Perancangan Elemen Mesin: paket kilat

Lembar rumus, langkah-langkah metode utama untuk setiap topik, dan 12 soal latihan, dengan pembahasan lengkap di bagian belakang.

Soal baru Kembali ke mata kuliah

Di jendela cetak, pilih “Simpan sebagai PDF” untuk menyimpan salinan di perangkat Anda.

1Rumus dan metode

Roda gigi & rangkaian roda gigi

Roda gigi yang berpasangan: n₁·N₁ = n₂·N₂
Torsi: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η
Daya: P = T·ω, ω = 2π·n/60
Rangkaian roda gigi majemuk: rasio total = hasil kali rasio setiap tingkat

Torsi poros

Tegangan geser: τ = T·r/J
Poros pejal: J = πd⁴/32
Poros berongga: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Sudut puntir: φ = TL/(GJ)
Daya: P = T·ω = 2πnT/60

Metode

Cari momen inersia polar: J = πd⁴/32 untuk poros pejal.
Tegangan geser di permukaan: τ = T·r/J, dengan r jari-jari luar.
Sudut puntir: φ = TL/(GJ) dalam radian.
Jika daya diketahui, cari torsi dulu dengan P = T·ω, ω = 2πn/60.

Lingkaran Mohr & transformasi tegangan

Pusat: C = (σ_x + σ_y)/2
Jari-jari: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Tegangan utama: σ_1,2 = C ± R
Arah utama: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Bidang miring: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Metode

Hitung pusat lingkaran Mohr: C = (σx + σy)/2.
Hitung jari-jarinya: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Tegangan utama adalah C ± R dan tegangan geser bidang terbesar adalah R.
Sudut pada lingkaran adalah dua kali sudut pada elemen: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Tegangan & regangan aksial

Tegangan normal: σ = F/A
Regangan: ε = ΔL/L
Hukum Hooke: σ = E·ε
Pertambahan panjang: ΔL = FL/(EA)
Regangan termal: ε_T = α·ΔT

Tekuk kolom

Beban Euler: P_cr = π²EI/(KL)²
Faktor panjang efektif: K = 1 sendi–sendi, 0,5 jepit–jepit, 0,7 jepit–sendi, 2 jepit–bebas
Tegangan kritis: σ_cr = P_cr/A
Kelangsingan: λ = KL/r, r = √(I/A)

Getaran mekanis

Frekuensi alami: ω_n = √(k/m), f_n = ω_n/(2π)
Dari defleksi statis: ω_n = √(g/δ_st)
Redaman kritis: c_c = 2√(km) = 2mω_n
Rasio redaman: ζ = c/c_c
Frekuensi teredam: ω_d = ω_n√(1 − ζ²)
Dekremen logaritmik: δ = (1/n)·ln(x₀/x_n), ζ = δ/√(4π² + δ²)
Pegas paralel: k = k₁ + k₂
Pegas seri: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

2Soal latihan

1.Roda gigi & rangkaian roda gigiSedang

Sebuah sabuk berjalan pada puli penggerak 200 mm pada 1440 rpm. Tegangannya 1500 N pada sisi tarik dan 450 N pada sisi kendor. Cari daya P yang ditransmisikan, dalam kW.

d₁ = 200 mmn₁ = 1440 rpmT₁ = 1500 NT₂ = 450 N

P = kW

2.Roda gigi & rangkaian roda gigiSulit

Dalam rangkaian roda gigi majemuk, roda gigi A (12 gigi) pada poros masukan yang berputar pada 1500 rpm menggerakkan roda gigi B (16 gigi). Roda gigi C (18 gigi) terpasang pada poros yang sama dengan B dan menggerakkan roda gigi D (24 gigi) pada poros keluaran. Cari putaran keluaran n_out.

n_in = 1500 rpmA = 12B = 16C = 18D = 24

n_out = rpm

3.Torsi porosSedang

Poros baja pejal bertingkat dijepit di A. Segmen AB berdiameter 60 mm dan panjang 2 m; segmen BC berdiameter 40 mm dan panjang 0,5 m. Torsi 250 N·m bekerja di ujung bebas C. Cari sudut puntir φ_C ujung C, dalam derajat.

