Perancangan Elemen Mesin: paket kilat

Lembar rumus, langkah-langkah metode utama untuk setiap topik, dan 12 soal latihan, dengan pembahasan lengkap di bagian belakang.

Soal baru Kembali ke mata kuliah

Di jendela cetak, pilih “Simpan sebagai PDF” untuk menyimpan salinan di perangkat Anda.

1Rumus dan metode

Roda gigi & rangkaian roda gigi

Roda gigi yang berpasangan: n₁·N₁ = n₂·N₂
Torsi: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η
Daya: P = T·ω, ω = 2π·n/60
Rangkaian roda gigi majemuk: rasio total = hasil kali rasio setiap tingkat

Torsi poros

Tegangan geser: τ = T·r/J
Poros pejal: J = πd⁴/32
Poros berongga: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Sudut puntir: φ = TL/(GJ)
Daya: P = T·ω = 2πnT/60

Metode

Cari momen inersia polar: J = πd⁴/32 untuk poros pejal.
Tegangan geser di permukaan: τ = T·r/J, dengan r jari-jari luar.
Sudut puntir: φ = TL/(GJ) dalam radian.
Jika daya diketahui, cari torsi dulu dengan P = T·ω, ω = 2πn/60.

Lingkaran Mohr & transformasi tegangan

Pusat: C = (σ_x + σ_y)/2
Jari-jari: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Tegangan utama: σ_1,2 = C ± R
Arah utama: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Bidang miring: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Metode

Hitung pusat lingkaran Mohr: C = (σx + σy)/2.
Hitung jari-jarinya: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Tegangan utama adalah C ± R dan tegangan geser bidang terbesar adalah R.
Sudut pada lingkaran adalah dua kali sudut pada elemen: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Tegangan & regangan aksial

Tegangan normal: σ = F/A
Regangan: ε = ΔL/L
Hukum Hooke: σ = E·ε
Pertambahan panjang: ΔL = FL/(EA)
Regangan termal: ε_T = α·ΔT

Tekuk kolom

Beban Euler: P_cr = π²EI/(KL)²
Faktor panjang efektif: K = 1 sendi–sendi, 0,5 jepit–jepit, 0,7 jepit–sendi, 2 jepit–bebas
Tegangan kritis: σ_cr = P_cr/A
Kelangsingan: λ = KL/r, r = √(I/A)

Getaran mekanis

Frekuensi alami: ω_n = √(k/m), f_n = ω_n/(2π)
Dari defleksi statis: ω_n = √(g/δ_st)
Redaman kritis: c_c = 2√(km) = 2mω_n
Rasio redaman: ζ = c/c_c
Frekuensi teredam: ω_d = ω_n√(1 − ζ²)
Dekremen logaritmik: δ = (1/n)·ln(x₀/x_n), ζ = δ/√(4π² + δ²)
Pegas paralel: k = k₁ + k₂
Pegas seri: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

2Soal latihan

1.Roda gigi & rangkaian roda gigiSedang

Sebuah motor 2,2 kW yang berputar pada 1450 rpm menggerakkan pinion dengan 40 gigi, yang berpasangan dengan roda gigi 60 gigi. Pasangan roda gigi memiliki efisiensi 96%. Cari torsi keluaran T₂ pada poros roda gigi.

P = 2,2 kWn₁ = 1450 rpmN₁ = 40N₂ = 60η = 96%

T₂ = N·m

2.Roda gigi & rangkaian roda gigiSulit

Sebuah sabuk terbuka menghubungkan puli 150 mm dan puli 200 mm yang jarak sumbunya 600 mm. Cari sudut kontak θ pada puli yang lebih kecil, dalam derajat.

d₁ = 150 mmd₂ = 200 mmC = 600 mm

θ = °

3.Torsi porosSedang

Dalam uji torsi, spesimen pejal berdiameter 20 mm dipuntir oleh torsi 100 N·m. Kedua ujung panjang ukur 400 mm berputar 3,74° relatif satu sama lain (bahan masih elastis). Cari modulus geser G bahan.

T = 100 N·md = 20 mmL = 400 mmφ = 3,74°

G = GPa

4.Torsi porosSulit

Poros berongga meneruskan 100 kW pada 1500 rpm. Cari tegangan geser maksimum τ_max pada poros.

