Perancangan Elemen Mesin: paket kilat

Lembar rumus, langkah-langkah metode utama untuk setiap topik, dan 12 soal latihan, dengan pembahasan lengkap di bagian belakang.

Soal baruKembali ke mata kuliah

Di jendela cetak, pilih “Simpan sebagai PDF” untuk menyimpan salinan di perangkat Anda.

1Rumus dan metode

Roda gigi & rangkaian roda gigi

Roda gigi yang berpasangan
n1·N1 = n2·N2
Torsi
T2 = T1·(N2/N1)·η
Daya
P = T·ω, ω = 2π·n/60
Rangkaian roda gigi majemuk
rasio total = hasil kali rasio setiap tingkat

Torsi poros

Tegangan geser
τ = T·r/J
Poros pejal
J = πd⁴/32
Poros berongga
J = π(D⁴ − d⁴)/32
Sudut puntir
φ = TL/(GJ)
Daya
P = T·ω = 2πnT/60

Metode

  1. Cari momen inersia polar: J = πd⁴/32 untuk poros pejal.
  2. Tegangan geser di permukaan: τ = T·r/J, dengan r jari-jari luar.
  3. Sudut puntir: φ = TL/(GJ) dalam radian.
  4. Jika daya diketahui, cari torsi dulu dengan P = T·ω, ω = 2πn/60.

Lingkaran Mohr & transformasi tegangan

Pusat
C = (σx + σy)/2
Jari-jari
R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)
Tegangan utama
σ1,2 = C ± R
Arah utama
tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)
Bidang miring
σθ = C + (σx − σy)/2·cos 2θ + τxy·sin 2θ

Metode

  1. Hitung pusat lingkaran Mohr: C = (σx + σy)/2.
  2. Hitung jari-jarinya: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
  3. Tegangan utama adalah C ± R dan tegangan geser bidang terbesar adalah R.
  4. Sudut pada lingkaran adalah dua kali sudut pada elemen: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Tegangan & regangan aksial

Tegangan normal
σ = F/A
Regangan
ε = ΔL/L
Hukum Hooke
σ = E·ε
Pertambahan panjang
ΔL = FL/(EA)
Regangan termal
εT = α·ΔT

Tekuk kolom

Beban Euler
Pcr = π²EI/(KL)²
Faktor panjang efektif
K = 1 sendi–sendi, 0,5 jepit–jepit, 0,7 jepit–sendi, 2 jepit–bebas
Tegangan kritis
σcr = Pcr/A
Kelangsingan
λ = KL/r, r = √(I/A)

Getaran mekanis

Frekuensi alami
ωn = √(k/m), fn = ωn/(2π)
Dari defleksi statis
ωn = √(g/δst)
Redaman kritis
cc = 2√(km) = 2mωn
Rasio redaman
ζ = c/cc
Frekuensi teredam
ωd = ωn√(1 − ζ²)
Dekremen logaritmik
δ = (1/n)·ln(x0/xn), ζ = δ/√(4π² + δ²)
Pegas paralel
k = k1 + k2
Pegas seri
1/k = 1/k1 + 1/k2

2Soal latihan

1.Roda gigi & rangkaian roda gigiSedang
N1​ = 50N2​ = 80

Sebuah motor 15 kW yang berputar pada 1450 rpm menggerakkan pinion dengan 50 gigi, yang berpasangan dengan roda gigi 80 gigi. Abaikan rugi-rugi. Cari torsi T1 pada poros motor.

P = 15 kWn1 = 1450 rpmN1 = 50N2 = 80η = 100%
T1 = N·m
2.Roda gigi & rangkaian roda gigiSulit
A = 24B = 50C = 15D = 25

Dalam rangkaian roda gigi majemuk, roda gigi A (24 gigi) pada poros masukan yang berputar pada 1450 rpm menggerakkan roda gigi B (50 gigi). Roda gigi C (15 gigi) terpasang pada poros yang sama dengan B dan menggerakkan roda gigi D (25 gigi) pada poros keluaran. Cari putaran keluaran nout.

nin = 1450 rpmA = 24B = 50C = 15D = 25
nout = rpm
3.Torsi porosSedang
do​ = 50, di​ = 35 mmT = 200 N·mL = 3 m

Poros kuningan berongga (diameter luar 50 mm, diameter dalam 35 mm, panjang 3 m) dijepit di satu ujung dan dipuntir oleh torsi 200 N·m di ujung lainnya. Cari sudut puntir φ dalam derajat.

