Perancangan Elemen Mesin: paket kilat

Lembar rumus, langkah-langkah metode utama untuk setiap topik, dan 12 soal latihan, dengan pembahasan lengkap di bagian belakang.

Soal baru Kembali ke mata kuliah

Di jendela cetak, pilih “Simpan sebagai PDF” untuk menyimpan salinan di perangkat Anda.

1Rumus dan metode

Roda gigi & rangkaian roda gigi

Roda gigi yang berpasangan: n₁·N₁ = n₂·N₂
Torsi: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η
Daya: P = T·ω, ω = 2π·n/60
Rangkaian roda gigi majemuk: rasio total = hasil kali rasio setiap tingkat

Torsi poros

Tegangan geser: τ = T·r/J
Poros pejal: J = πd⁴/32
Poros berongga: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Sudut puntir: φ = TL/(GJ)
Daya: P = T·ω = 2πnT/60

Metode

Cari momen inersia polar: J = πd⁴/32 untuk poros pejal.
Tegangan geser di permukaan: τ = T·r/J, dengan r jari-jari luar.
Sudut puntir: φ = TL/(GJ) dalam radian.
Jika daya diketahui, cari torsi dulu dengan P = T·ω, ω = 2πn/60.

Lingkaran Mohr & transformasi tegangan

Pusat: C = (σ_x + σ_y)/2
Jari-jari: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Tegangan utama: σ_1,2 = C ± R
Arah utama: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Bidang miring: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Metode

Hitung pusat lingkaran Mohr: C = (σx + σy)/2.
Hitung jari-jarinya: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Tegangan utama adalah C ± R dan tegangan geser bidang terbesar adalah R.
Sudut pada lingkaran adalah dua kali sudut pada elemen: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Tegangan & regangan aksial

Tegangan normal: σ = F/A
Regangan: ε = ΔL/L
Hukum Hooke: σ = E·ε
Pertambahan panjang: ΔL = FL/(EA)
Regangan termal: ε_T = α·ΔT

Tekuk kolom

Beban Euler: P_cr = π²EI/(KL)²
Faktor panjang efektif: K = 1 sendi–sendi, 0,5 jepit–jepit, 0,7 jepit–sendi, 2 jepit–bebas
Tegangan kritis: σ_cr = P_cr/A
Kelangsingan: λ = KL/r, r = √(I/A)

Getaran mekanis

Frekuensi alami: ω_n = √(k/m), f_n = ω_n/(2π)
Dari defleksi statis: ω_n = √(g/δ_st)
Redaman kritis: c_c = 2√(km) = 2mω_n
Rasio redaman: ζ = c/c_c
Frekuensi teredam: ω_d = ω_n√(1 − ζ²)
Dekremen logaritmik: δ = (1/n)·ln(x₀/x_n), ζ = δ/√(4π² + δ²)
Pegas paralel: k = k₁ + k₂
Pegas seri: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

2Soal latihan

1.Roda gigi & rangkaian roda gigiSedang

Puli 125 mm pada 2880 rpm menggerakkan puli 250 mm dengan sabuk yang slipnya 4 %. Cari kecepatan n₂ puli yang digerakkan.

n₁ = 2880 rpmd₁ = 125 mmd₂ = 250 mms = 4 %

n₂ = rpm

2.Roda gigi & rangkaian roda gigiSulit

Dalam rangkaian roda gigi majemuk, roda gigi A (20 gigi) pada poros masukan yang berputar pada 1450 rpm menggerakkan roda gigi B (24 gigi). Roda gigi C (48 gigi) terpasang pada poros yang sama dengan B dan menggerakkan roda gigi D (60 gigi) pada poros keluaran. Cari putaran keluaran n_out.

n_in = 1450 rpmA = 20B = 24C = 48D = 60

n_out = rpm

3.Torsi porosSedang

Poros kuningan pejal bertingkat dijepit di A. Segmen AB berdiameter 60 mm dan panjang 0,5 m; segmen BC berdiameter 40 mm dan panjang 0,8 m. Torsi 400 N·m bekerja di ujung bebas C. Cari tegangan geser maksimum τ_max pada poros.

