Perancangan Elemen Mesin: paket kilat

Lembar rumus, langkah-langkah metode utama untuk setiap topik, dan 12 soal latihan, dengan pembahasan lengkap di bagian belakang.

Soal baruKembali ke mata kuliah

Di jendela cetak, pilih “Simpan sebagai PDF” untuk menyimpan salinan di perangkat Anda.

1Rumus dan metode

Roda gigi & rangkaian roda gigi

Roda gigi yang berpasangan
n1·N1 = n2·N2
Torsi
T2 = T1·(N2/N1)·η
Daya
P = T·ω, ω = 2π·n/60
Rangkaian roda gigi majemuk
rasio total = hasil kali rasio setiap tingkat

Torsi poros

Tegangan geser
τ = T·r/J
Poros pejal
J = πd⁴/32
Poros berongga
J = π(D⁴ − d⁴)/32
Sudut puntir
φ = TL/(GJ)
Daya
P = T·ω = 2πnT/60

Metode

  1. Cari momen inersia polar: J = πd⁴/32 untuk poros pejal.
  2. Tegangan geser di permukaan: τ = T·r/J, dengan r jari-jari luar.
  3. Sudut puntir: φ = TL/(GJ) dalam radian.
  4. Jika daya diketahui, cari torsi dulu dengan P = T·ω, ω = 2πn/60.

Lingkaran Mohr & transformasi tegangan

Pusat
C = (σx + σy)/2
Jari-jari
R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)
Tegangan utama
σ1,2 = C ± R
Arah utama
tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)
Bidang miring
σθ = C + (σx − σy)/2·cos 2θ + τxy·sin 2θ

Metode

  1. Hitung pusat lingkaran Mohr: C = (σx + σy)/2.
  2. Hitung jari-jarinya: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
  3. Tegangan utama adalah C ± R dan tegangan geser bidang terbesar adalah R.
  4. Sudut pada lingkaran adalah dua kali sudut pada elemen: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Tegangan & regangan aksial

Tegangan normal
σ = F/A
Regangan
ε = ΔL/L
Hukum Hooke
σ = E·ε
Pertambahan panjang
ΔL = FL/(EA)
Regangan termal
εT = α·ΔT

Tekuk kolom

Beban Euler
Pcr = π²EI/(KL)²
Faktor panjang efektif
K = 1 sendi–sendi, 0,5 jepit–jepit, 0,7 jepit–sendi, 2 jepit–bebas
Tegangan kritis
σcr = Pcr/A
Kelangsingan
λ = KL/r, r = √(I/A)

Getaran mekanis

Frekuensi alami
ωn = √(k/m), fn = ωn/(2π)
Dari defleksi statis
ωn = √(g/δst)
Redaman kritis
cc = 2√(km) = 2mωn
Rasio redaman
ζ = c/cc
Frekuensi teredam
ωd = ωn√(1 − ζ²)
Dekremen logaritmik
δ = (1/n)·ln(x0/xn), ζ = δ/√(4π² + δ²)
Pegas paralel
k = k1 + k2
Pegas seri
1/k = 1/k1 + 1/k2

2Soal latihan

1.Roda gigi & rangkaian roda gigiSedang
N1​ = 16N2​ = 25

Sebuah motor 0,75 kW yang berputar pada 960 rpm menggerakkan pinion dengan 16 gigi, yang berpasangan dengan roda gigi 25 gigi. Pasangan roda gigi memiliki efisiensi 98%. Cari torsi keluaran T2 pada poros roda gigi.

P = 0,75 kWn1 = 960 rpmN1 = 16N2 = 25η = 98%
T2 = N·m
2.Roda gigi & rangkaian roda gigiSulit
A = 60B = 80C = 20D = 36

Dalam rangkaian roda gigi majemuk, roda gigi A (60 gigi) pada poros masukan yang berputar pada 960 rpm menggerakkan roda gigi B (80 gigi). Roda gigi C (20 gigi) terpasang pada poros yang sama dengan B dan menggerakkan roda gigi D (36 gigi) pada poros keluaran. Cari putaran keluaran nout.

nin = 960 rpmA = 60B = 80C = 20D = 36
nout = rpm
3.Torsi porosSedang
do​ = 60, di​ = 30 mmT = 750 N·mL = 1,2 m

Poros baja berongga (diameter luar 60 mm, diameter dalam 30 mm, panjang 1,2 m) dijepit di satu ujung dan dipuntir oleh torsi 750 N·m di ujung lainnya. Cari sudut puntir φ dalam derajat.

