Perancangan Elemen Mesin: paket kilat

Lembar rumus, langkah-langkah metode utama untuk setiap topik, dan 12 soal latihan, dengan pembahasan lengkap di bagian belakang.

Soal baru Kembali ke mata kuliah

Di jendela cetak, pilih “Simpan sebagai PDF” untuk menyimpan salinan di perangkat Anda.

1Rumus dan metode

Roda gigi & rangkaian roda gigi

Roda gigi yang berpasangan: n₁·N₁ = n₂·N₂
Torsi: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η
Daya: P = T·ω, ω = 2π·n/60
Rangkaian roda gigi majemuk: rasio total = hasil kali rasio setiap tingkat

Torsi poros

Tegangan geser: τ = T·r/J
Poros pejal: J = πd⁴/32
Poros berongga: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Sudut puntir: φ = TL/(GJ)
Daya: P = T·ω = 2πnT/60

Metode

Cari momen inersia polar: J = πd⁴/32 untuk poros pejal.
Tegangan geser di permukaan: τ = T·r/J, dengan r jari-jari luar.
Sudut puntir: φ = TL/(GJ) dalam radian.
Jika daya diketahui, cari torsi dulu dengan P = T·ω, ω = 2πn/60.

Lingkaran Mohr & transformasi tegangan

Pusat: C = (σ_x + σ_y)/2
Jari-jari: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Tegangan utama: σ_1,2 = C ± R
Arah utama: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Bidang miring: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Metode

Hitung pusat lingkaran Mohr: C = (σx + σy)/2.
Hitung jari-jarinya: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Tegangan utama adalah C ± R dan tegangan geser bidang terbesar adalah R.
Sudut pada lingkaran adalah dua kali sudut pada elemen: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Tegangan & regangan aksial

Tegangan normal: σ = F/A
Regangan: ε = ΔL/L
Hukum Hooke: σ = E·ε
Pertambahan panjang: ΔL = FL/(EA)
Regangan termal: ε_T = α·ΔT

Tekuk kolom

Beban Euler: P_cr = π²EI/(KL)²
Faktor panjang efektif: K = 1 sendi–sendi, 0,5 jepit–jepit, 0,7 jepit–sendi, 2 jepit–bebas
Tegangan kritis: σ_cr = P_cr/A
Kelangsingan: λ = KL/r, r = √(I/A)

Getaran mekanis

Frekuensi alami: ω_n = √(k/m), f_n = ω_n/(2π)
Dari defleksi statis: ω_n = √(g/δ_st)
Redaman kritis: c_c = 2√(km) = 2mω_n
Rasio redaman: ζ = c/c_c
Frekuensi teredam: ω_d = ω_n√(1 − ζ²)
Dekremen logaritmik: δ = (1/n)·ln(x₀/x_n), ζ = δ/√(4π² + δ²)
Pegas paralel: k = k₁ + k₂
Pegas seri: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

2Soal latihan

1.Roda gigi & rangkaian roda gigiSedang

Sebuah sabuk berjalan pada puli penggerak 120 mm pada 720 rpm. Tegangannya 800 N pada sisi tarik dan 160 N pada sisi kendor. Cari daya P yang ditransmisikan, dalam kW.

d₁ = 120 mmn₁ = 720 rpmT₁ = 800 NT₂ = 160 N

P = kW

2.Roda gigi & rangkaian roda gigiSulit

Sebuah motor 11 kW pada 960 rpm menggerakkan roda gigi A (15 gigi), yang berpasangan dengan roda gigi B (60 gigi). Roda gigi C (48 gigi) pada poros yang sama dengan B menggerakkan roda gigi D (80 gigi) pada poros keluaran. Setiap pasangan roda gigi memiliki efisiensi 96%. Cari torsi keluaran T_out.

P = 11 kWn_in = 960 rpmA = 15B = 60C = 48D = 80η_mesh = 96%

T_out = N·m

3.Torsi porosSedang

Dalam uji torsi, spesimen pejal berdiameter 12 mm dipuntir oleh torsi 40 N·m. Kedua ujung panjang ukur 200 mm berputar 5,77° relatif satu sama lain (bahan masih elastis). Cari modulus geser G bahan.

T = 40 N·md = 12 mmL = 200 mmφ = 5,77°

G = GPa

4.Torsi porosSulit

Poros pejal harus meneruskan 20 kW pada 500 rpm tanpa tegangan geser melebihi 80 MPa. Cari diameter terkecil d yang memenuhi.