T = 400 N·md₁ = 60 mm, L₁ = 0,5 md₂ = 40 mm, L₂ = 0,8 m

τ_max = MPa

4.Torsi porosSulit

Poros berongga meneruskan 15 kW pada 1800 rpm. Cari tegangan geser maksimum τ_max pada poros.

P = 15 kWN = 1800 rpmd_o = 40 mmd_i = 24 mm

τ_max = MPa

5.Lingkaran Mohr & transformasi teganganSedang

Sebuah titik pada komponen yang dibebani memiliki σₓ = 50 MPa, σᵧ = 60 MPa, dan τₓᵧ = 30 MPa (tarik positif). Cari tegangan geser maksimum dalam bidang τ_max.

σ_x = 50 MPaσ_y = 60 MPaτ_xy = 30 MPa

τ_max = MPa

6.Lingkaran Mohr & transformasi teganganSulit

Sebuah titik pada komponen yang dibebani memiliki σₓ = 50 MPa, σᵧ = 30 MPa, dan τₓᵧ = 40 MPa (tarik positif). Cari tegangan normal σ_θ pada bidang yang normalnya diputar 30° berlawanan arah jarum jam dari sumbu x.

σ_x = 50 MPaσ_y = 30 MPaτ_xy = 40 MPaθ = 30°

σ_θ = MPa

7.Tegangan & regangan aksialSedang

Cari regangan aksial ε pada batang tembaga, dalam mikroregangan (µε = 10⁻⁶).

P = 115 kNd = 25 mmL = 0,5 mE = 117 GPa

ε = µε

8.Tegangan & regangan aksialSulit

Sebuah segmen baja (diameter 30 mm, panjang 400 mm, E = 200 GPa) dan segmen dari perunggu (diameter 60 mm, panjang 200 mm, E = 110 GPa) disambung ujung ke ujung dan dijepit di antara dua dinding kaku. Beban aksial 100 kN bekerja di sambungan, menuju segmen 2. Cari besar tegangan σ₂ pada segmen 2.

segmen 1: baja, Ø30 mm, 400 mm, E = 200 GPasegmen 2: perunggu, Ø60 mm, 200 mm, E = 110 GPaP = 100 kN

σ₂ = MPa

9.Tekuk kolomSedang

Kolom sepanjang L dari aluminium dengan tumpuan jepit di bawah dan bebas di atas. Dengan rumus Euler, cari beban tekuk kritisnya P_cr.

L = 1,5 mE = 70 GPa (aluminium)b × h = 30 × 60 mm

P_cr = kN

10.Tekuk kolomSulit

Kolom sepanjang L dari aluminium dengan tumpuan jepit di bawah dan sendi di atas. Cari kelangsingannya dan tegangan tekuk kritis σ_cr dari rumus Euler.

L = 3 mE = 70 GPa (aluminium)d = 60 mm

σ_cr = MPa

11.Getaran mekanisSedang

Massa 40 kg pada pegas dengan kekakuan 100 kN/m memiliki peredam viskos yang memberikan rasio redaman 0,45. Cari frekuensi alami teredam f_d getaran bebasnya dalam Hz.

m = 40 kgk = 100 kN/mζ = 0,45

f_d = Hz

12.Getaran mekanisSulit

Massa 5 kg tergantung pada dua pegas yang disambung ujung ke ujung (seri): pegas atas memiliki k₁ = 25 kN/m dan pegas bawah k₂ = 60 kN/m. Cari kekakuan ekivalen k_eq sistem pegas dalam kN/m.

m = 5 kgk₁ = 25 kN/mk₂ = 60 kN/m

k_eq = kN/m

3Larutan

1.Roda gigi & rangkaian roda gigi

Jawaban: n₂ = 1382 rpm

Penggerak sabuk: tanpa slip, kedua puli memiliki kecepatan tepi yang sama v = π·d·n/60, sehingga n₁·d₁ = n₂·d₂ dan rasio kecepatan adalah d₂/d₁. Slip s membuat puli yang digerakkan sedikit lebih lambat: n₂ = n₁·(d₁/d₂)·(1 − s). Daya yang ditransmisikan adalah P = (T₁ − T₂)·v, dengan T₁ tegangan sisi tarik dan T₂ sisi kendor. Gesekan membatasi rasio tegangan: T₁/T₂ = e^μθ, dengan θ sudut kontak dalam radian pada puli yang lebih kecil; untuk sabuk terbuka θ = π − 2·asin((d₂ − d₁)/(2C)) dengan jarak sumbu C.

