Perancangan Elemen Mesin: paket kilat

Lembar rumus, langkah-langkah metode utama untuk setiap topik, dan 12 soal latihan, dengan pembahasan lengkap di bagian belakang.

Soal baru Kembali ke mata kuliah

Di jendela cetak, pilih “Simpan sebagai PDF” untuk menyimpan salinan di perangkat Anda.

1Rumus dan metode

Roda gigi & rangkaian roda gigi

Roda gigi yang berpasangan: n₁·N₁ = n₂·N₂
Torsi: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η
Daya: P = T·ω, ω = 2π·n/60
Rangkaian roda gigi majemuk: rasio total = hasil kali rasio setiap tingkat

Torsi poros

Tegangan geser: τ = T·r/J
Poros pejal: J = πd⁴/32
Poros berongga: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Sudut puntir: φ = TL/(GJ)
Daya: P = T·ω = 2πnT/60

Metode

Cari momen inersia polar: J = πd⁴/32 untuk poros pejal.
Tegangan geser di permukaan: τ = T·r/J, dengan r jari-jari luar.
Sudut puntir: φ = TL/(GJ) dalam radian.
Jika daya diketahui, cari torsi dulu dengan P = T·ω, ω = 2πn/60.

Lingkaran Mohr & transformasi tegangan

Pusat: C = (σ_x + σ_y)/2
Jari-jari: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Tegangan utama: σ_1,2 = C ± R
Arah utama: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Bidang miring: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Metode

Hitung pusat lingkaran Mohr: C = (σx + σy)/2.
Hitung jari-jarinya: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Tegangan utama adalah C ± R dan tegangan geser bidang terbesar adalah R.
Sudut pada lingkaran adalah dua kali sudut pada elemen: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Tegangan & regangan aksial

Tegangan normal: σ = F/A
Regangan: ε = ΔL/L
Hukum Hooke: σ = E·ε
Pertambahan panjang: ΔL = FL/(EA)
Regangan termal: ε_T = α·ΔT

Tekuk kolom

Beban Euler: P_cr = π²EI/(KL)²
Faktor panjang efektif: K = 1 sendi–sendi, 0,5 jepit–jepit, 0,7 jepit–sendi, 2 jepit–bebas
Tegangan kritis: σ_cr = P_cr/A
Kelangsingan: λ = KL/r, r = √(I/A)

Getaran mekanis

Frekuensi alami: ω_n = √(k/m), f_n = ω_n/(2π)
Dari defleksi statis: ω_n = √(g/δ_st)
Redaman kritis: c_c = 2√(km) = 2mω_n
Rasio redaman: ζ = c/c_c
Frekuensi teredam: ω_d = ω_n√(1 − ζ²)
Dekremen logaritmik: δ = (1/n)·ln(x₀/x_n), ζ = δ/√(4π² + δ²)
Pegas paralel: k = k₁ + k₂
Pegas seri: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

2Soal latihan

1.Roda gigi & rangkaian roda gigiSedang

Dua poros sejajar berjarak 96 mm. Keduanya harus dihubungkan dengan sepasang roda gigi lurus bermodul 2 mm dan reduksi kecepatan 3 : 1. Berapa jumlah gigi N₂ yang harus dimiliki roda gigi?

a = 96 mmm = 2 mmi = 3

N₂ =

2.Roda gigi & rangkaian roda gigiSulit

Sebuah sabuk terbuka menghubungkan puli 100 mm dan puli 200 mm yang jarak sumbunya 1000 mm. Cari sudut kontak θ pada puli yang lebih kecil, dalam derajat.

d₁ = 100 mmd₂ = 200 mmC = 1000 mm

θ = °

3.Torsi porosSedang

Poros pejal kuningan dijepit di dinding dan dipuntir oleh torsi T di ujung bebasnya. Cari sudut puntir φ ujung bebas, dalam derajat.

T = 200 N·md = 20 mmL = 0,5 mG = 39 GPa

φ = °

4.Torsi porosSulit

Poros berongga meneruskan 75 kW pada 300 rpm. Cari tegangan geser maksimum τ_max pada poros.

