Perancangan Elemen Mesin: paket kilat

Lembar rumus, langkah-langkah metode utama untuk setiap topik, dan 12 soal latihan, dengan pembahasan lengkap di bagian belakang.

Soal baru Kembali ke mata kuliah

Di jendela cetak, pilih “Simpan sebagai PDF” untuk menyimpan salinan di perangkat Anda.

1Rumus dan metode

Roda gigi & rangkaian roda gigi

Roda gigi yang berpasangan: n₁·N₁ = n₂·N₂
Torsi: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η
Daya: P = T·ω, ω = 2π·n/60
Rangkaian roda gigi majemuk: rasio total = hasil kali rasio setiap tingkat

Torsi poros

Tegangan geser: τ = T·r/J
Poros pejal: J = πd⁴/32
Poros berongga: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Sudut puntir: φ = TL/(GJ)
Daya: P = T·ω = 2πnT/60

Metode

Cari momen inersia polar: J = πd⁴/32 untuk poros pejal.
Tegangan geser di permukaan: τ = T·r/J, dengan r jari-jari luar.
Sudut puntir: φ = TL/(GJ) dalam radian.
Jika daya diketahui, cari torsi dulu dengan P = T·ω, ω = 2πn/60.

Lingkaran Mohr & transformasi tegangan

Pusat: C = (σ_x + σ_y)/2
Jari-jari: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Tegangan utama: σ_1,2 = C ± R
Arah utama: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Bidang miring: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Metode

Hitung pusat lingkaran Mohr: C = (σx + σy)/2.
Hitung jari-jarinya: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Tegangan utama adalah C ± R dan tegangan geser bidang terbesar adalah R.
Sudut pada lingkaran adalah dua kali sudut pada elemen: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Tegangan & regangan aksial

Tegangan normal: σ = F/A
Regangan: ε = ΔL/L
Hukum Hooke: σ = E·ε
Pertambahan panjang: ΔL = FL/(EA)
Regangan termal: ε_T = α·ΔT

Tekuk kolom

Beban Euler: P_cr = π²EI/(KL)²
Faktor panjang efektif: K = 1 sendi–sendi, 0,5 jepit–jepit, 0,7 jepit–sendi, 2 jepit–bebas
Tegangan kritis: σ_cr = P_cr/A
Kelangsingan: λ = KL/r, r = √(I/A)

Getaran mekanis

Frekuensi alami: ω_n = √(k/m), f_n = ω_n/(2π)
Dari defleksi statis: ω_n = √(g/δ_st)
Redaman kritis: c_c = 2√(km) = 2mω_n
Rasio redaman: ζ = c/c_c
Frekuensi teredam: ω_d = ω_n√(1 − ζ²)
Dekremen logaritmik: δ = (1/n)·ln(x₀/x_n), ζ = δ/√(4π² + δ²)
Pegas paralel: k = k₁ + k₂
Pegas seri: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

2Soal latihan

1.Roda gigi & rangkaian roda gigiSedang

Cacing dengan 3 ulir berputar pada 960 rpm dan menggerakkan roda cacing dengan 80 gigi. Cari kecepatan n_w roda cacing.

z = 3N_w = 80n = 960 rpm

n_w = rpm

2.Roda gigi & rangkaian roda gigiSulit

Dalam rangkaian roda gigi majemuk, roda gigi A (12 gigi) pada poros masukan berputar pada 960 rpm dan menggerakkan roda gigi B (50 gigi). Roda gigi C (40 gigi) terpasang pada poros yang sama dengan B dan menggerakkan roda gigi D pada poros keluaran. Keluaran harus berputar pada 192 rpm. Berapa jumlah gigi N_D yang harus dimiliki roda gigi D?

n_in = 960 rpmA = 12B = 50C = 40n_out = 192 rpm

N_D =

3.Torsi porosSedang

Dalam uji torsi, spesimen pejal berdiameter 12 mm dipuntir oleh torsi 100 N·m. Kedua ujung panjang ukur 250 mm berputar 8,8° relatif satu sama lain (bahan masih elastis). Cari modulus geser G bahan.

T = 100 N·md = 12 mmL = 250 mmφ = 8,8°

G = GPa

4.Torsi porosSulit

Poros kuningan pejal meneruskan 15 kW pada 500 rpm. Tegangan geser tidak boleh melebihi 60 MPa dan puntiran tidak boleh melebihi 0,75° per m panjang. Cari diameter terkecil d yang memenuhi kedua batas.

