Roda gigi & rangkaian roda gigi
- Roda gigi yang berpasangan
- n1·N1 = n2·N2
- Torsi
- T2 = T1·(N2/N1)·η
- Daya
- P = T·ω, ω = 2π·n/60
- Rangkaian roda gigi majemuk
- rasio total = hasil kali rasio setiap tingkat
Perancangan Elemen Mesin: paket kilat
Lembar rumus, langkah-langkah metode utama untuk setiap topik, dan 12 soal latihan, dengan pembahasan lengkap di bagian belakang.
1Rumus dan metode
Torsi poros
- Tegangan geser
- τ = T·r/J
- Poros pejal
- J = πd⁴/32
- Poros berongga
- J = π(D⁴ − d⁴)/32
- Sudut puntir
- φ = TL/(GJ)
- Daya
- P = T·ω = 2πnT/60
Metode
- Cari momen inersia polar: J = πd⁴/32 untuk poros pejal.
- Tegangan geser di permukaan: τ = T·r/J, dengan r jari-jari luar.
- Sudut puntir: φ = TL/(GJ) dalam radian.
- Jika daya diketahui, cari torsi dulu dengan P = T·ω, ω = 2πn/60.
Lingkaran Mohr & transformasi tegangan
- Pusat
- C = (σx + σy)/2
- Jari-jari
- R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)
- Tegangan utama
- σ1,2 = C ± R
- Arah utama
- tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)
- Bidang miring
- σθ = C + (σx − σy)/2·cos 2θ + τxy·sin 2θ
Metode
- Hitung pusat lingkaran Mohr: C = (σx + σy)/2.
- Hitung jari-jarinya: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
- Tegangan utama adalah C ± R dan tegangan geser bidang terbesar adalah R.
- Sudut pada lingkaran adalah dua kali sudut pada elemen: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).
Tegangan & regangan aksial
- Tegangan normal
- σ = F/A
- Regangan
- ε = ΔL/L
- Hukum Hooke
- σ = E·ε
- Pertambahan panjang
- ΔL = FL/(EA)
- Regangan termal
- εT = α·ΔT
Tekuk kolom
- Beban Euler
- Pcr = π²EI/(KL)²
- Faktor panjang efektif
- K = 1 sendi–sendi, 0,5 jepit–jepit, 0,7 jepit–sendi, 2 jepit–bebas
- Tegangan kritis
- σcr = Pcr/A
- Kelangsingan
- λ = KL/r, r = √(I/A)
Getaran mekanis
- Frekuensi alami
- ωn = √(k/m), fn = ωn/(2π)
- Dari defleksi statis
- ωn = √(g/δst)
- Redaman kritis
- cc = 2√(km) = 2mωn
- Rasio redaman
- ζ = c/cc
- Frekuensi teredam
- ωd = ωn√(1 − ζ²)
- Dekremen logaritmik
- δ = (1/n)·ln(x0/xn), ζ = δ/√(4π² + δ²)
- Pegas paralel
- k = k1 + k2
- Pegas seri
- 1/k = 1/k1 + 1/k2
2Soal latihan
1.Roda gigi & rangkaian roda gigiSedang
Sebuah motor 3 kW yang berputar pada 1500 rpm menggerakkan pinion dengan 20 gigi, yang berpasangan dengan roda gigi 40 gigi. Pasangan roda gigi memiliki efisiensi 96%. Cari torsi keluaran T2 pada poros roda gigi.
P = 3 kWn1 = 1500 rpmN1 = 20N2 = 40η = 96%
T2 = N·m
2.Roda gigi & rangkaian roda gigiSulit
Dalam rangkaian roda gigi majemuk, roda gigi A (15 gigi) pada poros masukan berputar pada 2880 rpm dan menggerakkan roda gigi B (25 gigi). Roda gigi C (18 gigi) terpasang pada poros yang sama dengan B dan menggerakkan roda gigi D pada poros keluaran. Keluaran harus berputar pada 518,4 rpm. Berapa jumlah gigi ND yang harus dimiliki roda gigi D?
nin = 2880 rpmA = 15B = 25C = 18nout = 518,4 rpm
ND =
3.Torsi porosSedang
Poros berongga harus menahan torsi 1500 N·m. Diameter dalamnya ditetapkan 0,7 kali diameter luarnya, dan tegangan geser tidak boleh melebihi 40 MPa. Cari diameter luar terkecil do.