T = 750 N·mdo = 60 mmdi = 30 mmL = 1,2 mG = 80 GPa
φ = °
4.Torsi porosSulit
d = ?30 kW, 300 rpm

Poros kuningan pejal meneruskan 30 kW pada 300 rpm. Tegangan geser tidak boleh melebihi 40 MPa dan puntiran tidak boleh melebihi 1° per m panjang. Cari diameter terkecil d yang memenuhi kedua batas.

P = 30 kWN = 300 rpmτallow = 40 MPaθallow = 1°/mG = 39 GPa
d = mm
5.Lingkaran Mohr & transformasi teganganSedang
σx​ = 80σy​ = 30τxy​ = −60MPa

Sebuah titik pada komponen yang dibebani memiliki σₓ = 80 MPa, σᵧ = 30 MPa, dan τₓᵧ = −60 MPa (tarik positif). Cari tegangan geser maksimum dalam bidang τmax.

σx = 80 MPaσy = 30 MPaτxy = −60 MPa
τmax = MPa
6.Lingkaran Mohr & transformasi teganganSulit
σx​ = 80σy​ = 100τxy​ = 50MPa

Sebuah titik pada komponen yang dibebani memiliki σₓ = 80 MPa, σᵧ = 100 MPa, dan τₓᵧ = 50 MPa (tarik positif). Cari tegangan normal σθ pada bidang yang normalnya diputar 30° searah jarum jam dari sumbu x.

σx = 80 MPaσy = 100 MPaτxy = 50 MPaθ = -30°
σθ = MPa
7.Tegangan & regangan aksialSedang
Ø 30 mmKuningan2 mP = 105 kN

Cari regangan aksial ε pada batang kuningan, dalam mikroregangan (µε = 10⁻⁶).

P = 105 kNd = 30 mmL = 2 mE = 100 GPa
ε = µε
8.Tegangan & regangan aksialSulit
Ø 30 mmTembaga0,5 mØ 16 mmAluminium1,5 mP = 25 kN

Batang bertingkat dijepit di dinding dan dibebani di ujung bebasnya. Cari tegangan normal terbesar σmax pada batang.

P = 25 kNsegmen 1: Ø30 mm, 0,5 m, tembaga (E = 117 GPa)segmen 2: Ø16 mm, 1,5 m, aluminium (E = 70 GPa)
σmax = MPa
9.Tekuk kolomSedang
PL = 1,5 m20 × 60 mmpenampang

Kolom sepanjang L dari baja dengan tumpuan jepit di bawah dan bebas di atas. Dengan rumus Euler, cari beban tekuk kritisnya Pcr.

L = 1,5 mE = 200 GPa (baja)b × h = 20 × 60 mm
Pcr = kN
10.Tekuk kolomSulit
P = 65 kNL = 6 md = ?penampang

Kolom bulat pejal sepanjang L dari baja dengan tumpuan jepit di kedua ujung. Kolom harus menahan 65 kN dengan faktor keamanan 2 terhadap tekuk. Cari diameter terkecil d.

P = 65 kNn = 2L = 6 mE = 200 GPa (baja)
d = mm
11.Getaran mekanisSedang
k = 80 kN/mc = 2680 N·s/mm = 250 kg

Massa 250 kg ditopang oleh pegas dengan kekakuan 80 kN/m dan peredam viskos dengan koefisien redaman 2680 N·s/m. Cari rasio redaman ζ.

m = 250 kgk = 80 kN/mc = 2680 N·s/m
ζ =
12.Getaran mekanisSulit
k1​ = 100k2​ = 10k3​ = 10m = 25 kg

Massa 25 kg tergantung pada pegas k₃ = 10 kN/m. Ujung atas k₃ terpasang pada batang kaku yang tergantung pada dua pegas berdampingan, k₁ = 100 kN/m dan k₂ = 10 kN/m; batang tetap datar. Abaikan redaman serta massa pegas dan batang. Cari frekuensi alami fn getaran vertikal dalam Hz.

m = 25 kgk1 = 100 kN/mk2 = 10 kN/mk3 = 10 kN/m
fn = Hz

3Larutan

1.Roda gigi & rangkaian roda gigi

Jawaban: T2 = 11,42 N·m

Rangkaian roda gigi: roda gigi yang berpasangan memiliki kecepatan yang sama di giginya, sehingga n₁·N₁ = n₂·N₂: roda gigi dengan jumlah gigi lebih sedikit berputar lebih cepat. Roda gigi pada satu poros berputar dengan kecepatan yang sama. Daya diteruskan (dikurangi rugi-rugi), sehingga torsi naik ketika putaran turun: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, dan P = T·ω dengan ω = 2π·n/60.

