Perancangan Elemen Mesin: paket kilat

Lembar rumus, langkah-langkah metode utama untuk setiap topik, dan 12 soal latihan, dengan pembahasan lengkap di bagian belakang.

Soal baru Kembali ke mata kuliah

Di jendela cetak, pilih “Simpan sebagai PDF” untuk menyimpan salinan di perangkat Anda.

1Rumus dan metode

Roda gigi & rangkaian roda gigi

Roda gigi yang berpasangan: n₁·N₁ = n₂·N₂
Torsi: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η
Daya: P = T·ω, ω = 2π·n/60
Rangkaian roda gigi majemuk: rasio total = hasil kali rasio setiap tingkat

Torsi poros

Tegangan geser: τ = T·r/J
Poros pejal: J = πd⁴/32
Poros berongga: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Sudut puntir: φ = TL/(GJ)
Daya: P = T·ω = 2πnT/60

Metode

Cari momen inersia polar: J = πd⁴/32 untuk poros pejal.
Tegangan geser di permukaan: τ = T·r/J, dengan r jari-jari luar.
Sudut puntir: φ = TL/(GJ) dalam radian.
Jika daya diketahui, cari torsi dulu dengan P = T·ω, ω = 2πn/60.

Lingkaran Mohr & transformasi tegangan

Pusat: C = (σ_x + σ_y)/2
Jari-jari: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Tegangan utama: σ_1,2 = C ± R
Arah utama: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Bidang miring: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Metode

Hitung pusat lingkaran Mohr: C = (σx + σy)/2.
Hitung jari-jarinya: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Tegangan utama adalah C ± R dan tegangan geser bidang terbesar adalah R.
Sudut pada lingkaran adalah dua kali sudut pada elemen: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Tegangan & regangan aksial

Tegangan normal: σ = F/A
Regangan: ε = ΔL/L
Hukum Hooke: σ = E·ε
Pertambahan panjang: ΔL = FL/(EA)
Regangan termal: ε_T = α·ΔT

Tekuk kolom

Beban Euler: P_cr = π²EI/(KL)²
Faktor panjang efektif: K = 1 sendi–sendi, 0,5 jepit–jepit, 0,7 jepit–sendi, 2 jepit–bebas
Tegangan kritis: σ_cr = P_cr/A
Kelangsingan: λ = KL/r, r = √(I/A)

Getaran mekanis

Frekuensi alami: ω_n = √(k/m), f_n = ω_n/(2π)
Dari defleksi statis: ω_n = √(g/δ_st)
Redaman kritis: c_c = 2√(km) = 2mω_n
Rasio redaman: ζ = c/c_c
Frekuensi teredam: ω_d = ω_n√(1 − ζ²)
Dekremen logaritmik: δ = (1/n)·ln(x₀/x_n), ζ = δ/√(4π² + δ²)
Pegas paralel: k = k₁ + k₂
Pegas seri: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

2Soal latihan

1.Roda gigi & rangkaian roda gigiSedang

Puli 200 mm pada 960 rpm menggerakkan puli 500 mm dengan sabuk yang slipnya 1 %. Cari kecepatan n₂ puli yang digerakkan.

n₁ = 960 rpmd₁ = 200 mmd₂ = 500 mms = 1 %

n₂ = rpm

2.Roda gigi & rangkaian roda gigiSulit

Sebuah sabuk terbuka menghubungkan puli penggerak 160 mm pada 720 rpm ke puli 500 mm; jarak sumbunya 600 mm. Koefisien gesekan adalah 0,25 dan tegangan sisi tarik tidak boleh melebihi 1000 N. Cari daya terbesar P yang dapat ditransmisikan sabuk tanpa slip, dalam kW (abaikan efek sentrifugal).

d₁ = 160 mmn₁ = 720 rpmd₂ = 500 mmC = 600 mmμ = 0,25T₁ = 1000 N

P = kW

3.Torsi porosSedang

Dalam uji torsi, spesimen pejal berdiameter 12 mm dipuntir oleh torsi 50 N·m. Kedua ujung panjang ukur 250 mm berputar 13,53° relatif satu sama lain (bahan masih elastis). Cari modulus geser G bahan.