T = 200 N·mdo = 50 mmdi = 35 mmL = 3 mG = 39 GPa
φ = °
4.Torsi porosSulit
d = 30 mmT0​ = 2000 N·mACBa = 2 mb = 1 m

Poros baja pejal berdiameter 30 mm dijepit pada dinding kaku di kedua ujung A dan B. Torsi 2000 N·m diberikan di C, 2 m dari A dan 1 m dari B. Cari sudut rotasi φC penampang C, dalam derajat.

d = 30 mmT0 = 2000 N·ma = 2 mb = 1 mG = 80 GPa
φC = °
5.Lingkaran Mohr & transformasi teganganSedang
σx​ = 120σy​ = 10τxy​ = 30MPa

Sebuah titik pada komponen yang dibebani memiliki σₓ = 120 MPa, σᵧ = 10 MPa, dan τₓᵧ = 30 MPa (tarik positif). Cari sudut θp dari sumbu x ke arah tegangan utama terbesar, antara −90° dan 90°.

σx = 120 MPaσy = 10 MPaτxy = 30 MPa
θp = °
6.Lingkaran Mohr & transformasi teganganSulit
σx​ = −70σy​ = 90τxy​ = −40MPa

Sebuah titik pada komponen yang dibebani memiliki σₓ = −70 MPa, σᵧ = 90 MPa, dan τₓᵧ = −40 MPa (tarik positif). Cari tegangan geser τθ pada bidang yang normalnya diputar 35° berlawanan arah jarum jam dari sumbu x (positif dengan arah yang sama seperti τₓᵧ).

σx = −70 MPaσy = 90 MPaτxy = −40 MPaθ = 35°
τθ = MPa
7.Tegangan & regangan aksialSedang
P = ?12300 mm400 mmØ40Ø60δ = 0,2 mm

Sebuah batang terdiri dari segmen baja (diameter 40 mm, panjang 300 mm, E = 200 GPa) yang disambung ujung ke ujung dengan segmen dari kuningan (diameter 60 mm, panjang 400 mm, E = 100 GPa). Salah satu ujungnya dijepit dan ujung lainnya ditarik. Cari beban aksial P yang memanjangkannya sebesar 0,2 mm secara total.

segmen 1: baja, Ø40 mm, 300 mm, E = 200 GPasegmen 2: kuningan, Ø60 mm, 400 mm, E = 100 GPaδ = 0,2 mm
P = kN
8.Tegangan & regangan aksialSulit
100 kN12600 mm200 mmØ30Ø50σ2​ = ?

Sebuah segmen baja (diameter 30 mm, panjang 600 mm, E = 200 GPa) dan segmen dari kuningan (diameter 50 mm, panjang 200 mm, E = 100 GPa) disambung ujung ke ujung dan dijepit di antara dua dinding kaku. Beban aksial 100 kN bekerja di sambungan, menuju segmen 2. Cari besar tegangan σ2 pada segmen 2.

segmen 1: baja, Ø30 mm, 600 mm, E = 200 GPasegmen 2: kuningan, Ø50 mm, 200 mm, E = 100 GPaP = 100 kN
σ2 = MPa
9.Tekuk kolomSedang
PL = 2 md = 60 mmpenampang

Kolom sepanjang L dari baja dengan tumpuan jepit di bawah dan sendi di atas. Dengan rumus Euler, cari beban tekuk kritisnya Pcr.

L = 2 mE = 200 GPa (baja)d = 60 mm
Pcr = kN
10.Tekuk kolomSulit
P = 5 kNL = 6 md = ?penampang

Kolom bulat pejal sepanjang L dari baja dengan tumpuan jepit di bawah dan sendi di atas. Kolom harus menahan 5 kN dengan faktor keamanan 3 terhadap tekuk. Cari diameter terkecil d.

