Perancangan Elemen Mesin: paket kilat

Lembar rumus, langkah-langkah metode utama untuk setiap topik, dan 12 soal latihan, dengan pembahasan lengkap di bagian belakang.

Soal baru Kembali ke mata kuliah

Di jendela cetak, pilih “Simpan sebagai PDF” untuk menyimpan salinan di perangkat Anda.

1Rumus dan metode

Roda gigi & rangkaian roda gigi

Roda gigi yang berpasangan: n₁·N₁ = n₂·N₂
Torsi: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η
Daya: P = T·ω, ω = 2π·n/60
Rangkaian roda gigi majemuk: rasio total = hasil kali rasio setiap tingkat

Torsi poros

Tegangan geser: τ = T·r/J
Poros pejal: J = πd⁴/32
Poros berongga: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Sudut puntir: φ = TL/(GJ)
Daya: P = T·ω = 2πnT/60

Metode

Cari momen inersia polar: J = πd⁴/32 untuk poros pejal.
Tegangan geser di permukaan: τ = T·r/J, dengan r jari-jari luar.
Sudut puntir: φ = TL/(GJ) dalam radian.
Jika daya diketahui, cari torsi dulu dengan P = T·ω, ω = 2πn/60.

Lingkaran Mohr & transformasi tegangan

Pusat: C = (σ_x + σ_y)/2
Jari-jari: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Tegangan utama: σ_1,2 = C ± R
Arah utama: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Bidang miring: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Metode

Hitung pusat lingkaran Mohr: C = (σx + σy)/2.
Hitung jari-jarinya: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Tegangan utama adalah C ± R dan tegangan geser bidang terbesar adalah R.
Sudut pada lingkaran adalah dua kali sudut pada elemen: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Tegangan & regangan aksial

Tegangan normal: σ = F/A
Regangan: ε = ΔL/L
Hukum Hooke: σ = E·ε
Pertambahan panjang: ΔL = FL/(EA)
Regangan termal: ε_T = α·ΔT

Tekuk kolom

Beban Euler: P_cr = π²EI/(KL)²
Faktor panjang efektif: K = 1 sendi–sendi, 0,5 jepit–jepit, 0,7 jepit–sendi, 2 jepit–bebas
Tegangan kritis: σ_cr = P_cr/A
Kelangsingan: λ = KL/r, r = √(I/A)

Getaran mekanis

Frekuensi alami: ω_n = √(k/m), f_n = ω_n/(2π)
Dari defleksi statis: ω_n = √(g/δ_st)
Redaman kritis: c_c = 2√(km) = 2mω_n
Rasio redaman: ζ = c/c_c
Frekuensi teredam: ω_d = ω_n√(1 − ζ²)
Dekremen logaritmik: δ = (1/n)·ln(x₀/x_n), ζ = δ/√(4π² + δ²)
Pegas paralel: k = k₁ + k₂
Pegas seri: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

2Soal latihan

1.Roda gigi & rangkaian roda gigiSedang

Sebuah sabuk berjalan pada puli penggerak 150 mm pada 960 rpm. Tegangannya 400 N pada sisi tarik dan 120 N pada sisi kendor. Cari daya P yang ditransmisikan, dalam kW.

d₁ = 150 mmn₁ = 960 rpmT₁ = 400 NT₂ = 120 N

P = kW

2.Roda gigi & rangkaian roda gigiSulit

Sebuah sabuk terbuka menghubungkan puli 125 mm dan puli 450 mm yang jarak sumbunya 1200 mm. Cari sudut kontak θ pada puli yang lebih kecil, dalam derajat.

d₁ = 125 mmd₂ = 450 mmC = 1200 mm

θ = °

3.Torsi porosSedang

Poros pejal aluminium dijepit di dinding dan dipuntir oleh torsi T di ujung bebasnya. Cari sudut puntir φ ujung bebas, dalam derajat.

T = 250 N·md = 40 mmL = 1,5 mG = 26 GPa

φ = °

4.Torsi porosSulit

Poros berongga meneruskan 20 kW pada 1000 rpm. Cari tegangan geser maksimum τ_max pada poros.

