Perancangan Elemen Mesin: paket kilat

Lembar rumus, langkah-langkah metode utama untuk setiap topik, dan 12 soal latihan, dengan pembahasan lengkap di bagian belakang.

Soal baruKembali ke mata kuliah

Di jendela cetak, pilih “Simpan sebagai PDF” untuk menyimpan salinan di perangkat Anda.

1Rumus dan metode

Roda gigi & rangkaian roda gigi

Roda gigi yang berpasangan
n1·N1 = n2·N2
Torsi
T2 = T1·(N2/N1)·η
Daya
P = T·ω, ω = 2π·n/60
Rangkaian roda gigi majemuk
rasio total = hasil kali rasio setiap tingkat

Torsi poros

Tegangan geser
τ = T·r/J
Poros pejal
J = πd⁴/32
Poros berongga
J = π(D⁴ − d⁴)/32
Sudut puntir
φ = TL/(GJ)
Daya
P = T·ω = 2πnT/60

Metode

  1. Cari momen inersia polar: J = πd⁴/32 untuk poros pejal.
  2. Tegangan geser di permukaan: τ = T·r/J, dengan r jari-jari luar.
  3. Sudut puntir: φ = TL/(GJ) dalam radian.
  4. Jika daya diketahui, cari torsi dulu dengan P = T·ω, ω = 2πn/60.

Lingkaran Mohr & transformasi tegangan

Pusat
C = (σx + σy)/2
Jari-jari
R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)
Tegangan utama
σ1,2 = C ± R
Arah utama
tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)
Bidang miring
σθ = C + (σx − σy)/2·cos 2θ + τxy·sin 2θ

Metode

  1. Hitung pusat lingkaran Mohr: C = (σx + σy)/2.
  2. Hitung jari-jarinya: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
  3. Tegangan utama adalah C ± R dan tegangan geser bidang terbesar adalah R.
  4. Sudut pada lingkaran adalah dua kali sudut pada elemen: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Tegangan & regangan aksial

Tegangan normal
σ = F/A
Regangan
ε = ΔL/L
Hukum Hooke
σ = E·ε
Pertambahan panjang
ΔL = FL/(EA)
Regangan termal
εT = α·ΔT

Tekuk kolom

Beban Euler
Pcr = π²EI/(KL)²
Faktor panjang efektif
K = 1 sendi–sendi, 0,5 jepit–jepit, 0,7 jepit–sendi, 2 jepit–bebas
Tegangan kritis
σcr = Pcr/A
Kelangsingan
λ = KL/r, r = √(I/A)

Getaran mekanis

Frekuensi alami
ωn = √(k/m), fn = ωn/(2π)
Dari defleksi statis
ωn = √(g/δst)
Redaman kritis
cc = 2√(km) = 2mωn
Rasio redaman
ζ = c/cc
Frekuensi teredam
ωd = ωn√(1 − ζ²)
Dekremen logaritmik
δ = (1/n)·ln(x0/xn), ζ = δ/√(4π² + δ²)
Pegas paralel
k = k1 + k2
Pegas seri
1/k = 1/k1 + 1/k2

2Soal latihan

1.Roda gigi & rangkaian roda gigiSedang
N1​ = 16, m = 5 mm

Sebuah motor 3 kW yang berputar pada 1450 rpm menggerakkan pinion dengan 16 gigi dan modul 5 mm. Cari gaya tangensial Ft pada gigi pinion.

P = 3 kWn = 1450 rpmN1 = 16m = 5 mm
Ft = N
2.Roda gigi & rangkaian roda gigiSulit
A = 30B = 40C = 12D = 72

Dalam rangkaian roda gigi majemuk, roda gigi A (30 gigi) pada poros masukan yang berputar pada 1500 rpm menggerakkan roda gigi B (40 gigi). Roda gigi C (12 gigi) terpasang pada poros yang sama dengan B dan menggerakkan roda gigi D (72 gigi) pada poros keluaran. Cari putaran keluaran nout.

nin = 1500 rpmA = 30B = 40C = 12D = 72
nout = rpm
3.Torsi porosSedang
T = 750 N·md = 40 mmL = 2 mφ = ?

Poros pejal aluminium dijepit di dinding dan dipuntir oleh torsi T di ujung bebasnya. Cari sudut puntir φ ujung bebas, dalam derajat.

T = 750 N·md = 40 mmL = 2 mG = 26 GPa
φ = °
4.Torsi porosSulit
d = ?10 kW, 300 rpm

Poros baja pejal meneruskan 10 kW pada 300 rpm. Tegangan geser tidak boleh melebihi 80 MPa dan puntiran tidak boleh melebihi 0,5° per m panjang. Cari diameter terkecil d yang memenuhi kedua batas.

