Perancangan Elemen Mesin: paket kilat

Lembar rumus, langkah-langkah metode utama untuk setiap topik, dan 12 soal latihan, dengan pembahasan lengkap di bagian belakang.

Soal baruKembali ke mata kuliah

Di jendela cetak, pilih “Simpan sebagai PDF” untuk menyimpan salinan di perangkat Anda.

1Rumus dan metode

Roda gigi & rangkaian roda gigi

Roda gigi yang berpasangan
n1·N1 = n2·N2
Torsi
T2 = T1·(N2/N1)·η
Daya
P = T·ω, ω = 2π·n/60
Rangkaian roda gigi majemuk
rasio total = hasil kali rasio setiap tingkat

Torsi poros

Tegangan geser
τ = T·r/J
Poros pejal
J = πd⁴/32
Poros berongga
J = π(D⁴ − d⁴)/32
Sudut puntir
φ = TL/(GJ)
Daya
P = T·ω = 2πnT/60

Metode

  1. Cari momen inersia polar: J = πd⁴/32 untuk poros pejal.
  2. Tegangan geser di permukaan: τ = T·r/J, dengan r jari-jari luar.
  3. Sudut puntir: φ = TL/(GJ) dalam radian.
  4. Jika daya diketahui, cari torsi dulu dengan P = T·ω, ω = 2πn/60.

Lingkaran Mohr & transformasi tegangan

Pusat
C = (σx + σy)/2
Jari-jari
R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)
Tegangan utama
σ1,2 = C ± R
Arah utama
tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)
Bidang miring
σθ = C + (σx − σy)/2·cos 2θ + τxy·sin 2θ

Metode

  1. Hitung pusat lingkaran Mohr: C = (σx + σy)/2.
  2. Hitung jari-jarinya: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
  3. Tegangan utama adalah C ± R dan tegangan geser bidang terbesar adalah R.
  4. Sudut pada lingkaran adalah dua kali sudut pada elemen: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Tegangan & regangan aksial

Tegangan normal
σ = F/A
Regangan
ε = ΔL/L
Hukum Hooke
σ = E·ε
Pertambahan panjang
ΔL = FL/(EA)
Regangan termal
εT = α·ΔT

Tekuk kolom

Beban Euler
Pcr = π²EI/(KL)²
Faktor panjang efektif
K = 1 sendi–sendi, 0,5 jepit–jepit, 0,7 jepit–sendi, 2 jepit–bebas
Tegangan kritis
σcr = Pcr/A
Kelangsingan
λ = KL/r, r = √(I/A)

Getaran mekanis

Frekuensi alami
ωn = √(k/m), fn = ωn/(2π)
Dari defleksi statis
ωn = √(g/δst)
Redaman kritis
cc = 2√(km) = 2mωn
Rasio redaman
ζ = c/cc
Frekuensi teredam
ωd = ωn√(1 − ζ²)
Dekremen logaritmik
δ = (1/n)·ln(x0/xn), ζ = δ/√(4π² + δ²)
Pegas paralel
k = k1 + k2
Pegas seri
1/k = 1/k1 + 1/k2

2Soal latihan

1.Roda gigi & rangkaian roda gigiSedang
N1​ = 12N2​ = 15

Sebuah motor 2,2 kW yang berputar pada 1450 rpm menggerakkan pinion dengan 12 gigi, yang berpasangan dengan roda gigi 15 gigi. Pasangan roda gigi memiliki efisiensi 95%. Cari torsi keluaran T2 pada poros roda gigi.

P = 2,2 kWn1 = 1450 rpmN1 = 12N2 = 15η = 95%
T2 = N·m
2.Roda gigi & rangkaian roda gigiSulit
A = 36B = 45C = 25D = 72

Dalam rangkaian roda gigi majemuk, roda gigi A (36 gigi) pada poros masukan yang berputar pada 3000 rpm menggerakkan roda gigi B (45 gigi). Roda gigi C (25 gigi) terpasang pada poros yang sama dengan B dan menggerakkan roda gigi D (72 gigi) pada poros keluaran. Cari putaran keluaran nout.

nin = 3000 rpmA = 36B = 45C = 25D = 72
nout = rpm
3.Torsi porosSedang
T = 250 N·md = 50 mmL = 1,5 mφ = ?

Poros pejal baja dijepit di dinding dan dipuntir oleh torsi T di ujung bebasnya. Cari sudut puntir φ ujung bebas, dalam derajat.

T = 250 N·md = 50 mmL = 1,5 mG = 80 GPa
φ = °
4.Torsi porosSulit
Td = ?

