Perancangan Elemen Mesin: paket kilat

Lembar rumus, langkah-langkah metode utama untuk setiap topik, dan 12 soal latihan, dengan pembahasan lengkap di bagian belakang.

Soal baru Kembali ke mata kuliah

Di jendela cetak, pilih “Simpan sebagai PDF” untuk menyimpan salinan di perangkat Anda.

1Rumus dan metode

Roda gigi & rangkaian roda gigi

Roda gigi yang berpasangan: n₁·N₁ = n₂·N₂
Torsi: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η
Daya: P = T·ω, ω = 2π·n/60
Rangkaian roda gigi majemuk: rasio total = hasil kali rasio setiap tingkat

Torsi poros

Tegangan geser: τ = T·r/J
Poros pejal: J = πd⁴/32
Poros berongga: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Sudut puntir: φ = TL/(GJ)
Daya: P = T·ω = 2πnT/60

Metode

Cari momen inersia polar: J = πd⁴/32 untuk poros pejal.
Tegangan geser di permukaan: τ = T·r/J, dengan r jari-jari luar.
Sudut puntir: φ = TL/(GJ) dalam radian.
Jika daya diketahui, cari torsi dulu dengan P = T·ω, ω = 2πn/60.

Lingkaran Mohr & transformasi tegangan

Pusat: C = (σ_x + σ_y)/2
Jari-jari: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Tegangan utama: σ_1,2 = C ± R
Arah utama: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Bidang miring: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Metode

Hitung pusat lingkaran Mohr: C = (σx + σy)/2.
Hitung jari-jarinya: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Tegangan utama adalah C ± R dan tegangan geser bidang terbesar adalah R.
Sudut pada lingkaran adalah dua kali sudut pada elemen: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Tegangan & regangan aksial

Tegangan normal: σ = F/A
Regangan: ε = ΔL/L
Hukum Hooke: σ = E·ε
Pertambahan panjang: ΔL = FL/(EA)
Regangan termal: ε_T = α·ΔT

Tekuk kolom

Beban Euler: P_cr = π²EI/(KL)²
Faktor panjang efektif: K = 1 sendi–sendi, 0,5 jepit–jepit, 0,7 jepit–sendi, 2 jepit–bebas
Tegangan kritis: σ_cr = P_cr/A
Kelangsingan: λ = KL/r, r = √(I/A)

Getaran mekanis

Frekuensi alami: ω_n = √(k/m), f_n = ω_n/(2π)
Dari defleksi statis: ω_n = √(g/δ_st)
Redaman kritis: c_c = 2√(km) = 2mω_n
Rasio redaman: ζ = c/c_c
Frekuensi teredam: ω_d = ω_n√(1 − ζ²)
Dekremen logaritmik: δ = (1/n)·ln(x₀/x_n), ζ = δ/√(4π² + δ²)
Pegas paralel: k = k₁ + k₂
Pegas seri: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

2Soal latihan

1.Roda gigi & rangkaian roda gigiSedang

Cacing dengan 2 ulir berputar pada 1440 rpm dan menggerakkan roda cacing dengan 40 gigi. Cari kecepatan n_w roda cacing.

z = 2N_w = 40n = 1440 rpm

n_w = rpm

2.Roda gigi & rangkaian roda gigiSulit

Sebuah sabuk terbuka menghubungkan puli penggerak 100 mm pada 1440 rpm ke puli 500 mm; jarak sumbunya 500 mm. Koefisien gesekan adalah 0,3 dan tegangan sisi tarik tidak boleh melebihi 2000 N. Cari daya terbesar P yang dapat ditransmisikan sabuk tanpa slip, dalam kW (abaikan efek sentrifugal).

d₁ = 100 mmn₁ = 1440 rpmd₂ = 500 mmC = 500 mmμ = 0,3T₁ = 2000 N

P = kW

3.Torsi porosSedang

Poros pejal kuningan dijepit di dinding dan dipuntir oleh torsi T di ujung bebasnya. Cari sudut puntir φ ujung bebas, dalam derajat.

T = 400 N·md = 25 mmL = 1 mG = 39 GPa

φ = °

4.Torsi porosSulit

Poros aluminium pejal meneruskan 30 kW pada 500 rpm. Tegangan geser tidak boleh melebihi 40 MPa dan puntiran tidak boleh melebihi 0,75° per m panjang. Cari diameter terkecil d yang memenuhi kedua batas.