T = 1500 N·mdi/do = 0,7τallow = 40 MPa
do = mm
4.Torsi porosSulit
Poros berongga harus meneruskan 15 kW pada 1500 rpm. Diameter dalamnya ditetapkan 0,8 kali diameter luarnya, dan tegangan geser tidak boleh melebihi 80 MPa. Cari diameter luar terkecil do.
P = 15 kWN = 1500 rpmdi/do = 0,8τallow = 80 MPa
do = mm
5.Lingkaran Mohr & transformasi teganganSedang
Sebuah titik pada komponen yang dibebani memiliki σₓ = 100 MPa, σᵧ = 120 MPa, dan τₓᵧ = 50 MPa (tarik positif). Cari tegangan geser maksimum dalam bidang τmax.
σx = 100 MPaσy = 120 MPaτxy = 50 MPa
τmax = MPa
6.Lingkaran Mohr & transformasi teganganSulit
Sebuah titik pada komponen yang dibebani memiliki σₓ = −20 MPa, σᵧ = 80 MPa, dan τₓᵧ = 50 MPa (tarik positif). Cari tegangan normal σθ pada bidang yang normalnya diputar 35° berlawanan arah jarum jam dari sumbu x.
σx = −20 MPaσy = 80 MPaτxy = 50 MPaθ = 35°
σθ = MPa
7.Tegangan & regangan aksialSedang
Cari pertambahan panjang δ batang kuningan akibat beban aksial.
P = 115 kNd = 30 mmL = 0,5 mE = 100 GPa
δ = mm
8.Tegangan & regangan aksialSulit
Batang bertingkat dijepit di dinding dan dibebani di ujung bebasnya. Cari tegangan normal terbesar σmax pada batang.
P = 75 kNsegmen 1: Ø40 mm, 2 m, kuningan (E = 100 GPa)segmen 2: Ø12 mm, 1 m, kuningan (E = 100 GPa)
σmax = MPa
9.Tekuk kolomSedang
Kolom sepanjang L dari baja dengan tumpuan sendi di kedua ujung. Dengan rumus Euler, cari beban tekuk kritisnya Pcr.
L = 5 mE = 200 GPa (baja)b × h = 50 × 80 mm
Pcr = kN
10.Tekuk kolomSulit
Kolom sepanjang L dari aluminium dengan tumpuan jepit di bawah dan bebas di atas. Cari kelangsingannya dan tegangan tekuk kritis σcr dari rumus Euler.
L = 4 mE = 70 GPa (aluminium)d = 50 mm
σcr = MPa
11.Getaran mekanisSedang
Dalam uji getaran bebas sistem massa–pegas teredam, puncak simpangan 12 mm diikuti 4 siklus kemudian oleh puncak 0,6 mm. Cari rasio redaman ζ.
x0 = 12 mmx4 = 0,6 mmn = 4
ζ =
12.Getaran mekanisSulit
Massa 5 kg tergantung pada dua pegas berdampingan (paralel), dengan kekakuan k₁ = 50 kN/m dan k₂ = 25 kN/m. Massa tetap datar. Cari kekakuan ekivalen keq sistem pegas dalam kN/m.
m = 5 kgk1 = 50 kN/mk2 = 25 kN/m
keq = kN/m
3Larutan
1.Roda gigi & rangkaian roda gigi
Jawaban: T2 = 36,67 N·m
Rangkaian roda gigi: roda gigi yang berpasangan memiliki kecepatan yang sama di giginya, sehingga n₁·N₁ = n₂·N₂: roda gigi dengan jumlah gigi lebih sedikit berputar lebih cepat. Roda gigi pada satu poros berputar dengan kecepatan yang sama. Daya diteruskan (dikurangi rugi-rugi), sehingga torsi naik ketika putaran turun: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, dan P = T·ω dengan ω = 2π·n/60.
Torsi motor
ω₁ = 2π·1500/60 = 157,1 rad/s
T1 = P/ω₁ = 3000/157,1 = 19,1 N·m
Torsi keluaran
T2 = 19,1·40/20·0,96 = 36,67 N·m
Jawaban
T2 = 36,67 N·m
2.Roda gigi & rangkaian roda gigi
Jawaban: ND = 60
Rangkaian roda gigi: roda gigi yang berpasangan memiliki kecepatan yang sama di giginya, sehingga n₁·N₁ = n₂·N₂: roda gigi dengan jumlah gigi lebih sedikit berputar lebih cepat. Roda gigi pada satu poros berputar dengan kecepatan yang sama. Daya diteruskan (dikurangi rugi-rugi), sehingga torsi naik ketika putaran turun: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, dan P = T·ω dengan ω = 2π·n/60.
