Perancangan Elemen Mesin: paket kilat

Lembar rumus, langkah-langkah metode utama untuk setiap topik, dan 12 soal latihan, dengan pembahasan lengkap di bagian belakang.

Soal baru Kembali ke mata kuliah

Di jendela cetak, pilih “Simpan sebagai PDF” untuk menyimpan salinan di perangkat Anda.

1Rumus dan metode

Roda gigi & rangkaian roda gigi

Roda gigi yang berpasangan: n₁·N₁ = n₂·N₂
Torsi: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η
Daya: P = T·ω, ω = 2π·n/60
Rangkaian roda gigi majemuk: rasio total = hasil kali rasio setiap tingkat

Torsi poros

Tegangan geser: τ = T·r/J
Poros pejal: J = πd⁴/32
Poros berongga: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Sudut puntir: φ = TL/(GJ)
Daya: P = T·ω = 2πnT/60

Metode

Cari momen inersia polar: J = πd⁴/32 untuk poros pejal.
Tegangan geser di permukaan: τ = T·r/J, dengan r jari-jari luar.
Sudut puntir: φ = TL/(GJ) dalam radian.
Jika daya diketahui, cari torsi dulu dengan P = T·ω, ω = 2πn/60.

Lingkaran Mohr & transformasi tegangan

Pusat: C = (σ_x + σ_y)/2
Jari-jari: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Tegangan utama: σ_1,2 = C ± R
Arah utama: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Bidang miring: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Metode

Hitung pusat lingkaran Mohr: C = (σx + σy)/2.
Hitung jari-jarinya: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Tegangan utama adalah C ± R dan tegangan geser bidang terbesar adalah R.
Sudut pada lingkaran adalah dua kali sudut pada elemen: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Tegangan & regangan aksial

Tegangan normal: σ = F/A
Regangan: ε = ΔL/L
Hukum Hooke: σ = E·ε
Pertambahan panjang: ΔL = FL/(EA)
Regangan termal: ε_T = α·ΔT

Tekuk kolom

Beban Euler: P_cr = π²EI/(KL)²
Faktor panjang efektif: K = 1 sendi–sendi, 0,5 jepit–jepit, 0,7 jepit–sendi, 2 jepit–bebas
Tegangan kritis: σ_cr = P_cr/A
Kelangsingan: λ = KL/r, r = √(I/A)

Getaran mekanis

Frekuensi alami: ω_n = √(k/m), f_n = ω_n/(2π)
Dari defleksi statis: ω_n = √(g/δ_st)
Redaman kritis: c_c = 2√(km) = 2mω_n
Rasio redaman: ζ = c/c_c
Frekuensi teredam: ω_d = ω_n√(1 − ζ²)
Dekremen logaritmik: δ = (1/n)·ln(x₀/x_n), ζ = δ/√(4π² + δ²)
Pegas paralel: k = k₁ + k₂
Pegas seri: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

2Soal latihan

1.Roda gigi & rangkaian roda gigiSedang

Sebuah motor 3 kW yang berputar pada 960 rpm menggerakkan pinion dengan 40 gigi, yang berpasangan dengan roda gigi 60 gigi. Abaikan rugi-rugi. Cari torsi keluaran T₂ pada poros roda gigi.

P = 3 kWn₁ = 960 rpmN₁ = 40N₂ = 60η = 100%

T₂ = N·m

2.Roda gigi & rangkaian roda gigiSulit

Sebuah sabuk terbuka menghubungkan puli 150 mm dan puli 250 mm yang jarak sumbunya 500 mm. Cari sudut kontak θ pada puli yang lebih kecil, dalam derajat.

d₁ = 150 mmd₂ = 250 mmC = 500 mm

θ = °

3.Torsi porosSedang

Poros pejal kuningan dijepit di dinding dan dipuntir oleh torsi T di ujung bebasnya. Cari sudut puntir φ ujung bebas, dalam derajat.

T = 1000 N·md = 40 mmL = 1 mG = 39 GPa

φ = °

4.Torsi porosSulit

Poros pejal harus meneruskan 5 kW pada 1000 rpm tanpa tegangan geser melebihi 80 MPa. Cari diameter terkecil d yang memenuhi.

