Perancangan Elemen Mesin: paket kilat

Lembar rumus, langkah-langkah metode utama untuk setiap topik, dan 12 soal latihan, dengan pembahasan lengkap di bagian belakang.

Soal baru Kembali ke mata kuliah

Di jendela cetak, pilih “Simpan sebagai PDF” untuk menyimpan salinan di perangkat Anda.

1Rumus dan metode

Roda gigi & rangkaian roda gigi

Roda gigi yang berpasangan: n₁·N₁ = n₂·N₂
Torsi: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η
Daya: P = T·ω, ω = 2π·n/60
Rangkaian roda gigi majemuk: rasio total = hasil kali rasio setiap tingkat

Torsi poros

Tegangan geser: τ = T·r/J
Poros pejal: J = πd⁴/32
Poros berongga: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Sudut puntir: φ = TL/(GJ)
Daya: P = T·ω = 2πnT/60

Metode

Cari momen inersia polar: J = πd⁴/32 untuk poros pejal.
Tegangan geser di permukaan: τ = T·r/J, dengan r jari-jari luar.
Sudut puntir: φ = TL/(GJ) dalam radian.
Jika daya diketahui, cari torsi dulu dengan P = T·ω, ω = 2πn/60.

Lingkaran Mohr & transformasi tegangan

Pusat: C = (σ_x + σ_y)/2
Jari-jari: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Tegangan utama: σ_1,2 = C ± R
Arah utama: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Bidang miring: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Metode

Hitung pusat lingkaran Mohr: C = (σx + σy)/2.
Hitung jari-jarinya: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Tegangan utama adalah C ± R dan tegangan geser bidang terbesar adalah R.
Sudut pada lingkaran adalah dua kali sudut pada elemen: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Tegangan & regangan aksial

Tegangan normal: σ = F/A
Regangan: ε = ΔL/L
Hukum Hooke: σ = E·ε
Pertambahan panjang: ΔL = FL/(EA)
Regangan termal: ε_T = α·ΔT

Tekuk kolom

Beban Euler: P_cr = π²EI/(KL)²
Faktor panjang efektif: K = 1 sendi–sendi, 0,5 jepit–jepit, 0,7 jepit–sendi, 2 jepit–bebas
Tegangan kritis: σ_cr = P_cr/A
Kelangsingan: λ = KL/r, r = √(I/A)

Getaran mekanis

Frekuensi alami: ω_n = √(k/m), f_n = ω_n/(2π)
Dari defleksi statis: ω_n = √(g/δ_st)
Redaman kritis: c_c = 2√(km) = 2mω_n
Rasio redaman: ζ = c/c_c
Frekuensi teredam: ω_d = ω_n√(1 − ζ²)
Dekremen logaritmik: δ = (1/n)·ln(x₀/x_n), ζ = δ/√(4π² + δ²)
Pegas paralel: k = k₁ + k₂
Pegas seri: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

2Soal latihan

1.Roda gigi & rangkaian roda gigiSedang

Puli 120 mm pada 1500 rpm menggerakkan puli 500 mm dengan sabuk yang slipnya 1,5 %. Cari kecepatan n₂ puli yang digerakkan.

n₁ = 1500 rpmd₁ = 120 mmd₂ = 500 mms = 1,5 %

n₂ = rpm

2.Roda gigi & rangkaian roda gigiSulit

Sebuah sabuk terbuka menghubungkan puli 150 mm dan puli 300 mm yang jarak sumbunya 800 mm. Cari sudut kontak θ pada puli yang lebih kecil, dalam derajat.

d₁ = 150 mmd₂ = 300 mmC = 800 mm

θ = °

3.Torsi porosSedang

Poros pejal kuningan dijepit di dinding dan dipuntir oleh torsi T di ujung bebasnya. Cari sudut puntir φ ujung bebas, dalam derajat.

