σy)/2.
  2. Hitung jari-jarinya: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
  3. Tegangan utama adalah C ± R dan tegangan geser bidang terbesar adalah R.
  4. Sudut pada lingkaran adalah dua kali sudut pada elemen: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Tegangan & regangan aksial

Tegangan normal
σ = F/A
Regangan
ε = ΔL/L
Hukum Hooke
σ = E·ε
Pertambahan panjang
ΔL = FL/(EA)
Regangan termal
εT = α·ΔT

Tekuk kolom

Beban Euler
Pcr = π²EI/(KL)²
Faktor panjang efektif
K = 1 sendi–sendi, 0,5 jepit–jepit, 0,7 jepit–sendi, 2 jepit–bebas
Tegangan kritis
σcr = Pcr/A
Kelangsingan
λ = KL/r, r = √(I/A)

Getaran mekanis

Frekuensi alami
ωn = √(k/m), fn = ωn/(2π)
Dari defleksi statis
ωn = √(g/δst)
Redaman kritis
cc = 2√(km) = 2mωn
Rasio redaman
ζ = c/cc
Frekuensi teredam
ωd = ωn√(1 − ζ²)
Dekremen logaritmik
δ = (1/n)·ln(x0/xn), ζ = δ/√(4π² + δ²)
Pegas paralel
k = k1 + k2
Pegas seri
1/k = 1/k1 + 1/k2

2Soal latihan

1.Roda gigi & rangkaian roda gigiSedang
N1​ = 15N2​ = 36

Sebuah motor 3 kW yang berputar pada 960 rpm menggerakkan pinion dengan 15 gigi, yang berpasangan dengan roda gigi 36 gigi. Pasangan roda gigi memiliki efisiensi 97%. Cari torsi keluaran T2 pada poros roda gigi.

P = 3 kWn1 = 960 rpmN1 = 15N2 = 36η = 97%
T2 = N·m
2.Roda gigi & rangkaian roda gigiSulit
d1​ = 160 mmd2​ = 450 mm1440 rpmC = 1000 mmT1​ = 800 NT2​P = ?

Sebuah sabuk terbuka menghubungkan puli penggerak 160 mm pada 1440 rpm ke puli 450 mm; jarak sumbunya 1000 mm. Koefisien gesekan adalah 0,25 dan tegangan sisi tarik tidak boleh melebihi 800 N. Cari daya terbesar P yang dapat ditransmisikan sabuk tanpa slip, dalam kW (abaikan efek sentrifugal).

d1 = 160 mmn1 = 1440 rpmd2 = 450 mmC = 1000 mmμ = 0,25T1 = 800 N
P = kW
3.Torsi porosSedang
do​ = ?T = 400 N·m

Poros berongga harus menahan torsi 400 N·m. Diameter dalamnya ditetapkan 0,5 kali diameter luarnya, dan tegangan geser tidak boleh melebihi 60 MPa. Cari diameter luar terkecil do.

T = 400 N·mdi/do = 0,5τallow = 60 MPa
do = mm
4.Torsi porosSulit
d = 60 mmT0​ = 1500 N·mACBa = 3 mb = 0,5 m

Poros kuningan pejal berdiameter 60 mm dijepit pada dinding kaku di kedua ujung A dan B. Torsi 1500 N·m diberikan di C, 3 m dari A dan 0,5 m dari B. Cari tegangan geser maksimum τmax pada poros.

d = 60 mmT0 = 1500 N·ma = 3 mb = 0,5 m
τmax = MPa
5.Lingkaran Mohr & transformasi teganganSedang
σx​ = 120σy​ = 80τxy​ = −40MPa

Sebuah titik pada komponen yang dibebani memiliki σₓ = 120 MPa, σᵧ = 80 MPa, dan τₓᵧ = −40 MPa (tarik positif). Cari tegangan geser maksimum dalam bidang τmax.

σx = 120 MPaσy = 80 MPaτxy = −40 MPa
τmax = MPa
6.Lingkaran Mohr & transformasi teganganSulit
σx​ = −60σy​ = −30τxy​ = 40MPa

Sebuah titik pada komponen yang dibebani memiliki σₓ = −60 MPa, σᵧ = −30 MPa, dan τₓᵧ = 40 MPa (tarik positif). Cari tegangan geser τθ pada bidang yang normalnya diputar 15° berlawanan arah jarum jam dari sumbu x (positif dengan arah yang sama seperti τₓᵧ).

