Perancangan Elemen Mesin: paket kilat

Lembar rumus, langkah-langkah metode utama untuk setiap topik, dan 12 soal latihan, dengan pembahasan lengkap di bagian belakang.

Soal baru Kembali ke mata kuliah

Di jendela cetak, pilih “Simpan sebagai PDF” untuk menyimpan salinan di perangkat Anda.

1Rumus dan metode

Roda gigi & rangkaian roda gigi

Roda gigi yang berpasangan: n₁·N₁ = n₂·N₂
Torsi: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η
Daya: P = T·ω, ω = 2π·n/60
Rangkaian roda gigi majemuk: rasio total = hasil kali rasio setiap tingkat

Torsi poros

Tegangan geser: τ = T·r/J
Poros pejal: J = πd⁴/32
Poros berongga: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Sudut puntir: φ = TL/(GJ)
Daya: P = T·ω = 2πnT/60

Metode

Cari momen inersia polar: J = πd⁴/32 untuk poros pejal.
Tegangan geser di permukaan: τ = T·r/J, dengan r jari-jari luar.
Sudut puntir: φ = TL/(GJ) dalam radian.
Jika daya diketahui, cari torsi dulu dengan P = T·ω, ω = 2πn/60.

Lingkaran Mohr & transformasi tegangan

Pusat: C = (σ_x + σ_y)/2
Jari-jari: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Tegangan utama: σ_1,2 = C ± R
Arah utama: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Bidang miring: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Metode

Hitung pusat lingkaran Mohr: C = (σx + σy)/2.
Hitung jari-jarinya: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Tegangan utama adalah C ± R dan tegangan geser bidang terbesar adalah R.
Sudut pada lingkaran adalah dua kali sudut pada elemen: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Tegangan & regangan aksial

Tegangan normal: σ = F/A
Regangan: ε = ΔL/L
Hukum Hooke: σ = E·ε
Pertambahan panjang: ΔL = FL/(EA)
Regangan termal: ε_T = α·ΔT

Tekuk kolom

Beban Euler: P_cr = π²EI/(KL)²
Faktor panjang efektif: K = 1 sendi–sendi, 0,5 jepit–jepit, 0,7 jepit–sendi, 2 jepit–bebas
Tegangan kritis: σ_cr = P_cr/A
Kelangsingan: λ = KL/r, r = √(I/A)

Getaran mekanis

Frekuensi alami: ω_n = √(k/m), f_n = ω_n/(2π)
Dari defleksi statis: ω_n = √(g/δ_st)
Redaman kritis: c_c = 2√(km) = 2mω_n
Rasio redaman: ζ = c/c_c
Frekuensi teredam: ω_d = ω_n√(1 − ζ²)
Dekremen logaritmik: δ = (1/n)·ln(x₀/x_n), ζ = δ/√(4π² + δ²)
Pegas paralel: k = k₁ + k₂
Pegas seri: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

2Soal latihan

1.Roda gigi & rangkaian roda gigiSedang

Puli 160 mm pada 1450 rpm menggerakkan puli 400 mm dengan sabuk yang slipnya 1,5 %. Cari kecepatan n₂ puli yang digerakkan.

n₁ = 1450 rpmd₁ = 160 mmd₂ = 400 mms = 1,5 %

n₂ = rpm

2.Roda gigi & rangkaian roda gigiSulit

Sebuah sabuk terbuka menghubungkan puli penggerak 80 mm pada 720 rpm ke puli 450 mm; jarak sumbunya 500 mm. Koefisien gesekan adalah 0,3 dan tegangan sisi tarik tidak boleh melebihi 1000 N. Cari daya terbesar P yang dapat ditransmisikan sabuk tanpa slip, dalam kW (abaikan efek sentrifugal).

d₁ = 80 mmn₁ = 720 rpmd₂ = 450 mmC = 500 mmμ = 0,3T₁ = 1000 N

P = kW

3.Torsi porosSedang

Poros berongga harus menahan torsi 100 N·m. Diameter dalamnya ditetapkan 0,5 kali diameter luarnya, dan tegangan geser tidak boleh melebihi 50 MPa. Cari diameter luar terkecil d_o.

T = 100 N·md_i/d_o = 0,5τ_allow = 50 MPa

d_o = mm

4.Torsi porosSulit

Poros berongga harus meneruskan 20 kW pada 500 rpm. Diameter dalamnya ditetapkan 0,7 kali diameter luarnya, dan tegangan geser tidak boleh melebihi 40 MPa. Cari diameter luar terkecil d_o.

