Perancangan Elemen Mesin: paket kilat

Lembar rumus, langkah-langkah metode utama untuk setiap topik, dan 12 soal latihan, dengan pembahasan lengkap di bagian belakang.

Soal baru Kembali ke mata kuliah

Di jendela cetak, pilih “Simpan sebagai PDF” untuk menyimpan salinan di perangkat Anda.

1Rumus dan metode

Roda gigi & rangkaian roda gigi

Roda gigi yang berpasangan: n₁·N₁ = n₂·N₂
Torsi: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η
Daya: P = T·ω, ω = 2π·n/60
Rangkaian roda gigi majemuk: rasio total = hasil kali rasio setiap tingkat

Torsi poros

Tegangan geser: τ = T·r/J
Poros pejal: J = πd⁴/32
Poros berongga: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Sudut puntir: φ = TL/(GJ)
Daya: P = T·ω = 2πnT/60

Metode

Cari momen inersia polar: J = πd⁴/32 untuk poros pejal.
Tegangan geser di permukaan: τ = T·r/J, dengan r jari-jari luar.
Sudut puntir: φ = TL/(GJ) dalam radian.
Jika daya diketahui, cari torsi dulu dengan P = T·ω, ω = 2πn/60.

Lingkaran Mohr & transformasi tegangan

Pusat: C = (σ_x + σ_y)/2
Jari-jari: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Tegangan utama: σ_1,2 = C ± R
Arah utama: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Bidang miring: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Metode

Hitung pusat lingkaran Mohr: C = (σx + σy)/2.
Hitung jari-jarinya: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Tegangan utama adalah C ± R dan tegangan geser bidang terbesar adalah R.
Sudut pada lingkaran adalah dua kali sudut pada elemen: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Tegangan & regangan aksial

Tegangan normal: σ = F/A
Regangan: ε = ΔL/L
Hukum Hooke: σ = E·ε
Pertambahan panjang: ΔL = FL/(EA)
Regangan termal: ε_T = α·ΔT

Tekuk kolom

Beban Euler: P_cr = π²EI/(KL)²
Faktor panjang efektif: K = 1 sendi–sendi, 0,5 jepit–jepit, 0,7 jepit–sendi, 2 jepit–bebas
Tegangan kritis: σ_cr = P_cr/A
Kelangsingan: λ = KL/r, r = √(I/A)

Getaran mekanis

Frekuensi alami: ω_n = √(k/m), f_n = ω_n/(2π)
Dari defleksi statis: ω_n = √(g/δ_st)
Redaman kritis: c_c = 2√(km) = 2mω_n
Rasio redaman: ζ = c/c_c
Frekuensi teredam: ω_d = ω_n√(1 − ζ²)
Dekremen logaritmik: δ = (1/n)·ln(x₀/x_n), ζ = δ/√(4π² + δ²)
Pegas paralel: k = k₁ + k₂
Pegas seri: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

2Soal latihan

1.Roda gigi & rangkaian roda gigiSedang

Sebuah sabuk berjalan pada puli penggerak 100 mm pada 1500 rpm. Tegangannya 1000 N pada sisi tarik dan 500 N pada sisi kendor. Cari daya P yang ditransmisikan, dalam kW.

d₁ = 100 mmn₁ = 1500 rpmT₁ = 1000 NT₂ = 500 N

P = kW

2.Roda gigi & rangkaian roda gigiSulit

Dalam rangkaian roda gigi majemuk, roda gigi A (25 gigi) pada poros masukan yang berputar pada 960 rpm menggerakkan roda gigi B (40 gigi). Roda gigi C (16 gigi) terpasang pada poros yang sama dengan B dan menggerakkan roda gigi D (60 gigi) pada poros keluaran. Cari putaran keluaran n_out.

n_in = 960 rpmA = 25B = 40C = 16D = 60

n_out = rpm

3.Torsi porosSedang

Poros aluminium pejal bertingkat dijepit di A. Segmen AB berdiameter 40 mm dan panjang 1,5 m; segmen BC berdiameter 30 mm dan panjang 0,8 m. Torsi 200 N·m bekerja di ujung bebas C. Cari sudut puntir φ_C ujung C, dalam derajat.

T = 200 N·md₁ = 40 mm, L₁ = 1,5 md₂ = 30 mm, L₂ = 0,8 mG = 26 GPa

φ_C = °

4.Torsi porosSulit

Poros aluminium pejal meneruskan 50 kW pada 750 rpm. Tegangan geser tidak boleh melebihi 60 MPa dan puntiran tidak boleh melebihi 0,75° per m panjang. Cari diameter terkecil d yang memenuhi kedua batas.

