Perancangan Elemen Mesin: paket kilat

Lembar rumus, langkah-langkah metode utama untuk setiap topik, dan 12 soal latihan, dengan pembahasan lengkap di bagian belakang.

Soal baru Kembali ke mata kuliah

Di jendela cetak, pilih “Simpan sebagai PDF” untuk menyimpan salinan di perangkat Anda.

1Rumus dan metode

Roda gigi & rangkaian roda gigi

Roda gigi yang berpasangan: n₁·N₁ = n₂·N₂
Torsi: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η
Daya: P = T·ω, ω = 2π·n/60
Rangkaian roda gigi majemuk: rasio total = hasil kali rasio setiap tingkat

Torsi poros

Tegangan geser: τ = T·r/J
Poros pejal: J = πd⁴/32
Poros berongga: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Sudut puntir: φ = TL/(GJ)
Daya: P = T·ω = 2πnT/60

Metode

Cari momen inersia polar: J = πd⁴/32 untuk poros pejal.
Tegangan geser di permukaan: τ = T·r/J, dengan r jari-jari luar.
Sudut puntir: φ = TL/(GJ) dalam radian.
Jika daya diketahui, cari torsi dulu dengan P = T·ω, ω = 2πn/60.

Lingkaran Mohr & transformasi tegangan

Pusat: C = (σ_x + σ_y)/2
Jari-jari: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Tegangan utama: σ_1,2 = C ± R
Arah utama: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Bidang miring: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Metode

Hitung pusat lingkaran Mohr: C = (σx + σy)/2.
Hitung jari-jarinya: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Tegangan utama adalah C ± R dan tegangan geser bidang terbesar adalah R.
Sudut pada lingkaran adalah dua kali sudut pada elemen: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Tegangan & regangan aksial

Tegangan normal: σ = F/A
Regangan: ε = ΔL/L
Hukum Hooke: σ = E·ε
Pertambahan panjang: ΔL = FL/(EA)
Regangan termal: ε_T = α·ΔT

Tekuk kolom

Beban Euler: P_cr = π²EI/(KL)²
Faktor panjang efektif: K = 1 sendi–sendi, 0,5 jepit–jepit, 0,7 jepit–sendi, 2 jepit–bebas
Tegangan kritis: σ_cr = P_cr/A
Kelangsingan: λ = KL/r, r = √(I/A)

Getaran mekanis

Frekuensi alami: ω_n = √(k/m), f_n = ω_n/(2π)
Dari defleksi statis: ω_n = √(g/δ_st)
Redaman kritis: c_c = 2√(km) = 2mω_n
Rasio redaman: ζ = c/c_c
Frekuensi teredam: ω_d = ω_n√(1 − ζ²)
Dekremen logaritmik: δ = (1/n)·ln(x₀/x_n), ζ = δ/√(4π² + δ²)
Pegas paralel: k = k₁ + k₂
Pegas seri: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

2Soal latihan

1.Roda gigi & rangkaian roda gigiSedang

Cacing dengan 3 ulir berputar pada 1440 rpm dan menggerakkan roda cacing dengan 60 gigi. Cari kecepatan n_w roda cacing.

z = 3N_w = 60n = 1440 rpm

n_w = rpm

2.Roda gigi & rangkaian roda gigiSulit

Dalam rangkaian roda gigi majemuk, roda gigi A (24 gigi) pada poros masukan yang berputar pada 960 rpm menggerakkan roda gigi B (25 gigi). Roda gigi C (30 gigi) terpasang pada poros yang sama dengan B dan menggerakkan roda gigi D (40 gigi) pada poros keluaran. Cari putaran keluaran n_out.

n_in = 960 rpmA = 24B = 25C = 30D = 40

n_out = rpm

3.Torsi porosSedang

Poros pejal aluminium dijepit di dinding dan dipuntir oleh torsi T di ujung bebasnya. Cari sudut puntir φ ujung bebas, dalam derajat.