Poros pejal harus meneruskan 10 kW pada 300 rpm tanpa tegangan geser melebihi 60 MPa. Cari diameter terkecil d yang memenuhi.

P = 10 kWN = 300 rpmτallow = 60 MPa
d = mm
5.Lingkaran Mohr & transformasi teganganSedang
σx​ = 60σy​ = 120τxy​ = −40MPa

Sebuah titik pada komponen yang dibebani memiliki σₓ = 60 MPa, σᵧ = 120 MPa, dan τₓᵧ = −40 MPa (tarik positif). Cari sudut θp dari sumbu x ke arah tegangan utama terbesar, antara −90° dan 90°.

σx = 60 MPaσy = 120 MPaτxy = −40 MPa
θp = °
6.Lingkaran Mohr & transformasi teganganSulit
σx​ = 160σy​ = −60τxy​ = 60MPa

Sebuah titik pada komponen yang dibebani memiliki σₓ = 160 MPa, σᵧ = −60 MPa, dan τₓᵧ = 60 MPa (tarik positif). Cari tegangan normal σθ pada bidang yang normalnya diputar 45° berlawanan arah jarum jam dari sumbu x.

σx = 160 MPaσy = −60 MPaτxy = 60 MPaθ = 45°
σθ = MPa
7.Tegangan & regangan aksialSedang
Ø 16 mmBaja3 mP = 95 kN

Cari pertambahan panjang δ batang baja akibat beban aksial.

P = 95 kNd = 16 mmL = 3 mE = 200 GPa
δ = mm
8.Tegangan & regangan aksialSulit
Ø 35 mmAluminium0,5 mØ 16 mmAluminium1,5 mP = 110 kN

Batang bertingkat dijepit di dinding dan dibebani di ujung bebasnya. Cari pertambahan panjang total δ.

P = 110 kNsegmen 1: Ø35 mm, 0,5 m, aluminium (E = 70 GPa)segmen 2: Ø16 mm, 1,5 m, aluminium (E = 70 GPa)
δ = mm
9.Tekuk kolomSedang
PL = 2,5 m50 × 80 mmpenampang

Kolom sepanjang L dari baja dengan tumpuan jepit di bawah dan bebas di atas. Dengan rumus Euler, cari beban tekuk kritisnya Pcr.

L = 2,5 mE = 200 GPa (baja)b × h = 50 × 80 mm
Pcr = kN
10.Tekuk kolomSulit
PL = 4 md = 80 mmpenampang

Kolom sepanjang L dari baja dengan tumpuan sendi di kedua ujung. Cari kelangsingannya dan tegangan tekuk kritis σcr dari rumus Euler.

L = 4 mE = 200 GPa (baja)d = 80 mm
σcr = MPa
11.Getaran mekanisSedang
k = 200 kN/mζ = 0,45m = 8 kg

Massa 8 kg pada pegas dengan kekakuan 200 kN/m memiliki peredam viskos yang memberikan rasio redaman 0,45. Cari frekuensi alami teredam fd getaran bebasnya dalam Hz.

m = 8 kgk = 200 kN/mζ = 0,45
fd = Hz
12.Getaran mekanisSulit
k1​ = 10k2​ = 100m = 50 kg

Massa 50 kg tergantung pada dua pegas berdampingan (paralel), dengan kekakuan k₁ = 10 kN/m dan k₂ = 100 kN/m. Massa tetap datar. Abaikan redaman dan massa pegas. Cari frekuensi alami fn getaran vertikal dalam Hz.

m = 50 kgk1 = 10 kN/mk2 = 100 kN/m
fn = Hz

3Larutan

1.Roda gigi & rangkaian roda gigi

Jawaban: T2 = 17,21 N·m

Rangkaian roda gigi: roda gigi yang berpasangan memiliki kecepatan yang sama di giginya, sehingga n₁·N₁ = n₂·N₂: roda gigi dengan jumlah gigi lebih sedikit berputar lebih cepat. Roda gigi pada satu poros berputar dengan kecepatan yang sama. Daya diteruskan (dikurangi rugi-rugi), sehingga torsi naik ketika putaran turun: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, dan P = T·ω dengan ω = 2π·n/60.

Torsi motor

ω₁ = 2π·1450/60 = 151,8 rad/s
T1 = P/ω₁ = 2200/151,8 = 14,49 N·m

Torsi keluaran

T2 = 14,49·15/12·0,95 = 17,21 N·m

Jawaban

T2 = 17,21 N·m
2.Roda gigi & rangkaian roda gigi

Jawaban: nout = 833,3 rpm

Rangkaian roda gigi: roda gigi yang berpasangan memiliki kecepatan yang sama di giginya, sehingga n₁·N₁ = n₂·N₂: roda gigi dengan jumlah gigi lebih sedikit berputar lebih cepat. Roda gigi pada satu poros berputar dengan kecepatan yang sama. Daya diteruskan (dikurangi rugi-rugi), sehingga torsi naik ketika putaran turun: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, dan P = T·ω dengan ω = 2π·n/60.