T = 250 N·md = 50 mmL = 1,2 mG = 39 GPa

φ = °

4.Torsi porosSulit

Poros aluminium pejal berdiameter 20 mm dijepit pada dinding kaku di kedua ujung A dan B. Torsi 1000 N·m diberikan di C, 3 m dari A dan 1,2 m dari B. Cari torsi reaksi T_A di dinding A.

d = 20 mmT₀ = 1000 N·ma = 3 mb = 1,2 m

T_A = N·m

5.Lingkaran Mohr & transformasi teganganSedang

Sebuah titik pada komponen yang dibebani memiliki σₓ = −60 MPa, σᵧ = −70 MPa, dan τₓᵧ = 40 MPa (tarik positif). Cari tegangan geser maksimum dalam bidang τ_max.

σ_x = −60 MPaσ_y = −70 MPaτ_xy = 40 MPa

τ_max = MPa

6.Lingkaran Mohr & transformasi teganganSulit

Sebuah titik pada komponen yang dibebani memiliki σₓ = 10 MPa, σᵧ = −80 MPa, dan τₓᵧ = 20 MPa (tarik positif). Cari tegangan normal σ_θ pada bidang yang normalnya diputar 30° searah jarum jam dari sumbu x.

σ_x = 10 MPaσ_y = −80 MPaτ_xy = 20 MPaθ = -30°

σ_θ = MPa

7.Tegangan & regangan aksialSedang

Sebuah batang baja (diameter 40 mm, E = 200 GPa) berada di dalam tabung dari kuningan (diameter luar 100 mm, diameter dalam 70 mm, E = 100 GPa). Keduanya panjangnya 300 mm dan ditekan bersama di antara pelat kaku oleh 200 kN. Cari pemendekan δ.

P = 200 kNbatang: Ø40 mm, E = 200 GPatabung: Ø100/Ø70 mm, E = 100 GPaL = 300 mm

δ = mm

8.Tegangan & regangan aksialSulit

Batang bertingkat dijepit di dinding dan dibebani di ujung bebasnya. Cari pertambahan panjang total δ.

P = 15 kNsegmen 1: Ø35 mm, 1,5 m, tembaga (E = 117 GPa)segmen 2: Ø16 mm, 2 m, kuningan (E = 100 GPa)

δ = mm

9.Tekuk kolomSedang

Kolom sepanjang L dari baja dengan tumpuan jepit di bawah dan bebas di atas. Dengan rumus Euler, cari beban tekuk kritisnya P_cr.

L = 1,5 mE = 200 GPa (baja)d = 30 mm

P_cr = kN

10.Tekuk kolomSulit

Kolom sepanjang L dari baja dengan tumpuan jepit di kedua ujung. Cari kelangsingannya dan tegangan tekuk kritis σ_cr dari rumus Euler.

L = 2,5 mE = 200 GPa (baja)d = 40 mm

σ_cr = MPa

11.Getaran mekanisSedang

Massa 40 kg ditopang oleh pegas dengan kekakuan 8 kN/m dan peredam viskos dengan koefisien redaman 170 N·s/m. Cari rasio redaman ζ.

m = 40 kgk = 8 kN/mc = 170 N·s/m

ζ =

12.Getaran mekanisSulit

Massa 10 kg tergantung pada pegas k₃ = 60 kN/m. Ujung atas k₃ terpasang pada batang kaku yang tergantung pada dua pegas berdampingan, k₁ = 80 kN/m dan k₂ = 10 kN/m; batang tetap datar. Abaikan redaman serta massa pegas dan batang. Cari frekuensi alami f_n getaran vertikal dalam Hz.

m = 10 kgk₁ = 80 kN/mk₂ = 10 kN/mk₃ = 60 kN/m

f_n = Hz

3Larutan

1.Roda gigi & rangkaian roda gigi

Jawaban: n₂ = 354,6 rpm

Penggerak sabuk: tanpa slip, kedua puli memiliki kecepatan tepi yang sama v = π·d·n/60, sehingga n₁·d₁ = n₂·d₂ dan rasio kecepatan adalah d₂/d₁. Slip s membuat puli yang digerakkan sedikit lebih lambat: n₂ = n₁·(d₁/d₂)·(1 − s). Daya yang ditransmisikan adalah P = (T₁ − T₂)·v, dengan T₁ tegangan sisi tarik dan T₂ sisi kendor. Gesekan membatasi rasio tegangan: T₁/T₂ = e^μθ, dengan θ sudut kontak dalam radian pada puli yang lebih kecil; untuk sabuk terbuka θ = π − 2·asin((d₂ − d₁)/(2C)) dengan jarak sumbu C.