P = 5 kNn = 3L = 6 mE = 200 GPa (baja)
d = mm
11.Getaran mekanisSedang
k = 2 kN/mζ = 0,5m = 10 kg

Massa 10 kg pada pegas dengan kekakuan 2 kN/m memiliki peredam viskos yang memberikan rasio redaman 0,5. Cari frekuensi alami teredam fd getaran bebasnya dalam Hz.

m = 10 kgk = 2 kN/mζ = 0,5
fd = Hz
12.Getaran mekanisSulit
k1​ = 5k2​ = 80m = 100 kg

Massa 100 kg tergantung pada dua pegas berdampingan (paralel), dengan kekakuan k₁ = 5 kN/m dan k₂ = 80 kN/m. Massa tetap datar. Abaikan redaman dan massa pegas. Cari frekuensi alami fn getaran vertikal dalam Hz.

m = 100 kgk1 = 5 kN/mk2 = 80 kN/m
fn = Hz

3Larutan

1.Roda gigi & rangkaian roda gigi

Jawaban: T1 = 98,79 N·m

Rangkaian roda gigi: roda gigi yang berpasangan memiliki kecepatan yang sama di giginya, sehingga n₁·N₁ = n₂·N₂: roda gigi dengan jumlah gigi lebih sedikit berputar lebih cepat. Roda gigi pada satu poros berputar dengan kecepatan yang sama. Daya diteruskan (dikurangi rugi-rugi), sehingga torsi naik ketika putaran turun: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, dan P = T·ω dengan ω = 2π·n/60.

Torsi motor

ω₁ = 2π·1450/60 = 151,8 rad/s
T1 = P/ω₁ = 15000/151,8 = 98,79 N·m

Jawaban

T1 = 98,79 N·m
2.Roda gigi & rangkaian roda gigi

Jawaban: nout = 417,6 rpm

Rangkaian roda gigi: roda gigi yang berpasangan memiliki kecepatan yang sama di giginya, sehingga n₁·N₁ = n₂·N₂: roda gigi dengan jumlah gigi lebih sedikit berputar lebih cepat. Roda gigi pada satu poros berputar dengan kecepatan yang sama. Daya diteruskan (dikurangi rugi-rugi), sehingga torsi naik ketika putaran turun: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, dan P = T·ω dengan ω = 2π·n/60.

Tingkat pertama

nB = 1450·24/50 = 696 rpm = nC

Tingkat kedua

nout = 696·15/25 = 417,6 rpm

Jawaban

nout = 417,6 rpm

rasio total = 3,472 : 1

3.Torsi poros

Jawaban: φ = 1,89 °

Torsi poros bulat: tegangan geser naik linear dari nol di pusat hingga τmax = T·r/J di permukaan, dengan J = πd⁴/32 untuk poros pejal dan J = π(do⁴ − di⁴)/32 untuk poros berongga. Sudut puntir φ = TL/(GJ) dalam radian. Daya dan torsi berhubungan melalui P = T·ω.

Momen inersia polar

J = π(50⁴ − 35⁴)/32 = 466269 mm⁴

Sudut puntir

T = 200 N·m = 200000 N·mm
L = 3 m = 3000 mm
G = 39 GPa = 39000 MPa
φ = TL/(GJ) = 200000·3000/(39000·466269) = 0,033 rad
φ = 0,033·180/π = 1,89°

Jawaban

φ = 1,89°
4.Torsi poros

Jawaban: φC = 12,01 °

Torsi poros bulat: tegangan geser naik linear dari nol di pusat hingga τmax = T·r/J di permukaan, dengan J = πd⁴/32 untuk poros pejal dan J = π(do⁴ − di⁴)/32 untuk poros berongga. Sudut puntir φ = TL/(GJ) dalam radian. Daya dan torsi berhubungan melalui P = T·ω. Jika kedua ujung dijepit, statika saja hanya memberi TA + TB = T₀; persamaan kedua adalah kompatibilitas (puntiran kedua bagian sama di penampang yang dibebani).

