Perancangan Elemen Mesin: paket kilat

Lembar rumus, langkah-langkah metode utama untuk setiap topik, dan 12 soal latihan, dengan pembahasan lengkap di bagian belakang.

Soal baruKembali ke mata kuliah

Di jendela cetak, pilih “Simpan sebagai PDF” untuk menyimpan salinan di perangkat Anda.

1Rumus dan metode

Roda gigi & rangkaian roda gigi

Roda gigi yang berpasangan
n1·N1 = n2·N2
Torsi
T2 = T1·(N2/N1)·η
Daya
P = T·ω, ω = 2π·n/60
Rangkaian roda gigi majemuk
rasio total = hasil kali rasio setiap tingkat

Torsi poros

Tegangan geser
τ = T·r/J
Poros pejal
J = πd⁴/32
Poros berongga
J = π(D⁴ − d⁴)/32
Sudut puntir
φ = TL/(GJ)
Daya
P = T·ω = 2πnT/60

Metode

  1. Cari momen inersia polar: J = πd⁴/32 untuk poros pejal.
  2. Tegangan geser di permukaan: τ = T·r/J, dengan r jari-jari luar.
  3. Sudut puntir: φ = TL/(GJ) dalam radian.
  4. Jika daya diketahui, cari torsi dulu dengan P = T·ω, ω = 2πn/60.

Lingkaran Mohr & transformasi tegangan

Pusat
C = (σx + σy)/2
Jari-jari
R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)
Tegangan utama
σ1,2 = C ± R
Arah utama
tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)
Bidang miring
σθ = C + (σx − σy)/2·cos 2θ + τxy·sin 2θ

Metode

  1. Hitung pusat lingkaran Mohr: C = (σx + σy)/2.
  2. Hitung jari-jarinya: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
  3. Tegangan utama adalah C ± R dan tegangan geser bidang terbesar adalah R.
  4. Sudut pada lingkaran adalah dua kali sudut pada elemen: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Tegangan & regangan aksial

Tegangan normal
σ = F/A
Regangan
ε = ΔL/L
Hukum Hooke
σ = E·ε
Pertambahan panjang
ΔL = FL/(EA)
Regangan termal
εT = α·ΔT

Tekuk kolom

Beban Euler
Pcr = π²EI/(KL)²
Faktor panjang efektif
K = 1 sendi–sendi, 0,5 jepit–jepit, 0,7 jepit–sendi, 2 jepit–bebas
Tegangan kritis
σcr = Pcr/A
Kelangsingan
λ = KL/r, r = √(I/A)

Getaran mekanis

Frekuensi alami
ωn = √(k/m), fn = ωn/(2π)
Dari defleksi statis
ωn = √(g/δst)
Redaman kritis
cc = 2√(km) = 2mωn
Rasio redaman
ζ = c/cc
Frekuensi teredam
ωd = ωn√(1 − ζ²)
Dekremen logaritmik
δ = (1/n)·ln(x0/xn), ζ = δ/√(4π² + δ²)
Pegas paralel
k = k1 + k2
Pegas seri
1/k = 1/k1 + 1/k2

2Soal latihan

1.Roda gigi & rangkaian roda gigiSedang
d1​ = 150 mmd2​ = 500 mm2880 rpmT1​ = 400 NT2​ = 200 NP = ?

Sebuah sabuk berjalan pada puli penggerak 150 mm pada 2880 rpm. Tegangannya 400 N pada sisi tarik dan 200 N pada sisi kendor. Cari daya P yang ditransmisikan, dalam kW.

d1 = 150 mmn1 = 2880 rpmT1 = 400 NT2 = 200 N
P = kW
2.Roda gigi & rangkaian roda gigiSulit
d1​ = 120 mmd2​ = 250 mm2880 rpmC = 600 mmT1​ = 600 NT2​P = ?