P = 30 kWN = 500 rpmτ_allow = 40 MPaθ_allow = 0,75°/mG = 26 GPa

d = mm

5.Lingkaran Mohr & transformasi teganganSedang

Sebuah titik pada komponen yang dibebani memiliki σₓ = −10 MPa, σᵧ = 40 MPa, dan τₓᵧ = −60 MPa (tarik positif). Cari tegangan geser maksimum dalam bidang τ_max.

σ_x = −10 MPaσ_y = 40 MPaτ_xy = −60 MPa

τ_max = MPa

6.Lingkaran Mohr & transformasi teganganSulit

Suatu titik pada pelat tipis berada dalam tegangan bidang: σₓ = 80 MPa, σᵧ = −40 MPa, dan τₓᵧ = 30 MPa (σ_z = 0). Cari tegangan ekuivalen von Mises σ_vM.

σ_x = 80 MPaσ_y = −40 MPaτ_xy = 30 MPa

σ_vM = MPa

7.Tegangan & regangan aksialSedang

Sebuah batang terdiri dari segmen baja (diameter 40 mm, panjang 400 mm, E = 200 GPa) yang disambung ujung ke ujung dengan segmen dari aluminium (diameter 30 mm, panjang 300 mm, E = 70 GPa). Salah satu ujungnya dijepit dan ujung lainnya ditarik. Cari beban aksial P yang memanjangkannya sebesar 0,25 mm secara total.

segmen 1: baja, Ø40 mm, 400 mm, E = 200 GPasegmen 2: aluminium, Ø30 mm, 300 mm, E = 70 GPaδ = 0,25 mm

P = kN

8.Tegangan & regangan aksialSulit

Batang bertingkat dijepit di dinding dan dibebani di ujung bebasnya. Cari pertambahan panjang total δ.

P = 110 kNsegmen 1: Ø40 mm, 1,5 m, kuningan (E = 100 GPa)segmen 2: Ø20 mm, 0,5 m, baja (E = 200 GPa)

δ = mm

9.Tekuk kolomSedang

Kolom sepanjang L dari baja dengan tumpuan sendi di kedua ujung. Dengan rumus Euler, cari beban tekuk kritisnya P_cr.

L = 3 mE = 200 GPa (baja)b × h = 40 × 80 mm

P_cr = kN

10.Tekuk kolomSulit

Kolom bulat pejal sepanjang L dari aluminium dengan tumpuan jepit di kedua ujung. Kolom harus menahan 90 kN dengan faktor keamanan 2,5 terhadap tekuk. Cari diameter terkecil d.

P = 90 kNn = 2,5L = 5 mE = 70 GPa (aluminium)

d = mm

11.Getaran mekanisSedang

Dalam uji getaran bebas sistem massa–pegas teredam, puncak simpangan 15 mm diikuti satu siklus kemudian oleh puncak 11,7 mm. Cari rasio redaman ζ.

x₀ = 15 mmx₁ = 11,7 mmn = 1

ζ =

12.Getaran mekanisSulit

Massa 40 kg tergantung pada dua pegas berdampingan (paralel), dengan kekakuan k₁ = 50 kN/m dan k₂ = 60 kN/m. Massa tetap datar. Abaikan redaman dan massa pegas. Cari frekuensi alami f_n getaran vertikal dalam Hz.

m = 40 kgk₁ = 50 kN/mk₂ = 60 kN/m

f_n = Hz

3Larutan

1.Roda gigi & rangkaian roda gigi

Jawaban: n_w = 72 rpm

Gear trains: meshing gears have the same speed at the teeth, so n₁·N₁ = n₂·N₂: the gear with fewer teeth turns faster. Gears on one shaft turn at the same speed. Power is passed on (minus losses), so torque goes up when speed goes down: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, and P = T·ω with ω = 2π·n/60.