Kesetimbangan dan kompatibilitas

TA + TB = 2000
TA·a = TB·b
TA = 2000·1/3 = 666,7 N·m
TB = 2000·2/3 = 1333 N·m

Rotasi C

Gunakan segmen AC: dijepit di A dan menahan TA.

J = π·30⁴/32 = 79522 mm⁴
G = 80 GPa = 80000 MPa
φC = TA·a/(GJ) = 666667·2000/(80000·79522) = 0,2096 rad = 12,01°

Jawaban

φC = 12,01°
5.Lingkaran Mohr & transformasi tegangan

Jawaban: θp = 14,31 °

Transformasi tegangan bidang: pada bidang yang diputar sebesar θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Lingkaran Mohr menampilkan semua bidang sekaligus: pusatnya di C = (σₓ + σᵧ)/2 dan jari-jarinya R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Tegangan utama adalah C ± R, dan tegangan geser terbesar dalam bidang adalah R.

στxyCσ1​σ2​

Sudut pada lingkaran

Titik x terletak pada sudut 2θp dari sumbu σ pada lingkaran Mohr; kuadrannya ditentukan oleh tanda σₓ − σᵧ dan τₓᵧ.

2θp = atan2(2·30, 120 − 10) = 28,61°

Sudut pada elemen

θp = 14,31°

Jawaban

θp = 14,31°

Sudut positif berlawanan arah jarum jam.

6.Lingkaran Mohr & transformasi tegangan

Jawaban: τθ = 61,49 MPa

Transformasi tegangan bidang: pada bidang yang diputar sebesar θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Lingkaran Mohr menampilkan semua bidang sekaligus: pusatnya di C = (σₓ + σᵧ)/2 dan jari-jarinya R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Tegangan utama adalah C ± R, dan tegangan geser terbesar dalam bidang adalah R.

Persamaan transformasi

τθ = −−80·0,9397 + −40·0,342 = 61,49 MPa

Jawaban

τθ = 61,49 MPa
7.Tegangan & regangan aksial

Jawaban: P = 76,68 kN

Dua bahan: pada susunan seri (satu demi satu) setiap segmen menahan gaya yang sama dan perpanjangannya dijumlahkan: δ = P·Σ L/(E·A). Pada susunan paralel (berdampingan di antara pelat kaku) kedua bagian memendek sama besar, sehingga regangannya sama: bagian yang lebih kaku menanggung bagian yang lebih besar, Pi = P·EiAi/ΣEA, dan σi = Ei·ε. Batang yang ditahan di antara dua dinding kaku dengan beban di sambungan adalah statis tak tentu: kedua segmen membagi beban sebanding dengan kekakuannya k = EA/L.

Luas

A₁ = 1257 mm², A₂ = 2827 mm²

Kelenturan

L₁/(E₁A₁) = 300/(200000·1257) = 1,194 × 10⁻⁶ mm/N
L₂/(E₂A₂) = 400/(100000·2827) = 1,415 × 10⁻⁶ mm/N

Beban

P = 0,2/2,608 × 10⁻⁶ = 76676 N = 76,68 kN

Jawaban

P = 76,68 kN
8.Tegangan & regangan aksial

Jawaban: σ2 = 41,07 MPa

Dua bahan: pada susunan seri (satu demi satu) setiap segmen menahan gaya yang sama dan perpanjangannya dijumlahkan: δ = P·Σ L/(E·A). Pada susunan paralel (berdampingan di antara pelat kaku) kedua bagian memendek sama besar, sehingga regangannya sama: bagian yang lebih kaku menanggung bagian yang lebih besar, Pi = P·EiAi/ΣEA, dan σi = Ei·ε. Batang yang ditahan di antara dua dinding kaku dengan beban di sambungan adalah statis tak tentu: kedua segmen membagi beban sebanding dengan kekakuannya k = EA/L.