P = 10 kWN = 300 rpmτallow = 80 MPaθallow = 0,5°/mG = 80 GPa
d = mm
5.Lingkaran Mohr & transformasi teganganSedang
σx​ = 40σy​ = 30τxy​ = −50MPa

Sebuah titik pada komponen yang dibebani memiliki σₓ = 40 MPa, σᵧ = 30 MPa, dan τₓᵧ = −50 MPa (tarik positif). Cari tegangan geser maksimum dalam bidang τmax.

σx = 40 MPaσy = 30 MPaτxy = −50 MPa
τmax = MPa
6.Lingkaran Mohr & transformasi teganganSulit
60°D = 500 mm, t = 8 mm, p = 0,8 MPap

Tangki silinder berdinding tipis dengan diameter dalam 500 mm dan tebal dinding 8 mm berisi gas bertekanan gauge 0,8 MPa. Tangki dibuat dari pelat yang dilas sepanjang kampuh heliks bersudut 60° terhadap sumbu silinder. Cari besar tegangan geser |τn| yang bekerja sepanjang kampuh las.

D = 500 mmt = 8 mmp = 0,8 MPaα = 60°
|τn| = MPa
7.Tegangan & regangan aksialSedang
Ø 30 mmKuningan0,5 mP = 25 kN

Cari regangan aksial ε pada batang kuningan, dalam mikroregangan (µε = 10⁻⁶).

P = 25 kNd = 30 mmL = 0,5 mE = 100 GPa
ε = µε
8.Tegangan & regangan aksialSulit
Ø 25 mmBaja1,5 mØ 20 mmTembaga1,5 mP = 80 kN

Batang bertingkat dijepit di dinding dan dibebani di ujung bebasnya. Cari tegangan normal terbesar σmax pada batang.

P = 80 kNsegmen 1: Ø25 mm, 1,5 m, baja (E = 200 GPa)segmen 2: Ø20 mm, 1,5 m, tembaga (E = 117 GPa)
σmax = MPa
9.Tekuk kolomSedang
PL = 3 md = 80 mmpenampang

Kolom sepanjang L dari baja dengan tumpuan sendi di kedua ujung. Dengan rumus Euler, cari beban tekuk kritisnya Pcr.

L = 3 mE = 200 GPa (baja)d = 80 mm
Pcr = kN
10.Tekuk kolomSulit
PL = 3 md = 40 mmpenampang

Kolom sepanjang L dari aluminium dengan tumpuan sendi di kedua ujung. Cari kelangsingannya dan tegangan tekuk kritis σcr dari rumus Euler.

L = 3 mE = 70 GPa (aluminium)d = 40 mm
σcr = MPa
11.Getaran mekanisSedang
k = 2 kN/mζ = 0,4m = 12 kg

Massa 12 kg pada pegas dengan kekakuan 2 kN/m memiliki peredam viskos yang memberikan rasio redaman 0,4. Cari frekuensi alami teredam fd getaran bebasnya dalam Hz.

m = 12 kgk = 2 kN/mζ = 0,4
fd = Hz
12.Getaran mekanisSulit
k1​ = 100k2​ = 10m = 25 kg

Massa 25 kg tergantung pada dua pegas berdampingan (paralel), dengan kekakuan k₁ = 100 kN/m dan k₂ = 10 kN/m. Massa tetap datar. Abaikan redaman dan massa pegas. Cari frekuensi alami fn getaran vertikal dalam Hz.

m = 25 kgk1 = 100 kN/mk2 = 10 kN/m
fn = Hz

3Larutan

1.Roda gigi & rangkaian roda gigi

Jawaban: Ft = 493,9 N

Geometri roda gigi: modul m menentukan ukuran gigi. Roda gigi dengan N gigi memiliki diameter jarak bagi d = m·N, dua roda gigi yang berpasangan memiliki modul yang sama, dan jarak sumbunya a = (d₁ + d₂)/2 = m·(N₁ + N₂)/2. Kecepatan garis jarak bagi v = π·d·n/60, dan gaya tangensial gigi diperoleh dari torsi: Ft = 2T/d.

Torsi pada pinion

ω = 2π·1450/60 = 151,8 rad/s
T = P/ω = 3000/151,8 = 19,76 N·m

Diameter jarak bagi

d = m·N = 5·16 = 80 mm

Gaya tangensial

Ft = 2T/d = 2·19,76/0,08 = 493,9 N

Jawaban

Ft = 493,9 N
2.Roda gigi & rangkaian roda gigi

Jawaban: nout = 187,5 rpm

Rangkaian roda gigi: roda gigi yang berpasangan memiliki kecepatan yang sama di giginya, sehingga n₁·N₁ = n₂·N₂: roda gigi dengan jumlah gigi lebih sedikit berputar lebih cepat. Roda gigi pada satu poros berputar dengan kecepatan yang sama. Daya diteruskan (dikurangi rugi-rugi), sehingga torsi naik ketika putaran turun: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, dan P = T·ω dengan ω = 2π·n/60.