P = 15 kWN = 500 rpmτ_allow = 60 MPaθ_allow = 0,75°/mG = 39 GPa

d = mm

5.Lingkaran Mohr & transformasi teganganSedang

Sebuah titik pada komponen yang dibebani memiliki σₓ = −40 MPa, σᵧ = 120 MPa, dan τₓᵧ = −10 MPa (tarik positif). Cari tegangan geser maksimum dalam bidang τ_max.

σ_x = −40 MPaσ_y = 120 MPaτ_xy = −10 MPa

τ_max = MPa

6.Lingkaran Mohr & transformasi teganganSulit

Tangki silinder berdinding tipis dengan diameter dalam 1500 mm dan tebal dinding 10 mm berisi gas bertekanan gauge 2,5 MPa. Tangki dibuat dari pelat yang dilas sepanjang kampuh heliks bersudut 25° terhadap sumbu silinder. Cari besar tegangan geser |τ_n| yang bekerja sepanjang kampuh las.

D = 1500 mmt = 10 mmp = 2,5 MPaα = 25°

|τ_n| = MPa

7.Tegangan & regangan aksialSedang

Sebuah batang terdiri dari segmen baja (diameter 40 mm, panjang 400 mm, E = 200 GPa) yang disambung ujung ke ujung dengan segmen dari perunggu (diameter 30 mm, panjang 400 mm, E = 110 GPa). Salah satu ujungnya dijepit dan ujung lainnya ditarik. Cari beban aksial P yang memanjangkannya sebesar 0,25 mm secara total.

segmen 1: baja, Ø40 mm, 400 mm, E = 200 GPasegmen 2: perunggu, Ø30 mm, 400 mm, E = 110 GPaδ = 0,25 mm

P = kN

8.Tegangan & regangan aksialSulit

Batang bertingkat dijepit di dinding dan dibebani di ujung bebasnya. Cari pertambahan panjang total δ.

P = 120 kNsegmen 1: Ø40 mm, 2 m, aluminium (E = 70 GPa)segmen 2: Ø20 mm, 0,5 m, tembaga (E = 117 GPa)

δ = mm

9.Tekuk kolomSedang

Kolom sepanjang L dari aluminium dengan tumpuan jepit di bawah dan sendi di atas. Dengan rumus Euler, cari beban tekuk kritisnya P_cr.

L = 4 mE = 70 GPa (aluminium)d = 40 mm

P_cr = kN

10.Tekuk kolomSulit

Kolom sepanjang L dari baja dengan tumpuan jepit di kedua ujung. Cari kelangsingannya dan tegangan tekuk kritis σ_cr dari rumus Euler.

L = 4 mE = 200 GPa (baja)d = 30 mm

σ_cr = MPa

11.Getaran mekanisSedang

Massa 10 kg pada pegas dengan kekakuan 200 kN/m memiliki peredam viskos yang memberikan rasio redaman 0,45. Cari frekuensi alami teredam f_d getaran bebasnya dalam Hz.

m = 10 kgk = 200 kN/mζ = 0,45

f_d = Hz

12.Getaran mekanisSulit

Massa 10 kg tergantung pada dua pegas berdampingan (paralel), dengan kekakuan k₁ = 15 kN/m dan k₂ = 100 kN/m. Massa tetap datar. Abaikan redaman dan massa pegas. Cari frekuensi alami f_n getaran vertikal dalam Hz.

m = 10 kgk₁ = 15 kN/mk₂ = 100 kN/m

f_n = Hz

3Larutan

1.Roda gigi & rangkaian roda gigi

Jawaban: n_w = 36 rpm

Gear trains: meshing gears have the same speed at the teeth, so n₁·N₁ = n₂·N₂: the gear with fewer teeth turns faster. Gears on one shaft turn at the same speed. Power is passed on (minus losses), so torque goes up when speed goes down: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, and P = T·ω with ω = 2π·n/60.