Kecepatan roda

n_w = n·z/N_w = 1440·2/40 = 72 rpm

Jawaban

n_w = 72 rpm

2.Roda gigi & rangkaian roda gigi

Jawaban: P = 7,558 kW

Penggerak sabuk: tanpa slip, kedua puli memiliki kecepatan tepi yang sama v = π·d·n/60, sehingga n₁·d₁ = n₂·d₂ dan rasio kecepatan adalah d₂/d₁. Slip s membuat puli yang digerakkan sedikit lebih lambat: n₂ = n₁·(d₁/d₂)·(1 − s). Daya yang ditransmisikan adalah P = (T₁ − T₂)·v, dengan T₁ tegangan sisi tarik dan T₂ sisi kendor. Gesekan membatasi rasio tegangan: T₁/T₂ = e^μθ, dengan θ sudut kontak dalam radian pada puli yang lebih kecil; untuk sabuk terbuka θ = π − 2·asin((d₂ − d₁)/(2C)) dengan jarak sumbu C.

Sudut kontak

θ = 2,319 rad

Tegangan sisi kendor

e^μθ = e^0,6956 = 2,005, T₂ = 2000/2,005 = 997,6 N

Daya

P = (2000 − 997,6)·7,54 = 7,558 kW

Jawaban

P = 7,558 kW

3.Torsi poros

Jawaban: φ = 15,32 °

Torsi poros bulat: tegangan geser naik linear dari nol di pusat hingga τ_max = T·r/J di permukaan, dengan J = πd⁴/32 untuk poros pejal dan J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 untuk poros berongga. Sudut puntir φ = TL/(GJ) dalam radian. Daya dan torsi berhubungan melalui P = T·ω.

Momen inersia polar

J = π·25⁴/32 = 38350 mm⁴

Sudut puntir

φ = TL/(GJ) = 400·1000·1000/(39000·38350) = 0,2674 rad

φ = 0,2674·180/π = 15,32°

Jawaban

φ = 15,32°

4.Torsi poros

Jawaban: d = 64,35 mm

Torsi

ω = 2πN/60 = 2π·500/60 = 52,36 rad/s

T = P/ω = 30000/52,36 = 573 N·m

Diameter berdasarkan kekuatan

T = 573 N·m = 572958 N·mm

d_τ = ∛(16·572958/(π·40)) = 41,78 mm

Diameter berdasarkan kekakuan

θ = 0,75·π/180/1000 = 1,309 × 10⁻⁵ rad/mm

G = 26 GPa = 26000 MPa

d_φ = (32·572958/(π·26000·1,309 × 10⁻⁵))^1/4 = 64,35 mm

Diameter yang menentukan

Kedua batas harus terpenuhi, jadi diameter yang lebih besar yang menentukan.

d = max(41,78, 64,35) = 64,35 mm

Jawaban

d = 64,35 mm

Di sini kekakuan yang menentukan.

5.Lingkaran Mohr & transformasi tegangan

Jawaban: τ_max = 65 MPa

Jari-jari lingkaran Mohr

τ_max = R = √(((−10 − 40)/2)² + −60²) = 65 MPa

Jawaban

τ_max = 65 MPa

6.Lingkaran Mohr & transformasi tegangan

Jawaban: σ_vM = 117,9 MPa

Transformasi tegangan bidang: pada bidang yang diputar sebesar θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Lingkaran Mohr menampilkan semua bidang sekaligus: pusatnya di C = (σₓ + σᵧ)/2 dan jari-jarinya R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Tegangan utama adalah C ± R, dan tegangan geser terbesar dalam bidang adalah R. Kriteria luluh: von Mises memprediksi luluh ketika σ_vM = √(σ₁² − σ₁σ₂ + σ₂²) mencapai σ_Y; Tresca ketika tegangan geser maksimum absolut mencapai σ_Y/2.

Tegangan utama

C = 20 MPa, R = 67,08 MPa

σ₁ = 87,08 MPa, σ₂ = −47,08 MPa, σ₃ = 0

Von Mises

σ_vM = √(87,08² − 87,08·(−47,08) + (−47,08)²) = 117,9 MPa

Jawaban

σ_vM = 117,9 MPa

7.Tegangan & regangan aksial

Jawaban: P = 32,66 kN

Dua bahan: pada susunan seri (satu demi satu) setiap segmen menahan gaya yang sama dan perpanjangannya dijumlahkan: δ = P·Σ L/(E·A). Pada susunan paralel (berdampingan di antara pelat kaku) kedua bagian memendek sama besar, sehingga regangannya sama: bagian yang lebih kaku menanggung bagian yang lebih besar, P_i = P·E_iA_i/ΣEA, dan σ_i = E_i·ε. Batang yang ditahan di antara dua dinding kaku dengan beban di sambungan adalah statis tak tentu: kedua segmen membagi beban sebanding dengan kekakuannya k = EA/L.