Sebuah sabuk terbuka menghubungkan puli penggerak 120 mm pada 2880 rpm ke puli 250 mm; jarak sumbunya 600 mm. Koefisien gesekan adalah 0,25 dan tegangan sisi tarik tidak boleh melebihi 600 N. Cari daya terbesar P yang dapat ditransmisikan sabuk tanpa slip, dalam kW (abaikan efek sentrifugal).

d1 = 120 mmn1 = 2880 rpmd2 = 250 mmC = 600 mmμ = 0,25T1 = 600 N
P = kW
3.Torsi porosSedang
T = 250 N·md = 25 mmL = 1,5 mφ = ?

Poros pejal aluminium dijepit di dinding dan dipuntir oleh torsi T di ujung bebasnya. Cari sudut puntir φ ujung bebas, dalam derajat.

T = 250 N·md = 25 mmL = 1,5 mG = 26 GPa
φ = °
4.Torsi porosSulit
d = 25 mmTB​ = 100 N·mTC​ = 200 N·mABC3 m3 m

Poros baja pejal berdiameter 25 mm dijepit di A. Torsi 100 N·m bekerja di B, 3 m dari A, dan torsi 200 N·m dengan arah berlawanan bekerja di ujung bebas C, 3 m lebih jauh. Cari tegangan geser maksimum τmax pada poros.

d = 25 mmTB = 100 N·mTC = 200 N·mAB = 3 mBC = 3 m
τmax = MPa
5.Lingkaran Mohr & transformasi teganganSedang
σx​ = 20σy​ = 100τxy​ = −40MPa

Sebuah titik pada komponen yang dibebani memiliki σₓ = 20 MPa, σᵧ = 100 MPa, dan τₓᵧ = −40 MPa (tarik positif). Cari tegangan geser maksimum dalam bidang τmax.

σx = 20 MPaσy = 100 MPaτxy = −40 MPa
τmax = MPa
6.Lingkaran Mohr & transformasi teganganSulit
σx​τxy​permukaan poros

Poros pejal berdiameter 50 mm menahan gaya tekan aksial sebesar 110 kN bersama torsi 1500 N·m. Di permukaan poros, cari tegangan geser sebidang maksimum τmax.

d = 50 mmF = −110 kNT = 1500 N·m
τmax = MPa
7.Tegangan & regangan aksialSedang
P = ?12300 mm400 mmØ25Ø50δ = 0,4 mm

Sebuah batang terdiri dari segmen baja (diameter 25 mm, panjang 300 mm, E = 200 GPa) yang disambung ujung ke ujung dengan segmen dari aluminium (diameter 50 mm, panjang 400 mm, E = 70 GPa). Salah satu ujungnya dijepit dan ujung lainnya ditarik. Cari beban aksial P yang memanjangkannya sebesar 0,4 mm secara total.

segmen 1: baja, Ø25 mm, 300 mm, E = 200 GPasegmen 2: aluminium, Ø50 mm, 400 mm, E = 70 GPaδ = 0,4 mm
P = kN
8.Tegangan & regangan aksialSulit
20 kN12300 mm300 mmØ20Ø50σ2​ = ?

Sebuah segmen baja (diameter 20 mm, panjang 300 mm, E = 200 GPa) dan segmen dari perunggu (diameter 50 mm, panjang 300 mm, E = 110 GPa) disambung ujung ke ujung dan dijepit di antara dua dinding kaku. Beban aksial 20 kN bekerja di sambungan, menuju segmen 2. Cari besar tegangan σ2 pada segmen 2.

segmen 1: baja, Ø20 mm, 300 mm, E = 200 GPasegmen 2: perunggu, Ø50 mm, 300 mm, E = 110 GPaP = 20 kN
σ2 = MPa
9.Tekuk kolomSedang
PL = 4 md = 80 mmpenampang

Kolom sepanjang L dari baja dengan tumpuan jepit di bawah dan sendi di atas. Dengan rumus Euler, cari beban tekuk kritisnya Pcr.

L = 4 mE = 200 GPa (baja)d = 80 mm
Pcr = kN
10.Tekuk kolomSulit
P = 115 kNL = 5 md = ?penampang

Kolom bulat pejal sepanjang L dari baja dengan tumpuan jepit di kedua ujung. Kolom harus menahan 115 kN dengan faktor keamanan 2,5 terhadap tekuk. Cari diameter terkecil d.