P = 20 kWN = 500 rpmd_i/d_o = 0,7τ_allow = 40 MPa

d_o = mm

5.Lingkaran Mohr & transformasi teganganSedang

Suatu titik pada pelat tipis berada dalam tegangan bidang: σₓ = 50 MPa, σᵧ = 20 MPa, dan τₓᵧ = −10 MPa, dengan σ_z = 0. Cari tegangan geser maksimum absolut τ_abs di titik itu (dengan meninjau semua bidang dalam tiga dimensi).

σ_x = 50 MPaσ_y = 20 MPaτ_xy = −10 MPaσ_z = 0

τ_abs = MPa

6.Lingkaran Mohr & transformasi teganganSulit

Poros pejal berdiameter 40 mm menahan momen lentur sebesar 750 N·m bersama torsi 1000 N·m. Di permukaan atas, tempat tegangan lentur bersifat tarik dan paling besar, cari tegangan utama terbesar σ₁.

d = 40 mmM = 750 N·mT = 1000 N·m

σ₁ = MPa

7.Tegangan & regangan aksialSedang

Sebuah batang terdiri dari segmen baja (diameter 40 mm, panjang 300 mm, E = 200 GPa) yang disambung ujung ke ujung dengan segmen dari aluminium (diameter 30 mm, panjang 200 mm, E = 70 GPa). Salah satu ujungnya dijepit dan ujung lainnya ditarik. Cari beban aksial P yang memanjangkannya sebesar 0,3 mm secara total.

segmen 1: baja, Ø40 mm, 300 mm, E = 200 GPasegmen 2: aluminium, Ø30 mm, 200 mm, E = 70 GPaδ = 0,3 mm

P = kN

8.Tegangan & regangan aksialSulit

Sebuah batang baja (diameter 25 mm, E = 200 GPa, tegangan izin 150 MPa) berada di dalam tabung dari aluminium (diameter luar 100 mm, diameter dalam 50 mm, E = 70 GPa, tegangan izin 60 MPa). Keduanya ditekan bersama di antara pelat kaku. Cari beban terbesar P_max.

batang: Ø25 mm, E = 200 GPa, σ_allow = 150 MPatabung: Ø100/Ø50 mm, E = 70 GPa, σ_allow = 60 MPa

P_max = kN

9.Tekuk kolomSedang

Kolom sepanjang L dari aluminium dengan tumpuan jepit di bawah dan sendi di atas. Dengan rumus Euler, cari beban tekuk kritisnya P_cr.

L = 2 mE = 70 GPa (aluminium)d = 40 mm

P_cr = kN

10.Tekuk kolomSulit

Kolom bulat pejal sepanjang L dari aluminium dengan tumpuan jepit di bawah dan bebas di atas. Kolom harus menahan 75 kN dengan faktor keamanan 3 terhadap tekuk. Cari diameter terkecil d.

P = 75 kNn = 3L = 1 mE = 70 GPa (aluminium)

d = mm

11.Getaran mekanisSedang

Massa 40 kg pada pegas dengan kekakuan 200 kN/m memiliki peredam viskos yang memberikan rasio redaman 0,7. Cari frekuensi alami teredam f_d getaran bebasnya dalam Hz.

m = 40 kgk = 200 kN/mζ = 0,7

f_d = Hz

12.Getaran mekanisSulit

Massa 100 kg tergantung pada pegas k₃ = 20 kN/m. Ujung atas k₃ terpasang pada batang kaku yang tergantung pada dua pegas berdampingan, k₁ = 15 kN/m dan k₂ = 25 kN/m; batang tetap datar. Abaikan redaman serta massa pegas dan batang. Cari frekuensi alami f_n getaran vertikal dalam Hz.

m = 100 kgk₁ = 15 kN/mk₂ = 25 kN/mk₃ = 20 kN/m

f_n = Hz

3Larutan

1.Roda gigi & rangkaian roda gigi

Jawaban: n₂ = 571,3 rpm

Penggerak sabuk: tanpa slip, kedua puli memiliki kecepatan tepi yang sama v = π·d·n/60, sehingga n₁·d₁ = n₂·d₂ dan rasio kecepatan adalah d₂/d₁. Slip s membuat puli yang digerakkan sedikit lebih lambat: n₂ = n₁·(d₁/d₂)·(1 − s). Daya yang ditransmisikan adalah P = (T₁ − T₂)·v, dengan T₁ tegangan sisi tarik dan T₂ sisi kendor. Gesekan membatasi rasio tegangan: T₁/T₂ = e^μθ, dengan θ sudut kontak dalam radian pada puli yang lebih kecil; untuk sabuk terbuka θ = π − 2·asin((d₂ − d₁)/(2C)) dengan jarak sumbu C.