Kecepatan tanpa slip

1500·120/500 = 360 rpm

Dengan slip

n₂ = 360·0,985 = 354,6 rpm

Jawaban

n₂ = 354,6 rpm

2.Roda gigi & rangkaian roda gigi

Jawaban: θ = 169,2 °

Sudut sabuk

asin(0,09375) = 5,379°

Sudut kontak

θ = 180 − 2·5,379 = 169,2°

Jawaban

θ = 169,2°

3.Torsi poros

Jawaban: φ = 0,7183 °

Momen inersia polar

J = π·50⁴/32 = 613592 mm⁴

Sudut puntir

φ = TL/(GJ) = 250·1000·1200/(39000·613592) = 0,01254 rad

φ = 0,01254·180/π = 0,7183°

Jawaban

φ = 0,7183°

4.Torsi poros

Jawaban: T_A = 285,7 N·m

Torsi poros bulat: tegangan geser naik linear dari nol di pusat hingga τ_max = T·r/J di permukaan, dengan J = πd⁴/32 untuk poros pejal dan J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 untuk poros berongga. Sudut puntir φ = TL/(GJ) dalam radian. Daya dan torsi berhubungan melalui P = T·ω. Jika kedua ujung dijepit, statika saja hanya memberi T_A + T_B = T₀; persamaan kedua adalah kompatibilitas (puntiran kedua bagian sama di penampang yang dibebani).

Kesetimbangan dan kompatibilitas

T_A + T_B = 1000

T_A·a = T_B·b

T_A = 1000·1,2/4,2 = 285,7 N·m

T_B = 1000·3/4,2 = 714,3 N·m

Jawaban

T_A = 285,7 N·m

5.Lingkaran Mohr & transformasi tegangan

Jawaban: τ_max = 40,31 MPa

Transformasi tegangan bidang: pada bidang yang diputar sebesar θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Lingkaran Mohr menampilkan semua bidang sekaligus: pusatnya di C = (σₓ + σᵧ)/2 dan jari-jarinya R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Tegangan utama adalah C ± R, dan tegangan geser terbesar dalam bidang adalah R.

Jari-jari lingkaran Mohr

τ_max = R = √(((−60 − −70)/2)² + 40²) = 40,31 MPa

Jawaban

τ_max = 40,31 MPa

6.Lingkaran Mohr & transformasi tegangan

Jawaban: σ_θ = −29,82 MPa

Persamaan transformasi

σ_θ = −35 + 45·0,5 + 20·−0,866 = −29,82 MPa

Jawaban

σ_θ = −29,82 MPa

7.Tegangan & regangan aksial

Jawaban: δ = 0,09204 mm

Dua bahan: pada susunan seri (satu demi satu) setiap segmen menahan gaya yang sama dan perpanjangannya dijumlahkan: δ = P·Σ L/(E·A). Pada susunan paralel (berdampingan di antara pelat kaku) kedua bagian memendek sama besar, sehingga regangannya sama: bagian yang lebih kaku menanggung bagian yang lebih besar, P_i = P·E_iA_i/ΣEA, dan σ_i = E_i·ε. Batang yang ditahan di antara dua dinding kaku dengan beban di sambungan adalah statis tak tentu: kedua segmen membagi beban sebanding dengan kekakuannya k = EA/L.

Luas

A_r = π·40²/4 = 1257 mm²

A_t = π(100² − 70²)/4 = 4006 mm²

Kekakuan aksial gabungan

ΣEA = 200·10³·1257 + 100·10³·4006 = 6,519 × 10⁸ N

Pemendekan

δ = 200000·300/6,519 × 10⁸ = 0,09204 mm

Jawaban

δ = 0,09204 mm

8.Tegangan & regangan aksial

Jawaban: δ = 1,692 mm

Batang beban aksial: setiap segmen prismatis mengikuti δ = PL/(AE). Untuk segmen seri, pertambahan panjangnya dijumlahkan.