P = 115 kNn = 2,5L = 5 mE = 200 GPa (baja)
d = mm
11.Getaran mekanisSedang
k = 200 kN/mc = 1200 N·s/mm = 80 kg

Massa 80 kg ditopang oleh pegas dengan kekakuan 200 kN/m dan peredam viskos dengan koefisien redaman 1200 N·s/m. Cari rasio redaman ζ.

m = 80 kgk = 200 kN/mc = 1200 N·s/m
ζ =
12.Getaran mekanisSulit
k1​ = 60k2​ = 30m = 40 kg

Massa 40 kg tergantung pada dua pegas yang disambung ujung ke ujung (seri): pegas atas memiliki k₁ = 60 kN/m dan pegas bawah k₂ = 30 kN/m. Cari kekakuan ekivalen keq sistem pegas dalam kN/m.

m = 40 kgk1 = 60 kN/mk2 = 30 kN/m
keq = kN/m

3Larutan

1.Roda gigi & rangkaian roda gigi

Jawaban: P = 4,524 kW

Penggerak sabuk: tanpa slip, kedua puli memiliki kecepatan tepi yang sama v = π·d·n/60, sehingga n₁·d₁ = n₂·d₂ dan rasio kecepatan adalah d₂/d₁. Slip s membuat puli yang digerakkan sedikit lebih lambat: n₂ = n₁·(d₁/d₂)·(1 − s). Daya yang ditransmisikan adalah P = (T₁ − T₂)·v, dengan T₁ tegangan sisi tarik dan T₂ sisi kendor. Gesekan membatasi rasio tegangan: T₁/T₂ = eμθ, dengan θ sudut kontak dalam radian pada puli yang lebih kecil; untuk sabuk terbuka θ = π − 2·asin((d₂ − d₁)/(2C)) dengan jarak sumbu C.

Kecepatan sabuk

v = 22,62 m/s

Daya

P = (400 − 200)·22,62 = 4524 W = 4,524 kW

Jawaban

P = 4,524 kW
2.Roda gigi & rangkaian roda gigi

Jawaban: P = 5,631 kW

Penggerak sabuk: tanpa slip, kedua puli memiliki kecepatan tepi yang sama v = π·d·n/60, sehingga n₁·d₁ = n₂·d₂ dan rasio kecepatan adalah d₂/d₁. Slip s membuat puli yang digerakkan sedikit lebih lambat: n₂ = n₁·(d₁/d₂)·(1 − s). Daya yang ditransmisikan adalah P = (T₁ − T₂)·v, dengan T₁ tegangan sisi tarik dan T₂ sisi kendor. Gesekan membatasi rasio tegangan: T₁/T₂ = eμθ, dengan θ sudut kontak dalam radian pada puli yang lebih kecil; untuk sabuk terbuka θ = π − 2·asin((d₂ − d₁)/(2C)) dengan jarak sumbu C.

Sudut kontak

θ = 2,924 rad

Tegangan sisi kendor

eμθ = e0,7311 = 2,077, T₂ = 600/2,077 = 288,8 N

Daya

P = (600 − 288,8)·18,1 = 5,631 kW

Jawaban

P = 5,631 kW
3.Torsi poros

Jawaban: φ = 21,55 °

Torsi poros bulat: tegangan geser naik linear dari nol di pusat hingga τmax = T·r/J di permukaan, dengan J = πd⁴/32 untuk poros pejal dan J = π(do⁴ − di⁴)/32 untuk poros berongga. Sudut puntir φ = TL/(GJ) dalam radian. Daya dan torsi berhubungan melalui P = T·ω.

Momen inersia polar

J = π·25⁴/32 = 38350 mm⁴

Sudut puntir

φ = TL/(GJ) = 250·1000·1500/(26000·38350) = 0,3761 rad
φ = 0,3761·180/π = 21,55°

Jawaban

φ = 21,55°
4.Torsi poros

Jawaban: τmax = 65,19 MPa

Torsi poros bulat: tegangan geser naik linear dari nol di pusat hingga τmax = T·r/J di permukaan, dengan J = πd⁴/32 untuk poros pejal dan J = π(do⁴ − di⁴)/32 untuk poros berongga. Sudut puntir φ = TL/(GJ) dalam radian. Daya dan torsi berhubungan melalui P = T·ω.

