Roda gigi & rangkaian roda gigi
- Roda gigi yang berpasangan
- n1·N1 = n2·N2
- Torsi
- T2 = T1·(N2/N1)·η
- Daya
- P = T·ω, ω = 2π·n/60
- Rangkaian roda gigi majemuk
- rasio total = hasil kali rasio setiap tingkat
Perancangan Elemen Mesin: paket kilat
Lembar rumus, langkah-langkah metode utama untuk setiap topik, dan 12 soal latihan, dengan pembahasan lengkap di bagian belakang.
1Rumus dan metode
Torsi poros
- Tegangan geser
- τ = T·r/J
- Poros pejal
- J = πd⁴/32
- Poros berongga
- J = π(D⁴ − d⁴)/32
- Sudut puntir
- φ = TL/(GJ)
- Daya
- P = T·ω = 2πnT/60
Metode
- Cari momen inersia polar: J = πd⁴/32 untuk poros pejal.
- Tegangan geser di permukaan: τ = T·r/J, dengan r jari-jari luar.
- Sudut puntir: φ = TL/(GJ) dalam radian.
- Jika daya diketahui, cari torsi dulu dengan P = T·ω, ω = 2πn/60.
Lingkaran Mohr & transformasi tegangan
- Pusat
- C = (σx + σy)/2
- Jari-jari
- R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)
- Tegangan utama
- σ1,2 = C ± R
- Arah utama
- tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)
- Bidang miring
- σθ = C + (σx − σy)/2·cos 2θ + τxy·sin 2θ
Metode
- Hitung pusat lingkaran Mohr: C = (σx + σy)/2.
- Hitung jari-jarinya: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
- Tegangan utama adalah C ± R dan tegangan geser bidang terbesar adalah R.
- Sudut pada lingkaran adalah dua kali sudut pada elemen: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).
Tegangan & regangan aksial
- Tegangan normal
- σ = F/A
- Regangan
- ε = ΔL/L
- Hukum Hooke
- σ = E·ε
- Pertambahan panjang
- ΔL = FL/(EA)
- Regangan termal
- εT = α·ΔT
Tekuk kolom
- Beban Euler
- Pcr = π²EI/(KL)²
- Faktor panjang efektif
- K = 1 sendi–sendi, 0,5 jepit–jepit, 0,7 jepit–sendi, 2 jepit–bebas
- Tegangan kritis
- σcr = Pcr/A
- Kelangsingan
- λ = KL/r, r = √(I/A)
Getaran mekanis
- Frekuensi alami
- ωn = √(k/m), fn = ωn/(2π)
- Dari defleksi statis
- ωn = √(g/δst)
- Redaman kritis
- cc = 2√(km) = 2mωn
- Rasio redaman
- ζ = c/cc
- Frekuensi teredam
- ωd = ωn√(1 − ζ²)
- Dekremen logaritmik
- δ = (1/n)·ln(x0/xn), ζ = δ/√(4π² + δ²)
- Pegas paralel
- k = k1 + k2
- Pegas seri
- 1/k = 1/k1 + 1/k2
2Soal latihan
1.Roda gigi & rangkaian roda gigiSedang
Sebuah motor 1,1 kW yang berputar pada 1500 rpm menggerakkan pinion dengan 32 gigi, yang berpasangan dengan roda gigi 40 gigi. Pasangan roda gigi memiliki efisiensi 95%. Cari torsi keluaran T2 pada poros roda gigi.
P = 1,1 kWn1 = 1500 rpmN1 = 32N2 = 40η = 95%
T2 = N·m
2.Roda gigi & rangkaian roda gigiSulit
Dalam rangkaian roda gigi majemuk, roda gigi A (40 gigi) pada poros masukan yang berputar pada 1500 rpm menggerakkan roda gigi B (48 gigi). Roda gigi C (16 gigi) terpasang pada poros yang sama dengan B dan menggerakkan roda gigi D (20 gigi) pada poros keluaran. Cari putaran keluaran nout.
nin = 1500 rpmA = 40B = 48C = 16D = 20
nout = rpm
3.Torsi porosSedang
Dalam uji torsi, spesimen pejal berdiameter 12 mm dipuntir oleh torsi 100 N·m. Kedua ujung panjang ukur 200 mm berputar 7,04° relatif satu sama lain (bahan masih elastis). Cari modulus geser G bahan.