T = 50 N·md = 12 mmL = 250 mmφ = 13,53°

G = GPa

4.Torsi porosSulit

Poros pejal harus meneruskan 10 kW pada 1500 rpm tanpa tegangan geser melebihi 60 MPa. Cari diameter terkecil d yang memenuhi.

P = 10 kWN = 1500 rpmτ_allow = 60 MPa

d = mm

5.Lingkaran Mohr & transformasi teganganSedang

Sebuah titik pada komponen yang dibebani memiliki σₓ = −20 MPa, σᵧ = 60 MPa, dan τₓᵧ = 30 MPa (tarik positif). Cari tegangan geser maksimum dalam bidang τ_max.

σ_x = −20 MPaσ_y = 60 MPaτ_xy = 30 MPa

τ_max = MPa

6.Lingkaran Mohr & transformasi teganganSulit

Poros pejal berdiameter 40 mm menahan gaya tarik aksial sebesar 190 kN bersama torsi 500 N·m. Di permukaan poros, cari tegangan geser sebidang maksimum τ_max.

d = 40 mmF = 190 kNT = 500 N·m

τ_max = MPa

7.Tegangan & regangan aksialSedang

Sebuah batang terdiri dari segmen baja (diameter 30 mm, panjang 400 mm, E = 200 GPa) yang disambung ujung ke ujung dengan segmen dari tembaga (diameter 50 mm, panjang 200 mm, E = 120 GPa). Salah satu ujungnya dijepit dan ujung lainnya ditarik. Cari beban aksial P yang memanjangkannya sebesar 0,2 mm secara total.

segmen 1: baja, Ø30 mm, 400 mm, E = 200 GPasegmen 2: tembaga, Ø50 mm, 200 mm, E = 120 GPaδ = 0,2 mm

P = kN

8.Tegangan & regangan aksialSulit

Batang bertingkat dijepit di dinding dan dibebani di ujung bebasnya. Cari pertambahan panjang total δ.

P = 85 kNsegmen 1: Ø30 mm, 1 m, kuningan (E = 100 GPa)segmen 2: Ø16 mm, 1,5 m, aluminium (E = 70 GPa)

δ = mm

9.Tekuk kolomSedang

Kolom sepanjang L dari baja dengan tumpuan jepit di bawah dan bebas di atas. Dengan rumus Euler, cari beban tekuk kritisnya P_cr.

L = 1,5 mE = 200 GPa (baja)d = 30 mm

P_cr = kN

10.Tekuk kolomSulit

Kolom bulat pejal sepanjang L dari aluminium dengan tumpuan jepit di bawah dan bebas di atas. Kolom harus menahan 20 kN dengan faktor keamanan 2,5 terhadap tekuk. Cari diameter terkecil d.

P = 20 kNn = 2,5L = 2,5 mE = 70 GPa (aluminium)

d = mm

11.Getaran mekanisSedang

Massa 40 kg pada pegas dengan kekakuan 10 kN/m memiliki peredam viskos yang memberikan rasio redaman 0,45. Cari frekuensi alami teredam f_d getaran bebasnya dalam Hz.

m = 40 kgk = 10 kN/mζ = 0,45

f_d = Hz

12.Getaran mekanisSulit

Massa 20 kg tergantung pada dua pegas yang disambung ujung ke ujung (seri): pegas atas memiliki k₁ = 50 kN/m dan pegas bawah k₂ = 40 kN/m. Abaikan redaman dan massa pegas. Cari frekuensi alami f_n getaran vertikal dalam Hz.

m = 20 kgk₁ = 50 kN/mk₂ = 40 kN/m

f_n = Hz

3Larutan

1.Roda gigi & rangkaian roda gigi

Jawaban: n₂ = 380,2 rpm

Penggerak sabuk: tanpa slip, kedua puli memiliki kecepatan tepi yang sama v = π·d·n/60, sehingga n₁·d₁ = n₂·d₂ dan rasio kecepatan adalah d₂/d₁. Slip s membuat puli yang digerakkan sedikit lebih lambat: n₂ = n₁·(d₁/d₂)·(1 − s). Daya yang ditransmisikan adalah P = (T₁ − T₂)·v, dengan T₁ tegangan sisi tarik dan T₂ sisi kendor. Gesekan membatasi rasio tegangan: T₁/T₂ = e^μθ, dengan θ sudut kontak dalam radian pada puli yang lebih kecil; untuk sabuk terbuka θ = π − 2·asin((d₂ − d₁)/(2C)) dengan jarak sumbu C.