σx = −60 MPaσy = −30 MPaτxy = 40 MPaθ = 15°
τθ = MPa
7.Tegangan & regangan aksialSedang
Ø 25 mmBaja2 mP = 30 kN

Cari regangan aksial ε pada batang baja, dalam mikroregangan (µε = 10⁻⁶).

P = 30 kNd = 25 mmL = 2 mE = 200 GPa
ε = µε
8.Tegangan & regangan aksialSulit
Ø 30 mmBaja1 mØ 20 mmBaja1,5 mP = 70 kN

Batang bertingkat dijepit di dinding dan dibebani di ujung bebasnya. Cari tegangan normal terbesar σmax pada batang.

P = 70 kNsegmen 1: Ø30 mm, 1 m, baja (E = 200 GPa)segmen 2: Ø20 mm, 1,5 m, baja (E = 200 GPa)
σmax = MPa
9.Tekuk kolomSedang
PL = 2,5 m25 × 60 mmpenampang

Kolom sepanjang L dari aluminium dengan tumpuan sendi di kedua ujung. Dengan rumus Euler, cari beban tekuk kritisnya Pcr.

L = 2,5 mE = 70 GPa (aluminium)b × h = 25 × 60 mm
Pcr = kN
10.Tekuk kolomSulit
P = 145 kNL = 2,5 md = ?penampang

Kolom bulat pejal sepanjang L dari baja dengan tumpuan jepit di bawah dan bebas di atas. Kolom harus menahan 145 kN dengan faktor keamanan 3 terhadap tekuk. Cari diameter terkecil d.

P = 145 kNn = 3L = 2,5 mE = 200 GPa (baja)
d = mm
11.Getaran mekanisSedang
tx25 mm1 siklus18,3 mm

Dalam uji getaran bebas sistem massa–pegas teredam, puncak simpangan 25 mm diikuti satu siklus kemudian oleh puncak 18,3 mm. Cari rasio redaman ζ.

x0 = 25 mmx1 = 18,3 mmn = 1
ζ =
12.Getaran mekanisSulit
k1​ = 40k2​ = 15m = 5 kg

Massa 5 kg tergantung pada dua pegas berdampingan (paralel), dengan kekakuan k₁ = 40 kN/m dan k₂ = 15 kN/m. Massa tetap datar. Cari kekakuan ekivalen keq sistem pegas dalam kN/m.

m = 5 kgk1 = 40 kN/mk2 = 15 kN/m
keq = kN/m

3Larutan

1.Roda gigi & rangkaian roda gigi

Jawaban: T2 = 69,47 N·m

Rangkaian roda gigi: roda gigi yang berpasangan memiliki kecepatan yang sama di giginya, sehingga n₁·N₁ = n₂·N₂: roda gigi dengan jumlah gigi lebih sedikit berputar lebih cepat. Roda gigi pada satu poros berputar dengan kecepatan yang sama. Daya diteruskan (dikurangi rugi-rugi), sehingga torsi naik ketika putaran turun: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, dan P = T·ω dengan ω = 2π·n/60.

Torsi motor

ω₁ = 2π·960/60 = 100,5 rad/s
T1 = P/ω₁ = 3000/100,5 = 29,84 N·m

Torsi keluaran

T2 = 29,84·36/15·0,97 = 69,47 N·m

Jawaban

T2 = 69,47 N·m
2.Roda gigi & rangkaian roda gigi

Jawaban: P = 4,919 kW

Penggerak sabuk: tanpa slip, kedua puli memiliki kecepatan tepi yang sama v = π·d·n/60, sehingga n₁·d₁ = n₂·d₂ dan rasio kecepatan adalah d₂/d₁. Slip s membuat puli yang digerakkan sedikit lebih lambat: n₂ = n₁·(d₁/d₂)·(1 − s). Daya yang ditransmisikan adalah P = (T₁ − T₂)·v, dengan T₁ tegangan sisi tarik dan T₂ sisi kendor. Gesekan membatasi rasio tegangan: T₁/T₂ = eμθ, dengan θ sudut kontak dalam radian pada puli yang lebih kecil; untuk sabuk terbuka θ = π − 2·asin((d₂ − d₁)/(2C)) dengan jarak sumbu C.