Kekakuan

k₁ = 200000·706,9/600 = 235619 N/mm
k₂ = 100000·1963/200 = 981748 N/mm

Bagian segmen 2

F2 = 100000·981748/1,217 × 10⁶ = 80645 N

Tegangan

σ2 = 80645/1963 = 41,07 MPa (tekan)

Jawaban

σ2 = 41,07 MPa
9.Tekuk kolom

Jawaban: Pcr = 640,7 kN

Tekuk Euler: kolom langsing menjadi tidak stabil pada Pcr = π²EI/(KL)², dengan KL panjang efektif: K = 1 untuk sendi–sendi, 2 untuk jepit–bebas, 0,7 untuk jepit–sendi, dan 0,5 untuk jepit–jepit. Kolom menekuk terhadap sumbu dengan I terkecil. Rumus berlaku untuk kolom langsing yang tegangan kritisnya tetap di bawah tegangan leleh.

Momen inersia terkecil

Penampang bulat memiliki I yang sama terhadap setiap sumbu.

I = πd⁴/64 = π·60⁴/64 = 636173 mm⁴

Panjang efektif

KL = 0,7·2000 = 1400 mm

Beban kritis

Pcr = π²EI/(KL)² = π²·200000·636173/1400² = 640691 N = 640,7 kN

Jawaban

Pcr = 640,7 kN
10.Tekuk kolom

Jawaban: d = 40,65 mm

Tekuk Euler: kolom langsing menjadi tidak stabil pada Pcr = π²EI/(KL)², dengan KL panjang efektif: K = 1 untuk sendi–sendi, 2 untuk jepit–bebas, 0,7 untuk jepit–sendi, dan 0,5 untuk jepit–jepit. Kolom menekuk terhadap sumbu dengan I terkecil. Rumus berlaku untuk kolom langsing yang tegangan kritisnya tetap di bawah tegangan leleh.

Beban kritis yang diperlukan

Pcr = n·P = 3·5000 = 15000 N
KL = 0,7·6000 = 4200 mm

Selesaikan untuk diameter

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·15000·4200²/(π³·200000))^(1/4) = 40,65 mm

Jawaban

d = 40,65 mm

Periksa: kelangsingan KL/r adalah 413,3, jadi kolom langsing dan rumus Euler berlaku.

11.Getaran mekanis

Jawaban: fd = 1,949 Hz

Getaran bebas sistem massa–pegas: frekuensi alami tak teredam adalah ωn = √(k/m) dalam rad/s, dan fn = ωn/(2π) dalam Hz. Peredam viskos c memberikan rasio redaman ζ = c/cc, dengan redaman kritis cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn. Sistem kurang teredam (ζ < 1) berosilasi pada ωd = ωn·√(1 − ζ²). Pegas paralel dijumlahkan, k = k₁ + k₂; pegas seri dijumlahkan sebagai kebalikan, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

Frekuensi alami tak teredam

ωn = √(2000/10) = 14,14 rad/s
fn = 14,14/(2π) = 2,251 Hz

Frekuensi alami teredam

fd = fn·√(1 − ζ²) = 2,251·√(1 − 0,5²) = 1,949 Hz

Jawaban

fd = 1,949 Hz
12.Getaran mekanis

Jawaban: fn = 4,64 Hz

Getaran bebas sistem massa–pegas: frekuensi alami tak teredam adalah ωn = √(k/m) dalam rad/s, dan fn = ωn/(2π) dalam Hz. Peredam viskos c memberikan rasio redaman ζ = c/cc, dengan redaman kritis cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn. Sistem kurang teredam (ζ < 1) berosilasi pada ωd = ωn·√(1 − ζ²). Pegas paralel dijumlahkan, k = k₁ + k₂; pegas seri dijumlahkan sebagai kebalikan, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

Kekakuan ekivalen

Pegas berdampingan berbagi defleksi dan gayanya dijumlahkan, sehingga kekakuannya cukup dijumlahkan: k = k1 + k2.

keq = 5 + 80 = 85 kN/m

Frekuensi alami

ωn = √(85000/100) = 29,15 rad/s
fn = 29,15/(2π) = 4,64 Hz

Jawaban

fn = 4,64 Hz

ExamProblems · examproblems.com/courses/machine-design