T = 100 N·md = 12 mmL = 200 mmφ = 7,04°
G = GPa
4.Torsi porosSulit
Poros berongga harus meneruskan 20 kW pada 1000 rpm. Diameter dalamnya ditetapkan 0,8 kali diameter luarnya, dan tegangan geser tidak boleh melebihi 80 MPa. Cari diameter luar terkecil do.
P = 20 kWN = 1000 rpmdi/do = 0,8τallow = 80 MPa
do = mm
5.Lingkaran Mohr & transformasi teganganSedang
Sebuah titik pada komponen yang dibebani memiliki σₓ = 0 MPa, σᵧ = −40 MPa, dan τₓᵧ = 60 MPa (tarik positif). Cari tegangan geser maksimum dalam bidang τmax.
σx = 0 MPaσy = −40 MPaτxy = 60 MPa
τmax = MPa
6.Lingkaran Mohr & transformasi teganganSulit
Sebuah titik pada komponen yang dibebani memiliki σₓ = −50 MPa, σᵧ = 10 MPa, dan τₓᵧ = 20 MPa (tarik positif). Cari tegangan normal σθ pada bidang yang normalnya diputar 30° berlawanan arah jarum jam dari sumbu x.
σx = −50 MPaσy = 10 MPaτxy = 20 MPaθ = 30°
σθ = MPa
7.Tegangan & regangan aksialSedang
Cari pertambahan panjang δ batang tembaga akibat beban aksial.
P = 105 kNd = 12 mmL = 0,5 mE = 117 GPa
δ = mm
8.Tegangan & regangan aksialSulit
Batang bertingkat dijepit di dinding dan dibebani di ujung bebasnya. Cari tegangan normal terbesar σmax pada batang.
P = 15 kNsegmen 1: Ø30 mm, 1,5 m, baja (E = 200 GPa)segmen 2: Ø12 mm, 1,5 m, aluminium (E = 70 GPa)
σmax = MPa
9.Tekuk kolomSedang
Kolom sepanjang L dari baja dengan tumpuan jepit di bawah dan sendi di atas. Dengan rumus Euler, cari beban tekuk kritisnya Pcr.
L = 1,5 mE = 200 GPa (baja)b × h = 25 × 100 mm
Pcr = kN
10.Tekuk kolomSulit
Kolom bulat pejal sepanjang L dari baja dengan tumpuan jepit di bawah dan bebas di atas. Kolom harus menahan 80 kN dengan faktor keamanan 3 terhadap tekuk. Cari diameter terkecil d.
P = 80 kNn = 3L = 2 mE = 200 GPa (baja)
d = mm
11.Getaran mekanisSedang
Dalam uji getaran bebas sistem massa–pegas teredam, puncak simpangan 15 mm diikuti satu siklus kemudian oleh puncak 9,1 mm. Cari rasio redaman ζ.
x0 = 15 mmx1 = 9,1 mmn = 1
ζ =
12.Getaran mekanisSulit
Massa 20 kg tergantung pada pegas k₃ = 60 kN/m. Ujung atas k₃ terpasang pada batang kaku yang tergantung pada dua pegas berdampingan, k₁ = 5 kN/m dan k₂ = 5 kN/m; batang tetap datar. Abaikan redaman serta massa pegas dan batang. Cari frekuensi alami fn getaran vertikal dalam Hz.
m = 20 kgk1 = 5 kN/mk2 = 5 kN/mk3 = 60 kN/m
fn = Hz
3Larutan
1.Roda gigi & rangkaian roda gigi
Jawaban: T2 = 8,316 N·m
Rangkaian roda gigi: roda gigi yang berpasangan memiliki kecepatan yang sama di giginya, sehingga n₁·N₁ = n₂·N₂: roda gigi dengan jumlah gigi lebih sedikit berputar lebih cepat. Roda gigi pada satu poros berputar dengan kecepatan yang sama. Daya diteruskan (dikurangi rugi-rugi), sehingga torsi naik ketika putaran turun: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, dan P = T·ω dengan ω = 2π·n/60.
Torsi motor
ω₁ = 2π·1500/60 = 157,1 rad/s
T1 = P/ω₁ = 1100/157,1 = 7,003 N·m
Torsi keluaran
T2 = 7,003·40/32·0,95 = 8,316 N·m
Jawaban
T2 = 8,316 N·m
2.Roda gigi & rangkaian roda gigi
Jawaban: nout = 1000 rpm
Rangkaian roda gigi: roda gigi yang berpasangan memiliki kecepatan yang sama di giginya, sehingga n₁·N₁ = n₂·N₂: roda gigi dengan jumlah gigi lebih sedikit berputar lebih cepat. Roda gigi pada satu poros berputar dengan kecepatan yang sama. Daya diteruskan (dikurangi rugi-rugi), sehingga torsi naik ketika putaran turun: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, dan P = T·ω dengan ω = 2π·n/60.