Luas

A₁ = 1257 mm², A₂ = 706,9 mm²

Kelenturan

L₁/(E₁A₁) = 400/(200000·1257) = 1,592 × 10⁻⁶ mm/N

L₂/(E₂A₂) = 300/(70000·706,9) = 6,063 × 10⁻⁶ mm/N

Beban

P = 0,25/7,655 × 10⁻⁶ = 32660 N = 32,66 kN

Jawaban

P = 32,66 kN

8.Tegangan & regangan aksial

Jawaban: δ = 2,188 mm

Batang beban aksial: setiap segmen prismatis mengikuti δ = PL/(AE). Untuk segmen seri, pertambahan panjangnya dijumlahkan.

Gaya sama di kedua segmen

Ujung bebas menahan P, jadi setiap penampang batang menahan gaya aksial P yang sama. Hanya luas dan bahannya yang berubah.

A₁ = π·40²/4 = 1257 mm², A₂ = π·20²/4 = 314,2 mm²

σ₁ = 87,54 MPa

σ₂ = 350,1 MPa

Jumlahkan pertambahan panjang segmen

δ₁ = σ₁L₁/E₁ = 87,54·1500/100000 = 1,313 mm

δ₂ = σ₂L₂/E₂ = 350,1·500/200000 = 0,8754 mm

δ = δ₁ + δ₂ = 2,188 mm

Jawaban

δ = 2,188 mm

9.Tekuk kolom

Jawaban: P_cr = 93,58 kN

Tekuk Euler: kolom langsing menjadi tidak stabil pada P_cr = π²EI/(KL)², dengan KL panjang efektif: K = 1 untuk sendi–sendi, 2 untuk jepit–bebas, 0,7 untuk jepit–sendi, dan 0,5 untuk jepit–jepit. Kolom menekuk terhadap sumbu dengan I terkecil. Rumus berlaku untuk kolom langsing yang tegangan kritisnya tetap di bawah tegangan leleh.

Momen inersia terkecil

Persegi panjang menekuk terhadap sumbu lemahnya, dengan dimensi terkecil dipangkatkan tiga.

I_min = h·b³/12 = 80·40³/12 = 426667 mm⁴

Panjang efektif

KL = 1·3000 = 3000 mm

Beban kritis

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·426667/3000² = 93578 N = 93,58 kN

Jawaban

P_cr = 93,58 kN

10.Tekuk kolom

Jawaban: d = 80,25 mm

Beban kritis yang diperlukan

P_cr = n·P = 2,5·90000 = 225000 N

KL = 0,5·5000 = 2500 mm

Selesaikan untuk diameter

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·225000·2500²/(π³·70000))^(1/4) = 80,25 mm

Jawaban

d = 80,25 mm

Periksa: kelangsingan KL/r adalah 124,6, jadi kolom langsing dan rumus Euler berlaku.

11.Getaran mekanis

Jawaban: ζ = 0,03951

Getaran bebas sistem massa–pegas: frekuensi alami tak teredam adalah ω_n = √(k/m) dalam rad/s, dan f_n = ω_n/(2π) dalam Hz. Peredam viskos c memberikan rasio redaman ζ = c/c_c, dengan redaman kritis c_c = 2·√(k·m) = 2·m·ω_n. Sistem kurang teredam (ζ < 1) berosilasi pada ω_d = ω_n·√(1 − ζ²). Pegas paralel dijumlahkan, k = k₁ + k₂; pegas seri dijumlahkan sebagai kebalikan, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

Dekremen logaritmik

δ = (1/1)·ln(15/11,7) = 0,2485

Rasio redaman

ζ = δ/√(4π² + δ²) = 0,2485/√(39,48 + 0,06173) = 0,03951

Jawaban

ζ = 0,03951

12.Getaran mekanis

Jawaban: f_n = 8,346 Hz

Kekakuan ekivalen

Pegas berdampingan berbagi defleksi dan gayanya dijumlahkan, sehingga kekakuannya cukup dijumlahkan: k = k₁ + k₂.

k_eq = 50 + 60 = 110 kN/m

Frekuensi alami

ω_n = √(110000/40) = 52,44 rad/s

f_n = 52,44/(2π) = 8,346 Hz

Jawaban

f_n = 8,346 Hz

ExamProblems · examproblems.com/courses/machine-design