Kecepatan tanpa slip

1450·160/400 = 580 rpm

Dengan slip

n₂ = 580·0,985 = 571,3 rpm

Jawaban

n₂ = 571,3 rpm

2.Roda gigi & rangkaian roda gigi

Jawaban: P = 1,541 kW

Sudut kontak

θ = 2,384 rad

Tegangan sisi kendor

e^μθ = e^0,7151 = 2,044, T₂ = 1000/2,044 = 489,2 N

Daya

P = (1000 − 489,2)·3,016 = 1,541 kW

Jawaban

P = 1,541 kW

3.Torsi poros

Jawaban: d_o = 22,15 mm

Torsi poros bulat: tegangan geser naik linear dari nol di pusat hingga τ_max = T·r/J di permukaan, dengan J = πd⁴/32 untuk poros pejal dan J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 untuk poros berongga. Sudut puntir φ = TL/(GJ) dalam radian. Daya dan torsi berhubungan melalui P = T·ω.

Diameter luar dari tegangan izin

T = 100 N·m = 100000 N·mm

1 − k⁴ = 1 − 0,5⁴ = 0,9375

d_o = ∛(16T/(π·τ_allow·(1 − k⁴))) = ∛(16·100000/(π·50·0,9375)) = 22,15 mm

d_i = 0,5·22,15 = 11,07 mm

Jawaban

d_o = 22,15 mm

Poros pejal memerlukan d = 21,68 mm; poros berongga sedikit lebih besar tetapi jauh lebih ringan.

4.Torsi poros

Jawaban: d_o = 40 mm

Torsi

ω = 2πN/60 = 2π·500/60 = 52,36 rad/s

T = P/ω = 20000/52,36 = 382 N·m

Diameter luar dari tegangan izin

T = 382 N·m = 381972 N·mm

1 − k⁴ = 1 − 0,7⁴ = 0,7599

d_o = ∛(16T/(π·τ_allow·(1 − k⁴))) = ∛(16·381972/(π·40·0,7599)) = 40 mm

d_i = 0,7·40 = 28 mm

Jawaban

d_o = 40 mm

Poros pejal memerlukan d = 36,5 mm; poros berongga sedikit lebih besar tetapi jauh lebih ringan.

5.Lingkaran Mohr & transformasi tegangan

Jawaban: τ_abs = 26,51 MPa

Transformasi tegangan bidang: pada bidang yang diputar sebesar θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Lingkaran Mohr menampilkan semua bidang sekaligus: pusatnya di C = (σₓ + σᵧ)/2 dan jari-jarinya R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Tegangan utama adalah C ± R, dan tegangan geser terbesar dalam bidang adalah R. Dalam tiga dimensi, tegangan geser maksimum absolut adalah (σ_max − σ_min)/2 dari ketiga tegangan utama; pada tegangan bidang tegangan utama ketiga bernilai nol.

Tegangan utama sebidang

C = 35 MPa, R = √(15² + (−10)²) = 18,03 MPa

σ₁ = 53,03 MPa, σ₂ = 16,97 MPa, σ_z = 0

Lingkaran terbesar dari ketiganya

τ = max(|σ₁ − σ₂|, |σ₁|, |σ₂|)/2 = max(36,06, 53,03, 16,97)/2 = 26,51 MPa

Jawaban

τ_abs = 26,51 MPa

Di sini lingkaran di luar bidang yang menentukan: maksimum absolutnya lebih besar daripada maksimum sebidang R.

6.Lingkaran Mohr & transformasi tegangan

Jawaban: σ₁ = 159,2 MPa

Tegangan di permukaan

σ = 32M/(πd³) = 32·750000/(π·40³) = 119,4 MPa

τ = 16T/(πd³) = 16·1000000/(π·40³) = 79,58 MPa

Lingkaran Mohr

C = σ/2 = 59,68 MPa

R = √(59,68² + 79,58²) = 99,47 MPa

σ₁ = C + R = 159,2 MPa

σ₂ = C − R = −39,79 MPa

Jawaban

σ₁ = 159,2 MPa

7.Tegangan & regangan aksial

Jawaban: P = 57,3 kN

Dua bahan: pada susunan seri (satu demi satu) setiap segmen menahan gaya yang sama dan perpanjangannya dijumlahkan: δ = P·Σ L/(E·A). Pada susunan paralel (berdampingan di antara pelat kaku) kedua bagian memendek sama besar, sehingga regangannya sama: bagian yang lebih kaku menanggung bagian yang lebih besar, P_i = P·E_iA_i/ΣEA, dan σ_i = E_i·ε. Batang yang ditahan di antara dua dinding kaku dengan beban di sambungan adalah statis tak tentu: kedua segmen membagi beban sebanding dengan kekakuannya k = EA/L.