Tingkat pertama
nB = 1500·40/48 = 1250 rpm = nC
Tingkat kedua
nout = 1250·16/20 = 1000 rpm
Jawaban
nout = 1000 rpm
rasio total = 1,5 : 1
3.Torsi poros
Jawaban: G = 79,96 GPa
Torsi poros bulat: tegangan geser naik linear dari nol di pusat hingga τmax = T·r/J di permukaan, dengan J = πd⁴/32 untuk poros pejal dan J = π(do⁴ − di⁴)/32 untuk poros berongga. Sudut puntir φ = TL/(GJ) dalam radian. Daya dan torsi berhubungan melalui P = T·ω.
Momen inersia polar dan sudut
J = π·12⁴/32 = 2036 mm⁴
φ = 7,04·π/180 = 0,1229 rad
Modulus geser
T = 100 N·m = 100000 N·mm
G = TL/(Jφ) = 100000·200/(2036·0,1229) = 79957 MPa
G = 79,96 GPa
Jawaban
G = 79,96 GPa
Bandingkan: baja ≈ 80 GPa, kuningan ≈ 39 GPa, aluminium ≈ 26 GPa.
4.Torsi poros
Jawaban: do = 27,41 mm
Torsi poros bulat: tegangan geser naik linear dari nol di pusat hingga τmax = T·r/J di permukaan, dengan J = πd⁴/32 untuk poros pejal dan J = π(do⁴ − di⁴)/32 untuk poros berongga. Sudut puntir φ = TL/(GJ) dalam radian. Daya dan torsi berhubungan melalui P = T·ω.
Torsi
ω = 2πN/60 = 2π·1000/60 = 104,7 rad/s
T = P/ω = 20000/104,7 = 191 N·m
Diameter luar dari tegangan izin
T = 191 N·m = 190986 N·mm
1 − k⁴ = 1 − 0,8⁴ = 0,5904
do = ∛(16T/(π·τallow·(1 − k⁴))) = ∛(16·190986/(π·80·0,5904)) = 27,41 mm
di = 0,8·27,41 = 21,93 mm
Jawaban
do = 27,41 mm
Poros pejal memerlukan d = 22,99 mm; poros berongga sedikit lebih besar tetapi jauh lebih ringan.
5.Lingkaran Mohr & transformasi tegangan
Jawaban: τmax = 63,25 MPa
Transformasi tegangan bidang: pada bidang yang diputar sebesar θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Lingkaran Mohr menampilkan semua bidang sekaligus: pusatnya di C = (σₓ + σᵧ)/2 dan jari-jarinya R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Tegangan utama adalah C ± R, dan tegangan geser terbesar dalam bidang adalah R.
Jari-jari lingkaran Mohr
τmax = R = √(((0 − −40)/2)² + 60²) = 63,25 MPa
Jawaban
τmax = 63,25 MPa
6.Lingkaran Mohr & transformasi tegangan
Jawaban: σθ = −17,68 MPa
Transformasi tegangan bidang: pada bidang yang diputar sebesar θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Lingkaran Mohr menampilkan semua bidang sekaligus: pusatnya di C = (σₓ + σᵧ)/2 dan jari-jarinya R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Tegangan utama adalah C ± R, dan tegangan geser terbesar dalam bidang adalah R.
Persamaan transformasi
σθ = −20 + −30·0,5 + 20·0,866 = −17,68 MPa
Jawaban
σθ = −17,68 MPa
7.Tegangan & regangan aksial
Jawaban: δ = 3,968 mm
Hukum Hooke: dalam daerah elastis σ = E·ε. Digabung dengan σ = P/A dan ε = δ/L menghasilkan δ = PL/(AE).
Tegangan
A = π·12²/4 = 113,1 mm²
σ = P/A = 105·1000/113,1 = 928,4 MPa
Regangan (hukum Hooke)
E for tembaga = 117 GPa = 117000 MPa.
ε = σ/E = 928,4/117000 = 0,007935 = 7935 µε
Pertambahan panjang
δ = ε·L = 0,007935·500 mm = 3,968 mm
Jawaban
δ = 3,968 mm
8.Tegangan & regangan aksial
Jawaban: σmax = 132,6 MPa
Batang beban aksial: setiap segmen prismatis mengikuti δ = PL/(AE). Untuk segmen seri, pertambahan panjangnya dijumlahkan.