Torsi dalam

Arah TC diambil sebagai positif.

TBC = TC = 200 N·m
TAB = TC − TB = 200 − 100 = 100 N·m

Tegangan geser maksimum

Segmen dengan torsi dalam terbesar memiliki tegangan terbesar (diameter sama).

|T|max = 200 N·m
τmax = 16·200000/(π·25³) = 65,19 MPa

Jawaban

τmax = 65,19 MPa
5.Lingkaran Mohr & transformasi tegangan

Jawaban: τmax = 56,57 MPa

Transformasi tegangan bidang: pada bidang yang diputar sebesar θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Lingkaran Mohr menampilkan semua bidang sekaligus: pusatnya di C = (σₓ + σᵧ)/2 dan jari-jarinya R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Tegangan utama adalah C ± R, dan tegangan geser terbesar dalam bidang adalah R.

στxyCτmax​

Jari-jari lingkaran Mohr

τmax = R = √(((20 − 100)/2)² + −40²) = 56,57 MPa

Jawaban

τmax = 56,57 MPa
6.Lingkaran Mohr & transformasi tegangan

Jawaban: τmax = 67,23 MPa

Transformasi tegangan bidang: pada bidang yang diputar sebesar θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Lingkaran Mohr menampilkan semua bidang sekaligus: pusatnya di C = (σₓ + σᵧ)/2 dan jari-jarinya R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Tegangan utama adalah C ± R, dan tegangan geser terbesar dalam bidang adalah R.

Tegangan di permukaan

σ = F/A = −110000/(π·50²/4) = −110000/1963 = −56,02 MPa
τ = 16T/(πd³) = 16·1500000/(π·50³) = 61,12 MPa
στxyCτmax​

Lingkaran Mohr

C = σ/2 = −28,01 MPa
R = √((−28,01)² + 61,12²) = 67,23 MPa

Jawaban

τmax = 67,23 MPa
7.Tegangan & regangan aksial

Jawaban: P = 67,05 kN

Dua bahan: pada susunan seri (satu demi satu) setiap segmen menahan gaya yang sama dan perpanjangannya dijumlahkan: δ = P·Σ L/(E·A). Pada susunan paralel (berdampingan di antara pelat kaku) kedua bagian memendek sama besar, sehingga regangannya sama: bagian yang lebih kaku menanggung bagian yang lebih besar, Pi = P·EiAi/ΣEA, dan σi = Ei·ε. Batang yang ditahan di antara dua dinding kaku dengan beban di sambungan adalah statis tak tentu: kedua segmen membagi beban sebanding dengan kekakuannya k = EA/L.

Luas

A₁ = 490,9 mm², A₂ = 1963 mm²

Kelenturan

L₁/(E₁A₁) = 300/(200000·490,9) = 3,056 × 10⁻⁶ mm/N
L₂/(E₂A₂) = 400/(70000·1963) = 2,91 × 10⁻⁶ mm/N

Beban

P = 0,4/5,966 × 10⁻⁶ = 67046 N = 67,05 kN

Jawaban

P = 67,05 kN
8.Tegangan & regangan aksial

Jawaban: σ2 = 7,89 MPa

Dua bahan: pada susunan seri (satu demi satu) setiap segmen menahan gaya yang sama dan perpanjangannya dijumlahkan: δ = P·Σ L/(E·A). Pada susunan paralel (berdampingan di antara pelat kaku) kedua bagian memendek sama besar, sehingga regangannya sama: bagian yang lebih kaku menanggung bagian yang lebih besar, Pi = P·EiAi/ΣEA, dan σi = Ei·ε. Batang yang ditahan di antara dua dinding kaku dengan beban di sambungan adalah statis tak tentu: kedua segmen membagi beban sebanding dengan kekakuannya k = EA/L.