P = 5 kWN = 1000 rpmτ_allow = 80 MPa

d = mm

5.Lingkaran Mohr & transformasi teganganSedang

Sebuah titik pada komponen yang dibebani memiliki σₓ = −70 MPa, σᵧ = −40 MPa, dan τₓᵧ = 40 MPa (tarik positif). Cari sudut θ_p dari sumbu x ke arah tegangan utama terbesar, antara −90° dan 90°.

σ_x = −70 MPaσ_y = −40 MPaτ_xy = 40 MPa

θ_p = °

6.Lingkaran Mohr & transformasi teganganSulit

Sebuah titik pada komponen yang dibebani memiliki σₓ = −10 MPa, σᵧ = −40 MPa, dan τₓᵧ = −60 MPa (tarik positif). Cari tegangan geser τ_θ pada bidang yang normalnya diputar 20° searah jarum jam dari sumbu x (positif dengan arah yang sama seperti τₓᵧ).

σ_x = −10 MPaσ_y = −40 MPaτ_xy = −60 MPaθ = -20°

τ_θ = MPa

7.Tegangan & regangan aksialSedang

Cari pertambahan panjang δ batang tembaga akibat beban aksial.

P = 75 kNd = 12 mmL = 1 mE = 117 GPa

δ = mm

8.Tegangan & regangan aksialSulit

Sebuah segmen baja (diameter 25 mm, panjang 500 mm, E = 200 GPa) dan segmen dari aluminium (diameter 50 mm, panjang 400 mm, E = 70 GPa) disambung ujung ke ujung dan dijepit di antara dua dinding kaku. Beban aksial 30 kN bekerja di sambungan, menuju segmen 2. Cari besar tegangan σ₂ pada segmen 2.

segmen 1: baja, Ø25 mm, 500 mm, E = 200 GPasegmen 2: aluminium, Ø50 mm, 400 mm, E = 70 GPaP = 30 kN

σ₂ = MPa

9.Tekuk kolomSedang

Kolom sepanjang L dari aluminium dengan tumpuan sendi di kedua ujung. Dengan rumus Euler, cari beban tekuk kritisnya P_cr.

L = 6 mE = 70 GPa (aluminium)d = 50 mm

P_cr = kN

10.Tekuk kolomSulit

Kolom sepanjang L dari baja dengan tumpuan sendi di kedua ujung. Cari kelangsingannya dan tegangan tekuk kritis σ_cr dari rumus Euler.

L = 2 mE = 200 GPa (baja)d = 50 mm

σ_cr = MPa

11.Getaran mekanisSedang

Massa 8 kg pada pegas dengan kekakuan 10 kN/m memiliki peredam viskos yang memberikan rasio redaman 0,5. Cari frekuensi alami teredam f_d getaran bebasnya dalam Hz.

m = 8 kgk = 10 kN/mζ = 0,5

f_d = Hz

12.Getaran mekanisSulit

Massa 10 kg tergantung pada pegas k₃ = 80 kN/m. Ujung atas k₃ terpasang pada batang kaku yang tergantung pada dua pegas berdampingan, k₁ = 100 kN/m dan k₂ = 12 kN/m; batang tetap datar. Abaikan redaman serta massa pegas dan batang. Cari frekuensi alami f_n getaran vertikal dalam Hz.

m = 10 kgk₁ = 100 kN/mk₂ = 12 kN/mk₃ = 80 kN/m

f_n = Hz

3Larutan

1.Roda gigi & rangkaian roda gigi

Jawaban: T₂ = 44,76 N·m

Rangkaian roda gigi: roda gigi yang berpasangan memiliki kecepatan yang sama di giginya, sehingga n₁·N₁ = n₂·N₂: roda gigi dengan jumlah gigi lebih sedikit berputar lebih cepat. Roda gigi pada satu poros berputar dengan kecepatan yang sama. Daya diteruskan (dikurangi rugi-rugi), sehingga torsi naik ketika putaran turun: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, dan P = T·ω dengan ω = 2π·n/60.