Luas

A₁ = 1257 mm², A₂ = 706,9 mm²

Kelenturan

L₁/(E₁A₁) = 300/(200000·1257) = 1,194 × 10⁻⁶ mm/N

L₂/(E₂A₂) = 200/(70000·706,9) = 4,042 × 10⁻⁶ mm/N

Beban

P = 0,3/5,236 × 10⁻⁶ = 57299 N = 57,3 kN

Jawaban

P = 57,3 kN

8.Tegangan & regangan aksial

Jawaban: P_max = 382,9 kN

Luas

A_r = π·25²/4 = 490,9 mm²

A_t = π(100² − 50²)/4 = 5890 mm²

Kekakuan aksial gabungan

ΣEA = 200·10³·490,9 + 70·10³·5890 = 5,105 × 10⁸ N

Regangan penentu

ε = min(0,00075, 0,0008571) = 0,00075 (baja)

Beban terbesar

P_max = 0,00075·5,105 × 10⁸ = 382882 N = 382,9 kN

Jawaban

P_max = 382,9 kN

9.Tekuk kolom

Jawaban: P_cr = 44,29 kN

Tekuk Euler: kolom langsing menjadi tidak stabil pada P_cr = π²EI/(KL)², dengan KL panjang efektif: K = 1 untuk sendi–sendi, 2 untuk jepit–bebas, 0,7 untuk jepit–sendi, dan 0,5 untuk jepit–jepit. Kolom menekuk terhadap sumbu dengan I terkecil. Rumus berlaku untuk kolom langsing yang tegangan kritisnya tetap di bawah tegangan leleh.

Momen inersia terkecil

Penampang bulat memiliki I yang sama terhadap setiap sumbu.

I = πd⁴/64 = π·40⁴/64 = 125664 mm⁴

Panjang efektif

KL = 0,7·2000 = 1400 mm

Beban kritis

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·70000·125664/1400² = 44295 N = 44,29 kN

Jawaban

P_cr = 44,29 kN

10.Tekuk kolom

Jawaban: d = 71,77 mm

Beban kritis yang diperlukan

P_cr = n·P = 3·75000 = 225000 N

KL = 2·1000 = 2000 mm

Selesaikan untuk diameter

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·225000·2000²/(π³·70000))^(1/4) = 71,77 mm

Jawaban

d = 71,77 mm

Periksa: kelangsingan KL/r adalah 111,5, jadi kolom langsing dan rumus Euler berlaku.

11.Getaran mekanis

Jawaban: f_d = 8,037 Hz

Getaran bebas sistem massa–pegas: frekuensi alami tak teredam adalah ω_n = √(k/m) dalam rad/s, dan f_n = ω_n/(2π) dalam Hz. Peredam viskos c memberikan rasio redaman ζ = c/c_c, dengan redaman kritis c_c = 2·√(k·m) = 2·m·ω_n. Sistem kurang teredam (ζ < 1) berosilasi pada ω_d = ω_n·√(1 − ζ²). Pegas paralel dijumlahkan, k = k₁ + k₂; pegas seri dijumlahkan sebagai kebalikan, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

Frekuensi alami tak teredam

ω_n = √(200000/40) = 70,71 rad/s

f_n = 70,71/(2π) = 11,25 Hz

Frekuensi alami teredam

f_d = f_n·√(1 − ζ²) = 11,25·√(1 − 0,7²) = 8,037 Hz

Jawaban

f_d = 8,037 Hz

12.Getaran mekanis

Jawaban: f_n = 1,838 Hz

Kekakuan ekivalen

Hanya k₁ dan k₂ yang paralel. Pasangan itu seri dengan k₃, jadi gabungkan sebagai kebalikan.

k₁₂ = 15 + 25 = 40 kN/m

k_eq = 40·20/(40 + 20) = 13,33 kN/m

Frekuensi alami

ω_n = √(13333/100) = 11,55 rad/s

f_n = 11,55/(2π) = 1,838 Hz

Jawaban

f_n = 1,838 Hz

ExamProblems · examproblems.com/courses/machine-design