Perancangan Elemen Mesin: paket kilat

Lembar rumus, langkah-langkah metode utama untuk setiap topik, dan 12 soal latihan, dengan pembahasan lengkap di bagian belakang.

Soal baru Kembali ke mata kuliah

Di jendela cetak, pilih “Simpan sebagai PDF” untuk menyimpan salinan di perangkat Anda.

1Rumus dan metode

Roda gigi & rangkaian roda gigi

Roda gigi yang berpasangan: n₁·N₁ = n₂·N₂
Torsi: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η
Daya: P = T·ω, ω = 2π·n/60
Rangkaian roda gigi majemuk: rasio total = hasil kali rasio setiap tingkat

Torsi poros

Tegangan geser: τ = T·r/J
Poros pejal: J = πd⁴/32
Poros berongga: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Sudut puntir: φ = TL/(GJ)
Daya: P = T·ω = 2πnT/60

Metode

Cari momen inersia polar: J = πd⁴/32 untuk poros pejal.
Tegangan geser di permukaan: τ = T·r/J, dengan r jari-jari luar.
Sudut puntir: φ = TL/(GJ) dalam radian.
Jika daya diketahui, cari torsi dulu dengan P = T·ω, ω = 2πn/60.

Lingkaran Mohr & transformasi tegangan

Pusat: C = (σ_x + σ_y)/2
Jari-jari: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Tegangan utama: σ_1,2 = C ± R
Arah utama: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Bidang miring: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Metode

Hitung pusat lingkaran Mohr: C = (σx + σy)/2.
Hitung jari-jarinya: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Tegangan utama adalah C ± R dan tegangan geser bidang terbesar adalah R.
Sudut pada lingkaran adalah dua kali sudut pada elemen: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Tegangan & regangan aksial

Tegangan normal: σ = F/A
Regangan: ε = ΔL/L
Hukum Hooke: σ = E·ε
Pertambahan panjang: ΔL = FL/(EA)
Regangan termal: ε_T = α·ΔT

Tekuk kolom

Beban Euler: P_cr = π²EI/(KL)²
Faktor panjang efektif: K = 1 sendi–sendi, 0,5 jepit–jepit, 0,7 jepit–sendi, 2 jepit–bebas
Tegangan kritis: σ_cr = P_cr/A
Kelangsingan: λ = KL/r, r = √(I/A)

Getaran mekanis

Frekuensi alami: ω_n = √(k/m), f_n = ω_n/(2π)
Dari defleksi statis: ω_n = √(g/δ_st)
Redaman kritis: c_c = 2√(km) = 2mω_n
Rasio redaman: ζ = c/c_c
Frekuensi teredam: ω_d = ω_n√(1 − ζ²)
Dekremen logaritmik: δ = (1/n)·ln(x₀/x_n), ζ = δ/√(4π² + δ²)
Pegas paralel: k = k₁ + k₂
Pegas seri: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

2Soal latihan

1.Roda gigi & rangkaian roda gigiSedang

Puli 100 mm pada 1450 rpm menggerakkan puli 250 mm dengan sabuk yang slipnya 4 %. Cari kecepatan n₂ puli yang digerakkan.

n₁ = 1450 rpmd₁ = 100 mmd₂ = 250 mms = 4 %

n₂ = rpm

2.Roda gigi & rangkaian roda gigiSulit

Dalam rangkaian roda gigi majemuk, roda gigi A (15 gigi) pada poros masukan yang berputar pada 960 rpm menggerakkan roda gigi B (20 gigi). Roda gigi C (12 gigi) terpasang pada poros yang sama dengan B dan menggerakkan roda gigi D (15 gigi) pada poros keluaran. Cari putaran keluaran n_out.

n_in = 960 rpmA = 15B = 20C = 12D = 15

n_out = rpm

3.Torsi porosSedang

Poros baja pejal bertingkat dijepit di A. Segmen AB berdiameter 50 mm dan panjang 2 m; segmen BC berdiameter 40 mm dan panjang 0,5 m. Torsi 200 N·m bekerja di ujung bebas C. Cari tegangan geser maksimum τ_max pada poros.