Tingkat pertama

nB = 3000·36/45 = 2400 rpm = nC

Tingkat kedua

nout = 2400·25/72 = 833,3 rpm

Jawaban

nout = 833,3 rpm

rasio total = 3,6 : 1

3.Torsi poros

Jawaban: φ = 0,4377 °

Torsi poros bulat: tegangan geser naik linear dari nol di pusat hingga τmax = T·r/J di permukaan, dengan J = πd⁴/32 untuk poros pejal dan J = π(do⁴ − di⁴)/32 untuk poros berongga. Sudut puntir φ = TL/(GJ) dalam radian. Daya dan torsi berhubungan melalui P = T·ω.

Momen inersia polar

J = π·50⁴/32 = 613592 mm⁴

Sudut puntir

φ = TL/(GJ) = 250·1000·1500/(80000·613592) = 0,007639 rad
φ = 0,007639·180/π = 0,4377°

Jawaban

φ = 0,4377°
4.Torsi poros

Jawaban: d = 30,01 mm

Torsi poros bulat: tegangan geser naik linear dari nol di pusat hingga τmax = T·r/J di permukaan, dengan J = πd⁴/32 untuk poros pejal dan J = π(do⁴ − di⁴)/32 untuk poros berongga. Sudut puntir φ = TL/(GJ) dalam radian. Daya dan torsi berhubungan melalui P = T·ω.

Torsi

ω = 2πN/60 = 2π·300/60 = 31,42 rad/s
T = P/ω = 10000/31,42 = 318,3 N·m

Diameter dari tegangan izin

d = ∛(16T/(π·τallow)) = ∛(16·318310/(π·60)) = 30,01 mm

Jawaban

d = 30,01 mm

Dalam praktik Anda membulatkan ke ukuran standar berikutnya.

5.Lingkaran Mohr & transformasi tegangan

Jawaban: θp = −63,43 °

Transformasi tegangan bidang: pada bidang yang diputar sebesar θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Lingkaran Mohr menampilkan semua bidang sekaligus: pusatnya di C = (σₓ + σᵧ)/2 dan jari-jarinya R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Tegangan utama adalah C ± R, dan tegangan geser terbesar dalam bidang adalah R.

στxyCσ1​σ2​

Sudut pada lingkaran

Titik x terletak pada sudut 2θp dari sumbu σ pada lingkaran Mohr; kuadrannya ditentukan oleh tanda σₓ − σᵧ dan τₓᵧ.

2θp = atan2(2·−40, 60 − 120) = −126,9°

Sudut pada elemen

θp = −63,43°

Jawaban

θp = −63,43°

Sudut positif berlawanan arah jarum jam.

6.Lingkaran Mohr & transformasi tegangan

Jawaban: σθ = 110 MPa

Transformasi tegangan bidang: pada bidang yang diputar sebesar θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Lingkaran Mohr menampilkan semua bidang sekaligus: pusatnya di C = (σₓ + σᵧ)/2 dan jari-jarinya R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Tegangan utama adalah C ± R, dan tegangan geser terbesar dalam bidang adalah R.

Persamaan transformasi

σθ = 50 + 110·0 + 60·1 = 110 MPa

Jawaban

σθ = 110 MPa
7.Tegangan & regangan aksial

Jawaban: δ = 7,087 mm

Hukum Hooke: dalam daerah elastis σ = E·ε. Digabung dengan σ = P/A dan ε = δ/L menghasilkan δ = PL/(AE).

Tegangan

A = π·16²/4 = 201,1 mm²
σ = P/A = 95·1000/201,1 = 472,5 MPa

Regangan (hukum Hooke)

E for baja = 200 GPa = 200000 MPa.

ε = σ/E = 472,5/200000 = 0,002362 = 2362 µε

Pertambahan panjang

δ = ε·L = 0,002362·3000 mm = 7,087 mm

Jawaban

δ = 7,087 mm
8.Tegangan & regangan aksial

Jawaban: δ = 12,54 mm

Batang beban aksial: setiap segmen prismatis mengikuti δ = PL/(AE). Untuk segmen seri, pertambahan panjangnya dijumlahkan.

Gaya sama di kedua segmen

Ujung bebas menahan P, jadi setiap penampang batang menahan gaya aksial P yang sama. Hanya luas dan bahannya yang berubah.