P = 100 kWN = 1500 rpmd_o = 75 mmd_i = 56 mm

τ_max = MPa

5.Lingkaran Mohr & transformasi teganganSedang

Suatu titik pada pelat tipis berada dalam tegangan bidang: σₓ = 140 MPa, σᵧ = 20 MPa, dan τₓᵧ = −30 MPa, dengan σ_z = 0. Cari tegangan geser maksimum absolut τ_abs di titik itu (dengan meninjau semua bidang dalam tiga dimensi).

σ_x = 140 MPaσ_y = 20 MPaτ_xy = −30 MPaσ_z = 0

τ_abs = MPa

6.Lingkaran Mohr & transformasi teganganSulit

Sebuah titik pada komponen yang dibebani memiliki σₓ = 20 MPa, σᵧ = 100 MPa, dan τₓᵧ = 60 MPa (tarik positif). Cari tegangan normal σ_θ pada bidang yang normalnya diputar 15° berlawanan arah jarum jam dari sumbu x.

σ_x = 20 MPaσ_y = 100 MPaτ_xy = 60 MPaθ = 15°

σ_θ = MPa

7.Tegangan & regangan aksialSedang

Sebuah batang baja (diameter 25 mm, E = 200 GPa) berada di dalam tabung dari aluminium (diameter luar 100 mm, diameter dalam 60 mm, E = 70 GPa). Keduanya panjangnya 300 mm dan ditekan bersama di antara pelat kaku oleh 50 kN. Cari pemendekan δ.

P = 50 kNbatang: Ø25 mm, E = 200 GPatabung: Ø100/Ø60 mm, E = 70 GPaL = 300 mm

δ = mm

8.Tegangan & regangan aksialSulit

Sebuah segmen baja (diameter 30 mm, panjang 300 mm, E = 200 GPa) dan segmen dari kuningan (diameter 50 mm, panjang 500 mm, E = 100 GPa) disambung ujung ke ujung dan dijepit di antara dua dinding kaku. Beban aksial 40 kN bekerja di sambungan, menuju segmen 2. Cari besar tegangan σ₂ pada segmen 2.

segmen 1: baja, Ø30 mm, 300 mm, E = 200 GPasegmen 2: kuningan, Ø50 mm, 500 mm, E = 100 GPaP = 40 kN

σ₂ = MPa

9.Tekuk kolomSedang

Kolom sepanjang L dari aluminium dengan tumpuan jepit di bawah dan bebas di atas. Dengan rumus Euler, cari beban tekuk kritisnya P_cr.

L = 2,5 mE = 70 GPa (aluminium)b × h = 30 × 50 mm

P_cr = kN

10.Tekuk kolomSulit

Kolom bulat pejal sepanjang L dari baja dengan tumpuan jepit di bawah dan bebas di atas. Kolom harus menahan 75 kN dengan faktor keamanan 2,5 terhadap tekuk. Cari diameter terkecil d.

P = 75 kNn = 2,5L = 2,5 mE = 200 GPa (baja)

d = mm

11.Getaran mekanisSedang

Massa 5 kg pada pegas dengan kekakuan 10 kN/m memiliki peredam viskos yang memberikan rasio redaman 0,45. Cari frekuensi alami teredam f_d getaran bebasnya dalam Hz.

m = 5 kgk = 10 kN/mζ = 0,45

f_d = Hz

12.Getaran mekanisSulit

Massa 20 kg tergantung pada dua pegas yang disambung ujung ke ujung (seri): pegas atas memiliki k₁ = 25 kN/m dan pegas bawah k₂ = 25 kN/m. Abaikan redaman dan massa pegas. Cari frekuensi alami f_n getaran vertikal dalam Hz.

m = 20 kgk₁ = 25 kN/mk₂ = 25 kN/m

f_n = Hz

3Larutan

1.Roda gigi & rangkaian roda gigi

Jawaban: T₂ = 20,86 N·m

Rangkaian roda gigi: roda gigi yang berpasangan memiliki kecepatan yang sama di giginya, sehingga n₁·N₁ = n₂·N₂: roda gigi dengan jumlah gigi lebih sedikit berputar lebih cepat. Roda gigi pada satu poros berputar dengan kecepatan yang sama. Daya diteruskan (dikurangi rugi-rugi), sehingga torsi naik ketika putaran turun: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, dan P = T·ω dengan ω = 2π·n/60.