P = 50 kWN = 750 rpmτ_allow = 60 MPaθ_allow = 0,75°/mG = 26 GPa

d = mm

5.Lingkaran Mohr & transformasi teganganSedang

Suatu titik memiliki σₓ = 130 MPa, σᵧ = −10 MPa, dan τₓᵧ = 10 MPa (tarik positif). Elemen diputar 20° searah jarum jam. Cari tegangan normal σ_y′ pada muka elemen yang diputar yang tegak lurus sumbu y′ yang diputar.

σ_x = 130 MPaσ_y = −10 MPaτ_xy = 10 MPaθ = -20°

σ_y′ = MPa

6.Lingkaran Mohr & transformasi teganganSulit

Suatu titik pada pelat tipis berada dalam tegangan bidang: σₓ = 160 MPa, σᵧ = 50 MPa, dan τₓᵧ = 50 MPa (σ_z = 0). Bahan memiliki kekuatan luluh 300 MPa. Cari faktor keamanan n terhadap luluh menurut kriteria Tresca (tegangan geser maksimum).

σ_x = 160 MPaσ_y = 50 MPaτ_xy = 50 MPaσ_Y = 300 MPa

n =

7.Tegangan & regangan aksialSedang

Sebuah batang baja (diameter 20 mm, E = 200 GPa) berada di dalam tabung dari perunggu (diameter luar 80 mm, diameter dalam 60 mm, E = 110 GPa). Keduanya panjangnya 800 mm dan ditekan bersama di antara pelat kaku oleh 100 kN. Cari pemendekan δ.

P = 100 kNbatang: Ø20 mm, E = 200 GPatabung: Ø80/Ø60 mm, E = 110 GPaL = 800 mm

δ = mm

8.Tegangan & regangan aksialSulit

Batang bertingkat dijepit di dinding dan dibebani di ujung bebasnya. Cari tegangan normal terbesar σ_max pada batang.

P = 110 kNsegmen 1: Ø30 mm, 0,5 m, aluminium (E = 70 GPa)segmen 2: Ø12 mm, 2 m, aluminium (E = 70 GPa)

σ_max = MPa

9.Tekuk kolomSedang

Kolom sepanjang L dari baja dengan tumpuan jepit di kedua ujung. Dengan rumus Euler, cari beban tekuk kritisnya P_cr.

L = 3 mE = 200 GPa (baja)d = 30 mm

P_cr = kN

10.Tekuk kolomSulit

Kolom sepanjang L dari baja dengan tumpuan jepit di bawah dan sendi di atas. Cari kelangsingannya dan tegangan tekuk kritis σ_cr dari rumus Euler.

L = 3 mE = 200 GPa (baja)d = 40 mm

σ_cr = MPa

11.Getaran mekanisSedang

Dalam uji getaran bebas sistem massa–pegas teredam, puncak simpangan 12 mm diikuti 5 siklus kemudian oleh puncak 4,7 mm. Cari rasio redaman ζ.

x₀ = 12 mmx₅ = 4,7 mmn = 5

ζ =

12.Getaran mekanisSulit

Massa 40 kg tergantung pada pegas k₃ = 80 kN/m. Ujung atas k₃ terpasang pada batang kaku yang tergantung pada dua pegas berdampingan, k₁ = 80 kN/m dan k₂ = 50 kN/m; batang tetap datar. Abaikan redaman serta massa pegas dan batang. Cari frekuensi alami f_n getaran vertikal dalam Hz.

m = 40 kgk₁ = 80 kN/mk₂ = 50 kN/mk₃ = 80 kN/m

f_n = Hz

3Larutan

1.Roda gigi & rangkaian roda gigi

Jawaban: P = 3,927 kW

Penggerak sabuk: tanpa slip, kedua puli memiliki kecepatan tepi yang sama v = π·d·n/60, sehingga n₁·d₁ = n₂·d₂ dan rasio kecepatan adalah d₂/d₁. Slip s membuat puli yang digerakkan sedikit lebih lambat: n₂ = n₁·(d₁/d₂)·(1 − s). Daya yang ditransmisikan adalah P = (T₁ − T₂)·v, dengan T₁ tegangan sisi tarik dan T₂ sisi kendor. Gesekan membatasi rasio tegangan: T₁/T₂ = e^μθ, dengan θ sudut kontak dalam radian pada puli yang lebih kecil; untuk sabuk terbuka θ = π − 2·asin((d₂ − d₁)/(2C)) dengan jarak sumbu C.