T = 200 N·md = 50 mmL = 3 mG = 26 GPa

φ = °

4.Torsi porosSulit

Poros pejal harus meneruskan 50 kW pada 1800 rpm tanpa tegangan geser melebihi 60 MPa. Cari diameter terkecil d yang memenuhi.

P = 50 kWN = 1800 rpmτ_allow = 60 MPa

d = mm

5.Lingkaran Mohr & transformasi teganganSedang

Suatu titik memiliki σₓ = 80 MPa, σᵧ = 70 MPa, dan τₓᵧ = 20 MPa (tarik positif). Cari sudut θ_s, antara −90° dan 90°, dari sumbu x ke normal bidang tempat tegangan geser mencapai nilai positif maksimumnya +R (geser positif searah dengan τₓᵧ).

σ_x = 80 MPaσ_y = 70 MPaτ_xy = 20 MPa

θ_s = °

6.Lingkaran Mohr & transformasi teganganSulit

Poros pejal berdiameter 40 mm menahan momen lentur sebesar 750 N·m bersama torsi 1000 N·m. Di permukaan atas, tempat tegangan lentur bersifat tarik dan paling besar, cari tegangan utama terbesar σ₁.

d = 40 mmM = 750 N·mT = 1000 N·m

σ₁ = MPa

7.Tegangan & regangan aksialSedang

Cari regangan aksial ε pada batang baja, dalam mikroregangan (µε = 10⁻⁶).

P = 30 kNd = 30 mmL = 2 mE = 200 GPa

ε = µε

8.Tegangan & regangan aksialSulit

Sebuah segmen baja (diameter 20 mm, panjang 400 mm, E = 200 GPa) dan segmen dari kuningan (diameter 60 mm, panjang 300 mm, E = 100 GPa) disambung ujung ke ujung dan dijepit di antara dua dinding kaku. Beban aksial 100 kN bekerja di sambungan, menuju segmen 2. Cari besar tegangan σ₂ pada segmen 2.

segmen 1: baja, Ø20 mm, 400 mm, E = 200 GPasegmen 2: kuningan, Ø60 mm, 300 mm, E = 100 GPaP = 100 kN

σ₂ = MPa

9.Tekuk kolomSedang

Kolom sepanjang L dari aluminium dengan tumpuan sendi di kedua ujung. Dengan rumus Euler, cari beban tekuk kritisnya P_cr.

L = 1 mE = 70 GPa (aluminium)d = 20 mm

P_cr = kN

10.Tekuk kolomSulit

Kolom sepanjang L dari aluminium dengan tumpuan sendi di kedua ujung. Cari kelangsingannya dan tegangan tekuk kritis σ_cr dari rumus Euler.

L = 3 mE = 70 GPa (aluminium)d = 30 mm

σ_cr = MPa

11.Getaran mekanisSedang

Massa 100 kg pada pegas dengan kekakuan 10 kN/m memiliki peredam viskos yang memberikan rasio redaman 0,5. Cari frekuensi alami teredam f_d getaran bebasnya dalam Hz.

m = 100 kgk = 10 kN/mζ = 0,5

f_d = Hz

12.Getaran mekanisSulit

Massa 100 kg tergantung pada dua pegas berdampingan (paralel), dengan kekakuan k₁ = 80 kN/m dan k₂ = 5 kN/m. Massa tetap datar. Cari kekakuan ekivalen k_eq sistem pegas dalam kN/m.

m = 100 kgk₁ = 80 kN/mk₂ = 5 kN/m

k_eq = kN/m

3Larutan

1.Roda gigi & rangkaian roda gigi

Jawaban: n_w = 72 rpm

Gear trains: meshing gears have the same speed at the teeth, so n₁·N₁ = n₂·N₂: the gear with fewer teeth turns faster. Gears on one shaft turn at the same speed. Power is passed on (minus losses), so torque goes up when speed goes down: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, and P = T·ω with ω = 2π·n/60.