P = 20 kWN = 1000 rpmd_o = 60 mmd_i = 30 mm

τ_max = MPa

5.Lingkaran Mohr & transformasi teganganSedang

Suatu titik memiliki σₓ = 30 MPa, σᵧ = −30 MPa, dan τₓᵧ = −30 MPa (tarik positif). Cari sudut θ_s, antara −90° dan 90°, dari sumbu x ke normal bidang tempat tegangan geser mencapai nilai positif maksimumnya +R (geser positif searah dengan τₓᵧ).

σ_x = 30 MPaσ_y = −30 MPaτ_xy = −30 MPa

θ_s = °

6.Lingkaran Mohr & transformasi teganganSulit

Suatu titik pada pelat tipis berada dalam tegangan bidang: σₓ = 110 MPa, σᵧ = 90 MPa, dan τₓᵧ = 40 MPa (σ_z = 0). Bahan memiliki kekuatan luluh 355 MPa. Cari faktor keamanan n terhadap luluh menurut kriteria Tresca (tegangan geser maksimum).

σ_x = 110 MPaσ_y = 90 MPaτ_xy = 40 MPaσ_Y = 355 MPa

n =

7.Tegangan & regangan aksialSedang

Sebuah batang baja (diameter 20 mm, E = 200 GPa) berada di dalam tabung dari kuningan (diameter luar 80 mm, diameter dalam 50 mm, E = 100 GPa). Keduanya panjangnya 800 mm dan ditekan bersama di antara pelat kaku oleh 250 kN. Cari pemendekan δ.

P = 250 kNbatang: Ø20 mm, E = 200 GPatabung: Ø80/Ø50 mm, E = 100 GPaL = 800 mm

δ = mm

8.Tegangan & regangan aksialSulit

Batang bertingkat dijepit di dinding dan dibebani di ujung bebasnya. Cari tegangan normal terbesar σ_max pada batang.

P = 35 kNsegmen 1: Ø30 mm, 1,5 m, tembaga (E = 117 GPa)segmen 2: Ø12 mm, 1,5 m, kuningan (E = 100 GPa)

σ_max = MPa

9.Tekuk kolomSedang

Kolom sepanjang L dari baja dengan tumpuan jepit di bawah dan sendi di atas. Dengan rumus Euler, cari beban tekuk kritisnya P_cr.

L = 1,5 mE = 200 GPa (baja)b × h = 40 × 60 mm

P_cr = kN

10.Tekuk kolomSulit

Kolom sepanjang L dari aluminium dengan tumpuan sendi di kedua ujung. Cari kelangsingannya dan tegangan tekuk kritis σ_cr dari rumus Euler.

L = 4 mE = 70 GPa (aluminium)d = 50 mm

σ_cr = MPa

11.Getaran mekanisSedang

Massa 15 kg pada pegas dengan kekakuan 2 kN/m memiliki peredam viskos yang memberikan rasio redaman 0,7. Cari frekuensi alami teredam f_d getaran bebasnya dalam Hz.

m = 15 kgk = 2 kN/mζ = 0,7

f_d = Hz

12.Getaran mekanisSulit

Massa 5 kg tergantung pada pegas k₃ = 12 kN/m. Ujung atas k₃ terpasang pada batang kaku yang tergantung pada dua pegas berdampingan, k₁ = 60 kN/m dan k₂ = 80 kN/m; batang tetap datar. Abaikan redaman serta massa pegas dan batang. Cari frekuensi alami f_n getaran vertikal dalam Hz.

m = 5 kgk₁ = 60 kN/mk₂ = 80 kN/mk₃ = 12 kN/m

f_n = Hz

3Larutan

1.Roda gigi & rangkaian roda gigi

Jawaban: P = 2,111 kW

Penggerak sabuk: tanpa slip, kedua puli memiliki kecepatan tepi yang sama v = π·d·n/60, sehingga n₁·d₁ = n₂·d₂ dan rasio kecepatan adalah d₂/d₁. Slip s membuat puli yang digerakkan sedikit lebih lambat: n₂ = n₁·(d₁/d₂)·(1 − s). Daya yang ditransmisikan adalah P = (T₁ − T₂)·v, dengan T₁ tegangan sisi tarik dan T₂ sisi kendor. Gesekan membatasi rasio tegangan: T₁/T₂ = e^μθ, dengan θ sudut kontak dalam radian pada puli yang lebih kecil; untuk sabuk terbuka θ = π − 2·asin((d₂ − d₁)/(2C)) dengan jarak sumbu C.