Kecepatan roda

n_w = n·z/N_w = 960·3/80 = 36 rpm

Jawaban

n_w = 36 rpm

2.Roda gigi & rangkaian roda gigi

Jawaban: N_D = 48

Kecepatan poros antara

n_B = n_C = 960·12/50 = 230,4 rpm

Jumlah gigi roda gigi D

N_D = C·n_C/n_out = 40·230,4/192 = 48

Jawaban

N_D = 48

3.Torsi poros

Jawaban: G = 79,96 GPa

Torsi poros bulat: tegangan geser naik linear dari nol di pusat hingga τ_max = T·r/J di permukaan, dengan J = πd⁴/32 untuk poros pejal dan J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 untuk poros berongga. Sudut puntir φ = TL/(GJ) dalam radian. Daya dan torsi berhubungan melalui P = T·ω.

Momen inersia polar dan sudut

J = π·12⁴/32 = 2036 mm⁴

φ = 8,8·π/180 = 0,1536 rad

Modulus geser

T = 100 N·m = 100000 N·mm

G = TL/(Jφ) = 100000·250/(2036·0,1536) = 79957 MPa

G = 79,96 GPa

Jawaban

G = 79,96 GPa

Bandingkan: baja ≈ 80 GPa, kuningan ≈ 39 GPa, aluminium ≈ 26 GPa.

4.Torsi poros

Jawaban: d = 48,9 mm

Torsi

ω = 2πN/60 = 2π·500/60 = 52,36 rad/s

T = P/ω = 15000/52,36 = 286,5 N·m

Diameter berdasarkan kekuatan

T = 286,5 N·m = 286479 N·mm

d_τ = ∛(16·286479/(π·60)) = 28,97 mm

Diameter berdasarkan kekakuan

θ = 0,75·π/180/1000 = 1,309 × 10⁻⁵ rad/mm

G = 39 GPa = 39000 MPa

d_φ = (32·286479/(π·39000·1,309 × 10⁻⁵))^1/4 = 48,9 mm

Diameter yang menentukan

Kedua batas harus terpenuhi, jadi diameter yang lebih besar yang menentukan.

d = max(28,97, 48,9) = 48,9 mm

Jawaban

d = 48,9 mm

Di sini kekakuan yang menentukan.

5.Lingkaran Mohr & transformasi tegangan

Jawaban: τ_max = 80,62 MPa

Transformasi tegangan bidang: pada bidang yang diputar sebesar θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Lingkaran Mohr menampilkan semua bidang sekaligus: pusatnya di C = (σₓ + σᵧ)/2 dan jari-jarinya R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Tegangan utama adalah C ± R, dan tegangan geser terbesar dalam bidang adalah R.

Jari-jari lingkaran Mohr

τ_max = R = √(((−40 − 120)/2)² + −10²) = 80,62 MPa

Jawaban

τ_max = 80,62 MPa

6.Lingkaran Mohr & transformasi tegangan

Jawaban: |τ_n| = 35,91 MPa

Tegangan dinding

r = 1500/2 = 750 mm

σ_h = pr/t = 2,5·750/10 = 187,5 MPa

σ_a = pr/(2t) = 93,75 MPa

Transformasikan ke kampuh

Ambil x sepanjang sumbu (σ_a) dan y mengelilingi keliling (σ_h). Normal kampuh membentuk 90° − α dengan sumbu.

|τ_n| = (187,5 − 93,75)·sin 25°·cos 25° = 35,91 MPa

Jawaban

|τ_n| = 35,91 MPa

7.Tegangan & regangan aksial

Jawaban: P = 37,11 kN

Dua bahan: pada susunan seri (satu demi satu) setiap segmen menahan gaya yang sama dan perpanjangannya dijumlahkan: δ = P·Σ L/(E·A). Pada susunan paralel (berdampingan di antara pelat kaku) kedua bagian memendek sama besar, sehingga regangannya sama: bagian yang lebih kaku menanggung bagian yang lebih besar, P_i = P·E_iA_i/ΣEA, dan σ_i = E_i·ε. Batang yang ditahan di antara dua dinding kaku dengan beban di sambungan adalah statis tak tentu: kedua segmen membagi beban sebanding dengan kekakuannya k = EA/L.