P = 20 kWN = 500 rpmτ_allow = 80 MPa

d = mm

5.Lingkaran Mohr & transformasi teganganSedang

Sebuah titik pada komponen yang dibebani memiliki σₓ = 30 MPa, σᵧ = −50 MPa, dan τₓᵧ = 60 MPa (tarik positif). Cari sudut θ_p dari sumbu x ke arah tegangan utama terbesar, antara −90° dan 90°.

σ_x = 30 MPaσ_y = −50 MPaτ_xy = 60 MPa

θ_p = °

6.Lingkaran Mohr & transformasi teganganSulit

Suatu titik pada pelat tipis berada dalam tegangan bidang: σₓ = 120 MPa, σᵧ = −40 MPa, dan τₓᵧ = −30 MPa (σ_z = 0). Bahan memiliki kekuatan luluh 300 MPa. Cari faktor keamanan n terhadap luluh menurut kriteria von Mises (energi distorsi).

σ_x = 120 MPaσ_y = −40 MPaτ_xy = −30 MPaσ_Y = 300 MPa

n =

7.Tegangan & regangan aksialSedang

Sebuah batang baja (diameter 30 mm, E = 200 GPa) berada di dalam tabung dari perunggu (diameter luar 120 mm, diameter dalam 70 mm, E = 110 GPa). Keduanya panjangnya 300 mm dan ditekan bersama di antara pelat kaku oleh 250 kN. Cari pemendekan δ.

P = 250 kNbatang: Ø30 mm, E = 200 GPatabung: Ø120/Ø70 mm, E = 110 GPaL = 300 mm

δ = mm

8.Tegangan & regangan aksialSulit

Sebuah segmen baja (diameter 30 mm, panjang 500 mm, E = 200 GPa) dan segmen dari kuningan (diameter 30 mm, panjang 300 mm, E = 100 GPa) disambung ujung ke ujung dan dijepit di antara dua dinding kaku. Beban aksial 40 kN bekerja di sambungan, menuju segmen 2. Cari besar tegangan σ₂ pada segmen 2.

segmen 1: baja, Ø30 mm, 500 mm, E = 200 GPasegmen 2: kuningan, Ø30 mm, 300 mm, E = 100 GPaP = 40 kN

σ₂ = MPa

9.Tekuk kolomSedang

Kolom sepanjang L dari baja dengan tumpuan jepit di bawah dan sendi di atas. Dengan rumus Euler, cari beban tekuk kritisnya P_cr.

L = 1,5 mE = 200 GPa (baja)b × h = 20 × 80 mm

P_cr = kN

10.Tekuk kolomSulit

Kolom sepanjang L dari aluminium dengan tumpuan jepit di bawah dan sendi di atas. Cari kelangsingannya dan tegangan tekuk kritis σ_cr dari rumus Euler.

L = 2 mE = 70 GPa (aluminium)d = 50 mm

σ_cr = MPa

11.Getaran mekanisSedang

Dalam uji getaran bebas sistem massa–pegas teredam, puncak simpangan 30 mm diikuti 5 siklus kemudian oleh puncak 11,7 mm. Cari rasio redaman ζ.

x₀ = 30 mmx₅ = 11,7 mmn = 5

ζ =

12.Getaran mekanisSulit

Massa 25 kg tergantung pada pegas k₃ = 25 kN/m. Ujung atas k₃ terpasang pada batang kaku yang tergantung pada dua pegas berdampingan, k₁ = 30 kN/m dan k₂ = 30 kN/m; batang tetap datar. Abaikan redaman serta massa pegas dan batang. Cari frekuensi alami f_n getaran vertikal dalam Hz.

m = 25 kgk₁ = 30 kN/mk₂ = 30 kN/mk₃ = 25 kN/m

f_n = Hz

3Larutan

1.Roda gigi & rangkaian roda gigi

Jawaban: P = 2,895 kW

Penggerak sabuk: tanpa slip, kedua puli memiliki kecepatan tepi yang sama v = π·d·n/60, sehingga n₁·d₁ = n₂·d₂ dan rasio kecepatan adalah d₂/d₁. Slip s membuat puli yang digerakkan sedikit lebih lambat: n₂ = n₁·(d₁/d₂)·(1 − s). Daya yang ditransmisikan adalah P = (T₁ − T₂)·v, dengan T₁ tegangan sisi tarik dan T₂ sisi kendor. Gesekan membatasi rasio tegangan: T₁/T₂ = e^μθ, dengan θ sudut kontak dalam radian pada puli yang lebih kecil; untuk sabuk terbuka θ = π − 2·asin((d₂ − d₁)/(2C)) dengan jarak sumbu C.