Sudut kontak

θ = 2,851 rad

Tegangan sisi kendor

eμθ = e0,7126 = 2,039, T₂ = 800/2,039 = 392,3 N

Daya

P = (800 − 392,3)·12,06 = 4,919 kW

Jawaban

P = 4,919 kW
3.Torsi poros

Jawaban: do = 33,09 mm

Torsi poros bulat: tegangan geser naik linear dari nol di pusat hingga τmax = T·r/J di permukaan, dengan J = πd⁴/32 untuk poros pejal dan J = π(do⁴ − di⁴)/32 untuk poros berongga. Sudut puntir φ = TL/(GJ) dalam radian. Daya dan torsi berhubungan melalui P = T·ω.

Diameter luar dari tegangan izin

T = 400 N·m = 400000 N·mm
1 − k⁴ = 1 − 0,5⁴ = 0,9375
do = ∛(16T/(π·τallow·(1 − k⁴))) = ∛(16·400000/(π·60·0,9375)) = 33,09 mm
di = 0,5·33,09 = 16,54 mm

Jawaban

do = 33,09 mm

Poros pejal memerlukan d = 32,38 mm; poros berongga sedikit lebih besar tetapi jauh lebih ringan.

4.Torsi poros

Jawaban: τmax = 30,32 MPa

Torsi poros bulat: tegangan geser naik linear dari nol di pusat hingga τmax = T·r/J di permukaan, dengan J = πd⁴/32 untuk poros pejal dan J = π(do⁴ − di⁴)/32 untuk poros berongga. Sudut puntir φ = TL/(GJ) dalam radian. Daya dan torsi berhubungan melalui P = T·ω. Jika kedua ujung dijepit, statika saja hanya memberi TA + TB = T₀; persamaan kedua adalah kompatibilitas (puntiran kedua bagian sama di penampang yang dibebani).

Kesetimbangan dan kompatibilitas

TA + TB = 1500
TA·a = TB·b
TA = 1500·0,5/3,5 = 214,3 N·m
TB = 1500·3/3,5 = 1286 N·m

Tegangan geser maksimum

Yang lebih besar dari kedua torsi yang menentukan (diameter sama).

τmax = 16·1,286 × 10⁶/(π·60³) = 30,32 MPa

Jawaban

τmax = 30,32 MPa
5.Lingkaran Mohr & transformasi tegangan

Jawaban: τmax = 44,72 MPa

Transformasi tegangan bidang: pada bidang yang diputar sebesar θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Lingkaran Mohr menampilkan semua bidang sekaligus: pusatnya di C = (σₓ + σᵧ)/2 dan jari-jarinya R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Tegangan utama adalah C ± R, dan tegangan geser terbesar dalam bidang adalah R.

στxyCτmax​

Jari-jari lingkaran Mohr

τmax = R = √(((120 − 80)/2)² + −40²) = 44,72 MPa

Jawaban

τmax = 44,72 MPa
6.Lingkaran Mohr & transformasi tegangan

Jawaban: τθ = 42,14 MPa

Transformasi tegangan bidang: pada bidang yang diputar sebesar θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Lingkaran Mohr menampilkan semua bidang sekaligus: pusatnya di C = (σₓ + σᵧ)/2 dan jari-jarinya R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Tegangan utama adalah C ± R, dan tegangan geser terbesar dalam bidang adalah R.

Persamaan transformasi

τθ = −−15·0,5 + 40·0,866 = 42,14 MPa

Jawaban

τθ = 42,14 MPa
7.Tegangan & regangan aksial

Jawaban: ε = 305,6 µε

Hukum Hooke: dalam daerah elastis σ = E·ε. Digabung dengan σ = P/A dan ε = δ/L menghasilkan δ = PL/(AE).

Tegangan

A = π·25²/4 = 490,9 mm²
σ = P/A = 30·1000/490,9 = 61,12 MPa

Regangan (hukum Hooke)

E for baja = 200 GPa = 200000 MPa.

ε = σ/E = 61,12/200000 = 0,0003056 = 305,6 µε

Jawaban

ε = 305,6 µε
8.Tegangan & regangan aksial

Jawaban: σmax = 222,8 MPa

Batang beban aksial: setiap segmen prismatis mengikuti δ = PL/(AE). Untuk segmen seri, pertambahan panjangnya dijumlahkan.