Gaya sama di kedua segmen
Ujung bebas menahan P, jadi setiap penampang batang menahan gaya aksial P yang sama. Hanya luas dan bahannya yang berubah.
A1 = π·30²/4 = 706,9 mm², A2 = π·12²/4 = 113,1 mm²
σ1 = 21,22 MPa
σ2 = 132,6 MPa
Tegangan terbesar
Segmen yang lebih tipis luasnya lebih kecil, jadi tegangannya lebih besar.
σmax = 132,6 MPa
Jawaban
σmax = 132,6 MPa
9.Tekuk kolom
Jawaban: Pcr = 233,1 kN
Tekuk Euler: kolom langsing menjadi tidak stabil pada Pcr = π²EI/(KL)², dengan KL panjang efektif: K = 1 untuk sendi–sendi, 2 untuk jepit–bebas, 0,7 untuk jepit–sendi, dan 0,5 untuk jepit–jepit. Kolom menekuk terhadap sumbu dengan I terkecil. Rumus berlaku untuk kolom langsing yang tegangan kritisnya tetap di bawah tegangan leleh.
Momen inersia terkecil
Persegi panjang menekuk terhadap sumbu lemahnya, dengan dimensi terkecil dipangkatkan tiga.
Imin = h·b³/12 = 100·25³/12 = 130208 mm⁴
Panjang efektif
KL = 0,7·1500 = 1050 mm
Beban kritis
Pcr = π²EI/(KL)² = π²·200000·130208/1050² = 233126 N = 233,1 kN
Jawaban
Pcr = 233,1 kN
10.Tekuk kolom
Jawaban: d = 79,34 mm
Tekuk Euler: kolom langsing menjadi tidak stabil pada Pcr = π²EI/(KL)², dengan KL panjang efektif: K = 1 untuk sendi–sendi, 2 untuk jepit–bebas, 0,7 untuk jepit–sendi, dan 0,5 untuk jepit–jepit. Kolom menekuk terhadap sumbu dengan I terkecil. Rumus berlaku untuk kolom langsing yang tegangan kritisnya tetap di bawah tegangan leleh.
Beban kritis yang diperlukan
Pcr = n·P = 3·80000 = 240000 N
KL = 2·2000 = 4000 mm
Selesaikan untuk diameter
d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·240000·4000²/(π³·200000))^(1/4) = 79,34 mm
Jawaban
d = 79,34 mm
Periksa: kelangsingan KL/r adalah 201,7, jadi kolom langsing dan rumus Euler berlaku.
11.Getaran mekanis
Jawaban: ζ = 0,07929
Getaran bebas sistem massa–pegas: frekuensi alami tak teredam adalah ωn = √(k/m) dalam rad/s, dan fn = ωn/(2π) dalam Hz. Peredam viskos c memberikan rasio redaman ζ = c/cc, dengan redaman kritis cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn. Sistem kurang teredam (ζ < 1) berosilasi pada ωd = ωn·√(1 − ζ²). Pegas paralel dijumlahkan, k = k₁ + k₂; pegas seri dijumlahkan sebagai kebalikan, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.
Dekremen logaritmik
δ = (1/1)·ln(15/9,1) = 0,4998
Rasio redaman
ζ = δ/√(4π² + δ²) = 0,4998/√(39,48 + 0,2498) = 0,07929
Jawaban
ζ = 0,07929
12.Getaran mekanis
Jawaban: fn = 3,295 Hz
Getaran bebas sistem massa–pegas: frekuensi alami tak teredam adalah ωn = √(k/m) dalam rad/s, dan fn = ωn/(2π) dalam Hz. Peredam viskos c memberikan rasio redaman ζ = c/cc, dengan redaman kritis cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn. Sistem kurang teredam (ζ < 1) berosilasi pada ωd = ωn·√(1 − ζ²). Pegas paralel dijumlahkan, k = k₁ + k₂; pegas seri dijumlahkan sebagai kebalikan, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.
Kekakuan ekivalen
Hanya k1 dan k2 yang paralel. Pasangan itu seri dengan k3, jadi gabungkan sebagai kebalikan.
k12 = 5 + 5 = 10 kN/m
keq = 10·60/(10 + 60) = 8,571 kN/m
Frekuensi alami
ωn = √(8571/20) = 20,7 rad/s
fn = 20,7/(2π) = 3,295 Hz
Jawaban
fn = 3,295 Hz
ExamProblems · examproblems.com/courses/machine-design