Kecepatan sabuk

v = 4,524 m/s

Daya

P = (800 − 160)·4,524 = 2895 W = 2,895 kW

Jawaban

P = 2,895 kW

2.Roda gigi & rangkaian roda gigi

Jawaban: T_out = 672,3 N·m

Rangkaian roda gigi: roda gigi yang berpasangan memiliki kecepatan yang sama di giginya, sehingga n₁·N₁ = n₂·N₂: roda gigi dengan jumlah gigi lebih sedikit berputar lebih cepat. Roda gigi pada satu poros berputar dengan kecepatan yang sama. Daya diteruskan (dikurangi rugi-rugi), sehingga torsi naik ketika putaran turun: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, dan P = T·ω dengan ω = 2π·n/60.

Kecepatan keluaran

n_out = 960·(15/60)·(48/80) = 144 rpm

ω_out = 2π·144/60 = 15,08 rad/s

Daya dan torsi keluaran

P_out = 11000·0,96² = 10138 W

T_out = P_out/ω_out = 10138/15,08 = 672,3 N·m

Jawaban

T_out = 672,3 N·m

3.Torsi poros

Jawaban: G = 39,02 GPa

Torsi poros bulat: tegangan geser naik linear dari nol di pusat hingga τ_max = T·r/J di permukaan, dengan J = πd⁴/32 untuk poros pejal dan J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 untuk poros berongga. Sudut puntir φ = TL/(GJ) dalam radian. Daya dan torsi berhubungan melalui P = T·ω.

Momen inersia polar dan sudut

J = π·12⁴/32 = 2036 mm⁴

φ = 5,77·π/180 = 0,1007 rad

Modulus geser

T = 40 N·m = 40000 N·mm

G = TL/(Jφ) = 40000·200/(2036·0,1007) = 39022 MPa

G = 39,02 GPa

Jawaban

G = 39,02 GPa

Bandingkan: baja ≈ 80 GPa, kuningan ≈ 39 GPa, aluminium ≈ 26 GPa.

4.Torsi poros

Jawaban: d = 28,97 mm

Torsi

ω = 2πN/60 = 2π·500/60 = 52,36 rad/s

T = P/ω = 20000/52,36 = 382 N·m

Diameter dari tegangan izin

d = ∛(16T/(π·τ_allow)) = ∛(16·381972/(π·80)) = 28,97 mm

Jawaban

d = 28,97 mm

Dalam praktik Anda membulatkan ke ukuran standar berikutnya.

5.Lingkaran Mohr & transformasi tegangan

Jawaban: θ_p = 28,15 °

Sudut pada lingkaran

Titik x terletak pada sudut 2θp dari sumbu σ pada lingkaran Mohr; kuadrannya ditentukan oleh tanda σₓ − σᵧ dan τₓᵧ.

2θ_p = atan2(2·60, 30 − −50) = 56,31°

Sudut pada elemen

θ_p = 28,15°

Jawaban

θ_p = 28,15°

Sudut positif berlawanan arah jarum jam.

6.Lingkaran Mohr & transformasi tegangan

Jawaban: n = 1,957

Transformasi tegangan bidang: pada bidang yang diputar sebesar θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Lingkaran Mohr menampilkan semua bidang sekaligus: pusatnya di C = (σₓ + σᵧ)/2 dan jari-jarinya R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Tegangan utama adalah C ± R, dan tegangan geser terbesar dalam bidang adalah R. Kriteria luluh: von Mises memprediksi luluh ketika σ_vM = √(σ₁² − σ₁σ₂ + σ₂²) mencapai σ_Y; Tresca ketika tegangan geser maksimum absolut mencapai σ_Y/2.

Tegangan utama

C = 40 MPa, R = 85,44 MPa

σ₁ = 125,4 MPa, σ₂ = −45,44 MPa, σ₃ = 0

Von Mises

σ_vM = √(125,4² − 125,4·(−45,44) + (−45,44)²) = 153,3 MPa

n = 300/153,3 = 1,957

Jawaban

n = 1,957

n > 1 berarti titik tersebut tidak luluh; Tresca sedikit lebih konservatif daripada von Mises.