Kecepatan sabuk

v = 7,54 m/s

Daya

P = (400 − 120)·7,54 = 2111 W = 2,111 kW

Jawaban

P = 2,111 kW

2.Roda gigi & rangkaian roda gigi

Jawaban: θ = 164,4 °

Sudut sabuk

asin(0,1354) = 7,783°

Sudut kontak

θ = 180 − 2·7,783 = 164,4°

Jawaban

θ = 164,4°

3.Torsi poros

Jawaban: φ = 3,288 °

Torsi poros bulat: tegangan geser naik linear dari nol di pusat hingga τ_max = T·r/J di permukaan, dengan J = πd⁴/32 untuk poros pejal dan J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 untuk poros berongga. Sudut puntir φ = TL/(GJ) dalam radian. Daya dan torsi berhubungan melalui P = T·ω.

Momen inersia polar

J = π·40⁴/32 = 251327 mm⁴

Sudut puntir

φ = TL/(GJ) = 250·1000·1500/(26000·251327) = 0,05739 rad

φ = 0,05739·180/π = 3,288°

Jawaban

φ = 3,288°

4.Torsi poros

Jawaban: τ_max = 4,803 MPa

Torsi

ω = 2πN/60 = 2π·1000/60 = 104,7 rad/s

T = P/ω = 20000/104,7 = 191 N·m

Momen inersia polar

J = π(60⁴ − 30⁴)/32 = 1,193 × 10⁶ mm⁴

Tegangan geser maksimum

τ_max = T·(d_o/2)/J = 190986·30/1,193 × 10⁶ = 4,803 MPa

Jawaban

τ_max = 4,803 MPa

5.Lingkaran Mohr & transformasi tegangan

Jawaban: θ_s = −67,5 °

Sudut pada lingkaran

Pada lingkaran Mohr titik puncak (+R) berjarak 90° dari titik utama σ₁; pada elemen itu sama dengan 45°.

cos 2θ_s = −30/42,43 = −0,7071, sin 2θ_s = −30/42,43 = −0,7071

2θ_s = atan2(−30, −30) = −135°

Sudut pada elemen

θ_s = −67,5°

periksa: θ_s − θ_p = −67,5 − (−22,5) = −45°

Jawaban

θ_s = −67,5°

Sudut positif berlawanan arah jarum jam.

6.Lingkaran Mohr & transformasi tegangan

Jawaban: n = 2,514

Transformasi tegangan bidang: pada bidang yang diputar sebesar θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Lingkaran Mohr menampilkan semua bidang sekaligus: pusatnya di C = (σₓ + σᵧ)/2 dan jari-jarinya R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Tegangan utama adalah C ± R, dan tegangan geser terbesar dalam bidang adalah R. Kriteria luluh: von Mises memprediksi luluh ketika σ_vM = √(σ₁² − σ₁σ₂ + σ₂²) mencapai σ_Y; Tresca ketika tegangan geser maksimum absolut mencapai σ_Y/2.

Tegangan utama

C = 100 MPa, R = 41,23 MPa

σ₁ = 141,2 MPa, σ₂ = 58,77 MPa, σ₃ = 0

Tresca

σ_max − σ_min = 141,2 MPa

n = 355/141,2 = 2,514

Jawaban

n = 2,514

n > 1 berarti titik tersebut tidak luluh; Tresca sedikit lebih konservatif daripada von Mises.

7.Tegangan & regangan aksial

Jawaban: δ = 0,5418 mm

Dua bahan: pada susunan seri (satu demi satu) setiap segmen menahan gaya yang sama dan perpanjangannya dijumlahkan: δ = P·Σ L/(E·A). Pada susunan paralel (berdampingan di antara pelat kaku) kedua bagian memendek sama besar, sehingga regangannya sama: bagian yang lebih kaku menanggung bagian yang lebih besar, P_i = P·E_iA_i/ΣEA, dan σ_i = E_i·ε. Batang yang ditahan di antara dua dinding kaku dengan beban di sambungan adalah statis tak tentu: kedua segmen membagi beban sebanding dengan kekakuannya k = EA/L.