T = 250 N·md₁ = 60 mm, L₁ = 2 md₂ = 40 mm, L₂ = 0,5 mG = 80 GPa

φ_C = °

4.Torsi porosSulit

Poros berongga meneruskan 50 kW pada 1000 rpm. Cari tegangan geser maksimum τ_max pada poros.

P = 50 kWN = 1000 rpmd_o = 40 mmd_i = 30 mm

τ_max = MPa

5.Lingkaran Mohr & transformasi teganganSedang

Suatu titik memiliki σₓ = 120 MPa dan σᵧ = −50 MPa. Seberapa besar tegangan geser τ_xy (besarnya) dapat meningkat sebelum tegangan utama terbesar mencapai 130 MPa?

σ_x = 120 MPaσ_y = −50 MPaσ₁ = 130 MPa

τ_xy = MPa

6.Lingkaran Mohr & transformasi teganganSulit

Tangki silinder berdinding tipis dengan diameter dalam 1500 mm dan tebal dinding 8 mm berisi gas bertekanan gauge 1,2 MPa. Tangki dibuat dari pelat yang dilas sepanjang kampuh heliks bersudut 20° terhadap sumbu silinder. Cari tegangan normal σ_n yang bekerja tegak lurus kampuh las.

D = 1500 mmt = 8 mmp = 1,2 MPaα = 20°

σ_n = MPa

7.Tegangan & regangan aksialSedang

Cari regangan aksial ε pada batang tembaga, dalam mikroregangan (µε = 10⁻⁶).

P = 105 kNd = 16 mmL = 2 mE = 117 GPa

ε = µε

8.Tegangan & regangan aksialSulit

Batang bertingkat dijepit di dinding dan dibebani di ujung bebasnya. Cari pertambahan panjang total δ.

P = 50 kNsegmen 1: Ø30 mm, 0,5 m, baja (E = 200 GPa)segmen 2: Ø12 mm, 1,5 m, kuningan (E = 100 GPa)

δ = mm

9.Tekuk kolomSedang

Kolom sepanjang L dari aluminium dengan tumpuan jepit di bawah dan bebas di atas. Dengan rumus Euler, cari beban tekuk kritisnya P_cr.

L = 3 mE = 70 GPa (aluminium)d = 60 mm

P_cr = kN

10.Tekuk kolomSulit

Kolom bulat pejal sepanjang L dari baja dengan tumpuan jepit di bawah dan sendi di atas. Kolom harus menahan 100 kN dengan faktor keamanan 2 terhadap tekuk. Cari diameter terkecil d.

P = 100 kNn = 2L = 3 mE = 200 GPa (baja)

d = mm

11.Getaran mekanisSedang

Massa 20 kg ditopang oleh pegas dengan kekakuan 150 kN/m dan peredam viskos dengan koefisien redaman 1040 N·s/m. Cari rasio redaman ζ.

m = 20 kgk = 150 kN/mc = 1040 N·s/m

ζ =

12.Getaran mekanisSulit

Massa 40 kg tergantung pada dua pegas yang disambung ujung ke ujung (seri): pegas atas memiliki k₁ = 80 kN/m dan pegas bawah k₂ = 60 kN/m. Abaikan redaman dan massa pegas. Cari frekuensi alami f_n getaran vertikal dalam Hz.

m = 40 kgk₁ = 80 kN/mk₂ = 60 kN/m

f_n = Hz

3Larutan

1.Roda gigi & rangkaian roda gigi

Jawaban: P = 15,83 kW

Penggerak sabuk: tanpa slip, kedua puli memiliki kecepatan tepi yang sama v = π·d·n/60, sehingga n₁·d₁ = n₂·d₂ dan rasio kecepatan adalah d₂/d₁. Slip s membuat puli yang digerakkan sedikit lebih lambat: n₂ = n₁·(d₁/d₂)·(1 − s). Daya yang ditransmisikan adalah P = (T₁ − T₂)·v, dengan T₁ tegangan sisi tarik dan T₂ sisi kendor. Gesekan membatasi rasio tegangan: T₁/T₂ = e^μθ, dengan θ sudut kontak dalam radian pada puli yang lebih kecil; untuk sabuk terbuka θ = π − 2·asin((d₂ − d₁)/(2C)) dengan jarak sumbu C.