Kecepatan roda

n_w = n·z/N_w = 1440·3/60 = 72 rpm

Jawaban

n_w = 72 rpm

2.Roda gigi & rangkaian roda gigi

Jawaban: n_out = 691,2 rpm

Rangkaian roda gigi: roda gigi yang berpasangan memiliki kecepatan yang sama di giginya, sehingga n₁·N₁ = n₂·N₂: roda gigi dengan jumlah gigi lebih sedikit berputar lebih cepat. Roda gigi pada satu poros berputar dengan kecepatan yang sama. Daya diteruskan (dikurangi rugi-rugi), sehingga torsi naik ketika putaran turun: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, dan P = T·ω dengan ω = 2π·n/60.

Tingkat pertama

n_B = 960·24/25 = 921,6 rpm = n_C

Tingkat kedua

n_out = 921,6·30/40 = 691,2 rpm

Jawaban

n_out = 691,2 rpm

rasio total = 1,389 : 1

3.Torsi poros

Jawaban: φ = 2,155 °

Torsi poros bulat: tegangan geser naik linear dari nol di pusat hingga τ_max = T·r/J di permukaan, dengan J = πd⁴/32 untuk poros pejal dan J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 untuk poros berongga. Sudut puntir φ = TL/(GJ) dalam radian. Daya dan torsi berhubungan melalui P = T·ω.

Momen inersia polar

J = π·50⁴/32 = 613592 mm⁴

Sudut puntir

φ = TL/(GJ) = 200·1000·3000/(26000·613592) = 0,03761 rad

φ = 0,03761·180/π = 2,155°

Jawaban

φ = 2,155°

4.Torsi poros

Jawaban: d = 28,24 mm

Torsi

ω = 2πN/60 = 2π·1800/60 = 188,5 rad/s

T = P/ω = 50000/188,5 = 265,3 N·m

Diameter dari tegangan izin

d = ∛(16T/(π·τ_allow)) = ∛(16·265258/(π·60)) = 28,24 mm

Jawaban

d = 28,24 mm

Dalam praktik Anda membulatkan ke ukuran standar berikutnya.

5.Lingkaran Mohr & transformasi tegangan

Jawaban: θ_s = −7,018 °

Transformasi tegangan bidang: pada bidang yang diputar sebesar θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Lingkaran Mohr menampilkan semua bidang sekaligus: pusatnya di C = (σₓ + σᵧ)/2 dan jari-jarinya R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Tegangan utama adalah C ± R, dan tegangan geser terbesar dalam bidang adalah R.

Sudut pada lingkaran

Pada lingkaran Mohr titik puncak (+R) berjarak 90° dari titik utama σ₁; pada elemen itu sama dengan 45°.

cos 2θ_s = 20/20,62 = 0,9701, sin 2θ_s = −5/20,62 = −0,2425

2θ_s = atan2(−5, 20) = −14,04°

Sudut pada elemen

θ_s = −7,018°

periksa: θ_s − θ_p = −7,018 − 37,98 = −45°

Jawaban

θ_s = −7,018°

Sudut positif berlawanan arah jarum jam.

6.Lingkaran Mohr & transformasi tegangan

Jawaban: σ₁ = 159,2 MPa

Tegangan di permukaan

σ = 32M/(πd³) = 32·750000/(π·40³) = 119,4 MPa

τ = 16T/(πd³) = 16·1000000/(π·40³) = 79,58 MPa

Lingkaran Mohr

C = σ/2 = 59,68 MPa

R = √(59,68² + 79,58²) = 99,47 MPa

σ₁ = C + R = 159,2 MPa

σ₂ = C − R = −39,79 MPa

Jawaban

σ₁ = 159,2 MPa

7.Tegangan & regangan aksial

Jawaban: ε = 212,2 µε

Hukum Hooke: dalam daerah elastis σ = E·ε. Digabung dengan σ = P/A dan ε = δ/L menghasilkan δ = PL/(AE).

Tegangan

A = π·30²/4 = 706,9 mm²

σ = P/A = 30·1000/706,9 = 42,44 MPa

Regangan (hukum Hooke)

E for baja = 200 GPa = 200000 MPa.