Torsi motor

ω₁ = 2π·960/60 = 100,5 rad/s
T1 = P/ω₁ = 750/100,5 = 7,46 N·m

Torsi keluaran

T2 = 7,46·25/16·0,98 = 11,42 N·m

Jawaban

T2 = 11,42 N·m
2.Roda gigi & rangkaian roda gigi

Jawaban: nout = 400 rpm

Rangkaian roda gigi: roda gigi yang berpasangan memiliki kecepatan yang sama di giginya, sehingga n₁·N₁ = n₂·N₂: roda gigi dengan jumlah gigi lebih sedikit berputar lebih cepat. Roda gigi pada satu poros berputar dengan kecepatan yang sama. Daya diteruskan (dikurangi rugi-rugi), sehingga torsi naik ketika putaran turun: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, dan P = T·ω dengan ω = 2π·n/60.

Tingkat pertama

nB = 960·60/80 = 720 rpm = nC

Tingkat kedua

nout = 720·20/36 = 400 rpm

Jawaban

nout = 400 rpm

rasio total = 2,4 : 1

3.Torsi poros

Jawaban: φ = 0,5404 °

Torsi poros bulat: tegangan geser naik linear dari nol di pusat hingga τmax = T·r/J di permukaan, dengan J = πd⁴/32 untuk poros pejal dan J = π(do⁴ − di⁴)/32 untuk poros berongga. Sudut puntir φ = TL/(GJ) dalam radian. Daya dan torsi berhubungan melalui P = T·ω.

Momen inersia polar

J = π(60⁴ − 30⁴)/32 = 1,193 × 10⁶ mm⁴

Sudut puntir

T = 750 N·m = 750000 N·mm
L = 1,2 m = 1200 mm
G = 80 GPa = 80000 MPa
φ = TL/(GJ) = 750000·1200/(80000·1,193 × 10⁶) = 0,009431 rad
φ = 0,009431·180/π = 0,5404°

Jawaban

φ = 0,5404°
4.Torsi poros

Jawaban: d = 61,48 mm

Torsi poros bulat: tegangan geser naik linear dari nol di pusat hingga τmax = T·r/J di permukaan, dengan J = πd⁴/32 untuk poros pejal dan J = π(do⁴ − di⁴)/32 untuk poros berongga. Sudut puntir φ = TL/(GJ) dalam radian. Daya dan torsi berhubungan melalui P = T·ω.

Torsi

ω = 2πN/60 = 2π·300/60 = 31,42 rad/s
T = P/ω = 30000/31,42 = 954,9 N·m

Diameter berdasarkan kekuatan

T = 954,9 N·m = 954930 N·mm
dτ = ∛(16·954930/(π·40)) = 49,54 mm

Diameter berdasarkan kekakuan

θ = 1·π/180/1000 = 1,745 × 10⁻⁵ rad/mm
G = 39 GPa = 39000 MPa
dφ = (32·954930/(π·39000·1,745 × 10⁻⁵))1/4 = 61,48 mm

Diameter yang menentukan

Kedua batas harus terpenuhi, jadi diameter yang lebih besar yang menentukan.

d = max(49,54, 61,48) = 61,48 mm

Jawaban

d = 61,48 mm

Di sini kekakuan yang menentukan.

5.Lingkaran Mohr & transformasi tegangan

Jawaban: τmax = 65 MPa

Transformasi tegangan bidang: pada bidang yang diputar sebesar θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Lingkaran Mohr menampilkan semua bidang sekaligus: pusatnya di C = (σₓ + σᵧ)/2 dan jari-jarinya R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Tegangan utama adalah C ± R, dan tegangan geser terbesar dalam bidang adalah R.

στxyCτmax​

Jari-jari lingkaran Mohr

τmax = R = √(((80 − 30)/2)² + −60²) = 65 MPa

Jawaban

τmax = 65 MPa
6.Lingkaran Mohr & transformasi tegangan

Jawaban: σθ = 41,7 MPa

Transformasi tegangan bidang: pada bidang yang diputar sebesar θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Lingkaran Mohr menampilkan semua bidang sekaligus: pusatnya di C = (σₓ + σᵧ)/2 dan jari-jarinya R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Tegangan utama adalah C ± R, dan tegangan geser terbesar dalam bidang adalah R.

Persamaan transformasi

σθ = 90 + −10·0,5 + 50·−0,866 = 41,7 MPa

Jawaban

σθ = 41,7 MPa
7.Tegangan & regangan aksial

Jawaban: ε = 1485 µε

Hukum Hooke: dalam daerah elastis σ = E·ε. Digabung dengan σ = P/A dan ε = δ/L menghasilkan δ = PL/(AE).

Tegangan

A = π·30²/4 = 706,9 mm²
σ = P/A = 105·1000/706,9 = 148,5 MPa

Regangan (hukum Hooke)

E for kuningan = 100 GPa = 100000 MPa.