P = 75 kWN = 300 rpmd_o = 100 mmd_i = 70 mm

τ_max = MPa

5.Lingkaran Mohr & transformasi teganganSedang

Sebuah titik pada komponen yang dibebani memiliki σₓ = 120 MPa, σᵧ = 110 MPa, dan τₓᵧ = 50 MPa (tarik positif). Cari tegangan geser maksimum dalam bidang τ_max.

σ_x = 120 MPaσ_y = 110 MPaτ_xy = 50 MPa

τ_max = MPa

6.Lingkaran Mohr & transformasi teganganSulit

Poros pejal berdiameter 50 mm menahan momen lentur sebesar 1500 N·m bersama torsi 1000 N·m. Di permukaan atas, tempat tegangan lentur bersifat tarik dan paling besar, cari tegangan utama terbesar σ₁.

d = 50 mmM = 1500 N·mT = 1000 N·m

σ₁ = MPa

7.Tegangan & regangan aksialSedang

Cari regangan aksial ε pada batang kuningan, dalam mikroregangan (µε = 10⁻⁶).

P = 25 kNd = 12 mmL = 1,5 mE = 100 GPa

ε = µε

8.Tegangan & regangan aksialSulit

Sebuah segmen baja (diameter 20 mm, panjang 300 mm, E = 200 GPa) dan segmen dari aluminium (diameter 30 mm, panjang 300 mm, E = 70 GPa) disambung ujung ke ujung dan dijepit di antara dua dinding kaku. Beban aksial 20 kN bekerja di sambungan, menuju segmen 2. Cari besar tegangan σ₂ pada segmen 2.

segmen 1: baja, Ø20 mm, 300 mm, E = 200 GPasegmen 2: aluminium, Ø30 mm, 300 mm, E = 70 GPaP = 20 kN

σ₂ = MPa

9.Tekuk kolomSedang

Kolom sepanjang L dari aluminium dengan tumpuan sendi di kedua ujung. Dengan rumus Euler, cari beban tekuk kritisnya P_cr.

L = 1,5 mE = 70 GPa (aluminium)b × h = 25 × 40 mm

P_cr = kN

10.Tekuk kolomSulit

Kolom bulat pejal sepanjang L dari aluminium dengan tumpuan jepit di bawah dan bebas di atas. Kolom harus menahan 60 kN dengan faktor keamanan 2 terhadap tekuk. Cari diameter terkecil d.

P = 60 kNn = 2L = 2,5 mE = 70 GPa (aluminium)

d = mm

11.Getaran mekanisSedang

Dalam uji getaran bebas sistem massa–pegas teredam, puncak simpangan 40 mm diikuti 5 siklus kemudian oleh puncak 11,4 mm. Cari rasio redaman ζ.

x₀ = 40 mmx₅ = 11,4 mmn = 5

ζ =

12.Getaran mekanisSulit

Massa 40 kg tergantung pada pegas k₃ = 15 kN/m. Ujung atas k₃ terpasang pada batang kaku yang tergantung pada dua pegas berdampingan, k₁ = 40 kN/m dan k₂ = 100 kN/m; batang tetap datar. Abaikan redaman serta massa pegas dan batang. Cari frekuensi alami f_n getaran vertikal dalam Hz.

m = 40 kgk₁ = 40 kN/mk₂ = 100 kN/mk₃ = 15 kN/m

f_n = Hz

3Larutan

1.Roda gigi & rangkaian roda gigi

Jawaban: N₂ = 72

Gear geometry: the module m sets the tooth size. A gear with N teeth has a pitch diameter d = m·N, two meshing gears have the same module, and their centre distance is a = (d₁ + d₂)/2 = m·(N₁ + N₂)/2. The pitch-line speed is v = π·d·n/60, and the tangential tooth force follows from the torque: F_t = 2T/d.