ε = σ/E = 42,44/200000 = 0,0002122 = 212,2 µε

Jawaban

ε = 212,2 µε

8.Tegangan & regangan aksial

Jawaban: σ₂ = 30,32 MPa

Dua bahan: pada susunan seri (satu demi satu) setiap segmen menahan gaya yang sama dan perpanjangannya dijumlahkan: δ = P·Σ L/(E·A). Pada susunan paralel (berdampingan di antara pelat kaku) kedua bagian memendek sama besar, sehingga regangannya sama: bagian yang lebih kaku menanggung bagian yang lebih besar, P_i = P·E_iA_i/ΣEA, dan σ_i = E_i·ε. Batang yang ditahan di antara dua dinding kaku dengan beban di sambungan adalah statis tak tentu: kedua segmen membagi beban sebanding dengan kekakuannya k = EA/L.

Kekakuan

k₁ = 200000·314,2/400 = 157080 N/mm

k₂ = 100000·2827/300 = 942478 N/mm

Bagian segmen 2

F₂ = 100000·942478/1,1 × 10⁶ = 85714 N

Tegangan

σ₂ = 85714/2827 = 30,32 MPa (tekan)

Jawaban

σ₂ = 30,32 MPa

9.Tekuk kolom

Jawaban: P_cr = 5,426 kN

Tekuk Euler: kolom langsing menjadi tidak stabil pada P_cr = π²EI/(KL)², dengan KL panjang efektif: K = 1 untuk sendi–sendi, 2 untuk jepit–bebas, 0,7 untuk jepit–sendi, dan 0,5 untuk jepit–jepit. Kolom menekuk terhadap sumbu dengan I terkecil. Rumus berlaku untuk kolom langsing yang tegangan kritisnya tetap di bawah tegangan leleh.

Momen inersia terkecil

Penampang bulat memiliki I yang sama terhadap setiap sumbu.

I = πd⁴/64 = π·20⁴/64 = 7854 mm⁴

Panjang efektif

KL = 1·1000 = 1000 mm

Beban kritis

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·70000·7854/1000² = 5426 N = 5,426 kN

Jawaban

P_cr = 5,426 kN

10.Tekuk kolom

Jawaban: σ_cr = 4,318 MPa

Momen inersia terkecil

Penampang bulat memiliki I yang sama terhadap setiap sumbu.

I = πd⁴/64 = π·30⁴/64 = 39761 mm⁴

Jari-jari girasi dan kelangsingan

A = 706,9 mm²

r = √(I/A) = √(39761/706,9) = 7,5 mm

KL = 1·3000 = 3000 mm

KL/r = 3000/7,5 = 400

Tegangan kritis

σ_cr = π²E/(KL/r)² = π²·70000/400² = 4,318 MPa

Jawaban

σ_cr = 4,318 MPa

11.Getaran mekanis

Jawaban: f_d = 1,378 Hz

Getaran bebas sistem massa–pegas: frekuensi alami tak teredam adalah ω_n = √(k/m) dalam rad/s, dan f_n = ω_n/(2π) dalam Hz. Peredam viskos c memberikan rasio redaman ζ = c/c_c, dengan redaman kritis c_c = 2·√(k·m) = 2·m·ω_n. Sistem kurang teredam (ζ < 1) berosilasi pada ω_d = ω_n·√(1 − ζ²). Pegas paralel dijumlahkan, k = k₁ + k₂; pegas seri dijumlahkan sebagai kebalikan, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

Frekuensi alami tak teredam

ω_n = √(10000/100) = 10 rad/s

f_n = 10/(2π) = 1,592 Hz

Frekuensi alami teredam

f_d = f_n·√(1 − ζ²) = 1,592·√(1 − 0,5²) = 1,378 Hz

Jawaban

f_d = 1,378 Hz

12.Getaran mekanis

Jawaban: k_eq = 85 kN/m

Kekakuan ekivalen

Pegas berdampingan berbagi defleksi dan gayanya dijumlahkan, sehingga kekakuannya cukup dijumlahkan: k = k₁ + k₂.

k_eq = 80 + 5 = 85 kN/m

Jawaban

k_eq = 85 kN/m

ExamProblems · examproblems.com/courses/machine-design