ε = σ/E = 148,5/100000 = 0,001485 = 1485 µε

Jawaban

ε = 1485 µε
8.Tegangan & regangan aksial

Jawaban: σmax = 124,3 MPa

Batang beban aksial: setiap segmen prismatis mengikuti δ = PL/(AE). Untuk segmen seri, pertambahan panjangnya dijumlahkan.

Gaya sama di kedua segmen

Ujung bebas menahan P, jadi setiap penampang batang menahan gaya aksial P yang sama. Hanya luas dan bahannya yang berubah.

A1 = π·30²/4 = 706,9 mm², A2 = π·16²/4 = 201,1 mm²
σ1 = 35,37 MPa
σ2 = 124,3 MPa

Tegangan terbesar

Segmen yang lebih tipis luasnya lebih kecil, jadi tegangannya lebih besar.

σmax = 124,3 MPa

Jawaban

σmax = 124,3 MPa
9.Tekuk kolom

Jawaban: Pcr = 8,773 kN

Tekuk Euler: kolom langsing menjadi tidak stabil pada Pcr = π²EI/(KL)², dengan KL panjang efektif: K = 1 untuk sendi–sendi, 2 untuk jepit–bebas, 0,7 untuk jepit–sendi, dan 0,5 untuk jepit–jepit. Kolom menekuk terhadap sumbu dengan I terkecil. Rumus berlaku untuk kolom langsing yang tegangan kritisnya tetap di bawah tegangan leleh.

Momen inersia terkecil

Persegi panjang menekuk terhadap sumbu lemahnya, dengan dimensi terkecil dipangkatkan tiga.

Imin = h·b³/12 = 60·20³/12 = 40000 mm⁴

Panjang efektif

KL = 2·1500 = 3000 mm

Beban kritis

Pcr = π²EI/(KL)² = π²·200000·40000/3000² = 8773 N = 8,773 kN

Jawaban

Pcr = 8,773 kN
10.Tekuk kolom

Jawaban: d = 58,95 mm

Tekuk Euler: kolom langsing menjadi tidak stabil pada Pcr = π²EI/(KL)², dengan KL panjang efektif: K = 1 untuk sendi–sendi, 2 untuk jepit–bebas, 0,7 untuk jepit–sendi, dan 0,5 untuk jepit–jepit. Kolom menekuk terhadap sumbu dengan I terkecil. Rumus berlaku untuk kolom langsing yang tegangan kritisnya tetap di bawah tegangan leleh.

Beban kritis yang diperlukan

Pcr = n·P = 2·65000 = 130000 N
KL = 0,5·6000 = 3000 mm

Selesaikan untuk diameter

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·130000·3000²/(π³·200000))^(1/4) = 58,95 mm

Jawaban

d = 58,95 mm

Periksa: kelangsingan KL/r adalah 203,6, jadi kolom langsing dan rumus Euler berlaku.

11.Getaran mekanis

Jawaban: ζ = 0,2996

Getaran bebas sistem massa–pegas: frekuensi alami tak teredam adalah ωn = √(k/m) dalam rad/s, dan fn = ωn/(2π) dalam Hz. Peredam viskos c memberikan rasio redaman ζ = c/cc, dengan redaman kritis cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn. Sistem kurang teredam (ζ < 1) berosilasi pada ωd = ωn·√(1 − ζ²). Pegas paralel dijumlahkan, k = k₁ + k₂; pegas seri dijumlahkan sebagai kebalikan, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

Redaman kritis

cc = 2·√(k·m) = 2·√(80000·250) = 8944 N·s/m

Rasio redaman

ζ = c/cc = 2680/8944 = 0,2996

Jawaban

ζ = 0,2996

ζ < 1, sehingga sistem kurang teredam dan berosilasi sambil meluruh.

12.Getaran mekanis

Jawaban: fn = 3,048 Hz

Getaran bebas sistem massa–pegas: frekuensi alami tak teredam adalah ωn = √(k/m) dalam rad/s, dan fn = ωn/(2π) dalam Hz. Peredam viskos c memberikan rasio redaman ζ = c/cc, dengan redaman kritis cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn. Sistem kurang teredam (ζ < 1) berosilasi pada ωd = ωn·√(1 − ζ²). Pegas paralel dijumlahkan, k = k₁ + k₂; pegas seri dijumlahkan sebagai kebalikan, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

Kekakuan ekivalen

Hanya k1 dan k2 yang paralel. Pasangan itu seri dengan k3, jadi gabungkan sebagai kebalikan.

k12 = 100 + 10 = 110 kN/m
keq = 110·10/(110 + 10) = 9,167 kN/m

Frekuensi alami

ωn = √(9167/25) = 19,15 rad/s
fn = 19,15/(2π) = 3,048 Hz

Jawaban

fn = 3,048 Hz

ExamProblems · examproblems.com/courses/machine-design