T = 200 N·md₁ = 50 mm, L₁ = 2 md₂ = 40 mm, L₂ = 0,5 m

τ_max = MPa

4.Torsi porosSulit

Poros kuningan pejal berdiameter 60 mm dijepit di A. Torsi 2000 N·m bekerja di B, 2,5 m dari A, dan torsi 100 N·m dengan arah berlawanan bekerja di ujung bebas C, 2,5 m lebih jauh. Cari besar sudut puntir φ_C ujung C, dalam derajat.

d = 60 mmT_B = 2000 N·mT_C = 100 N·mAB = 2,5 mBC = 2,5 mG = 39 GPa

φ_C = °

5.Lingkaran Mohr & transformasi teganganSedang

Suatu titik memiliki σₓ = −10 MPa, σᵧ = 20 MPa, dan τₓᵧ = 30 MPa (tarik positif). Elemen diputar 50° berlawanan arah jarum jam. Cari tegangan normal σ_y′ pada muka elemen yang diputar yang tegak lurus sumbu y′ yang diputar.

σ_x = −10 MPaσ_y = 20 MPaτ_xy = 30 MPaθ = 50°

σ_y′ = MPa

6.Lingkaran Mohr & transformasi teganganSulit

Poros pejal berdiameter 60 mm menahan gaya tarik aksial sebesar 90 kN bersama torsi 1500 N·m. Di permukaan poros, cari tegangan geser sebidang maksimum τ_max.

d = 60 mmF = 90 kNT = 1500 N·m

τ_max = MPa

7.Tegangan & regangan aksialSedang

Cari pertambahan panjang δ batang baja akibat beban aksial.

P = 45 kNd = 25 mmL = 2 mE = 200 GPa

δ = mm

8.Tegangan & regangan aksialSulit

Sebuah batang baja (diameter 30 mm, E = 200 GPa, tegangan izin 120 MPa) berada di dalam tabung dari tembaga (diameter luar 100 mm, diameter dalam 70 mm, E = 120 GPa, tegangan izin 60 MPa). Keduanya ditekan bersama di antara pelat kaku. Cari beban terbesar P_max.

batang: Ø30 mm, E = 200 GPa, σ_allow = 120 MPatabung: Ø100/Ø70 mm, E = 120 GPa, σ_allow = 60 MPa

P_max = kN

9.Tekuk kolomSedang

Kolom sepanjang L dari baja dengan tumpuan jepit di bawah dan sendi di atas. Dengan rumus Euler, cari beban tekuk kritisnya P_cr.

L = 6 mE = 200 GPa (baja)d = 50 mm

P_cr = kN

10.Tekuk kolomSulit

Kolom sepanjang L dari baja dengan tumpuan jepit di bawah dan sendi di atas. Cari kelangsingannya dan tegangan tekuk kritis σ_cr dari rumus Euler.

L = 2 mE = 200 GPa (baja)d = 50 mm

σ_cr = MPa

11.Getaran mekanisSedang

Dalam uji getaran bebas sistem massa–pegas teredam, puncak simpangan 25 mm diikuti 3 siklus kemudian oleh puncak 2,6 mm. Cari rasio redaman ζ.

x₀ = 25 mmx₃ = 2,6 mmn = 3

ζ =

12.Getaran mekanisSulit

Massa 25 kg tergantung pada dua pegas berdampingan (paralel), dengan kekakuan k₁ = 15 kN/m dan k₂ = 30 kN/m. Massa tetap datar. Abaikan redaman dan massa pegas. Cari frekuensi alami f_n getaran vertikal dalam Hz.

m = 25 kgk₁ = 15 kN/mk₂ = 30 kN/m

f_n = Hz

3Larutan

1.Roda gigi & rangkaian roda gigi

Jawaban: n₂ = 556,8 rpm

Penggerak sabuk: tanpa slip, kedua puli memiliki kecepatan tepi yang sama v = π·d·n/60, sehingga n₁·d₁ = n₂·d₂ dan rasio kecepatan adalah d₂/d₁. Slip s membuat puli yang digerakkan sedikit lebih lambat: n₂ = n₁·(d₁/d₂)·(1 − s). Daya yang ditransmisikan adalah P = (T₁ − T₂)·v, dengan T₁ tegangan sisi tarik dan T₂ sisi kendor. Gesekan membatasi rasio tegangan: T₁/T₂ = e^μθ, dengan θ sudut kontak dalam radian pada puli yang lebih kecil; untuk sabuk terbuka θ = π − 2·asin((d₂ − d₁)/(2C)) dengan jarak sumbu C.