Torsi motor

ω₁ = 2π·960/60 = 100,5 rad/s

T₁ = P/ω₁ = 3000/100,5 = 29,84 N·m

Torsi keluaran

T₂ = 29,84·60/40·1 = 44,76 N·m

Jawaban

T₂ = 44,76 N·m

2.Roda gigi & rangkaian roda gigi

Jawaban: θ = 168,5 °

Penggerak sabuk: tanpa slip, kedua puli memiliki kecepatan tepi yang sama v = π·d·n/60, sehingga n₁·d₁ = n₂·d₂ dan rasio kecepatan adalah d₂/d₁. Slip s membuat puli yang digerakkan sedikit lebih lambat: n₂ = n₁·(d₁/d₂)·(1 − s). Daya yang ditransmisikan adalah P = (T₁ − T₂)·v, dengan T₁ tegangan sisi tarik dan T₂ sisi kendor. Gesekan membatasi rasio tegangan: T₁/T₂ = e^μθ, dengan θ sudut kontak dalam radian pada puli yang lebih kecil; untuk sabuk terbuka θ = π − 2·asin((d₂ − d₁)/(2C)) dengan jarak sumbu C.

Sudut sabuk

asin(0,1) = 5,739°

Sudut kontak

θ = 180 − 2·5,739 = 168,5°

Jawaban

θ = 168,5°

3.Torsi poros

Jawaban: φ = 5,845 °

Torsi poros bulat: tegangan geser naik linear dari nol di pusat hingga τ_max = T·r/J di permukaan, dengan J = πd⁴/32 untuk poros pejal dan J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 untuk poros berongga. Sudut puntir φ = TL/(GJ) dalam radian. Daya dan torsi berhubungan melalui P = T·ω.

Momen inersia polar

J = π·40⁴/32 = 251327 mm⁴

Sudut puntir

φ = TL/(GJ) = 1000·1000·1000/(39000·251327) = 0,102 rad

φ = 0,102·180/π = 5,845°

Jawaban

φ = 5,845°

4.Torsi poros

Jawaban: d = 14,49 mm

Torsi

ω = 2πN/60 = 2π·1000/60 = 104,7 rad/s

T = P/ω = 5000/104,7 = 47,75 N·m

Diameter dari tegangan izin

d = ∛(16T/(π·τ_allow)) = ∛(16·47746/(π·80)) = 14,49 mm

Jawaban

d = 14,49 mm

Dalam praktik Anda membulatkan ke ukuran standar berikutnya.

5.Lingkaran Mohr & transformasi tegangan

Jawaban: θ_p = 55,28 °

Transformasi tegangan bidang: pada bidang yang diputar sebesar θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Lingkaran Mohr menampilkan semua bidang sekaligus: pusatnya di C = (σₓ + σᵧ)/2 dan jari-jarinya R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Tegangan utama adalah C ± R, dan tegangan geser terbesar dalam bidang adalah R.

Sudut pada lingkaran

Titik x terletak pada sudut 2θp dari sumbu σ pada lingkaran Mohr; kuadrannya ditentukan oleh tanda σₓ − σᵧ dan τₓᵧ.

2θ_p = atan2(2·40, −70 − −40) = 110,6°

Sudut pada elemen

θ_p = 55,28°

Jawaban

θ_p = 55,28°

Sudut positif berlawanan arah jarum jam.

6.Lingkaran Mohr & transformasi tegangan

Jawaban: τ_θ = −36,32 MPa

Persamaan transformasi

τ_θ = −15·−0,6428 + −60·0,766 = −36,32 MPa

Jawaban

τ_θ = −36,32 MPa

7.Tegangan & regangan aksial

Jawaban: δ = 5,668 mm

Hukum Hooke: dalam daerah elastis σ = E·ε. Digabung dengan σ = P/A dan ε = δ/L menghasilkan δ = PL/(AE).

Tegangan

A = π·12²/4 = 113,1 mm²

σ = P/A = 75·1000/113,1 = 663,1 MPa

Regangan (hukum Hooke)

E for tembaga = 117 GPa = 117000 MPa.