Kecepatan sabuk

v = 15,08 m/s

Daya

P = (1500 − 450)·15,08 = 15834 W = 15,83 kW

Jawaban

P = 15,83 kW

2.Roda gigi & rangkaian roda gigi

Jawaban: n_out = 843,8 rpm

Rangkaian roda gigi: roda gigi yang berpasangan memiliki kecepatan yang sama di giginya, sehingga n₁·N₁ = n₂·N₂: roda gigi dengan jumlah gigi lebih sedikit berputar lebih cepat. Roda gigi pada satu poros berputar dengan kecepatan yang sama. Daya diteruskan (dikurangi rugi-rugi), sehingga torsi naik ketika putaran turun: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, dan P = T·ω dengan ω = 2π·n/60.

Tingkat pertama

n_B = 1500·12/16 = 1125 rpm = n_C

Tingkat kedua

n_out = 1125·18/24 = 843,8 rpm

Jawaban

n_out = 843,8 rpm

rasio total = 1,778 : 1

3.Torsi poros

Jawaban: φ_C = 0,6377 °

Torsi poros bulat: tegangan geser naik linear dari nol di pusat hingga τ_max = T·r/J di permukaan, dengan J = πd⁴/32 untuk poros pejal dan J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 untuk poros berongga. Sudut puntir φ = TL/(GJ) dalam radian. Daya dan torsi berhubungan melalui P = T·ω.

Momen inersia polar

J₁ = π·60⁴/32 = 1,272 × 10⁶ mm⁴

J₂ = π·40⁴/32 = 251327 mm⁴

Puntiran tiap segmen

T = 250 N·m = 250000 N·mm

G = 80 GPa = 80000 MPa

φ_AB = 250000·2000/(80000·1,272 × 10⁶) = 0,004912 rad

φ_BC = 250000·500/(80000·251327) = 0,006217 rad

Puntiran total

φ_C = 0,004912 + 0,006217 = 0,01113 rad = 0,6377°

Jawaban

φ_C = 0,6377°

4.Torsi poros

Jawaban: τ_max = 55,58 MPa

Torsi

ω = 2πN/60 = 2π·1000/60 = 104,7 rad/s

T = P/ω = 50000/104,7 = 477,5 N·m

Momen inersia polar

J = π(40⁴ − 30⁴)/32 = 171806 mm⁴

Tegangan geser maksimum

τ_max = T·(d_o/2)/J = 477465·20/171806 = 55,58 MPa

Jawaban

τ_max = 55,58 MPa

5.Lingkaran Mohr & transformasi tegangan

Jawaban: τ_xy = 42,43 MPa

Transformasi tegangan bidang: pada bidang yang diputar sebesar θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Lingkaran Mohr menampilkan semua bidang sekaligus: pusatnya di C = (σₓ + σᵧ)/2 dan jari-jarinya R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Tegangan utama adalah C ± R, dan tegangan geser terbesar dalam bidang adalah R.

Jari-jari yang diperlukan

C = (120 + (−50))/2 = 35 MPa

R = σ₁ − C = 130 − 35 = 95 MPa

Tegangan geser

τ_xy = √(R² − ((σₓ − σᵧ)/2)²) = √(95² − 85²) = 42,43 MPa

Jawaban

τ_xy = 42,43 MPa

6.Lingkaran Mohr & transformasi tegangan

Jawaban: σ_n = 105,9 MPa

Tegangan dinding

r = 1500/2 = 750 mm

σ_h = pr/t = 1,2·750/8 = 112,5 MPa

σ_a = pr/(2t) = 56,25 MPa

Transformasikan ke kampuh

Ambil x sepanjang sumbu (σ_a) dan y mengelilingi keliling (σ_h). Normal kampuh membentuk 90° − α dengan sumbu.

σ_n = 56,25·sin²20° + 112,5·cos²20° = 105,9 MPa

Jawaban

σ_n = 105,9 MPa

7.Tegangan & regangan aksial

Jawaban: ε = 4463 µε

Hukum Hooke: dalam daerah elastis σ = E·ε. Digabung dengan σ = P/A dan ε = δ/L menghasilkan δ = PL/(AE).