Kecepatan sabuk

v = 7,854 m/s

Daya

P = (1000 − 500)·7,854 = 3927 W = 3,927 kW

Jawaban

P = 3,927 kW

2.Roda gigi & rangkaian roda gigi

Jawaban: n_out = 160 rpm

Rangkaian roda gigi: roda gigi yang berpasangan memiliki kecepatan yang sama di giginya, sehingga n₁·N₁ = n₂·N₂: roda gigi dengan jumlah gigi lebih sedikit berputar lebih cepat. Roda gigi pada satu poros berputar dengan kecepatan yang sama. Daya diteruskan (dikurangi rugi-rugi), sehingga torsi naik ketika putaran turun: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, dan P = T·ω dengan ω = 2π·n/60.

Tingkat pertama

n_B = 960·25/40 = 600 rpm = n_C

Tingkat kedua

n_out = 600·16/60 = 160 rpm

Jawaban

n_out = 160 rpm

rasio total = 6 : 1

3.Torsi poros

Jawaban: φ_C = 7,064 °

Torsi poros bulat: tegangan geser naik linear dari nol di pusat hingga τ_max = T·r/J di permukaan, dengan J = πd⁴/32 untuk poros pejal dan J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 untuk poros berongga. Sudut puntir φ = TL/(GJ) dalam radian. Daya dan torsi berhubungan melalui P = T·ω.

Momen inersia polar

J₁ = π·40⁴/32 = 251327 mm⁴

J₂ = π·30⁴/32 = 79522 mm⁴

Puntiran tiap segmen

T = 200 N·m = 200000 N·mm

G = 26 GPa = 26000 MPa

φ_AB = 200000·1500/(26000·251327) = 0,04591 rad

φ_BC = 200000·800/(26000·79522) = 0,07739 rad

Puntiran total

φ_C = 0,04591 + 0,07739 = 0,1233 rad = 7,064°

Jawaban

φ_C = 7,064°

4.Torsi poros

Jawaban: d = 66,07 mm

Torsi

ω = 2πN/60 = 2π·750/60 = 78,54 rad/s

T = P/ω = 50000/78,54 = 636,6 N·m

Diameter berdasarkan kekuatan

T = 636,6 N·m = 636620 N·mm

d_τ = ∛(16·636620/(π·60)) = 37,81 mm

Diameter berdasarkan kekakuan

θ = 0,75·π/180/1000 = 1,309 × 10⁻⁵ rad/mm

G = 26 GPa = 26000 MPa

d_φ = (32·636620/(π·26000·1,309 × 10⁻⁵))^1/4 = 66,07 mm

Diameter yang menentukan

Kedua batas harus terpenuhi, jadi diameter yang lebih besar yang menentukan.

d = max(37,81, 66,07) = 66,07 mm

Jawaban

d = 66,07 mm

Di sini kekakuan yang menentukan.

5.Lingkaran Mohr & transformasi tegangan

Jawaban: σ_y′ = 12,8 MPa

Persamaan transformasi untuk muka y′

σ_y′ = 60 − 70·0,766 − 10·(−0,6428) = 12,8 MPa

Periksa

Jumlah tegangan normal tidak berubah karena rotasi.

σ_x′ = 107,2 MPa, σ_x′ + σ_y′ = 120 = σ_x + σ_y

Jawaban

σ_y′ = 12,8 MPa

6.Lingkaran Mohr & transformasi tegangan

Jawaban: n = 1,673

Transformasi tegangan bidang: pada bidang yang diputar sebesar θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Lingkaran Mohr menampilkan semua bidang sekaligus: pusatnya di C = (σₓ + σᵧ)/2 dan jari-jarinya R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Tegangan utama adalah C ± R, dan tegangan geser terbesar dalam bidang adalah R. Kriteria luluh: von Mises memprediksi luluh ketika σ_vM = √(σ₁² − σ₁σ₂ + σ₂²) mencapai σ_Y; Tresca ketika tegangan geser maksimum absolut mencapai σ_Y/2.

Tegangan utama

C = 105 MPa, R = 74,33 MPa

σ₁ = 179,3 MPa, σ₂ = 30,67 MPa, σ₃ = 0

Tresca

σ_max − σ_min = 179,3 MPa

n = 300/179,3 = 1,673

Jawaban

n = 1,673

n > 1 berarti titik tersebut tidak luluh; Tresca sedikit lebih konservatif daripada von Mises.

7.Tegangan & regangan aksial

Jawaban: δ = 0,2625 mm

Dua bahan: pada susunan seri (satu demi satu) setiap segmen menahan gaya yang sama dan perpanjangannya dijumlahkan: δ = P·Σ L/(E·A). Pada susunan paralel (berdampingan di antara pelat kaku) kedua bagian memendek sama besar, sehingga regangannya sama: bagian yang lebih kaku menanggung bagian yang lebih besar, P_i = P·E_iA_i/ΣEA, dan σ_i = E_i·ε. Batang yang ditahan di antara dua dinding kaku dengan beban di sambungan adalah statis tak tentu: kedua segmen membagi beban sebanding dengan kekakuannya k = EA/L.