Kecepatan tanpa slip

2880·125/250 = 1440 rpm

Dengan slip

n₂ = 1440·0,96 = 1382 rpm

Jawaban

n₂ = 1382 rpm

2.Roda gigi & rangkaian roda gigi

Jawaban: n_out = 966,7 rpm

Rangkaian roda gigi: roda gigi yang berpasangan memiliki kecepatan yang sama di giginya, sehingga n₁·N₁ = n₂·N₂: roda gigi dengan jumlah gigi lebih sedikit berputar lebih cepat. Roda gigi pada satu poros berputar dengan kecepatan yang sama. Daya diteruskan (dikurangi rugi-rugi), sehingga torsi naik ketika putaran turun: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, dan P = T·ω dengan ω = 2π·n/60.

Tingkat pertama

n_B = 1450·20/24 = 1208 rpm = n_C

Tingkat kedua

n_out = 1208·48/60 = 966,7 rpm

Jawaban

n_out = 966,7 rpm

rasio total = 1,5 : 1

3.Torsi poros

Jawaban: τ_max = 31,83 MPa

Torsi poros bulat: tegangan geser naik linear dari nol di pusat hingga τ_max = T·r/J di permukaan, dengan J = πd⁴/32 untuk poros pejal dan J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 untuk poros berongga. Sudut puntir φ = TL/(GJ) dalam radian. Daya dan torsi berhubungan melalui P = T·ω.

Tegangan pada tiap segmen

T = 400 N·m = 400000 N·mm

τ_AB = 16·400000/(π·60³) = 9,431 MPa

τ_BC = 16·400000/(π·40³) = 31,83 MPa

Jawaban

τ_max = 31,83 MPa

4.Torsi poros

Jawaban: τ_max = 7,275 MPa

Torsi

ω = 2πN/60 = 2π·1800/60 = 188,5 rad/s

T = P/ω = 15000/188,5 = 79,58 N·m

Momen inersia polar

J = π(40⁴ − 24⁴)/32 = 218755 mm⁴

Tegangan geser maksimum

τ_max = T·(d_o/2)/J = 79577·20/218755 = 7,275 MPa

Jawaban

τ_max = 7,275 MPa

5.Lingkaran Mohr & transformasi tegangan

Jawaban: τ_max = 30,41 MPa

Transformasi tegangan bidang: pada bidang yang diputar sebesar θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Lingkaran Mohr menampilkan semua bidang sekaligus: pusatnya di C = (σₓ + σᵧ)/2 dan jari-jarinya R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Tegangan utama adalah C ± R, dan tegangan geser terbesar dalam bidang adalah R.

Jari-jari lingkaran Mohr

τ_max = R = √(((50 − 60)/2)² + 30²) = 30,41 MPa

Jawaban

τ_max = 30,41 MPa

6.Lingkaran Mohr & transformasi tegangan

Jawaban: σ_θ = 79,64 MPa

Persamaan transformasi

σ_θ = 40 + 10·0,5 + 40·0,866 = 79,64 MPa

Jawaban

σ_θ = 79,64 MPa

7.Tegangan & regangan aksial

Jawaban: ε = 2002 µε

Hukum Hooke: dalam daerah elastis σ = E·ε. Digabung dengan σ = P/A dan ε = δ/L menghasilkan δ = PL/(AE).

Tegangan

A = π·25²/4 = 490,9 mm²

σ = P/A = 115·1000/490,9 = 234,3 MPa

Regangan (hukum Hooke)

E for tembaga = 117 GPa = 117000 MPa.