Kecepatan tanpa slip

960·200/500 = 384 rpm

Dengan slip

n₂ = 384·0,99 = 380,2 rpm

Jawaban

n₂ = 380,2 rpm

2.Roda gigi & rangkaian roda gigi

Jawaban: P = 2,857 kW

Sudut kontak

θ = 2,567 rad

Tegangan sisi kendor

e^μθ = e^0,6418 = 1,9, T₂ = 1000/1,9 = 526,4 N

Daya

P = (1000 − 526,4)·6,032 = 2,857 kW

Jawaban

P = 2,857 kW

3.Torsi poros

Jawaban: G = 26 GPa

Torsi poros bulat: tegangan geser naik linear dari nol di pusat hingga τ_max = T·r/J di permukaan, dengan J = πd⁴/32 untuk poros pejal dan J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 untuk poros berongga. Sudut puntir φ = TL/(GJ) dalam radian. Daya dan torsi berhubungan melalui P = T·ω.

Momen inersia polar dan sudut

J = π·12⁴/32 = 2036 mm⁴

φ = 13,53·π/180 = 0,2361 rad

Modulus geser

T = 50 N·m = 50000 N·mm

G = TL/(Jφ) = 50000·250/(2036·0,2361) = 26002 MPa

G = 26 GPa

Jawaban

G = 26 GPa

Bandingkan: baja ≈ 80 GPa, kuningan ≈ 39 GPa, aluminium ≈ 26 GPa.

4.Torsi poros

Jawaban: d = 17,55 mm

Torsi

ω = 2πN/60 = 2π·1500/60 = 157,1 rad/s

T = P/ω = 10000/157,1 = 63,66 N·m

Diameter dari tegangan izin

d = ∛(16T/(π·τ_allow)) = ∛(16·63662/(π·60)) = 17,55 mm

Jawaban

d = 17,55 mm

Dalam praktik Anda membulatkan ke ukuran standar berikutnya.

5.Lingkaran Mohr & transformasi tegangan

Jawaban: τ_max = 50 MPa

Transformasi tegangan bidang: pada bidang yang diputar sebesar θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Lingkaran Mohr menampilkan semua bidang sekaligus: pusatnya di C = (σₓ + σᵧ)/2 dan jari-jarinya R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Tegangan utama adalah C ± R, dan tegangan geser terbesar dalam bidang adalah R.

Jari-jari lingkaran Mohr

τ_max = R = √(((−20 − 60)/2)² + 30²) = 50 MPa

Jawaban

τ_max = 50 MPa

6.Lingkaran Mohr & transformasi tegangan

Jawaban: τ_max = 85,43 MPa

Tegangan di permukaan

σ = F/A = 190000/(π·40²/4) = 190000/1257 = 151,2 MPa

τ = 16T/(πd³) = 16·500000/(π·40³) = 39,79 MPa

Lingkaran Mohr

C = σ/2 = 75,6 MPa

R = √(75,6² + 39,79²) = 85,43 MPa

Jawaban

τ_max = 85,43 MPa

7.Tegangan & regangan aksial

Jawaban: P = 54,37 kN

Dua bahan: pada susunan seri (satu demi satu) setiap segmen menahan gaya yang sama dan perpanjangannya dijumlahkan: δ = P·Σ L/(E·A). Pada susunan paralel (berdampingan di antara pelat kaku) kedua bagian memendek sama besar, sehingga regangannya sama: bagian yang lebih kaku menanggung bagian yang lebih besar, P_i = P·E_iA_i/ΣEA, dan σ_i = E_i·ε. Batang yang ditahan di antara dua dinding kaku dengan beban di sambungan adalah statis tak tentu: kedua segmen membagi beban sebanding dengan kekakuannya k = EA/L.