Tegangan

A = π·16²/4 = 201,1 mm²

σ = P/A = 105·1000/201,1 = 522,2 MPa

Regangan (hukum Hooke)

E for tembaga = 117 GPa = 117000 MPa.

ε = σ/E = 522,2/117000 = 0,004463 = 4463 µε

Jawaban

ε = 4463 µε

8.Tegangan & regangan aksial

Jawaban: δ = 6,808 mm

Batang beban aksial: setiap segmen prismatis mengikuti δ = PL/(AE). Untuk segmen seri, pertambahan panjangnya dijumlahkan.

Gaya sama di kedua segmen

Ujung bebas menahan P, jadi setiap penampang batang menahan gaya aksial P yang sama. Hanya luas dan bahannya yang berubah.

A₁ = π·30²/4 = 706,9 mm², A₂ = π·12²/4 = 113,1 mm²

σ₁ = 70,74 MPa

σ₂ = 442,1 MPa

Jumlahkan pertambahan panjang segmen

δ₁ = σ₁L₁/E₁ = 70,74·500/200000 = 0,1768 mm

δ₂ = σ₂L₂/E₂ = 442,1·1500/100000 = 6,631 mm

δ = δ₁ + δ₂ = 6,808 mm

Jawaban

δ = 6,808 mm

9.Tekuk kolom

Jawaban: P_cr = 12,21 kN

Tekuk Euler: kolom langsing menjadi tidak stabil pada P_cr = π²EI/(KL)², dengan KL panjang efektif: K = 1 untuk sendi–sendi, 2 untuk jepit–bebas, 0,7 untuk jepit–sendi, dan 0,5 untuk jepit–jepit. Kolom menekuk terhadap sumbu dengan I terkecil. Rumus berlaku untuk kolom langsing yang tegangan kritisnya tetap di bawah tegangan leleh.

Momen inersia terkecil

Penampang bulat memiliki I yang sama terhadap setiap sumbu.

I = πd⁴/64 = π·60⁴/64 = 636173 mm⁴

Panjang efektif

KL = 2·3000 = 6000 mm

Beban kritis

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·70000·636173/6000² = 12209 N = 12,21 kN

Jawaban

P_cr = 12,21 kN

10.Tekuk kolom

Jawaban: d = 54,93 mm

Beban kritis yang diperlukan

P_cr = n·P = 2·100000 = 200000 N

KL = 0,7·3000 = 2100 mm

Selesaikan untuk diameter

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·200000·2100²/(π³·200000))^(1/4) = 54,93 mm

Jawaban

d = 54,93 mm

Periksa: kelangsingan KL/r adalah 152,9, jadi kolom langsing dan rumus Euler berlaku.

11.Getaran mekanis

Jawaban: ζ = 0,3002

Getaran bebas sistem massa–pegas: frekuensi alami tak teredam adalah ω_n = √(k/m) dalam rad/s, dan f_n = ω_n/(2π) dalam Hz. Peredam viskos c memberikan rasio redaman ζ = c/c_c, dengan redaman kritis c_c = 2·√(k·m) = 2·m·ω_n. Sistem kurang teredam (ζ < 1) berosilasi pada ω_d = ω_n·√(1 − ζ²). Pegas paralel dijumlahkan, k = k₁ + k₂; pegas seri dijumlahkan sebagai kebalikan, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

Redaman kritis

c_c = 2·√(k·m) = 2·√(150000·20) = 3464 N·s/m

Rasio redaman

ζ = c/c_c = 1040/3464 = 0,3002

Jawaban

ζ = 0,3002

ζ < 1, sehingga sistem kurang teredam dan berosilasi sambil meluruh.

12.Getaran mekanis

Jawaban: f_n = 4,66 Hz

Kekakuan ekivalen

Pegas seri menerima gaya yang sama dan defleksinya dijumlahkan, sehingga digabung sebagai kebalikan: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

1/k_eq = 1/80 + 1/60 → k_eq = 80·60/(80 + 60) = 34,29 kN/m

Frekuensi alami

ω_n = √(34286/40) = 29,28 rad/s

f_n = 29,28/(2π) = 4,66 Hz

Jawaban

f_n = 4,66 Hz

ExamProblems · examproblems.com/courses/machine-design