Jumlah gigi total

N₁ + N₂ = 2a/m = 2·96/2 = 96

Bagi menurut rasio

N₁ = 96/(1 + 3) = 24

N₂ = 3·24 = 72

Jawaban

N₂ = 72

2.Roda gigi & rangkaian roda gigi

Jawaban: θ = 174,3 °

Penggerak sabuk: tanpa slip, kedua puli memiliki kecepatan tepi yang sama v = π·d·n/60, sehingga n₁·d₁ = n₂·d₂ dan rasio kecepatan adalah d₂/d₁. Slip s membuat puli yang digerakkan sedikit lebih lambat: n₂ = n₁·(d₁/d₂)·(1 − s). Daya yang ditransmisikan adalah P = (T₁ − T₂)·v, dengan T₁ tegangan sisi tarik dan T₂ sisi kendor. Gesekan membatasi rasio tegangan: T₁/T₂ = e^μθ, dengan θ sudut kontak dalam radian pada puli yang lebih kecil; untuk sabuk terbuka θ = π − 2·asin((d₂ − d₁)/(2C)) dengan jarak sumbu C.

Sudut sabuk

asin(0,05) = 2,866°

Sudut kontak

θ = 180 − 2·2,866 = 174,3°

Jawaban

θ = 174,3°

3.Torsi poros

Jawaban: φ = 9,353 °

Torsi poros bulat: tegangan geser naik linear dari nol di pusat hingga τ_max = T·r/J di permukaan, dengan J = πd⁴/32 untuk poros pejal dan J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 untuk poros berongga. Sudut puntir φ = TL/(GJ) dalam radian. Daya dan torsi berhubungan melalui P = T·ω.

Momen inersia polar

J = π·20⁴/32 = 15708 mm⁴

Sudut puntir

φ = TL/(GJ) = 200·1000·500/(39000·15708) = 0,1632 rad

φ = 0,1632·180/π = 9,353°

Jawaban

φ = 9,353°

4.Torsi poros

Jawaban: τ_max = 16 MPa

Torsi

ω = 2πN/60 = 2π·300/60 = 31,42 rad/s

T = P/ω = 75000/31,42 = 2387 N·m

Momen inersia polar

J = π(100⁴ − 70⁴)/32 = 7,46 × 10⁶ mm⁴

Tegangan geser maksimum

τ_max = T·(d_o/2)/J = 2,387 × 10⁶·50/7,46 × 10⁶ = 16 MPa

Jawaban

τ_max = 16 MPa

5.Lingkaran Mohr & transformasi tegangan

Jawaban: τ_max = 50,25 MPa

Transformasi tegangan bidang: pada bidang yang diputar sebesar θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Lingkaran Mohr menampilkan semua bidang sekaligus: pusatnya di C = (σₓ + σᵧ)/2 dan jari-jarinya R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Tegangan utama adalah C ± R, dan tegangan geser terbesar dalam bidang adalah R.

Jari-jari lingkaran Mohr

τ_max = R = √(((120 − 110)/2)² + 50²) = 50,25 MPa

Jawaban

τ_max = 50,25 MPa

6.Lingkaran Mohr & transformasi tegangan

Jawaban: σ₁ = 134,6 MPa

Tegangan di permukaan

σ = 32M/(πd³) = 32·1500000/(π·50³) = 122,2 MPa

τ = 16T/(πd³) = 16·1000000/(π·50³) = 40,74 MPa

Lingkaran Mohr

C = σ/2 = 61,12 MPa

R = √(61,12² + 40,74²) = 73,45 MPa

σ₁ = C + R = 134,6 MPa

σ₂ = C − R = −12,34 MPa

Jawaban

σ₁ = 134,6 MPa

7.Tegangan & regangan aksial

Jawaban: ε = 2210 µε

Hukum Hooke: dalam daerah elastis σ = E·ε. Digabung dengan σ = P/A dan ε = δ/L menghasilkan δ = PL/(AE).

Tegangan

A = π·12²/4 = 113,1 mm²

σ = P/A = 25·1000/113,1 = 221 MPa

Regangan (hukum Hooke)

E for kuningan = 100 GPa = 100000 MPa.