Luas

A₁ = 706,9 mm², A₂ = 1963 mm²

Kelenturan

L₁/(E₁A₁) = 400/(200000·706,9) = 2,829 × 10⁻⁶ mm/N

L₂/(E₂A₂) = 200/(120000·1963) = 8,488 × 10⁻⁷ mm/N

Beban

P = 0,2/3,678 × 10⁻⁶ = 54374 N = 54,37 kN

Jawaban

P = 54,37 kN

8.Tegangan & regangan aksial

Jawaban: δ = 10,26 mm

Batang beban aksial: setiap segmen prismatis mengikuti δ = PL/(AE). Untuk segmen seri, pertambahan panjangnya dijumlahkan.

Gaya sama di kedua segmen

Ujung bebas menahan P, jadi setiap penampang batang menahan gaya aksial P yang sama. Hanya luas dan bahannya yang berubah.

A₁ = π·30²/4 = 706,9 mm², A₂ = π·16²/4 = 201,1 mm²

σ₁ = 120,3 MPa

σ₂ = 422,8 MPa

Jumlahkan pertambahan panjang segmen

δ₁ = σ₁L₁/E₁ = 120,3·1000/100000 = 1,203 mm

δ₂ = σ₂L₂/E₂ = 422,8·1500/70000 = 9,059 mm

δ = δ₁ + δ₂ = 10,26 mm

Jawaban

δ = 10,26 mm

9.Tekuk kolom

Jawaban: P_cr = 8,721 kN

Tekuk Euler: kolom langsing menjadi tidak stabil pada P_cr = π²EI/(KL)², dengan KL panjang efektif: K = 1 untuk sendi–sendi, 2 untuk jepit–bebas, 0,7 untuk jepit–sendi, dan 0,5 untuk jepit–jepit. Kolom menekuk terhadap sumbu dengan I terkecil. Rumus berlaku untuk kolom langsing yang tegangan kritisnya tetap di bawah tegangan leleh.

Momen inersia terkecil

Penampang bulat memiliki I yang sama terhadap setiap sumbu.

I = πd⁴/64 = π·30⁴/64 = 39761 mm⁴

Panjang efektif

KL = 2·1500 = 3000 mm

Beban kritis

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·39761/3000² = 8721 N = 8,721 kN

Jawaban

P_cr = 8,721 kN

10.Tekuk kolom

Jawaban: d = 77,92 mm

Beban kritis yang diperlukan

P_cr = n·P = 2,5·20000 = 50000 N

KL = 2·2500 = 5000 mm

Selesaikan untuk diameter

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·50000·5000²/(π³·70000))^(1/4) = 77,92 mm

Jawaban

d = 77,92 mm

Periksa: kelangsingan KL/r adalah 256,7, jadi kolom langsing dan rumus Euler berlaku.

11.Getaran mekanis

Jawaban: f_d = 2,247 Hz

Getaran bebas sistem massa–pegas: frekuensi alami tak teredam adalah ω_n = √(k/m) dalam rad/s, dan f_n = ω_n/(2π) dalam Hz. Peredam viskos c memberikan rasio redaman ζ = c/c_c, dengan redaman kritis c_c = 2·√(k·m) = 2·m·ω_n. Sistem kurang teredam (ζ < 1) berosilasi pada ω_d = ω_n·√(1 − ζ²). Pegas paralel dijumlahkan, k = k₁ + k₂; pegas seri dijumlahkan sebagai kebalikan, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

Frekuensi alami tak teredam

ω_n = √(10000/40) = 15,81 rad/s

f_n = 15,81/(2π) = 2,516 Hz

Frekuensi alami teredam

f_d = f_n·√(1 − ζ²) = 2,516·√(1 − 0,45²) = 2,247 Hz

Jawaban

f_d = 2,247 Hz

12.Getaran mekanis

Jawaban: f_n = 5,305 Hz

Kekakuan ekivalen

Pegas seri menerima gaya yang sama dan defleksinya dijumlahkan, sehingga digabung sebagai kebalikan: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

1/k_eq = 1/50 + 1/40 → k_eq = 50·40/(50 + 40) = 22,22 kN/m

Frekuensi alami

ω_n = √(22222/20) = 33,33 rad/s

f_n = 33,33/(2π) = 5,305 Hz

Jawaban

f_n = 5,305 Hz

ExamProblems · examproblems.com/courses/machine-design