Tingkat pertama

nB = 1500·30/40 = 1125 rpm = nC

Tingkat kedua

nout = 1125·12/72 = 187,5 rpm

Jawaban

nout = 187,5 rpm

rasio total = 8 : 1

3.Torsi poros

Jawaban: φ = 13,15 °

Torsi poros bulat: tegangan geser naik linear dari nol di pusat hingga τmax = T·r/J di permukaan, dengan J = πd⁴/32 untuk poros pejal dan J = π(do⁴ − di⁴)/32 untuk poros berongga. Sudut puntir φ = TL/(GJ) dalam radian. Daya dan torsi berhubungan melalui P = T·ω.

Momen inersia polar

J = π·40⁴/32 = 251327 mm⁴

Sudut puntir

φ = TL/(GJ) = 750·1000·2000/(26000·251327) = 0,2296 rad
φ = 0,2296·180/π = 13,15°

Jawaban

φ = 13,15°
4.Torsi poros

Jawaban: d = 46,42 mm

Torsi poros bulat: tegangan geser naik linear dari nol di pusat hingga τmax = T·r/J di permukaan, dengan J = πd⁴/32 untuk poros pejal dan J = π(do⁴ − di⁴)/32 untuk poros berongga. Sudut puntir φ = TL/(GJ) dalam radian. Daya dan torsi berhubungan melalui P = T·ω.

Torsi

ω = 2πN/60 = 2π·300/60 = 31,42 rad/s
T = P/ω = 10000/31,42 = 318,3 N·m

Diameter berdasarkan kekuatan

T = 318,3 N·m = 318310 N·mm
dτ = ∛(16·318310/(π·80)) = 27,26 mm

Diameter berdasarkan kekakuan

θ = 0,5·π/180/1000 = 8,727 × 10⁻⁶ rad/mm
G = 80 GPa = 80000 MPa
dφ = (32·318310/(π·80000·8,727 × 10⁻⁶))1/4 = 46,42 mm

Diameter yang menentukan

Kedua batas harus terpenuhi, jadi diameter yang lebih besar yang menentukan.

d = max(27,26, 46,42) = 46,42 mm

Jawaban

d = 46,42 mm

Di sini kekakuan yang menentukan.

5.Lingkaran Mohr & transformasi tegangan

Jawaban: τmax = 50,25 MPa

Transformasi tegangan bidang: pada bidang yang diputar sebesar θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Lingkaran Mohr menampilkan semua bidang sekaligus: pusatnya di C = (σₓ + σᵧ)/2 dan jari-jarinya R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Tegangan utama adalah C ± R, dan tegangan geser terbesar dalam bidang adalah R.

στxyCτmax​

Jari-jari lingkaran Mohr

τmax = R = √(((40 − 30)/2)² + −50²) = 50,25 MPa

Jawaban

τmax = 50,25 MPa
6.Lingkaran Mohr & transformasi tegangan

Jawaban: |τn| = 5,413 MPa

Transformasi tegangan bidang: pada bidang yang diputar sebesar θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Lingkaran Mohr menampilkan semua bidang sekaligus: pusatnya di C = (σₓ + σᵧ)/2 dan jari-jarinya R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Tegangan utama adalah C ± R, dan tegangan geser terbesar dalam bidang adalah R. Silinder berdinding tipis: tegangan keliling σh = pr/t dan tegangan aksial σa = pr/(2t); keduanya adalah tegangan utama pada dinding.

Tegangan dinding

r = 500/2 = 250 mm
σh = pr/t = 0,8·250/8 = 25 MPa
σa = pr/(2t) = 12,5 MPa

Transformasikan ke kampuh

Ambil x sepanjang sumbu (σa) dan y mengelilingi keliling (σh). Normal kampuh membentuk 90° − α dengan sumbu.

|τn| = (25 − 12,5)·sin 60°·cos 60° = 5,413 MPa

Jawaban

|τn| = 5,413 MPa
7.Tegangan & regangan aksial

Jawaban: ε = 353,7 µε

Hukum Hooke: dalam daerah elastis σ = E·ε. Digabung dengan σ = P/A dan ε = δ/L menghasilkan δ = PL/(AE).

Tegangan

A = π·30²/4 = 706,9 mm²
σ = P/A = 25·1000/706,9 = 35,37 MPa

Regangan (hukum Hooke)

E for kuningan = 100 GPa = 100000 MPa.

ε = σ/E = 35,37/100000 = 0,0003537 = 353,7 µε

Jawaban

ε = 353,7 µε
8.Tegangan & regangan aksial

Jawaban: σmax = 254,6 MPa

Batang beban aksial: setiap segmen prismatis mengikuti δ = PL/(AE). Untuk segmen seri, pertambahan panjangnya dijumlahkan.