Gaya sama di kedua segmen

Ujung bebas menahan P, jadi setiap penampang batang menahan gaya aksial P yang sama. Hanya luas dan bahannya yang berubah.

A₁ = π·35²/4 = 962,1 mm², A₂ = π·16²/4 = 201,1 mm²

σ₁ = 15,59 MPa

σ₂ = 74,6 MPa

Jumlahkan pertambahan panjang segmen

δ₁ = σ₁L₁/E₁ = 15,59·1500/117000 = 0,1999 mm

δ₂ = σ₂L₂/E₂ = 74,6·2000/100000 = 1,492 mm

δ = δ₁ + δ₂ = 1,692 mm

Jawaban

δ = 1,692 mm

9.Tekuk kolom

Jawaban: P_cr = 8,721 kN

Tekuk Euler: kolom langsing menjadi tidak stabil pada P_cr = π²EI/(KL)², dengan KL panjang efektif: K = 1 untuk sendi–sendi, 2 untuk jepit–bebas, 0,7 untuk jepit–sendi, dan 0,5 untuk jepit–jepit. Kolom menekuk terhadap sumbu dengan I terkecil. Rumus berlaku untuk kolom langsing yang tegangan kritisnya tetap di bawah tegangan leleh.

Momen inersia terkecil

Penampang bulat memiliki I yang sama terhadap setiap sumbu.

I = πd⁴/64 = π·30⁴/64 = 39761 mm⁴

Panjang efektif

KL = 2·1500 = 3000 mm

Beban kritis

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·39761/3000² = 8721 N = 8,721 kN

Jawaban

P_cr = 8,721 kN

10.Tekuk kolom

Jawaban: σ_cr = 126,3 MPa

Momen inersia terkecil

Penampang bulat memiliki I yang sama terhadap setiap sumbu.

I = πd⁴/64 = π·40⁴/64 = 125664 mm⁴

Jari-jari girasi dan kelangsingan

A = 1257 mm²

r = √(I/A) = √(125664/1257) = 10 mm

KL = 0,5·2500 = 1250 mm

KL/r = 1250/10 = 125

Tegangan kritis

σ_cr = π²E/(KL/r)² = π²·200000/125² = 126,3 MPa

Jawaban

σ_cr = 126,3 MPa

11.Getaran mekanis

Jawaban: ζ = 0,1503

Getaran bebas sistem massa–pegas: frekuensi alami tak teredam adalah ω_n = √(k/m) dalam rad/s, dan f_n = ω_n/(2π) dalam Hz. Peredam viskos c memberikan rasio redaman ζ = c/c_c, dengan redaman kritis c_c = 2·√(k·m) = 2·m·ω_n. Sistem kurang teredam (ζ < 1) berosilasi pada ω_d = ω_n·√(1 − ζ²). Pegas paralel dijumlahkan, k = k₁ + k₂; pegas seri dijumlahkan sebagai kebalikan, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

Redaman kritis

c_c = 2·√(k·m) = 2·√(8000·40) = 1131 N·s/m

Rasio redaman

ζ = c/c_c = 170/1131 = 0,1503

Jawaban

ζ = 0,1503

ζ < 1, sehingga sistem kurang teredam dan berosilasi sambil meluruh.

12.Getaran mekanis

Jawaban: f_n = 9,549 Hz

Kekakuan ekivalen

Hanya k₁ dan k₂ yang paralel. Pasangan itu seri dengan k₃, jadi gabungkan sebagai kebalikan.

k₁₂ = 80 + 10 = 90 kN/m

k_eq = 90·60/(90 + 60) = 36 kN/m

Frekuensi alami

ω_n = √(36000/10) = 60 rad/s

f_n = 60/(2π) = 9,549 Hz

Jawaban

f_n = 9,549 Hz

ExamProblems · examproblems.com/courses/machine-design