Kecepatan poros antara
nB = nC = 2880·15/25 = 1728 rpm
Jumlah gigi roda gigi D
ND = C·nC/nout = 18·1728/518,4 = 60
Jawaban
ND = 60
3.Torsi poros
Jawaban: do = 63,11 mm
Torsi poros bulat: tegangan geser naik linear dari nol di pusat hingga τmax = T·r/J di permukaan, dengan J = πd⁴/32 untuk poros pejal dan J = π(do⁴ − di⁴)/32 untuk poros berongga. Sudut puntir φ = TL/(GJ) dalam radian. Daya dan torsi berhubungan melalui P = T·ω.
Diameter luar dari tegangan izin
T = 1500 N·m = 1,5 × 10⁶ N·mm
1 − k⁴ = 1 − 0,7⁴ = 0,7599
do = ∛(16T/(π·τallow·(1 − k⁴))) = ∛(16·1,5 × 10⁶/(π·40·0,7599)) = 63,11 mm
di = 0,7·63,11 = 44,18 mm
Jawaban
do = 63,11 mm
Poros pejal memerlukan d = 57,59 mm; poros berongga sedikit lebih besar tetapi jauh lebih ringan.
4.Torsi poros
Jawaban: do = 21,76 mm
Torsi poros bulat: tegangan geser naik linear dari nol di pusat hingga τmax = T·r/J di permukaan, dengan J = πd⁴/32 untuk poros pejal dan J = π(do⁴ − di⁴)/32 untuk poros berongga. Sudut puntir φ = TL/(GJ) dalam radian. Daya dan torsi berhubungan melalui P = T·ω.
Torsi
ω = 2πN/60 = 2π·1500/60 = 157,1 rad/s
T = P/ω = 15000/157,1 = 95,49 N·m
Diameter luar dari tegangan izin
T = 95,49 N·m = 95493 N·mm
1 − k⁴ = 1 − 0,8⁴ = 0,5904
do = ∛(16T/(π·τallow·(1 − k⁴))) = ∛(16·95493/(π·80·0,5904)) = 21,76 mm
di = 0,8·21,76 = 17,4 mm
Jawaban
do = 21,76 mm
Poros pejal memerlukan d = 18,25 mm; poros berongga sedikit lebih besar tetapi jauh lebih ringan.
5.Lingkaran Mohr & transformasi tegangan
Jawaban: τmax = 50,99 MPa
Transformasi tegangan bidang: pada bidang yang diputar sebesar θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Lingkaran Mohr menampilkan semua bidang sekaligus: pusatnya di C = (σₓ + σᵧ)/2 dan jari-jarinya R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Tegangan utama adalah C ± R, dan tegangan geser terbesar dalam bidang adalah R.
Jari-jari lingkaran Mohr
τmax = R = √(((100 − 120)/2)² + 50²) = 50,99 MPa
Jawaban
τmax = 50,99 MPa
6.Lingkaran Mohr & transformasi tegangan
Jawaban: σθ = 59,88 MPa
Transformasi tegangan bidang: pada bidang yang diputar sebesar θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Lingkaran Mohr menampilkan semua bidang sekaligus: pusatnya di C = (σₓ + σᵧ)/2 dan jari-jarinya R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Tegangan utama adalah C ± R, dan tegangan geser terbesar dalam bidang adalah R.
Persamaan transformasi
σθ = 30 + −50·0,342 + 50·0,9397 = 59,88 MPa
Jawaban
σθ = 59,88 MPa
7.Tegangan & regangan aksial
Jawaban: δ = 0,8135 mm
Hukum Hooke: dalam daerah elastis σ = E·ε. Digabung dengan σ = P/A dan ε = δ/L menghasilkan δ = PL/(AE).
Tegangan
A = π·30²/4 = 706,9 mm²
σ = P/A = 115·1000/706,9 = 162,7 MPa
Regangan (hukum Hooke)
E for kuningan = 100 GPa = 100000 MPa.
ε = σ/E = 162,7/100000 = 0,001627 = 1627 µε
Pertambahan panjang
δ = ε·L = 0,001627·500 mm = 0,8135 mm
Jawaban
δ = 0,8135 mm
8.Tegangan & regangan aksial
Jawaban: σmax = 663,1 MPa
Batang beban aksial: setiap segmen prismatis mengikuti δ = PL/(AE). Untuk segmen seri, pertambahan panjangnya dijumlahkan.