7.Tegangan & regangan aksial

Jawaban: δ = 0,07795 mm

Dua bahan: pada susunan seri (satu demi satu) setiap segmen menahan gaya yang sama dan perpanjangannya dijumlahkan: δ = P·Σ L/(E·A). Pada susunan paralel (berdampingan di antara pelat kaku) kedua bagian memendek sama besar, sehingga regangannya sama: bagian yang lebih kaku menanggung bagian yang lebih besar, P_i = P·E_iA_i/ΣEA, dan σ_i = E_i·ε. Batang yang ditahan di antara dua dinding kaku dengan beban di sambungan adalah statis tak tentu: kedua segmen membagi beban sebanding dengan kekakuannya k = EA/L.

Luas

A_r = π·30²/4 = 706,9 mm²

A_t = π(120² − 70²)/4 = 7461 mm²

Kekakuan aksial gabungan

ΣEA = 200·10³·706,9 + 110·10³·7461 = 9,621 × 10⁸ N

Pemendekan

δ = 250000·300/9,621 × 10⁸ = 0,07795 mm

Jawaban

δ = 0,07795 mm

8.Tegangan & regangan aksial

Jawaban: σ₂ = 25,72 MPa

Kekakuan

k₁ = 200000·706,9/500 = 282743 N/mm

k₂ = 100000·706,9/300 = 235619 N/mm

Bagian segmen 2

F₂ = 40000·235619/518363 = 18182 N

Tegangan

σ₂ = 18182/706,9 = 25,72 MPa (tekan)

Jawaban

σ₂ = 25,72 MPa

9.Tekuk kolom

Jawaban: P_cr = 95,49 kN

Tekuk Euler: kolom langsing menjadi tidak stabil pada P_cr = π²EI/(KL)², dengan KL panjang efektif: K = 1 untuk sendi–sendi, 2 untuk jepit–bebas, 0,7 untuk jepit–sendi, dan 0,5 untuk jepit–jepit. Kolom menekuk terhadap sumbu dengan I terkecil. Rumus berlaku untuk kolom langsing yang tegangan kritisnya tetap di bawah tegangan leleh.

Momen inersia terkecil

Persegi panjang menekuk terhadap sumbu lemahnya, dengan dimensi terkecil dipangkatkan tiga.

I_min = h·b³/12 = 80·20³/12 = 53333 mm⁴

Panjang efektif

KL = 0,7·1500 = 1050 mm

Beban kritis

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·53333/1050² = 95488 N = 95,49 kN

Jawaban

P_cr = 95,49 kN

10.Tekuk kolom

Jawaban: σ_cr = 55,08 MPa

Momen inersia terkecil

Penampang bulat memiliki I yang sama terhadap setiap sumbu.

I = πd⁴/64 = π·50⁴/64 = 306796 mm⁴

Jari-jari girasi dan kelangsingan

A = 1963 mm²

r = √(I/A) = √(306796/1963) = 12,5 mm

KL = 0,7·2000 = 1400 mm

KL/r = 1400/12,5 = 112

Tegangan kritis

σ_cr = π²E/(KL/r)² = π²·70000/112² = 55,08 MPa

Jawaban

σ_cr = 55,08 MPa

11.Getaran mekanis

Jawaban: ζ = 0,02996

Getaran bebas sistem massa–pegas: frekuensi alami tak teredam adalah ω_n = √(k/m) dalam rad/s, dan f_n = ω_n/(2π) dalam Hz. Peredam viskos c memberikan rasio redaman ζ = c/c_c, dengan redaman kritis c_c = 2·√(k·m) = 2·m·ω_n. Sistem kurang teredam (ζ < 1) berosilasi pada ω_d = ω_n·√(1 − ζ²). Pegas paralel dijumlahkan, k = k₁ + k₂; pegas seri dijumlahkan sebagai kebalikan, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

Dekremen logaritmik

δ = (1/5)·ln(30/11,7) = 0,1883

Rasio redaman

ζ = δ/√(4π² + δ²) = 0,1883/√(39,48 + 0,03547) = 0,02996

Jawaban

ζ = 0,02996

12.Getaran mekanis

Jawaban: f_n = 4,228 Hz

Kekakuan ekivalen

Hanya k₁ dan k₂ yang paralel. Pasangan itu seri dengan k₃, jadi gabungkan sebagai kebalikan.

k₁₂ = 30 + 30 = 60 kN/m

k_eq = 60·25/(60 + 25) = 17,65 kN/m

Frekuensi alami

ω_n = √(17647/25) = 26,57 rad/s

f_n = 26,57/(2π) = 4,228 Hz

Jawaban

f_n = 4,228 Hz

ExamProblems · examproblems.com/courses/machine-design