ε = σ/E = 221/100000 = 0,00221 = 2210 µε

Jawaban

ε = 2210 µε

8.Tegangan & regangan aksial

Jawaban: σ₂ = 12,47 MPa

Dua bahan: pada susunan seri (satu demi satu) setiap segmen menahan gaya yang sama dan perpanjangannya dijumlahkan: δ = P·Σ L/(E·A). Pada susunan paralel (berdampingan di antara pelat kaku) kedua bagian memendek sama besar, sehingga regangannya sama: bagian yang lebih kaku menanggung bagian yang lebih besar, P_i = P·E_iA_i/ΣEA, dan σ_i = E_i·ε. Batang yang ditahan di antara dua dinding kaku dengan beban di sambungan adalah statis tak tentu: kedua segmen membagi beban sebanding dengan kekakuannya k = EA/L.

Kekakuan

k₁ = 200000·314,2/300 = 209440 N/mm

k₂ = 70000·706,9/300 = 164934 N/mm

Bagian segmen 2

F₂ = 20000·164934/374373 = 8811 N

Tegangan

σ₂ = 8811/706,9 = 12,47 MPa (tekan)

Jawaban

σ₂ = 12,47 MPa

9.Tekuk kolom

Jawaban: P_cr = 15,99 kN

Tekuk Euler: kolom langsing menjadi tidak stabil pada P_cr = π²EI/(KL)², dengan KL panjang efektif: K = 1 untuk sendi–sendi, 2 untuk jepit–bebas, 0,7 untuk jepit–sendi, dan 0,5 untuk jepit–jepit. Kolom menekuk terhadap sumbu dengan I terkecil. Rumus berlaku untuk kolom langsing yang tegangan kritisnya tetap di bawah tegangan leleh.

Momen inersia terkecil

Persegi panjang menekuk terhadap sumbu lemahnya, dengan dimensi terkecil dipangkatkan tiga.

I_min = h·b³/12 = 40·25³/12 = 52083 mm⁴

Panjang efektif

KL = 1·1500 = 1500 mm

Beban kritis

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·70000·52083/1500² = 15992 N = 15,99 kN

Jawaban

P_cr = 15,99 kN

10.Tekuk kolom

Jawaban: d = 96,98 mm

Beban kritis yang diperlukan

P_cr = n·P = 2·60000 = 120000 N

KL = 2·2500 = 5000 mm

Selesaikan untuk diameter

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·120000·5000²/(π³·70000))^(1/4) = 96,98 mm

Jawaban

d = 96,98 mm

Periksa: kelangsingan KL/r adalah 206,2, jadi kolom langsing dan rumus Euler berlaku.

11.Getaran mekanis

Jawaban: ζ = 0,03992

Getaran bebas sistem massa–pegas: frekuensi alami tak teredam adalah ω_n = √(k/m) dalam rad/s, dan f_n = ω_n/(2π) dalam Hz. Peredam viskos c memberikan rasio redaman ζ = c/c_c, dengan redaman kritis c_c = 2·√(k·m) = 2·m·ω_n. Sistem kurang teredam (ζ < 1) berosilasi pada ω_d = ω_n·√(1 − ζ²). Pegas paralel dijumlahkan, k = k₁ + k₂; pegas seri dijumlahkan sebagai kebalikan, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

Dekremen logaritmik

δ = (1/5)·ln(40/11,4) = 0,2511

Rasio redaman

ζ = δ/√(4π² + δ²) = 0,2511/√(39,48 + 0,06303) = 0,03992

Jawaban

ζ = 0,03992

12.Getaran mekanis

Jawaban: f_n = 2,929 Hz

Kekakuan ekivalen

Hanya k₁ dan k₂ yang paralel. Pasangan itu seri dengan k₃, jadi gabungkan sebagai kebalikan.

k₁₂ = 40 + 100 = 140 kN/m

k_eq = 140·15/(140 + 15) = 13,55 kN/m

Frekuensi alami

ω_n = √(13548/40) = 18,4 rad/s

f_n = 18,4/(2π) = 2,929 Hz

Jawaban

f_n = 2,929 Hz

ExamProblems · examproblems.com/courses/machine-design