Kecepatan tanpa slip

1450·100/250 = 580 rpm

Dengan slip

n₂ = 580·0,96 = 556,8 rpm

Jawaban

n₂ = 556,8 rpm

2.Roda gigi & rangkaian roda gigi

Jawaban: n_out = 576 rpm

Rangkaian roda gigi: roda gigi yang berpasangan memiliki kecepatan yang sama di giginya, sehingga n₁·N₁ = n₂·N₂: roda gigi dengan jumlah gigi lebih sedikit berputar lebih cepat. Roda gigi pada satu poros berputar dengan kecepatan yang sama. Daya diteruskan (dikurangi rugi-rugi), sehingga torsi naik ketika putaran turun: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, dan P = T·ω dengan ω = 2π·n/60.

Tingkat pertama

n_B = 960·15/20 = 720 rpm = n_C

Tingkat kedua

n_out = 720·12/15 = 576 rpm

Jawaban

n_out = 576 rpm

rasio total = 1,667 : 1

3.Torsi poros

Jawaban: τ_max = 15,92 MPa

Torsi poros bulat: tegangan geser naik linear dari nol di pusat hingga τ_max = T·r/J di permukaan, dengan J = πd⁴/32 untuk poros pejal dan J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 untuk poros berongga. Sudut puntir φ = TL/(GJ) dalam radian. Daya dan torsi berhubungan melalui P = T·ω.

Tegangan pada tiap segmen

T = 200 N·m = 200000 N·mm

τ_AB = 16·200000/(π·50³) = 8,149 MPa

τ_BC = 16·200000/(π·40³) = 15,92 MPa

Jawaban

τ_max = 15,92 MPa

4.Torsi poros

Jawaban: φ_C = 5,196 °

Torsi dalam

Arah T_C diambil sebagai positif.

T_BC = T_C = 100 N·m

T_AB = T_C − T_B = 100 − 2000 = −1900 N·m

Puntiran tiap segmen

J = π·60⁴/32 = 1,272 × 10⁶ mm⁴

G = 39 GPa = 39000 MPa

φ_AB = −1,9 × 10⁶·2500/(39000·1,272 × 10⁶) = −0,09572 rad

φ_BC = 100000·2500/(39000·1,272 × 10⁶) = 0,005038 rad

Puntiran ujung C

φ_C = −0,09572 + 0,005038 = −0,09069 rad → |φ_C| = 5,196°

Jawaban

φ_C = 5,196°

5.Lingkaran Mohr & transformasi tegangan

Jawaban: σ_y′ = −27,15 MPa

Transformasi tegangan bidang: pada bidang yang diputar sebesar θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Lingkaran Mohr menampilkan semua bidang sekaligus: pusatnya di C = (σₓ + σᵧ)/2 dan jari-jarinya R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Tegangan utama adalah C ± R, dan tegangan geser terbesar dalam bidang adalah R.

Persamaan transformasi untuk muka y′

σ_y′ = 5 − (−15)·(−0,1736) − 30·0,9848 = −27,15 MPa

Periksa

Jumlah tegangan normal tidak berubah karena rotasi.

σ_x′ = 37,15 MPa, σ_x′ + σ_y′ = 10 = σ_x + σ_y

Jawaban

σ_y′ = −27,15 MPa

6.Lingkaran Mohr & transformasi tegangan

Jawaban: τ_max = 38,78 MPa

Tegangan di permukaan

σ = F/A = 90000/(π·60²/4) = 90000/2827 = 31,83 MPa

τ = 16T/(πd³) = 16·1500000/(π·60³) = 35,37 MPa

Lingkaran Mohr

C = σ/2 = 15,92 MPa

R = √(15,92² + 35,37²) = 38,78 MPa

Jawaban

τ_max = 38,78 MPa

7.Tegangan & regangan aksial

Jawaban: δ = 0,9167 mm

Hukum Hooke: dalam daerah elastis σ = E·ε. Digabung dengan σ = P/A dan ε = δ/L menghasilkan δ = PL/(AE).

Tegangan

A = π·25²/4 = 490,9 mm²

σ = P/A = 45·1000/490,9 = 91,67 MPa

Regangan (hukum Hooke)

E for baja = 200 GPa = 200000 MPa.