Torsi motor

ω₁ = 2π·1450/60 = 151,8 rad/s

T₁ = P/ω₁ = 2200/151,8 = 14,49 N·m

Torsi keluaran

T₂ = 14,49·60/40·0,96 = 20,86 N·m

Jawaban

T₂ = 20,86 N·m

2.Roda gigi & rangkaian roda gigi

Jawaban: θ = 175,2 °

Penggerak sabuk: tanpa slip, kedua puli memiliki kecepatan tepi yang sama v = π·d·n/60, sehingga n₁·d₁ = n₂·d₂ dan rasio kecepatan adalah d₂/d₁. Slip s membuat puli yang digerakkan sedikit lebih lambat: n₂ = n₁·(d₁/d₂)·(1 − s). Daya yang ditransmisikan adalah P = (T₁ − T₂)·v, dengan T₁ tegangan sisi tarik dan T₂ sisi kendor. Gesekan membatasi rasio tegangan: T₁/T₂ = e^μθ, dengan θ sudut kontak dalam radian pada puli yang lebih kecil; untuk sabuk terbuka θ = π − 2·asin((d₂ − d₁)/(2C)) dengan jarak sumbu C.

Sudut sabuk

asin(0,04167) = 2,388°

Sudut kontak

θ = 180 − 2·2,388 = 175,2°

Jawaban

θ = 175,2°

3.Torsi poros

Jawaban: G = 39,01 GPa

Torsi poros bulat: tegangan geser naik linear dari nol di pusat hingga τ_max = T·r/J di permukaan, dengan J = πd⁴/32 untuk poros pejal dan J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 untuk poros berongga. Sudut puntir φ = TL/(GJ) dalam radian. Daya dan torsi berhubungan melalui P = T·ω.

Momen inersia polar dan sudut

J = π·20⁴/32 = 15708 mm⁴

φ = 3,74·π/180 = 0,06528 rad

Modulus geser

T = 100 N·m = 100000 N·mm

G = TL/(Jφ) = 100000·400/(15708·0,06528) = 39011 MPa

G = 39,01 GPa

Jawaban

G = 39,01 GPa

Bandingkan: baja ≈ 80 GPa, kuningan ≈ 39 GPa, aluminium ≈ 26 GPa.

4.Torsi poros

Jawaban: τ_max = 11,15 MPa

Torsi

ω = 2πN/60 = 2π·1500/60 = 157,1 rad/s

T = P/ω = 100000/157,1 = 636,6 N·m

Momen inersia polar

J = π(75⁴ − 56⁴)/32 = 2,141 × 10⁶ mm⁴

Tegangan geser maksimum

τ_max = T·(d_o/2)/J = 636620·37,5/2,141 × 10⁶ = 11,15 MPa

Jawaban

τ_max = 11,15 MPa

5.Lingkaran Mohr & transformasi tegangan

Jawaban: τ_abs = 73,54 MPa

Transformasi tegangan bidang: pada bidang yang diputar sebesar θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Lingkaran Mohr menampilkan semua bidang sekaligus: pusatnya di C = (σₓ + σᵧ)/2 dan jari-jarinya R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Tegangan utama adalah C ± R, dan tegangan geser terbesar dalam bidang adalah R. Dalam tiga dimensi, tegangan geser maksimum absolut adalah (σ_max − σ_min)/2 dari ketiga tegangan utama; pada tegangan bidang tegangan utama ketiga bernilai nol.

Tegangan utama sebidang

C = 80 MPa, R = √(60² + (−30)²) = 67,08 MPa

σ₁ = 147,1 MPa, σ₂ = 12,92 MPa, σ_z = 0

Lingkaran terbesar dari ketiganya

τ = max(|σ₁ − σ₂|, |σ₁|, |σ₂|)/2 = max(134,2, 147,1, 12,92)/2 = 73,54 MPa

Jawaban

τ_abs = 73,54 MPa

Di sini lingkaran di luar bidang yang menentukan: maksimum absolutnya lebih besar daripada maksimum sebidang R.