Luas

A₁ = 1257 mm², A₂ = 706,9 mm²

Kelenturan

L₁/(E₁A₁) = 400/(200000·1257) = 1,592 × 10⁻⁶ mm/N

L₂/(E₂A₂) = 400/(110000·706,9) = 5,144 × 10⁻⁶ mm/N

Beban

P = 0,25/6,736 × 10⁻⁶ = 37114 N = 37,11 kN

Jawaban

P = 37,11 kN

8.Tegangan & regangan aksial

Jawaban: δ = 4,361 mm

Batang beban aksial: setiap segmen prismatis mengikuti δ = PL/(AE). Untuk segmen seri, pertambahan panjangnya dijumlahkan.

Gaya sama di kedua segmen

Ujung bebas menahan P, jadi setiap penampang batang menahan gaya aksial P yang sama. Hanya luas dan bahannya yang berubah.

A₁ = π·40²/4 = 1257 mm², A₂ = π·20²/4 = 314,2 mm²

σ₁ = 95,49 MPa

σ₂ = 382 MPa

Jumlahkan pertambahan panjang segmen

δ₁ = σ₁L₁/E₁ = 95,49·2000/70000 = 2,728 mm

δ₂ = σ₂L₂/E₂ = 382·500/117000 = 1,632 mm

δ = δ₁ + δ₂ = 4,361 mm

Jawaban

δ = 4,361 mm

9.Tekuk kolom

Jawaban: P_cr = 11,07 kN

Tekuk Euler: kolom langsing menjadi tidak stabil pada P_cr = π²EI/(KL)², dengan KL panjang efektif: K = 1 untuk sendi–sendi, 2 untuk jepit–bebas, 0,7 untuk jepit–sendi, dan 0,5 untuk jepit–jepit. Kolom menekuk terhadap sumbu dengan I terkecil. Rumus berlaku untuk kolom langsing yang tegangan kritisnya tetap di bawah tegangan leleh.

Momen inersia terkecil

Penampang bulat memiliki I yang sama terhadap setiap sumbu.

I = πd⁴/64 = π·40⁴/64 = 125664 mm⁴

Panjang efektif

KL = 0,7·4000 = 2800 mm

Beban kritis

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·70000·125664/2800² = 11074 N = 11,07 kN

Jawaban

P_cr = 11,07 kN

10.Tekuk kolom

Jawaban: σ_cr = 27,76 MPa

Momen inersia terkecil

Penampang bulat memiliki I yang sama terhadap setiap sumbu.

I = πd⁴/64 = π·30⁴/64 = 39761 mm⁴

Jari-jari girasi dan kelangsingan

A = 706,9 mm²

r = √(I/A) = √(39761/706,9) = 7,5 mm

KL = 0,5·4000 = 2000 mm

KL/r = 2000/7,5 = 266,7

Tegangan kritis

σ_cr = π²E/(KL/r)² = π²·200000/266,7² = 27,76 MPa

Jawaban

σ_cr = 27,76 MPa

11.Getaran mekanis

Jawaban: f_d = 20,1 Hz

Getaran bebas sistem massa–pegas: frekuensi alami tak teredam adalah ω_n = √(k/m) dalam rad/s, dan f_n = ω_n/(2π) dalam Hz. Peredam viskos c memberikan rasio redaman ζ = c/c_c, dengan redaman kritis c_c = 2·√(k·m) = 2·m·ω_n. Sistem kurang teredam (ζ < 1) berosilasi pada ω_d = ω_n·√(1 − ζ²). Pegas paralel dijumlahkan, k = k₁ + k₂; pegas seri dijumlahkan sebagai kebalikan, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

Frekuensi alami tak teredam

ω_n = √(200000/10) = 141,4 rad/s

f_n = 141,4/(2π) = 22,51 Hz

Frekuensi alami teredam

f_d = f_n·√(1 − ζ²) = 22,51·√(1 − 0,45²) = 20,1 Hz

Jawaban

f_d = 20,1 Hz

12.Getaran mekanis

Jawaban: f_n = 17,07 Hz

Kekakuan ekivalen

Pegas berdampingan berbagi defleksi dan gayanya dijumlahkan, sehingga kekakuannya cukup dijumlahkan: k = k₁ + k₂.

k_eq = 15 + 100 = 115 kN/m

Frekuensi alami

ω_n = √(115000/10) = 107,2 rad/s

f_n = 107,2/(2π) = 17,07 Hz

Jawaban

f_n = 17,07 Hz

ExamProblems · examproblems.com/courses/machine-design