ε = σ/E = 91,67/200000 = 0,0004584 = 458,4 µε

Pertambahan panjang

δ = ε·L = 0,0004584·2000 mm = 0,9167 mm

Jawaban

δ = 0,9167 mm

8.Tegangan & regangan aksial

Jawaban: P_max = 311 kN

Dua bahan: pada susunan seri (satu demi satu) setiap segmen menahan gaya yang sama dan perpanjangannya dijumlahkan: δ = P·Σ L/(E·A). Pada susunan paralel (berdampingan di antara pelat kaku) kedua bagian memendek sama besar, sehingga regangannya sama: bagian yang lebih kaku menanggung bagian yang lebih besar, P_i = P·E_iA_i/ΣEA, dan σ_i = E_i·ε. Batang yang ditahan di antara dua dinding kaku dengan beban di sambungan adalah statis tak tentu: kedua segmen membagi beban sebanding dengan kekakuannya k = EA/L.

Luas

A_r = π·30²/4 = 706,9 mm²

A_t = π(100² − 70²)/4 = 4006 mm²

Kekakuan aksial gabungan

ΣEA = 200·10³·706,9 + 120·10³·4006 = 6,22 × 10⁸ N

Regangan penentu

ε = min(0,0006, 0,0005) = 0,0005 (tembaga)

Beban terbesar

P_max = 0,0005·6,22 × 10⁸ = 311018 N = 311 kN

Jawaban

P_max = 311 kN

9.Tekuk kolom

Jawaban: P_cr = 34,33 kN

Tekuk Euler: kolom langsing menjadi tidak stabil pada P_cr = π²EI/(KL)², dengan KL panjang efektif: K = 1 untuk sendi–sendi, 2 untuk jepit–bebas, 0,7 untuk jepit–sendi, dan 0,5 untuk jepit–jepit. Kolom menekuk terhadap sumbu dengan I terkecil. Rumus berlaku untuk kolom langsing yang tegangan kritisnya tetap di bawah tegangan leleh.

Momen inersia terkecil

Penampang bulat memiliki I yang sama terhadap setiap sumbu.

I = πd⁴/64 = π·50⁴/64 = 306796 mm⁴

Panjang efektif

KL = 0,7·6000 = 4200 mm

Beban kritis

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·306796/4200² = 34331 N = 34,33 kN

Jawaban

P_cr = 34,33 kN

10.Tekuk kolom

Jawaban: σ_cr = 157,4 MPa

Momen inersia terkecil

Penampang bulat memiliki I yang sama terhadap setiap sumbu.

I = πd⁴/64 = π·50⁴/64 = 306796 mm⁴

Jari-jari girasi dan kelangsingan

A = 1963 mm²

r = √(I/A) = √(306796/1963) = 12,5 mm

KL = 0,7·2000 = 1400 mm

KL/r = 1400/12,5 = 112

Tegangan kritis

σ_cr = π²E/(KL/r)² = π²·200000/112² = 157,4 MPa

Jawaban

σ_cr = 157,4 MPa

11.Getaran mekanis

Jawaban: ζ = 0,1192

Getaran bebas sistem massa–pegas: frekuensi alami tak teredam adalah ω_n = √(k/m) dalam rad/s, dan f_n = ω_n/(2π) dalam Hz. Peredam viskos c memberikan rasio redaman ζ = c/c_c, dengan redaman kritis c_c = 2·√(k·m) = 2·m·ω_n. Sistem kurang teredam (ζ < 1) berosilasi pada ω_d = ω_n·√(1 − ζ²). Pegas paralel dijumlahkan, k = k₁ + k₂; pegas seri dijumlahkan sebagai kebalikan, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

Dekremen logaritmik

δ = (1/3)·ln(25/2,6) = 0,7545

Rasio redaman

ζ = δ/√(4π² + δ²) = 0,7545/√(39,48 + 0,5692) = 0,1192

Jawaban

ζ = 0,1192

12.Getaran mekanis

Jawaban: f_n = 6,752 Hz

Kekakuan ekivalen

Pegas berdampingan berbagi defleksi dan gayanya dijumlahkan, sehingga kekakuannya cukup dijumlahkan: k = k₁ + k₂.

k_eq = 15 + 30 = 45 kN/m

Frekuensi alami

ω_n = √(45000/25) = 42,43 rad/s

f_n = 42,43/(2π) = 6,752 Hz

Jawaban

f_n = 6,752 Hz

ExamProblems · examproblems.com/courses/machine-design