6.Lingkaran Mohr & transformasi tegangan

Jawaban: σ_θ = 55,36 MPa

Persamaan transformasi

σ_θ = 60 + −40·0,866 + 60·0,5 = 55,36 MPa

Jawaban

σ_θ = 55,36 MPa

7.Tegangan & regangan aksial

Jawaban: δ = 0,03333 mm

Dua bahan: pada susunan seri (satu demi satu) setiap segmen menahan gaya yang sama dan perpanjangannya dijumlahkan: δ = P·Σ L/(E·A). Pada susunan paralel (berdampingan di antara pelat kaku) kedua bagian memendek sama besar, sehingga regangannya sama: bagian yang lebih kaku menanggung bagian yang lebih besar, P_i = P·E_iA_i/ΣEA, dan σ_i = E_i·ε. Batang yang ditahan di antara dua dinding kaku dengan beban di sambungan adalah statis tak tentu: kedua segmen membagi beban sebanding dengan kekakuannya k = EA/L.

Luas

A_r = π·25²/4 = 490,9 mm²

A_t = π(100² − 60²)/4 = 5027 mm²

Kekakuan aksial gabungan

ΣEA = 200·10³·490,9 + 70·10³·5027 = 4,5 × 10⁸ N

Pemendekan

δ = 50000·300/4,5 × 10⁸ = 0,03333 mm

Jawaban

δ = 0,03333 mm

8.Tegangan & regangan aksial

Jawaban: σ₂ = 9,26 MPa

Kekakuan

k₁ = 200000·706,9/300 = 471239 N/mm

k₂ = 100000·1963/500 = 392699 N/mm

Bagian segmen 2

F₂ = 40000·392699/863938 = 18182 N

Tegangan

σ₂ = 18182/1963 = 9,26 MPa (tekan)

Jawaban

σ₂ = 9,26 MPa

9.Tekuk kolom

Jawaban: P_cr = 3,109 kN

Tekuk Euler: kolom langsing menjadi tidak stabil pada P_cr = π²EI/(KL)², dengan KL panjang efektif: K = 1 untuk sendi–sendi, 2 untuk jepit–bebas, 0,7 untuk jepit–sendi, dan 0,5 untuk jepit–jepit. Kolom menekuk terhadap sumbu dengan I terkecil. Rumus berlaku untuk kolom langsing yang tegangan kritisnya tetap di bawah tegangan leleh.

Momen inersia terkecil

Persegi panjang menekuk terhadap sumbu lemahnya, dengan dimensi terkecil dipangkatkan tiga.

I_min = h·b³/12 = 50·30³/12 = 112500 mm⁴

Panjang efektif

KL = 2·2500 = 5000 mm

Beban kritis

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·70000·112500/5000² = 3109 N = 3,109 kN

Jawaban

P_cr = 3,109 kN

10.Tekuk kolom

Jawaban: d = 83,4 mm

Beban kritis yang diperlukan

P_cr = n·P = 2,5·75000 = 187500 N

KL = 2·2500 = 5000 mm

Selesaikan untuk diameter

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·187500·5000²/(π³·200000))^(1/4) = 83,4 mm

Jawaban

d = 83,4 mm

Periksa: kelangsingan KL/r adalah 239,8, jadi kolom langsing dan rumus Euler berlaku.

11.Getaran mekanis

Jawaban: f_d = 6,356 Hz

Getaran bebas sistem massa–pegas: frekuensi alami tak teredam adalah ω_n = √(k/m) dalam rad/s, dan f_n = ω_n/(2π) dalam Hz. Peredam viskos c memberikan rasio redaman ζ = c/c_c, dengan redaman kritis c_c = 2·√(k·m) = 2·m·ω_n. Sistem kurang teredam (ζ < 1) berosilasi pada ω_d = ω_n·√(1 − ζ²). Pegas paralel dijumlahkan, k = k₁ + k₂; pegas seri dijumlahkan sebagai kebalikan, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

Frekuensi alami tak teredam

ω_n = √(10000/5) = 44,72 rad/s

f_n = 44,72/(2π) = 7,118 Hz

Frekuensi alami teredam

f_d = f_n·√(1 − ζ²) = 7,118·√(1 − 0,45²) = 6,356 Hz

Jawaban

f_d = 6,356 Hz

12.Getaran mekanis

Jawaban: f_n = 3,979 Hz

Kekakuan ekivalen

Pegas seri menerima gaya yang sama dan defleksinya dijumlahkan, sehingga digabung sebagai kebalikan: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

1/k_eq = 1/25 + 1/25 → k_eq = 25·25/(25 + 25) = 12,5 kN/m

Frekuensi alami

ω_n = √(12500/20) = 25 rad/s

f_n = 25/(2π) = 3,979 Hz

Jawaban

f_n = 3,979 Hz

ExamProblems · examproblems.com/courses/machine-design