Gaya sama di kedua segmen

Ujung bebas menahan P, jadi setiap penampang batang menahan gaya aksial P yang sama. Hanya luas dan bahannya yang berubah.

A1 = π·25²/4 = 490,9 mm², A2 = π·20²/4 = 314,2 mm²
σ1 = 163 MPa
σ2 = 254,6 MPa

Tegangan terbesar

Segmen yang lebih tipis luasnya lebih kecil, jadi tegangannya lebih besar.

σmax = 254,6 MPa

Jawaban

σmax = 254,6 MPa
9.Tekuk kolom

Jawaban: Pcr = 441 kN

Tekuk Euler: kolom langsing menjadi tidak stabil pada Pcr = π²EI/(KL)², dengan KL panjang efektif: K = 1 untuk sendi–sendi, 2 untuk jepit–bebas, 0,7 untuk jepit–sendi, dan 0,5 untuk jepit–jepit. Kolom menekuk terhadap sumbu dengan I terkecil. Rumus berlaku untuk kolom langsing yang tegangan kritisnya tetap di bawah tegangan leleh.

Momen inersia terkecil

Penampang bulat memiliki I yang sama terhadap setiap sumbu.

I = πd⁴/64 = π·80⁴/64 = 2,011 × 10⁶ mm⁴

Panjang efektif

KL = 1·3000 = 3000 mm

Beban kritis

Pcr = π²EI/(KL)² = π²·200000·2,011 × 10⁶/3000² = 440978 N = 441 kN

Jawaban

Pcr = 441 kN
10.Tekuk kolom

Jawaban: σcr = 7,676 MPa

Tekuk Euler: kolom langsing menjadi tidak stabil pada Pcr = π²EI/(KL)², dengan KL panjang efektif: K = 1 untuk sendi–sendi, 2 untuk jepit–bebas, 0,7 untuk jepit–sendi, dan 0,5 untuk jepit–jepit. Kolom menekuk terhadap sumbu dengan I terkecil. Rumus berlaku untuk kolom langsing yang tegangan kritisnya tetap di bawah tegangan leleh.

Momen inersia terkecil

Penampang bulat memiliki I yang sama terhadap setiap sumbu.

I = πd⁴/64 = π·40⁴/64 = 125664 mm⁴

Jari-jari girasi dan kelangsingan

A = 1257 mm²
r = √(I/A) = √(125664/1257) = 10 mm
KL = 1·3000 = 3000 mm
KL/r = 3000/10 = 300

Tegangan kritis

σcr = π²E/(KL/r)² = π²·70000/300² = 7,676 MPa

Jawaban

σcr = 7,676 MPa
11.Getaran mekanis

Jawaban: fd = 1,883 Hz

Getaran bebas sistem massa–pegas: frekuensi alami tak teredam adalah ωn = √(k/m) dalam rad/s, dan fn = ωn/(2π) dalam Hz. Peredam viskos c memberikan rasio redaman ζ = c/cc, dengan redaman kritis cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn. Sistem kurang teredam (ζ < 1) berosilasi pada ωd = ωn·√(1 − ζ²). Pegas paralel dijumlahkan, k = k₁ + k₂; pegas seri dijumlahkan sebagai kebalikan, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

Frekuensi alami tak teredam

ωn = √(2000/12) = 12,91 rad/s
fn = 12,91/(2π) = 2,055 Hz

Frekuensi alami teredam

fd = fn·√(1 − ζ²) = 2,055·√(1 − 0,4²) = 1,883 Hz

Jawaban

fd = 1,883 Hz
12.Getaran mekanis

Jawaban: fn = 10,56 Hz

Getaran bebas sistem massa–pegas: frekuensi alami tak teredam adalah ωn = √(k/m) dalam rad/s, dan fn = ωn/(2π) dalam Hz. Peredam viskos c memberikan rasio redaman ζ = c/cc, dengan redaman kritis cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn. Sistem kurang teredam (ζ < 1) berosilasi pada ωd = ωn·√(1 − ζ²). Pegas paralel dijumlahkan, k = k₁ + k₂; pegas seri dijumlahkan sebagai kebalikan, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

Kekakuan ekivalen

Pegas berdampingan berbagi defleksi dan gayanya dijumlahkan, sehingga kekakuannya cukup dijumlahkan: k = k1 + k2.

keq = 100 + 10 = 110 kN/m

Frekuensi alami

ωn = √(110000/25) = 66,33 rad/s
fn = 66,33/(2π) = 10,56 Hz

Jawaban

fn = 10,56 Hz

ExamProblems · examproblems.com/courses/machine-design