Luas

A_r = π·20²/4 = 314,2 mm²

A_t = π(80² − 50²)/4 = 3063 mm²

Kekakuan aksial gabungan

ΣEA = 200·10³·314,2 + 100·10³·3063 = 3,691 × 10⁸ N

Pemendekan

δ = 250000·800/3,691 × 10⁸ = 0,5418 mm

Jawaban

δ = 0,5418 mm

8.Tegangan & regangan aksial

Jawaban: σ_max = 309,5 MPa

Batang beban aksial: setiap segmen prismatis mengikuti δ = PL/(AE). Untuk segmen seri, pertambahan panjangnya dijumlahkan.

Gaya sama di kedua segmen

Ujung bebas menahan P, jadi setiap penampang batang menahan gaya aksial P yang sama. Hanya luas dan bahannya yang berubah.

A₁ = π·30²/4 = 706,9 mm², A₂ = π·12²/4 = 113,1 mm²

σ₁ = 49,51 MPa

σ₂ = 309,5 MPa

Tegangan terbesar

Segmen yang lebih tipis luasnya lebih kecil, jadi tegangannya lebih besar.

σ_max = 309,5 MPa

Jawaban

σ_max = 309,5 MPa

9.Tekuk kolom

Jawaban: P_cr = 572,9 kN

Tekuk Euler: kolom langsing menjadi tidak stabil pada P_cr = π²EI/(KL)², dengan KL panjang efektif: K = 1 untuk sendi–sendi, 2 untuk jepit–bebas, 0,7 untuk jepit–sendi, dan 0,5 untuk jepit–jepit. Kolom menekuk terhadap sumbu dengan I terkecil. Rumus berlaku untuk kolom langsing yang tegangan kritisnya tetap di bawah tegangan leleh.

Momen inersia terkecil

Persegi panjang menekuk terhadap sumbu lemahnya, dengan dimensi terkecil dipangkatkan tiga.

I_min = h·b³/12 = 60·40³/12 = 320000 mm⁴

Panjang efektif

KL = 0,7·1500 = 1050 mm

Beban kritis

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·320000/1050² = 572929 N = 572,9 kN

Jawaban

P_cr = 572,9 kN

10.Tekuk kolom

Jawaban: σ_cr = 6,747 MPa

Momen inersia terkecil

Penampang bulat memiliki I yang sama terhadap setiap sumbu.

I = πd⁴/64 = π·50⁴/64 = 306796 mm⁴

Jari-jari girasi dan kelangsingan

A = 1963 mm²

r = √(I/A) = √(306796/1963) = 12,5 mm

KL = 1·4000 = 4000 mm

KL/r = 4000/12,5 = 320

Tegangan kritis

σ_cr = π²E/(KL/r)² = π²·70000/320² = 6,747 MPa

Jawaban

σ_cr = 6,747 MPa

11.Getaran mekanis

Jawaban: f_d = 1,312 Hz

Getaran bebas sistem massa–pegas: frekuensi alami tak teredam adalah ω_n = √(k/m) dalam rad/s, dan f_n = ω_n/(2π) dalam Hz. Peredam viskos c memberikan rasio redaman ζ = c/c_c, dengan redaman kritis c_c = 2·√(k·m) = 2·m·ω_n. Sistem kurang teredam (ζ < 1) berosilasi pada ω_d = ω_n·√(1 − ζ²). Pegas paralel dijumlahkan, k = k₁ + k₂; pegas seri dijumlahkan sebagai kebalikan, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

Frekuensi alami tak teredam

ω_n = √(2000/15) = 11,55 rad/s

f_n = 11,55/(2π) = 1,838 Hz

Frekuensi alami teredam

f_d = f_n·√(1 − ζ²) = 1,838·√(1 − 0,7²) = 1,312 Hz

Jawaban

f_d = 1,312 Hz

12.Getaran mekanis

Jawaban: f_n = 7,483 Hz

Kekakuan ekivalen

Hanya k₁ dan k₂ yang paralel. Pasangan itu seri dengan k₃, jadi gabungkan sebagai kebalikan.

k₁₂ = 60 + 80 = 140 kN/m

k_eq = 140·12/(140 + 12) = 11,05 kN/m

Frekuensi alami

ω_n = √(11053/5) = 47,02 rad/s

f_n = 47,02/(2π) = 7,483 Hz

Jawaban

f_n = 7,483 Hz

ExamProblems · examproblems.com/courses/machine-design