Kekakuan

k₁ = 200000·314,2/300 = 209440 N/mm
k₂ = 110000·1963/300 = 719948 N/mm

Bagian segmen 2

F2 = 20000·719948/929388 = 15493 N

Tegangan

σ2 = 15493/1963 = 7,89 MPa (tekan)

Jawaban

σ2 = 7,89 MPa
9.Tekuk kolom

Jawaban: Pcr = 506,2 kN

Tekuk Euler: kolom langsing menjadi tidak stabil pada Pcr = π²EI/(KL)², dengan KL panjang efektif: K = 1 untuk sendi–sendi, 2 untuk jepit–bebas, 0,7 untuk jepit–sendi, dan 0,5 untuk jepit–jepit. Kolom menekuk terhadap sumbu dengan I terkecil. Rumus berlaku untuk kolom langsing yang tegangan kritisnya tetap di bawah tegangan leleh.

Momen inersia terkecil

Penampang bulat memiliki I yang sama terhadap setiap sumbu.

I = πd⁴/64 = π·80⁴/64 = 2,011 × 10⁶ mm⁴

Panjang efektif

KL = 0,7·4000 = 2800 mm

Beban kritis

Pcr = π²EI/(KL)² = π²·200000·2,011 × 10⁶/2800² = 506225 N = 506,2 kN

Jawaban

Pcr = 506,2 kN
10.Tekuk kolom

Jawaban: d = 65,62 mm

Tekuk Euler: kolom langsing menjadi tidak stabil pada Pcr = π²EI/(KL)², dengan KL panjang efektif: K = 1 untuk sendi–sendi, 2 untuk jepit–bebas, 0,7 untuk jepit–sendi, dan 0,5 untuk jepit–jepit. Kolom menekuk terhadap sumbu dengan I terkecil. Rumus berlaku untuk kolom langsing yang tegangan kritisnya tetap di bawah tegangan leleh.

Beban kritis yang diperlukan

Pcr = n·P = 2,5·115000 = 287500 N
KL = 0,5·5000 = 2500 mm

Selesaikan untuk diameter

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·287500·2500²/(π³·200000))^(1/4) = 65,62 mm

Jawaban

d = 65,62 mm

Periksa: kelangsingan KL/r adalah 152,4, jadi kolom langsing dan rumus Euler berlaku.

11.Getaran mekanis

Jawaban: ζ = 0,15

Getaran bebas sistem massa–pegas: frekuensi alami tak teredam adalah ωn = √(k/m) dalam rad/s, dan fn = ωn/(2π) dalam Hz. Peredam viskos c memberikan rasio redaman ζ = c/cc, dengan redaman kritis cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn. Sistem kurang teredam (ζ < 1) berosilasi pada ωd = ωn·√(1 − ζ²). Pegas paralel dijumlahkan, k = k₁ + k₂; pegas seri dijumlahkan sebagai kebalikan, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

Redaman kritis

cc = 2·√(k·m) = 2·√(200000·80) = 8000 N·s/m

Rasio redaman

ζ = c/cc = 1200/8000 = 0,15

Jawaban

ζ = 0,15

ζ < 1, sehingga sistem kurang teredam dan berosilasi sambil meluruh.

12.Getaran mekanis

Jawaban: keq = 20 kN/m

Getaran bebas sistem massa–pegas: frekuensi alami tak teredam adalah ωn = √(k/m) dalam rad/s, dan fn = ωn/(2π) dalam Hz. Peredam viskos c memberikan rasio redaman ζ = c/cc, dengan redaman kritis cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn. Sistem kurang teredam (ζ < 1) berosilasi pada ωd = ωn·√(1 − ζ²). Pegas paralel dijumlahkan, k = k₁ + k₂; pegas seri dijumlahkan sebagai kebalikan, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

Kekakuan ekivalen

Pegas seri menerima gaya yang sama dan defleksinya dijumlahkan, sehingga digabung sebagai kebalikan: 1/k = 1/k1 + 1/k2.

1/keq = 1/60 + 1/30 → keq = 60·30/(60 + 30) = 20 kN/m

Jawaban

keq = 20 kN/m

ExamProblems · examproblems.com/courses/machine-design