A1 = π·35²/4 = 962,1 mm², A2 = π·16²/4 = 201,1 mm²
σ1 = 114,3 MPa
σ2 = 547,1 MPa

Jumlahkan pertambahan panjang segmen

δ1 = σ1L1/E1 = 114,3·500/70000 = 0,8167 mm
δ2 = σ2L2/E2 = 547,1·1500/70000 = 11,72 mm
δ = δ1 + δ2 = 12,54 mm

Jawaban

δ = 12,54 mm
9.Tekuk kolom

Jawaban: Pcr = 65,8 kN

Tekuk Euler: kolom langsing menjadi tidak stabil pada Pcr = π²EI/(KL)², dengan KL panjang efektif: K = 1 untuk sendi–sendi, 2 untuk jepit–bebas, 0,7 untuk jepit–sendi, dan 0,5 untuk jepit–jepit. Kolom menekuk terhadap sumbu dengan I terkecil. Rumus berlaku untuk kolom langsing yang tegangan kritisnya tetap di bawah tegangan leleh.

Momen inersia terkecil

Persegi panjang menekuk terhadap sumbu lemahnya, dengan dimensi terkecil dipangkatkan tiga.

Imin = h·b³/12 = 80·50³/12 = 833333 mm⁴

Panjang efektif

KL = 2·2500 = 5000 mm

Beban kritis

Pcr = π²EI/(KL)² = π²·200000·833333/5000² = 65797 N = 65,8 kN

Jawaban

Pcr = 65,8 kN
10.Tekuk kolom

Jawaban: σcr = 49,35 MPa

Tekuk Euler: kolom langsing menjadi tidak stabil pada Pcr = π²EI/(KL)², dengan KL panjang efektif: K = 1 untuk sendi–sendi, 2 untuk jepit–bebas, 0,7 untuk jepit–sendi, dan 0,5 untuk jepit–jepit. Kolom menekuk terhadap sumbu dengan I terkecil. Rumus berlaku untuk kolom langsing yang tegangan kritisnya tetap di bawah tegangan leleh.

Momen inersia terkecil

Penampang bulat memiliki I yang sama terhadap setiap sumbu.

I = πd⁴/64 = π·80⁴/64 = 2,011 × 10⁶ mm⁴

Jari-jari girasi dan kelangsingan

A = 5027 mm²
r = √(I/A) = √(2,011 × 10⁶/5027) = 20 mm
KL = 1·4000 = 4000 mm
KL/r = 4000/20 = 200

Tegangan kritis

σcr = π²E/(KL/r)² = π²·200000/200² = 49,35 MPa

Jawaban

σcr = 49,35 MPa
11.Getaran mekanis

Jawaban: fd = 22,47 Hz

Getaran bebas sistem massa–pegas: frekuensi alami tak teredam adalah ωn = √(k/m) dalam rad/s, dan fn = ωn/(2π) dalam Hz. Peredam viskos c memberikan rasio redaman ζ = c/cc, dengan redaman kritis cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn. Sistem kurang teredam (ζ < 1) berosilasi pada ωd = ωn·√(1 − ζ²). Pegas paralel dijumlahkan, k = k₁ + k₂; pegas seri dijumlahkan sebagai kebalikan, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

Frekuensi alami tak teredam

ωn = √(200000/8) = 158,1 rad/s
fn = 158,1/(2π) = 25,16 Hz

Frekuensi alami teredam

fd = fn·√(1 − ζ²) = 25,16·√(1 − 0,45²) = 22,47 Hz

Jawaban

fd = 22,47 Hz
12.Getaran mekanis

Jawaban: fn = 7,465 Hz

Getaran bebas sistem massa–pegas: frekuensi alami tak teredam adalah ωn = √(k/m) dalam rad/s, dan fn = ωn/(2π) dalam Hz. Peredam viskos c memberikan rasio redaman ζ = c/cc, dengan redaman kritis cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn. Sistem kurang teredam (ζ < 1) berosilasi pada ωd = ωn·√(1 − ζ²). Pegas paralel dijumlahkan, k = k₁ + k₂; pegas seri dijumlahkan sebagai kebalikan, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

Kekakuan ekivalen

Pegas berdampingan berbagi defleksi dan gayanya dijumlahkan, sehingga kekakuannya cukup dijumlahkan: k = k1 + k2.

keq = 10 + 100 = 110 kN/m

Frekuensi alami

ωn = √(110000/50) = 46,9 rad/s
fn = 46,9/(2π) = 7,465 Hz

Jawaban

fn = 7,465 Hz

ExamProblems · examproblems.com/courses/machine-design