Gaya sama di kedua segmen

Ujung bebas menahan P, jadi setiap penampang batang menahan gaya aksial P yang sama. Hanya luas dan bahannya yang berubah.

A1 = π·30²/4 = 706,9 mm², A2 = π·20²/4 = 314,2 mm²
σ1 = 99,03 MPa
σ2 = 222,8 MPa

Tegangan terbesar

Segmen yang lebih tipis luasnya lebih kecil, jadi tegangannya lebih besar.

σmax = 222,8 MPa

Jawaban

σmax = 222,8 MPa
9.Tekuk kolom

Jawaban: Pcr = 8,636 kN

Tekuk Euler: kolom langsing menjadi tidak stabil pada Pcr = π²EI/(KL)², dengan KL panjang efektif: K = 1 untuk sendi–sendi, 2 untuk jepit–bebas, 0,7 untuk jepit–sendi, dan 0,5 untuk jepit–jepit. Kolom menekuk terhadap sumbu dengan I terkecil. Rumus berlaku untuk kolom langsing yang tegangan kritisnya tetap di bawah tegangan leleh.

Momen inersia terkecil

Persegi panjang menekuk terhadap sumbu lemahnya, dengan dimensi terkecil dipangkatkan tiga.

Imin = h·b³/12 = 60·25³/12 = 78125 mm⁴

Panjang efektif

KL = 1·2500 = 2500 mm

Beban kritis

Pcr = π²EI/(KL)² = π²·70000·78125/2500² = 8636 N = 8,636 kN

Jawaban

Pcr = 8,636 kN
10.Tekuk kolom

Jawaban: d = 102,9 mm

Tekuk Euler: kolom langsing menjadi tidak stabil pada Pcr = π²EI/(KL)², dengan KL panjang efektif: K = 1 untuk sendi–sendi, 2 untuk jepit–bebas, 0,7 untuk jepit–sendi, dan 0,5 untuk jepit–jepit. Kolom menekuk terhadap sumbu dengan I terkecil. Rumus berlaku untuk kolom langsing yang tegangan kritisnya tetap di bawah tegangan leleh.

Beban kritis yang diperlukan

Pcr = n·P = 3·145000 = 435000 N
KL = 2·2500 = 5000 mm

Selesaikan untuk diameter

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·435000·5000²/(π³·200000))^(1/4) = 102,9 mm

Jawaban

d = 102,9 mm

Periksa: kelangsingan KL/r adalah 194,3, jadi kolom langsing dan rumus Euler berlaku.

11.Getaran mekanis

Jawaban: ζ = 0,04959

Getaran bebas sistem massa–pegas: frekuensi alami tak teredam adalah ωn = √(k/m) dalam rad/s, dan fn = ωn/(2π) dalam Hz. Peredam viskos c memberikan rasio redaman ζ = c/cc, dengan redaman kritis cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn. Sistem kurang teredam (ζ < 1) berosilasi pada ωd = ωn·√(1 − ζ²). Pegas paralel dijumlahkan, k = k₁ + k₂; pegas seri dijumlahkan sebagai kebalikan, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

Dekremen logaritmik

δ = (1/1)·ln(25/18,3) = 0,312

Rasio redaman

ζ = δ/√(4π² + δ²) = 0,312/√(39,48 + 0,09733) = 0,04959

Jawaban

ζ = 0,04959
12.Getaran mekanis

Jawaban: keq = 55 kN/m

Getaran bebas sistem massa–pegas: frekuensi alami tak teredam adalah ωn = √(k/m) dalam rad/s, dan fn = ωn/(2π) dalam Hz. Peredam viskos c memberikan rasio redaman ζ = c/cc, dengan redaman kritis cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn. Sistem kurang teredam (ζ < 1) berosilasi pada ωd = ωn·√(1 − ζ²). Pegas paralel dijumlahkan, k = k₁ + k₂; pegas seri dijumlahkan sebagai kebalikan, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

Kekakuan ekivalen

Pegas berdampingan berbagi defleksi dan gayanya dijumlahkan, sehingga kekakuannya cukup dijumlahkan: k = k1 + k2.

keq = 40 + 15 = 55 kN/m

Jawaban

keq = 55 kN/m

ExamProblems · examproblems.com/courses/machine-design