ε = σ/E = 234,3/117000 = 0,002002 = 2002 µε

Jawaban

ε = 2002 µε

8.Tegangan & regangan aksial

Jawaban: σ₂ = 28,82 MPa

Dua bahan: pada susunan seri (satu demi satu) setiap segmen menahan gaya yang sama dan perpanjangannya dijumlahkan: δ = P·Σ L/(E·A). Pada susunan paralel (berdampingan di antara pelat kaku) kedua bagian memendek sama besar, sehingga regangannya sama: bagian yang lebih kaku menanggung bagian yang lebih besar, P_i = P·E_iA_i/ΣEA, dan σ_i = E_i·ε. Batang yang ditahan di antara dua dinding kaku dengan beban di sambungan adalah statis tak tentu: kedua segmen membagi beban sebanding dengan kekakuannya k = EA/L.

Kekakuan

k₁ = 200000·706,9/400 = 353429 N/mm

k₂ = 110000·2827/200 = 1,555 × 10⁶ N/mm

Bagian segmen 2

F₂ = 100000·1,555 × 10⁶/1,909 × 10⁶ = 81481 N

Tegangan

σ₂ = 81481/2827 = 28,82 MPa (tekan)

Jawaban

σ₂ = 28,82 MPa

9.Tekuk kolom

Jawaban: P_cr = 10,36 kN

Tekuk Euler: kolom langsing menjadi tidak stabil pada P_cr = π²EI/(KL)², dengan KL panjang efektif: K = 1 untuk sendi–sendi, 2 untuk jepit–bebas, 0,7 untuk jepit–sendi, dan 0,5 untuk jepit–jepit. Kolom menekuk terhadap sumbu dengan I terkecil. Rumus berlaku untuk kolom langsing yang tegangan kritisnya tetap di bawah tegangan leleh.

Momen inersia terkecil

Persegi panjang menekuk terhadap sumbu lemahnya, dengan dimensi terkecil dipangkatkan tiga.

I_min = h·b³/12 = 60·30³/12 = 135000 mm⁴

Panjang efektif

KL = 2·1500 = 3000 mm

Beban kritis

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·70000·135000/3000² = 10363 N = 10,36 kN

Jawaban

P_cr = 10,36 kN

10.Tekuk kolom

Jawaban: σ_cr = 35,25 MPa

Momen inersia terkecil

Penampang bulat memiliki I yang sama terhadap setiap sumbu.

I = πd⁴/64 = π·60⁴/64 = 636173 mm⁴

Jari-jari girasi dan kelangsingan

A = 2827 mm²

r = √(I/A) = √(636173/2827) = 15 mm

KL = 0,7·3000 = 2100 mm

KL/r = 2100/15 = 140

Tegangan kritis

σ_cr = π²E/(KL/r)² = π²·70000/140² = 35,25 MPa

Jawaban

σ_cr = 35,25 MPa

11.Getaran mekanis

Jawaban: f_d = 7,106 Hz

Getaran bebas sistem massa–pegas: frekuensi alami tak teredam adalah ω_n = √(k/m) dalam rad/s, dan f_n = ω_n/(2π) dalam Hz. Peredam viskos c memberikan rasio redaman ζ = c/c_c, dengan redaman kritis c_c = 2·√(k·m) = 2·m·ω_n. Sistem kurang teredam (ζ < 1) berosilasi pada ω_d = ω_n·√(1 − ζ²). Pegas paralel dijumlahkan, k = k₁ + k₂; pegas seri dijumlahkan sebagai kebalikan, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

Frekuensi alami tak teredam

ω_n = √(100000/40) = 50 rad/s

f_n = 50/(2π) = 7,958 Hz

Frekuensi alami teredam

f_d = f_n·√(1 − ζ²) = 7,958·√(1 − 0,45²) = 7,106 Hz

Jawaban

f_d = 7,106 Hz

12.Getaran mekanis

Jawaban: k_eq = 17,65 kN/m

Kekakuan ekivalen

Pegas seri menerima gaya yang sama dan defleksinya dijumlahkan, sehingga digabung sebagai kebalikan: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

1/k_eq = 1/25 + 1/60 → k_eq = 25·60/(25 + 60) = 17,65 kN/m

Jawaban

k_eq = 17,65 kN/m

ExamProblems · examproblems.com/courses/machine-design