Gaya sama di kedua segmen
Ujung bebas menahan P, jadi setiap penampang batang menahan gaya aksial P yang sama. Hanya luas dan bahannya yang berubah.
A1 = π·40²/4 = 1257 mm², A2 = π·12²/4 = 113,1 mm²
σ1 = 59,68 MPa
σ2 = 663,1 MPa
Tegangan terbesar
Segmen yang lebih tipis luasnya lebih kecil, jadi tegangannya lebih besar.
σmax = 663,1 MPa
Jawaban
σmax = 663,1 MPa
9.Tekuk kolom
Jawaban: Pcr = 65,8 kN
Tekuk Euler: kolom langsing menjadi tidak stabil pada Pcr = π²EI/(KL)², dengan KL panjang efektif: K = 1 untuk sendi–sendi, 2 untuk jepit–bebas, 0,7 untuk jepit–sendi, dan 0,5 untuk jepit–jepit. Kolom menekuk terhadap sumbu dengan I terkecil. Rumus berlaku untuk kolom langsing yang tegangan kritisnya tetap di bawah tegangan leleh.
Momen inersia terkecil
Persegi panjang menekuk terhadap sumbu lemahnya, dengan dimensi terkecil dipangkatkan tiga.
Imin = h·b³/12 = 80·50³/12 = 833333 mm⁴
Panjang efektif
KL = 1·5000 = 5000 mm
Beban kritis
Pcr = π²EI/(KL)² = π²·200000·833333/5000² = 65797 N = 65,8 kN
Jawaban
Pcr = 65,8 kN
10.Tekuk kolom
Jawaban: σcr = 1,687 MPa
Tekuk Euler: kolom langsing menjadi tidak stabil pada Pcr = π²EI/(KL)², dengan KL panjang efektif: K = 1 untuk sendi–sendi, 2 untuk jepit–bebas, 0,7 untuk jepit–sendi, dan 0,5 untuk jepit–jepit. Kolom menekuk terhadap sumbu dengan I terkecil. Rumus berlaku untuk kolom langsing yang tegangan kritisnya tetap di bawah tegangan leleh.
Momen inersia terkecil
Penampang bulat memiliki I yang sama terhadap setiap sumbu.
I = πd⁴/64 = π·50⁴/64 = 306796 mm⁴
Jari-jari girasi dan kelangsingan
A = 1963 mm²
r = √(I/A) = √(306796/1963) = 12,5 mm
KL = 2·4000 = 8000 mm
KL/r = 8000/12,5 = 640
Tegangan kritis
σcr = π²E/(KL/r)² = π²·70000/640² = 1,687 MPa
Jawaban
σcr = 1,687 MPa
11.Getaran mekanis
Jawaban: ζ = 0,1184
Getaran bebas sistem massa–pegas: frekuensi alami tak teredam adalah ωn = √(k/m) dalam rad/s, dan fn = ωn/(2π) dalam Hz. Peredam viskos c memberikan rasio redaman ζ = c/cc, dengan redaman kritis cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn. Sistem kurang teredam (ζ < 1) berosilasi pada ωd = ωn·√(1 − ζ²). Pegas paralel dijumlahkan, k = k₁ + k₂; pegas seri dijumlahkan sebagai kebalikan, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.
Dekremen logaritmik
δ = (1/4)·ln(12/0,6) = 0,7489
Rasio redaman
ζ = δ/√(4π² + δ²) = 0,7489/√(39,48 + 0,5609) = 0,1184
Jawaban
ζ = 0,1184
12.Getaran mekanis
Jawaban: keq = 75 kN/m
Getaran bebas sistem massa–pegas: frekuensi alami tak teredam adalah ωn = √(k/m) dalam rad/s, dan fn = ωn/(2π) dalam Hz. Peredam viskos c memberikan rasio redaman ζ = c/cc, dengan redaman kritis cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn. Sistem kurang teredam (ζ < 1) berosilasi pada ωd = ωn·√(1 − ζ²). Pegas paralel dijumlahkan, k = k₁ + k₂; pegas seri dijumlahkan sebagai kebalikan, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.
Kekakuan ekivalen
Pegas berdampingan berbagi defleksi dan gayanya dijumlahkan, sehingga kekakuannya cukup dijumlahkan: k = k1 + k2.
keq = 50 + 25 = 75 kN/m
Jawaban
keq = 75 kN/m
ExamProblems · examproblems.com/courses/machine-design