ε = σ/E = 663,1/117000 = 0,005668 = 5668 µε

Pertambahan panjang

δ = ε·L = 0,005668·1000 mm = 5,668 mm

Jawaban

δ = 5,668 mm

8.Tegangan & regangan aksial

Jawaban: σ₂ = 9,723 MPa

Dua bahan: pada susunan seri (satu demi satu) setiap segmen menahan gaya yang sama dan perpanjangannya dijumlahkan: δ = P·Σ L/(E·A). Pada susunan paralel (berdampingan di antara pelat kaku) kedua bagian memendek sama besar, sehingga regangannya sama: bagian yang lebih kaku menanggung bagian yang lebih besar, P_i = P·E_iA_i/ΣEA, dan σ_i = E_i·ε. Batang yang ditahan di antara dua dinding kaku dengan beban di sambungan adalah statis tak tentu: kedua segmen membagi beban sebanding dengan kekakuannya k = EA/L.

Kekakuan

k₁ = 200000·490,9/500 = 196350 N/mm

k₂ = 70000·1963/400 = 343612 N/mm

Bagian segmen 2

F₂ = 30000·343612/539961 = 19091 N

Tegangan

σ₂ = 19091/1963 = 9,723 MPa (tekan)

Jawaban

σ₂ = 9,723 MPa

9.Tekuk kolom

Jawaban: P_cr = 5,888 kN

Tekuk Euler: kolom langsing menjadi tidak stabil pada P_cr = π²EI/(KL)², dengan KL panjang efektif: K = 1 untuk sendi–sendi, 2 untuk jepit–bebas, 0,7 untuk jepit–sendi, dan 0,5 untuk jepit–jepit. Kolom menekuk terhadap sumbu dengan I terkecil. Rumus berlaku untuk kolom langsing yang tegangan kritisnya tetap di bawah tegangan leleh.

Momen inersia terkecil

Penampang bulat memiliki I yang sama terhadap setiap sumbu.

I = πd⁴/64 = π·50⁴/64 = 306796 mm⁴

Panjang efektif

KL = 1·6000 = 6000 mm

Beban kritis

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·70000·306796/6000² = 5888 N = 5,888 kN

Jawaban

P_cr = 5,888 kN

10.Tekuk kolom

Jawaban: σ_cr = 77,11 MPa

Momen inersia terkecil

Penampang bulat memiliki I yang sama terhadap setiap sumbu.

I = πd⁴/64 = π·50⁴/64 = 306796 mm⁴

Jari-jari girasi dan kelangsingan

A = 1963 mm²

r = √(I/A) = √(306796/1963) = 12,5 mm

KL = 1·2000 = 2000 mm

KL/r = 2000/12,5 = 160

Tegangan kritis

σ_cr = π²E/(KL/r)² = π²·200000/160² = 77,11 MPa

Jawaban

σ_cr = 77,11 MPa

11.Getaran mekanis

Jawaban: f_d = 4,873 Hz

Getaran bebas sistem massa–pegas: frekuensi alami tak teredam adalah ω_n = √(k/m) dalam rad/s, dan f_n = ω_n/(2π) dalam Hz. Peredam viskos c memberikan rasio redaman ζ = c/c_c, dengan redaman kritis c_c = 2·√(k·m) = 2·m·ω_n. Sistem kurang teredam (ζ < 1) berosilasi pada ω_d = ω_n·√(1 − ζ²). Pegas paralel dijumlahkan, k = k₁ + k₂; pegas seri dijumlahkan sebagai kebalikan, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

Frekuensi alami tak teredam

ω_n = √(10000/8) = 35,36 rad/s

f_n = 35,36/(2π) = 5,627 Hz

Frekuensi alami teredam

f_d = f_n·√(1 − ζ²) = 5,627·√(1 − 0,5²) = 4,873 Hz

Jawaban

f_d = 4,873 Hz

12.Getaran mekanis

Jawaban: f_n = 10,87 Hz

Kekakuan ekivalen

Hanya k₁ dan k₂ yang paralel. Pasangan itu seri dengan k₃, jadi gabungkan sebagai kebalikan.

k₁₂ = 100 + 12 = 112 kN/m

k_eq = 112·80/(112 + 80) = 46,67 kN/m

Frekuensi alami

ω_n = √(46667/10) = 68,31 rad/s

f_n = 68,31/(2π) = 10,87 Hz

Jawaban

f_n = 10,87 Hz

ExamProblems · examproblems.com/courses/machine-design