Luas

A_r = π·20²/4 = 314,2 mm²

A_t = π(80² − 60²)/4 = 2199 mm²

Kekakuan aksial gabungan

ΣEA = 200·10³·314,2 + 110·10³·2199 = 3,047 × 10⁸ N

Pemendekan

δ = 100000·800/3,047 × 10⁸ = 0,2625 mm

Jawaban

δ = 0,2625 mm

8.Tegangan & regangan aksial

Jawaban: σ_max = 972,6 MPa

Batang beban aksial: setiap segmen prismatis mengikuti δ = PL/(AE). Untuk segmen seri, pertambahan panjangnya dijumlahkan.

Gaya sama di kedua segmen

Ujung bebas menahan P, jadi setiap penampang batang menahan gaya aksial P yang sama. Hanya luas dan bahannya yang berubah.

A₁ = π·30²/4 = 706,9 mm², A₂ = π·12²/4 = 113,1 mm²

σ₁ = 155,6 MPa

σ₂ = 972,6 MPa

Tegangan terbesar

Segmen yang lebih tipis luasnya lebih kecil, jadi tegangannya lebih besar.

σ_max = 972,6 MPa

Jawaban

σ_max = 972,6 MPa

9.Tekuk kolom

Jawaban: P_cr = 34,88 kN

Tekuk Euler: kolom langsing menjadi tidak stabil pada P_cr = π²EI/(KL)², dengan KL panjang efektif: K = 1 untuk sendi–sendi, 2 untuk jepit–bebas, 0,7 untuk jepit–sendi, dan 0,5 untuk jepit–jepit. Kolom menekuk terhadap sumbu dengan I terkecil. Rumus berlaku untuk kolom langsing yang tegangan kritisnya tetap di bawah tegangan leleh.

Momen inersia terkecil

Penampang bulat memiliki I yang sama terhadap setiap sumbu.

I = πd⁴/64 = π·30⁴/64 = 39761 mm⁴

Panjang efektif

KL = 0,5·3000 = 1500 mm

Beban kritis

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·39761/1500² = 34882 N = 34,88 kN

Jawaban

P_cr = 34,88 kN

10.Tekuk kolom

Jawaban: σ_cr = 44,76 MPa

Momen inersia terkecil

Penampang bulat memiliki I yang sama terhadap setiap sumbu.

I = πd⁴/64 = π·40⁴/64 = 125664 mm⁴

Jari-jari girasi dan kelangsingan

A = 1257 mm²

r = √(I/A) = √(125664/1257) = 10 mm

KL = 0,7·3000 = 2100 mm

KL/r = 2100/10 = 210

Tegangan kritis

σ_cr = π²E/(KL/r)² = π²·200000/210² = 44,76 MPa

Jawaban

σ_cr = 44,76 MPa

11.Getaran mekanis

Jawaban: ζ = 0,02982

Getaran bebas sistem massa–pegas: frekuensi alami tak teredam adalah ω_n = √(k/m) dalam rad/s, dan f_n = ω_n/(2π) dalam Hz. Peredam viskos c memberikan rasio redaman ζ = c/c_c, dengan redaman kritis c_c = 2·√(k·m) = 2·m·ω_n. Sistem kurang teredam (ζ < 1) berosilasi pada ω_d = ω_n·√(1 − ζ²). Pegas paralel dijumlahkan, k = k₁ + k₂; pegas seri dijumlahkan sebagai kebalikan, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

Dekremen logaritmik

δ = (1/5)·ln(12/4,7) = 0,1875

Rasio redaman

ζ = δ/√(4π² + δ²) = 0,1875/√(39,48 + 0,03514) = 0,02982

Jawaban

ζ = 0,02982

12.Getaran mekanis

Jawaban: f_n = 5,6 Hz

Kekakuan ekivalen

Hanya k₁ dan k₂ yang paralel. Pasangan itu seri dengan k₃, jadi gabungkan sebagai kebalikan.

k₁₂ = 80 + 50 = 130 kN/m

k_eq = 130·80/(130 + 80) = 49,52 kN/m

Frekuensi alami

ω_n = √(49524/40) = 35,19 rad/s

f_n = 35,19/(2π) = 5,6 Hz

Jawaban

f_n = 5,6 Hz

ExamProblems · examproblems.com/courses/machine-design